تبليغاتX

JavaScript Codes ریاضی زیباست = زندگی زیباست

چهارشنبه 7 مرداد1388

معمای مسافر و قطار

وقتیکه قطار مسافربری در ایستگاه ترمز کرد پیرمرد که چند دقیقه ای میشد منتظر رسیدن قطار بود خود را در مقابل آخرین واگن قطار دید. قطار مرکب از دو لوکوموتیو بود، یکی در جلو و دیگری در عقب که در بین آنها پنجاه واگن قرار داشت. طول هر واگن هم 15 متر بود.

 پیرمرد از در عقب آخرین واگن سوار شد و به دنبال صندلی خالی گشت که بنشیند ولی با کمال نومیدی دید که همه ی صندلی ها از ایستگاه های قبلی پر شده اند. تصمیم گرفت به واگن بعدی برود و ببیند آنجا وضع چطور است. چمدانش را زمین گذاشت و به راه افتاد. قطار هم همانموقع حرکت کرد و پیرمرد از پنجره ی واگن دید که قطار دارد از مقابل اداره ی پست شهر عبور میکند.

                                                               

 پیرمرد در واگن بعدی هم صندلی خالی پیدا نکرد و همین طور واگن به واگن جلو رفت تا بیست دقیقه بعد به آخرین آنها رسید. در حالیکه از نیافتن حتی یک صندلی خالی سخت پکر شده بود تصمیم به بازگشت گرفت. تعدادی از مسافرین که ظاهرا" از بسیار نشسته بودن خسته شده بودند به راهرو های قطار آمده  تا بایستند و کمی رفع خستگی کنند. به همین دلیل بازگشت پیرمرد کمی بیشتر طول کشید و نیمساعت شد.

 وقتیکه به چمدانش رسید چاره ای ندید جز آنکه از چمدان به عنوان صندلی استفاده کند و همانجا روی آن بنشیند تا به مقصد برسد. وقتیکه داشت مینشست از پنجره نگاهی به بیرون انداخت و دید که قطار دارد از روبروی ساختمان شهرداری میگذرد. او میدانست که فاصله ی اداره ی پست تا ساختمان شهرداری دقیقا" 12 کیلومتر است. پیش خود فکر کرد ای بابا به درد سرش نمیارزید، مثل اینکه اگر پیاده رفته بودم زود تر میرسیدم!

 پیرمرد وقتیکه روی چمدانش نشست سرش را به دیوار قطار تکیه داد و به خواب شد. یک ساعت بعد حس کرد که کسی دارد او را صدا میزند و میگوید که رسیده ایم، بلند شو ! پیرمرد از خواب بیدار شد و چمدانش را برداشت و از قطار بیرون رفت.

 فاصله ی مبدا تا مقصد برای مسافر پیر ما چند کیلومتر بوده است؟


ادامه مطلب
نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 12:42 بعد از ظهر |  لینک ثابت   • 

جمعه 19 تیر1388

«ریشه‌ی رقمی» ( Digital Root)

یک عدد مانند را در نظر بگیرید و ارقام آن را جمع کنید و دوباره ارقام عدد حاصل را جمع کنید و این روند را تا جایی که تنها یک رقم باقی بماند ادامه دهید. رقم باقی‌مانده را ریشه‌ی رقمی (Digital Root) عدد  می‌نامیم.





ریشه‌ی رقمی هر عدد صحیح موقعیتی است که نسبت به آخرین مضرب 9 کوچکتر از خود دارد. به‌طور مثال ریشه‌ی رقمی 23 ، 5 است که به این معناست که 23 پنجمین عدد بعد از آخرین مضرب 9 کوچکتر از خود یعنی 18 است و ریشه‌ی رقمی 2035 ، 1 است که به این معناست که 2034 مضرب 9 است.

فرمول زیر مستقیم ریشه‌ی رقمی عدد را محاسبه می‌کند:





حال ریشه‌ی رقمی برخی از اعداد خاص را بیان می‌کنیم:

ریشه‌ی رقمی یک عدد مربع 1، 4، 7 و یا 9 است.

ریشه‌ی رقمی یک عدد اول (به جز 3 ) 1، 2، 4، 5، 7 و یا 8 است.

ریشه‌ی رقمی یک عدد مثلثی 1،3، 6 و یا 9 است.

اعداد مثلثی را در لینک زیر معرفی کردیم:

http://www.roshd.ir/Roshd/Default.aspx?tabid=290&EntryID=1835&SSOReturnPage=Check&Rand=0.

نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 1:17 بعد از ظهر |  لینک ثابت   • 

جمعه 11 اردیبهشت1388

معما


معما
سه‌دوست در یک رستوران ناهار می‌خورند و صورتحساب آن‌ها برابر با 30 دلار می‌شود. آن‌ها توافق می‌کنند این مبلغ را به‌طور مساوی تقسیم و هریک 10 دلار پرداخت کند.

پیشخدمت صورتحساب و 30 دلار پرداخت ‌شده را نزد صندوقدار می‌برد. صندوقدار تشخیص می‌دهد که اشتباه شده و صورتحساب درست تنها 25 دلار است؛ بنابراین 5 عدد 1 دلاری را به پیشخدمت می‌دهد تا به مشتری‌ها برگرداند و از آن‌ها بابت این اشتباه عذرخواهی کند.

در هر صورت پیشخدمت صادق نبوده و 2 دلار را برای خود برداشته و تنها 3 دلار را به مشتریان بر‌می‌گرداند. بنابراین هر یک از 3 دوست 9 دلار پرداخت کرده و پیشخدمت نیز 2 دلار را دزدیده که جمع این مبالغ 29 دلار می‌شود؛ ولی صورت‌حساب اولیه 30 دلار بود!

دلار گم‌شده کجاست؟!

توضيح معما
البته هیچ دلاری گم نشده! جمع 27 دلار و 2 دلار (با حاصل 29 دلار) یک عملیات ساختگی است تا شما را گمراه کند. 3 دوست 27 دلار پرداخت کرده‌اند؛ پیش‌خدمت 2 دلار دزدیده و به رستوران 25 دلار پرداخت شده است.

شما باید 2 دلار را از 27 دلار کم کنید تا 25 دلار به‌دست آید!

نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 6:5 بعد از ظهر |  لینک ثابت   • 

سه شنبه 8 اردیبهشت1388

یافتن سن


 یافتن سن و تعداد سکه‌های موجود در جیب دوست‌تان
 
براي يافتن سن و يا تعداد سكه‌هاي موجود در جيب دوست‌تان بدين‌شكل عمل كتيد:

- از دوست‌تان بخواهید سنش را دو برابرکند (البته به شما نگوید)!
- سپس آن را با 5 جمع كرده و در 50 ضرب نمايد.
- در آخر تعداد سکه‌های موجود در جیبش را به عدد به‌دست آمده اضافه کند و اگر سکه‌ای نداشت مقداری اضافه نکند.
- حال عدد نهایی به‌دست آمده را به شما بگوید.

اکنون کافی است مقدار 250 را از عددی که دوست‌تان گفته کم کنید. دو رقم سمت چپ عدد حاصل، سن دوست‌تان و دو رقم سمت راست آن، تعداد سکه‌های موجود در جیب اوست!

این روش در صورتی که تعداد سکه‌ها کم‌تر از 100 باشد درست است !



مثال 1









آیا می‌توانید بگویید چرا؟!
نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 6:1 بعد از ظهر |  لینک ثابت   • 

سه شنبه 8 اردیبهشت1388

اعداد خوشحال

 
«اعداد خوشحال» (Happy Numbers)

یک عدد صحیح مثبت  را در نظر بگیرید. یک دنباله‌ی  تعریف می‌کنیم به‌طوری که  جمع مربعات ارقام  است.

در این صورت  یک «عدد خوشحال» (Happy Number) است اگر و فقط اگر ای وجود داشته باشد به‌طوری که رابطه‌ي ذيل برقرار باشد:

به‌طور مثال 7 یک «عدد خوشحال» (Happy Number) است زیرا:

«اعداد خوشحال» (Happy Numbers) کوچک‌تر از 50 عبارت‌اند از:

آیا می‌توانید چند «عدد خوشحال» (Happy Number) دیگر بگویید؟!

توجه کنید که اگر یک عدد، «خوشحال» (Happy) باشد تمام اعداد ظاهرشده در دنباله‌ی آن نیز «خوشحال»ا‌ند و هم‌چنین اگر ارقام آن را جابه‌جا کنیم عدد حاصل باز «عدد خوشحال» (Happy Number) است.

نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 5:54 بعد از ظهر |  لینک ثابت   • 

دوشنبه 7 اردیبهشت1388

غربال اراتوسن

 

مقدمه

«غربال اراتوسن» (Sieve of Eratosthenes) در ریاضیات الگوریتم ساده‌ای است که به‌کمک آن می‌توان تمام اعداد اول تا یک عدد صحیح را یافت.

کشف این روش را به «اراتسن» (Eratosthenes) دانشمند یونان باستان نسبت می‌دهند.

مراحل این الگوریتم به‌صورت ذيل است :

- اعداد بین 2 تا عدد مورد نظر n را فهرست می‌کنیم.

- دور عدد 2 خط كشيده و مضرب‌هایش را خط می‌زنیم.

- عدد بعدی در فهرست، یک عدد اول است؛ دور آن خط می‌کشیم.

- تمام مضرب‌های عدد یافت‌شده در مرحله‌ی قبل را خط می‌زنیم.

- مراحل 3 و 4 را آن‌قدر تکرار می‌کنیم تا به یک عدد بزرگ‌تر از ریشه‌ی n برسیم.
- تمام اعداد خط‌نخورده در فهرست، اعداد اول خواهند بود.

نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 5:57 بعد از ظهر |  لینک ثابت   • 

دوشنبه 7 اردیبهشت1388

عدد مثلثي

عدد مثلثي
یک عدد مثلثی برابر تعداد نقاط موجود در یک شبکه‌ی مثلثی است که در سطر اول آن یک نقطه وجود دارد و سطرهای دیگر آن هریک، یک نقطه بیش‌تر از سطر قبلی خود دارند.

به‌طور مثال

همان‌گونه که در شکل 1 مشاهده می‌کنید اعداد 1،3،6،10، 15 و 21 اعداد مثلثی هستند.

 

شكل 1.

به‌عبارت دیگر امین عدد مثلثی معادل است با مجموع اعداد طبیعی 1 تا  که مقدار این عدد معادل  خواهد بود.

اعداد مثلثی خواص جالبی دارند.

به‌طور مثال

مجموع دو عدد مثلثی متوالی یک «عدد مربع» است. در واقع مجموع دو عدد مثلثی متوالی برابر مربع اختلاف‌شان است.

 







این واقعیت را می‌توان در شکل 2 به‌طور شهودی دید.

 

شكل 2.

نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 5:52 بعد از ظهر |  لینک ثابت   • 

چهارشنبه 2 اردیبهشت1388

مساله ها ی ریاضی

 

در این قسمت جند مطلب بسیار جالب ریاضی می توانید مشاهده کنید و با تفکر روی هرمطلب به جالب بودن آنها پی ببرید...

 

  مساله ها ی افسانه ای ریاضی

 

 هفت مساله شیخ بهایی

 

 

نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 4:20 بعد از ظهر |  لینک ثابت   • 

سه شنبه 1 اردیبهشت1388

مسابقه ریاضی

نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 7:25 قبل از ظهر |  لینک ثابت   • 

چهارشنبه 12 فروردین1388

قضیه چهاررنگ

نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 6:43 بعد از ظهر |  لینک ثابت   • 

جمعه 25 بهمن1387

تست هوش

تست هوش فوق الاده جالب و باور نکردنی
 
تست ساده ای برای نشان دادن ضریب هوشی شما
چنانچه دختر در تصوير را در حال چرخش به حالت ساعتگرد مي بينيد شما از نيمکره راست مغز خود استفاده مي کنيد، و چنانچه در خلاف جهت حرکت عقربه هاي ساعت مي بينيد از نيمکره چپ مغز خود استفاده مي کنيد. اگر بتوانيد چرخش آن را در هردو جهت ببينيد ضريب هوشي شما بالاي 160 هست!
نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 5:19 بعد از ظهر |  لینک ثابت   • 

چهارشنبه 9 بهمن1387

رابطه عمومی جملات دنباله فیبوناچی

نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 7:50 بعد از ظهر |  لینک ثابت   • 

سه شنبه 8 بهمن1387

پدیده ی شگفت انگیز بین اعداد طبیعی

نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 7:48 بعد از ظهر |  لینک ثابت   • 

شنبه 28 دی1387

جايزه‌ي آبل

جايزه‌هاي بين‌المللي رياضي - قسمت دوم

جايزه‌ي آبل




تاريخچه
فكر اهداي جايزه‌اي در رياضيات به‌نام «نيلس هنريك آبل» (Niels Henrik Abel, 1802-1829) رياضيدان بزرگ نروژي را نخستين بار «سوفوس لي»، رياضيدان نروژي بزرگ ديگر در اواخر قرن نوزدهم مطرح كرده و عليرغم اين‌كه مورد تأييد «اسكار دوم» پادشاه اتحاديه‌ي سوئد و نروژ نيز قرار گرفت ولي با از هم گسيختن اتحاد دو كشور اين موضوع به فراموشي سپرده شد.

اكنون به ابتكار «آكادمي علوم و ادبيات نروژ» با حمايت «اتحاديه‌ي بين‌المللي رياضيدانان»، «جامعه‌ي رياضي اروپا» (EMS)،‌ و ساير نهادهاي بين‌المللي علوم رياضي، اين جايزه هر ساله به يك يا چند رياضيدان برجسته اهدا مي‌شود.

در مراسم بزرگداشتي كه به نام «آبل» در سال 1281 (1902 ميلادي) و به‌مناسبت صدمين سالگرد تولد وي برگزار گرديد قرار بر انجام سه كار مهم شد:
- برگزاري يك مراسم بزرگداشت بزرگ و بين‌المللي.
- ايجاد بناي يادبودي كه سزاور يكي از بزرگ‌ترين نابغه‌هاي نروژ باشد.
- بنا نهادن يك جايزه‌ي ساليانه كه به رياصيدانان اهدا گردد.

دو مورد اول انجام شد ولي همان‌طور كه گفته شد به‌دليل جدا شدن سوئد و نروژ، امر سوم به نتيجه نرسيد؛ چرا كه نروژ قدرت مالي انجام اين كار را نداشت.

سال 1379 (2000 ميلادي) به پيشنهاد «اتحاديه‌ي بين‌المللي رياضي» و حمايت «يونسكو»، «سال رياضيات» ناميده شد و سال 1381 (2002 ميلادي) دويستمين سالگرد تولد «آبل» بود.

دوستداران «آبل» و رياضيات پيشنهاد خود را به دولت نروژ براي «جايزه‌ي آبل» ارائه دادند و در اوا شهريور 1380 (23 آگوست 2001 ميلادي)، «ينس اشتولتنبرگ» (Jens Stoltenberg) نخست‌وزير وقت نروژ در طي يك سخنراني به‌طور رسمي پايه‌گزاري جايزه‌ي ساليانه‌ي رياضي با عنوان «آبل» را با يك قرن تأخير اعلام كرد.

سرمايه‌ي اوليه‌ي اين بنياد مبلغ 200،000،000 كرون نروژ‌ معادل 23،000،000 دلار امريكا بود. ارزش مادي آخرين «جايزه‌ي آبل» - كه در سال 1386 (2007 ميلادي) اهدا شد 6،000،000 كرون نروژ معادل 875،000 دلار امريكا و 710،000 يورو بود.

برندگان «جايزه‌ي ابل» در سال 1386 (2007 ميلادي)
برندگان جايزه‌ي آبل از ابتدا تا سال 1386 (2007 ميلادي) به‌قرار ذيل است:



سال 2003 - «ژان پير سِر» از «كلژدوفرانس»
Jean-pierre Serre
College de France

به‌دليل نقش كليدي در شكل‌دهي فرم مدرن در بسياري از شاخه‌هاي رياضي از جمله: توپولوژي، هندسه‌ي جبري و نظريه‌ي اعداد

سال 2004 - «مايكل آتيا» از «دانشگاه ادينبورگ» و «ايزادور سينگر» از «دانشگاه ام. اي. تي»
Michael F. Atiyah
University of Edinburgh
Isadore M. Singer
MIT

براي كشف و اثبات «قضيه‌ي انديس» (Index Theorem)‌ در ساير شاخه‌هاي توپولوژي، هندسه و آناليز و هم‌چنين نقش مهم در ايجاد پل جديد ميان رياضي و فيزيك نظري.

سال 2005 - «پيتر لكس» از «انستيتوي علوم رياضي كورانت»
Peter D. Lax
‍Courant Institute of Mathematical Sciences

براي سهم غير قابل انكارش در نظريه و كاربرهاي معادله‌هاي ديفرانسيل با مشتقات جزيي (Partial Differential Equations) و نيز محاسبه جواب‌هاي آن

سال 2006 - «لنارت كارلسون» از «انستيتوي سلطنتي تكنولوژي سوئد»
Lennart Carleson
Royal Institute of Technology, Sweden

براي سهم عميق و اصيلش در «آناليز هارمونيك» (Harmonic Analysis) ‌و «نظريه‌ي سيستم‌هاي ديناميكي هموار» (Smooth Dynamical Systems)

سال 2007 - «سرينيواسا واراژان» از «انستيتوي علوم رياضي كورانت»
S. R. Srinivasa Varadhan
‍Courant Institute of Mathematical Sciences

به‌دليل سهم وي در احتمالات به‌ويژه ساخت يك نظريه‌ي جامع در مورد انحراف‌هاي بزرگ




كتاب‌هاي شخصي آبل

نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 8:11 قبل از ظهر |  لینک ثابت   • 

جمعه 27 دی1387

كشف راز ترازو

نسرين و پدرش براي خريد ميوه به ميوه‌فروشي رفتند. آقاي مغازه‌دار مقداري ميوه را داخل كيسه ي پلاستيكي ريخت و آن را روي يك كفه‌ي ترازو قرار داد. سپس در كفه‌ي ديگر ترازو چند وزنه قرار داد. زماني كه تعداد وزنه‌ها را تغيير مي‌داد كفه‌هاي ترازو بالا و پايين مي‌رفتند. آقاي مغازه‌دار آن قدر وزنه‌ها را تغيير داد تا بالاخره دو كفه ي ترازو با يكديگر برابر شدند. نسرين با تعجب به ترازو نگاه كرد و از پدرش پرسيد: «پدر! چرا وقتي كه دو كفه‌ي ترازو بالا و پايين مي‌روند، ميوه‌ها از كفه ي ترازو بيرون نمي‌افتند؟» پدر لبخندي زد و گفت:« به شكل ترازو خوب نگاه كن!» سپس شكل ترازو را روي كاغذ كشيد و اين طور ادامه داد:

 

دو كفه ي ترازو بر ميله‌هايي كه به‌ آن‌ها متصل شده‌اند، عمودند. به نظر تو شكل (الف ب ج د) چه شكلي است؟ نسرين جواب داد:« ضلع هاي روبه‌روي اين چهار ضلعي با هم موازي (و مساوي) هستند پس (الف ب ج د) يك متوازي‌الاضلاع است.» پدر گفت:«آفرين! وقتي جسمي را داخل يك كفه ي ترازو قرار مي‌دهيم و داخل كفه ي ديگر،وزنه‌ها را تغيير مي‌دهيم، دو كفه بالا و پايين مي‌روند. اما دو ميله‌ي (الف ب) و (ج د) [كه دو ضلع روبه‌روي متوازي‌الاضلاع هستند] با پاره‌خط (م ن) موازي هستند.["م" وسط (الف د) و "ن" وسط (ب ج) است.] و پاره‌خط (م ن) هم هميشه بر سطح زمين عمود است. پس (الف ب) و (ج د) هميشه بر سطح زمين عمود هستند. قبلاً گفتم كه دو كفه‌ي ترازو هم بر دو ميله‌ي (الف ب) و (ج د) عمودند.بنابراين دو كفه‌ي ترازو هميشه در حالت افقي باقي مي‌مانند و هر چقدر هم كه ترازو بالا و پايين برود، جسم از داخل كفه ي ترازو بيرون نمي‌افتد. حالا بگو ببينم اگر به جاي ميوه يك ظرف آب داخل ترازو باشد چه اتفاقي مي‌افتد؟ نسرين كه راز ترازو را كشف كرده بود،جواب داد:«خاصيت متوازي ‌الاضلاع در ترازو كمك مي كند با بالا و پايين رفتن كفه ها، آب نريزد چون دو كفه‌ي ترازو هميشه در حالت افقي هستند.»



منبع: كتاب هندسه‌ي دلپذير

نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 10:1 بعد از ظهر |  لینک ثابت   • 

جمعه 27 دی1387

نگارش رمزي

شايد تا حالا خيلي سعي كرده‌ايد كه با دوستانتان با رمز حرف بزنيد يا يك خطي مثل خط ميخي را براي خودتان اختراع كنيد كه هيچ كس از عهده‌ي خواندن آن برنيايد.در اين جا يك روش خيلي ساده براي رمز‌ نگاري را توضيح مي‌دهيم.  

فرض كنيد مي‌خواهيد جمله‌ي «بعد از كلاس مي‌بينمت» را با رمز براي دوستتان بفرستيد تا يك قرار مهم را يادآوري كنيد.
قبل از شروع هر كاري حروف الفبا را روي يك تكه كاغذ بنويسيد و آن ها را از 1 تا 32 شماره گذاري كنيد :

 

قبل از هر چيز ، نياز به يك كلمه ي كليد داريد. فرض كنيد «سلام» كليد رمز شما باشد. گام بعدي ، تبديل كردن كلمه ي كليد به عدد است. «س» پانزدهمين ، «ل» بيست‌و هفتمين ، «الف» اولين و «م» بيست و هشتمين حروف الفبا هستند . پس كلمه‌ي كليد ما به اين صورت درمي ‌آيد:.

حالا سراغ جمله‌ي موردنظر مي‌رويم. 15 اولين عدد كلمه ي كليد و اولين حرف جمله‌ ب=2 مي باشد ، چون ص=17=15+2، پس به جاي "ب" ، "ص" را مي نويسيم . 27 دومين عدد كلمه ي كليد و دومين حرف جمله ع=21 مي باشد،چون 48=21+27 از 32 بيش تر است،پس به جاي "ع" ،ش= 16=32-48را مي نويسيم . 1سومين عدد كلمه‌ي كليد و سومين حرف جمله د=10 مي باشد ، چون ذ= 11=10+1، پس به جاي "د" ، "ذ" را مي نويسيم . به همين ترتيب به جاي "الف" ، "ن" را مي نويسيم . حالا كه به انتهاي واژه‌ي كليدي رسيديم، دوباره از اول شروع مي‌كنيم و بقيه ي حرف‌ها را با استفاده از كليد جابه‌جا مي‌كنيم. سرانجام ، جمله‌ ي موردنظر «بعد از كلاس مي‌بينمت» با كلمه‌ي كليد «سلام» به جمله‌ي رمزي:«صشذ نم ظمنو فاوسقني »تبديل مي‌شود.دوست شما با داشتن كليد مي‌تواند جمله‌ي رمزي را به ترتيب زير رمزگشايي كند :
اولين حرف جمله ي رمزي : ص=17 و اولين حرف كليد : س=15 مي باشد ، چون ب= 2=15-17 پس اولين حرف جمله "ب" مي باشد كه همين طور است . دومين حرف جمله ي رمزي : ش=16 و دومين حرف كليد : ل=27 مي باشد ، چون نمي توان از 16 واحد 27 واحد برداشت پس به ترتيب زير عمل مي كنيم :ع= 21=27-16+32 (توجه كنيد كه در رمز كردن جمله ،اگر حاصل از 32 بيش تر مي شد ، 32 واحد از آن كم مي كرديم و در رمز گشايي اگر عمل تفريق امكان پذير نبود، 32 واحد به آن اضافه مي كنيم .) اگر اين روند را ادامه دهيم جمله ي ما رمز گشايي مي شود .

نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 9:59 بعد از ظهر |  لینک ثابت   • 

چهارشنبه 25 دی1387

اعداد كوچك

در دنياي اطراف ما پديده‌هاي بسياري وجود دارند كه با اعداد بسيار كوچك بيان مي‌شوند. نظير شعاع الكترون. اكثر ما، در مورد اين اعداد،تصور درستي نداريم.(توجه داشته باشيد كه اندازه‌ي الكترون خيلي كوچك‌تر از تصورات ماست. اگر بخواهيم آن را با ذرات غبار مقايسه كنيم، مانند اين است كه بخواهيم ذرات غبار را با كره‌ي زمين مقايسه كنيم.)

به عنوان مثال به  ثانيه فكر كنيد. حتماً آن را كوچك‌تر از آن مي‌دانيد كه اتفاق مهمي در طول آن بيفتد. ولي در همين مدت بسيار كوتاه، اتفاقات جالب بسياري رخ مي‌دهند:قطار عادي كه در هر ساعت 36 كيلومتر سرعت دارد، در 001/0 ثانيه ، 1سانتي‌متر جلو مي‌رود، هواپيما هم در 001/0 ثانيه، 10 سانتي‌متر حركت مي‌كند. در اين مدت صدا 33 سانتي‌متر و گلوله 70 سانتي‌متر را پشت سر مي‌گذارند. زمين در اين مدت 30 متر حركت مي‌كند.

 

زمان رسيدن برق براي روشن شدن لامپ،از وقتي كه كليد آن ‌را فشار مي‌دهيد خيلي كم تر از يك ميلي ثانيه است و در اين مدت،كيلومترها جلو مي‌رود. با نمونه‌هايي كه بيان شد،ديگر اين جز كوچك زمان،غير قابل اعتنا نيست.اكنون پا را از "ميلي" فراتر گذاشته و به "ميكرو" مي‌رسيم يعني  . در طول يك ميكرو ثانيه نيز مي‌تواند اتفاقات بسياري بيفتد،مثلا" اين كه نور در طول اين زمان بسيار ناچيز، 300 متر جلو مي‌رود و همين مطلب،ميكرو ثانيه را به زماني "قابل توجه" تبديل مي كند.

منبع:كتاب در پي فيثاغورث

نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 9:56 بعد از ظهر |  لینک ثابت   • 

دوشنبه 23 دی1387

جوايز بين‌المللي رياضي

 

 

آيا تاكنون با خود انديشيده‌ايد كه چرا جايزه‌ي نوبل به رياضي تعلق نمي‌گيرد و آيا تاكنون رياضي‌دانان موفق به دريافت اين جايزه شده‌اند؟

جوايز بين‌المللي رياضي


اگر در اين مدت چند سال كه از فعاليت سرويس المپياد رياضي مي‌گذرد،‌ به مرور به بخش اخبار سر زده باشيد حتما متوجه شده‌ايد كه بخش زيادي از اخبار در مورد جوايز رياضي است، جوايزي كه معمولا نام آنها براي شما نا‌آشنا مي‌باشد. مثلا كمتر از يك ماه پيش جايزه‌ي يك ميليون دلاري شاو به لنگ‌لندز و تيلور اهدا شد. آيا مي‌دانيد اين جايزه‌ي گران‌قيمت به چه كساني اهدا مي‌شود و آيا تيلور و لنگ‌لندز كه بوده‌اند كه استحقاق دريافت اين جايزه را داشته‌اند؟

حدود يك ماه پيش پادشاه نروژ جايزه‌اي با عنوان ابل را به واراژان اهدا كرد. آيا با ابل آشنا هستيد؟

چند ماه پيش در كشور اسپانيا و در جريان كنفرانس بين‌المللي رياضيات يك جوان سي ساله‌ي استراليايي به نام ترنس تائو جايزه‌ي فيلدز را كسب كرد و پرلمان روسي كه او هم نامش جزء ليست برندگان بود از دريافت جايزه‌ي باارزشش سر باز زد.

آيا تاكنون با خود انديشيده‌ايد كه چرا جايزه‌ي نوبل به رياضي تعلق نمي‌گيرد و آيا تاكنون رياضي‌دانان موفق به دريافت اين جايزه شده‌اند؟

اين موارد و نيز جوايز ديگر را ما در اين چند سال در بخش اخبار سعي كرده‌ايم به اطلاع شما برسانيم، و هر بار نيز مختصري در مورد آن جايزه و تاريخچه‌اش نوشته‌ايم، با اين حال بر آن شدم كه زنگ تفريح اين هفته را به اين مساله اختصاص دهم. البته قبل از سخن گفتن در مورد ساير جوايز مربوط به رياضي، مختصري در مورد نوبل برايتان خواهم گفت.

جايزه‌ي نوبل


آلفرد نوبل يك شيمي‌دان بود و به دنبال اكتشاف‌هاي مفيد و صنعتي. البته او موفق به انجام اين امر شد: اختراع ديناميت. اختراع او از مهتمرين اختراعات تاريخ است، البته آلفرد اميدوار بود كه اهميت اختراعش در صنعت و راه‌سازي خلاصه گردد، ولي متاسفانه اختراع وي از جنبه‌ي ديگري اهميت يافت: ساخت اسلحه. حكومت‌ها از اختراع آلفرد نهايت سوء‌استفاده را بردند، جنگ‌ها عوض شدند و انسان‌هاي بي‌گناه راحت‌تر كشته مي‌شدند. اين موضوع آلفرد را كه انسان ثروتمندي بود بر آن داشت كه وصيت كند بنيادي را تاسيس كنند تا هر ساله به يك پيشرو صلح و همچنين دانشمنداني كه فعاليت آنها كمكي به صلح بشري كند جايزه‌اي اهدا شود كه از ارزش مادي بالايي برخوردار باشد.

بنياد نوبل در سال 1900 و با شروع قرن بيستم تاسيس شد، قرني كه بيش از همه چيز به جنگ‌هاي جهاني و سرد معروف است. متاسفانه صد سال ابتدايي بنياد نوبل دنياي صلح‌آميز روزگار چندان درخشاني نداشت...

سال 1901 اولين سري از جوايز نوبل اهدا شد. رشته‌هايي كه شامل اين جايزه مي‌شدند عبارتند از : صلح، ادبيات، فيزيك، شيمي و فيزيولوژي. در سال 1968 به پيشنهاد بانك مركزي سوئد رشته‌ي اقتصاد نيز به پنج رشته‌ي مذكور اضافه گرديد و اولين جايزه در اين رشته نيز در سال 1969 اهدا گرديد.

همه‌ي ما معمولا از دوران كودكي با جايزه‌ي نوبل آشنا هستيم و رسانه‌ها هرساله اخبار مربوط به آن را پوشش مي‌دهند. اما نكته‌اي كه هميشه مورد پرسش قرار گرفته و پاسخ دقيقي به آن داده نشده است اين است كه چرا نوبل براي رياضيات جايزه‌اي را در نظر نگرفت؟

پاسخ‌ها و داستان‌هاي گوناگوني در اين‌ باره شنيده شده.

مثلا ادعايي (داستاني) كه زياد شنيده شده اين است كه نوبل نامزدي داشته كه متاسفانه معشوقه‌ي آلفرد با يك رياضيدان ازدواج مي‌كند و آلفرد براي هميشه از هر آنچه به رياضيات مربوط مي‌شده بيزار مي‌شود و اين‌گونه انتقام خود را از جامعه‌ي رياضي مي‌گيرد!!!

اما همانطور كه گفتيم اين مساله داستان و خيالي بيش نيست و رسانه‌هاي آن زمان براي فروش مطبوعه‌ي خود جعل كرده‌اند.

آنچه كه بيشتر مورد قبول دانشمندان و تاريخ‌نويسان علم بوده، نا‌آگاه بودن نوبل از نقش رياضيات محض در علوم است. در سال‌هايي كه نوبل مي‌زيسته، رياضيات نقش مستقيم چنداني در علم شيمي و صنعت ايفا نمي‌كرده و علم فيزيك نيز پيوند چنداني با شيمي نداشته. شيمي‌دانان آن دوره بيشتر به كمك آزمون و خطا در آزمايشگاه‌ها به اختراع و اكتشاف مي‌پرداختند و از رياضيات تنها به عنوان يك ابزار ساده كه تنها شامل چهار عمل اصلي مي‌شده استفاده مي‌كردند و لذا آشنا نبودن نوبل با اهميت و گستردگي رياضيات و نقش آن در فيزيك و زيست‌شناسي و ساير علوم وي را به فكر جايزه‌ي نوبل رياضيات نينداخت.

اكنون با مقدمه‌اي كه در بالا آورديم به معرفي چند جايزه‌ي بين‌المللي شاخص رياضيات مي‌پردازيم. جايزه‌هايي به نام‌هاي فيلدز،‌ ابل، كلي، شاو و كليفورد.




تصوير روي مدال نوبل





آلفرد نوبل

جايزه فيلدز


شرط سني پايين‌تر از 40 سال، هر چهار سال يك بار


اينها مشخصه‌هاي اصلي جايزه‌ي فيلدز هستند. شرايطي كه كسب جايزه‌ي فيلدز را به آساني براي هر كس ميسر نمي‌سازد.

در سال 1924 كنگره‌ي بين‌المللي رياضي - كه هر 4 سال يك بار در يكي از كشورهاي جهان و از طرف اتحاديه‌ي بين‌المللي رياضي (IMU) برگزار مي‌گردد – در تورنتو كشور كانادا برگزار گرديد. در اين كنگره رياضي‌دانان تصميم گرفتند به دستاوردهاي برجسته‌ي رياضيات دو مدال طلا اهدا گردد. دبير اين كنگره پروفسور جان چارلز فيلدز ( John Charles Fields )، بودجه‌ي لازم را براي بنيان نهادن اين جايزه اهدا كرد و براي نخستين بار در سال 1936 اين جايزه به دو رياضي‌دان اهدا گرديد. جايزه‌ي فيلدز به نسبت ساير جوايز علمي از جمله ابل و نوبل داراي ارزش مادي بالايي نيست و در سال 2006 اين جايزه مبلغ 15000 دلار كانادا بود. با اين‌ حال ارزش معنوي اين جايزه به قدري بالاست كه از سال 1936 رياضي‌دانان تراز اول جهان را با كسب اين جايزه مي‌شناسند. از سال 1956 اين جايزه مي‌تواند به چهار نفر از رياضي‌دانان برجسته تعلق مي‌گيرد.

تصاوير رو و پشت مدال فيلدز:

در روي اين مدال علاوه بر عكس ارشميدس به همراه نامش (  )، جمله‌ي زير حك گشته است:

 

TRANSIRE SUUM PECTUS MUNDOQUE POTIRI



در پشت اين مدال نوشته شده است:
 

CONGREGATI
EX TOTO ORBE
MATHEMATICI
OB SCRIPTA INSIGNIA
TRIBUERE


معناي اين جمله در فارسي چنين است:

" رياضي‌دانان سراسر جهان به اتفاق اين جايزه را تقديم مي‌دارند، به دليل آثار برجسته. "

همچنين در پشت اين نوشته تصويري از يك شاخه‌ي زيتون است و در پشت شاخه‌ي زيتون تصويري از يك كره است كه در يك استوانه با ارتفاع و قطر قاعده‌اي برابر قطر كره محاط گشته است. ارشميدس اثبات كرده بود كه اين كره حجمق دقيقا برابر دو سوم حجم كره و نيز مساحتي برابر دو سوم مساحت استوانه را دارد.


پروفسور جان چارلز فيلدز


لوگوي اتحاديه‌ي بين‌المللي رياضي



برندگان جايزه‌ي فيلدز از ابتدا تا كنون به قرار زيرند:
2006: آندره اُكنكوف (Andrei Okounkov) از روسيه، گريگوري پرلمان (Grigori Perelman) از روسيه،‌ ترنس تائو (Terence Tao) از استراليا، وندلين ورنر (Wendelin Werner) از فرانسه.
2002: لوران لافورژ (Laurent Lafforgue) از فرانسه، ولادمير وودفسكي (Vladimir Voevodsky) از روسيه.
1998: ريچارد اوان بورچردز (Richard Ewen Borcherds) از انگلستان،ويليام تيموتي گاورز (William Timothy Gowers) از انگلستان،‌ ماكسيم كنتسويچ (Maxim Kontsevich) از روسيه و كورتيس مك‌مولن (Curtis T. McMullen)‌ از امريكا.
1994: اِفيم ايزاكويچ زِلمانوف (Efim Isakovich Zelmanov) از روسيه، پيرلويي ليونز (Pierre-Louis Lions) از فرانسه، ژان بورگن (Jean Bourgain)‌ از بلژيك و ژان‌كريستف يوكوز (Jean-Christophe Yoccoz)‌ از فرانسه.
1990: ولاديمير درينفيلد (Vladimir Drinfeld) از شوروي سابق،‌ وگان فردريك راندال جونز (Vaughan Frederick Randal Jones)‌ از زلاندنو، شيگ‌فومي موري (Shigefumi Mori) از ژاپن،‌ ادوارد ويتن (Edward Witten) از امريكا.
1986: سيمون دونالدسون (Simon Donaldson)‌ از انگلستان، گِرِد فالتينگز (Gerd Faltings) آلمان، مايكل فريدمن (Michael Freedman) از امريكا.
1982: آلن كونز (Alain Connes) از فرانسه،‌ ويليام تورستن (William Thurston) از امريكا، شينگ تونگ ياو (Shing-Tung Yau) از چين.
1978: پير دلن (Pierre Deligne) از بلژيك، چارلز فِفِرمن (Charles Fefferman) از امريكا، گريگوري مارگوليس (Grigory Margulis) از شوروي سابق، دانيل كوييلِن (Daniel Quillen) از امريكا.
1974: انريكو بُمبيري (Enrico Bombieri) از ايتاليا، ديويد مامفرد (David Mumford) از امريكا.
1970: الن بيكر (Alan Baker) از انگلستان، هيه‌شوكي هيروناكا (Heisuke Hironaka) از ژاپن، سرگئي پترويچ نويكوف (Sergei Petrovich Novikov)‌ از شوروي سابق، جان گريگز تامپسون (John Griggs Thompson) از امريكا.

1966: مايكل اتيا (Michael Atiyah) از انگلستان، پل جوزف كوهن (Paul Joseph Cohen) از امريكا، الكساندر گروتنديك (Alexander Grothendieck) از فرانسه و استفان اسمِيل (Stephen Smale) از امريكا.

1962: لارس هرماندر (Lars Hörmander) از سوئد و جان ميلنُر (John Milnor) از امريكا.

1958: كلاوس رخ (Klaus Roth) از امريكا و رنه توم (René Thom)‌ از فرانسه.

1954: كني‌هيكو كُدايرا (Kunihiko Kodaira) از ژاپن، ژان‌پير سِر (Jean-Pierre Serre)‌ از فرانسه.

1950: لوران شوارتز (Laurent Schwartz) از فرانسه و اتل سلبرگ (Atle Selberg) از نروژ.

1936: لارس آلفورث (Lars Ahlfors) از فنلاند و جس داگلاس (Jesse Douglas) از امريكا.

وب‌سايت رسمي جايزه‌ي فيلدز:             http://www.mathunion.org/medals/Fields   

نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 8:8 قبل از ظهر |  لینک ثابت   • 

دوشنبه 23 دی1387

قضيه‌ي زاويه‌ي بين دو خط سيمسون

 

قضيه‌ي زاويه‌ي بين دو خط سيمسون

براي مشاهده‌ي انيميشن  كليك فرماييد.

نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 8:0 قبل از ظهر |  لینک ثابت   • 

یکشنبه 22 دی1387

شكل كف پوش ها

آيا تا به حال هنگام راه رفتن در تالارها و سرسراها نگاهي به كف‌پوش‌هاي زير پاي خود انداخته‌ايد؟شكل اين كف پوش ها مي تواند موضوع جالبي براي بررسي باشد.معمولا" در اين مورد با مثلث متساوي الاضلاع،مربع،شش ضلعي منتظم،هشت ضلعي منتظم و دوازده ضلعي منتظم سر و كار داريم. 

در اين جا موضوع مورد بحث اين است كه چگونه مي توان در اطراف يك نقطه،با چند ضلعي هاي منتظم مختلف،سطح صفحه را بدون وجود شكاف و فاصله پوشاند؟ 

نمونه‌هايي كه اغلب در مجموعه‌هاي تركيبي كف‌پوش‌ها،از آن ها استفاده مي شوند به شرح زير هستند:
تركيبي از: مثلث و شش ضلعي (شكل الف)، مربع و هشت‌ضلعي (شكل ب)، مثلث و مربع (شكل ج)،مثلث، مربع و شش ضلعي (شكل د). 

 

شكل الف 

 

 شكل ب

 

 شكل ج

 

شكل د 


تمرين: سعي كنيد طرح هاي ديگري براي كف پوش ها ارائه كنيد.


منبع: در پي فيثاغورث

نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 9:53 بعد از ظهر |  لینک ثابت   • 

دوشنبه 2 دی1387

نامساوي‌ها‌ در ميانگين‌هاي حسابي و هندسي

نامساوي‌ها‌ در متوسط‌هاي حسابي و هندسي

مقدمه

در اين زنگ تفريح با كمك شما بنا داريم قضيه‌ها و روش‌ها بسياري را در زمينه‌ي «نامساوي‌ها» مطرح كنيم كه مي‌تواند براي حل مسائلي كاربرد داشته باشد كه معمولاً در المپيادهاي رياضي يا رقابت‌هاي كشوري مطرح مي‌شود.

بسياري از مسائل در زمينه‌ي نامساوي‌ها از اين قضايا برگرفته شده است. مي‌خواهيم از كمك شما نيز بهره بگيريم لذا سعي مي‌كنيم مطالب را از ساده به مشكل براي‌تان طرح كنيم. هم‌چنين منتظريم كه اشكال‌ مطالب را به ما گوشزد كرده مطالب مفيد ديگري از اين مبحث را به دوستان‌تان منتقل كنيد.

در قسمت پيشين، ضمن ارائه‌ي تعاريفي از توابع «محدب» و «مقعر»، به‌طور خلاصه قضاياي ذيل را در نامساوي‌ها مطرح كرديم:

- قضيه‌ي «ينسن» (Jensen)

- قضيه‌ي «ميانگين تواني وزن‌دار» (Weighted Power Mean)

- قضيه‌ي «هولدر» (Holder)

- قضيه‌ي «كوشي» (Cauchy)

- قضيه‌ي «آرايش مجدد» (Rearrangement)

- قضيه‌ي «چبيشف» (Chebyshev)

- قضيه‌ي «شور» (Schur).

در قسمت دوم از اين مبحث، هفت قضيه‌ي اساسي و كاربردي در حل مسائل نامساوي‌ها با عناوين ذيل مطرح مي‌شود:

- قضيه‌ي «نيوتن» (Newton)

- قضيه‌ي «مك لورن» (Maclaurin)

- قضيه‌ي «ترتيب ماجورايزيشن» (Majorization)

- قضيه‌ي «پوپوويچيو» (Popoviciu)
- قضيه‌ي «برنولي» (Bernoulli)

- قضيه‌ي «مورهد» (Muirhead)

در پايان نيز سه سؤال در كاربرد برخي از اين قضايا همراه با پاسخ تشريحي مطرح خواهيم كرد.

 

قضيه‌ي «نيوتن» (Newton)

فرض كنيد  اعداد حقيقي غيرمنفي باشند. چندجمله‌اي‌هاي متقارن را به‌گونه‌اي تعريف كنيد كه داشته باشيم:




(رابطه‌ي 1)

هم‌چنين ‌را به‌عنوان «ميانگين متقارن» (Symmetric Average) به‌صورت ذيل تعريف كنيد:




(رابطه‌ي 2)

در اين‌صورت نامساوي ذيل صادق خواهد بود:


(رابطه‌ي 3)

قضيه‌ي «مك لورن» (Maclaurin)

فرض كنيد  اعداد حقيقي غيرمنفي باشند. چندجمله‌اي‌هاي متقارن  را به‌گونه‌اي تعريف كنيد كه داشته باشيم:



(رابطه‌ي 1)

هم‌چنين  را به‌عنوان «ميانگين متقارن» (Symmetric Average) به‌صورت ذيل تعريف كنيد:




(رابطه‌ي 4)

در اين‌صورت نامساوي ذيل صادق خواهد بود:



(رابطه‌ي 5)

قضيه‌ي «ترتيب ماجورايزيشن» (Majorization)

فرض كنيد تابع يك «تابع محدب» بر روي دامنه‌ي ‌باشد. هم‌چنين دنباله‌ي  نسبت به ترتيب (Majorization) از دنباله‌ي  بزرگ‌تر باشد كه در آن:  است.

در اين‌صورت نامساوي ذيل برقرار است:


(رابطه‌ي 6)

 

قضيه‌ي «پوپوويچيو» (Popoviciu)

فرض كنيدتابع   يك «تابع محدب» بر روي دامنه‌ي ‌باشد. هم‌چنين فرض كنيد: .

در اين‌صورت براي هر عدد حقيقي و مثبت داريم:






(رابطه‌ي 7)

قضيه‌ي «برنولي» (Bernoulli)

براي هر و  رابطه‌ي ذيل برقرار است:



(رابطه‌ي 8)

«راب ج. مورهد»
(Robb J. Muirhead)

قضيه‌ي «مورهد» (Muirhead)

فرض كنيد دنباله‌ي  نسبت به  ترتيب (Majorization) از دنباله‌ي  بزرگ‌تر باشد. در اين‌صورت براي هر عدد حقيقي مثبت  رابطه‌ي‌ ذيل برقرار است:




(رابطه‌ي 9)

كه در آن جمع‌ها  بر روي جايگشت‌هاي متغير اعمال مي‌شود.

ياداوري – اگرچه قضيه‌ي «مورهد» (Muirhead) قضيه‌اي مشهور است ولي معمولاً در جواب سؤال‌هاي المپيادها به‌عنوان قضيه‌اي شناخته‌شده پذيرفته نمي‌شود. اساساً ملاك دارا بودن بزرگ‌تري در ترتيب (Majorization) تضمين مي‌كند كه قضيه‌ي «مورهد» (Muirhead) مي‌تواند از كاربرد مناسب «نامساوي‌ها‌ در ميانگين‌هاي حسابي و هندسي» استنباط شود.

بنابراين هر زمان امكان داشته باشد فقط براي تضمين صحت روابط مي‌توانيد از قضيه‌ي «مورهد» (Muirhead) استفاده كنيد ولي بايد همه‌ي موارد لازم در زمينه‌ي «نامساوي‌ در ميانگين‌هاي حسابي و هندسي» بهره ببريد.

حل مسأله با مثال

همه‌ي ما مي‌دانيم براي حل هر نوع مسأله بايد هميشه ابتدا بايد به‌دنبال راه‌حل‌هاي نسبتاً آسان باشيم و تنها بعد از آن است كه به‌سراغ راه‌حل‌هاي متوسط و سخت مي‌رويم. از طرف ديگر به‌وضوح مي‌توان مشاهده كرد كه «سختي» مسأله براي افراد مختلف، متفاوت است.

معمولاً در نامساوي‌ها به‌ترتيب بايد از قضاياي ذيل استفاده كنيم و سپس به‌سراغ راه‌حل‌هاي هوشمندانه‌تر برويم:

- «نامساوي‌ها‌ در متوسط‌هاي حسابي و هندسي» (AM-GM) (Arithmetic and Geometric Means)

- قضيه‌ي «كوشي» (Cauchy)

- قضيه‌ي «چبيشف» (Chebyshev) يا «آرايش مجدد» (Rearrangement)

- قضيه‌ي «ينسن» (Jensen)

- قضيه‌ي «هولدر» (Holder).

روش استفاده از «نامساوي‌ها‌ در ميانگين‌‌هاي حسابي و هندسي» را در ياداوري‌هاي بعد از مثال اول ذكر خواهيم كرد. نامساوي‌هاي ساده با استفاده از اين روش حل مي‌شوند. روش استفاده از قضاياي «ينسن» (Jensen) و «هولدر» (Holder) نياز به هوشياري بيش‌تري داشته سخت‌تر است. به‌خاطر آن‌كه عبارت‌هاي نامساوي طولاني بوده هوشياري بيش‌تري مي‌طلبد.

اكنون بياييم چند مسأله با هم حل كنيم:

سؤال 1

نشان دهيد براي اعداد حقيقي مثبت ،  و  رابطه‌ي ذيل برقرار است:



(رابطه‌ي 10)

جواب 1

 راه‌حل اول
با استفاده از «نامساوي‌ها‌ در متوسط‌هاي حسابي و هندسي» در عبارت‌هاي داخل پرانتز سمت چپ رابطه‌ي 10 بدين‌صورت به‌دست مي‌آيد:






(رابطه‌ي 11)


 راه‌حل دوم
با استفاده از قضيه‌ي «كوشي» (Cauchy) خواهيم داشت:





(رابطه‌ي 12)


 راه‌حل سوم
سمت چپ رابطه‌ي 10 را بسط داده با استفاده از «نامساوي‌ها‌ در ميانگين‌هاي حسابي و هندسي» خواهيم داشت:






(رابطه‌ي 13)

بايد توجه داشت كه قبلاً با استفاده از قضيه‌ي «مورهد» (Muirhead) به صحت رابطه‌ي 10 واقف بوديم به‌خاطر آن‌كه سه‌تايي مرتب‌هاي ،  و  همگي داراي برتري در ترتيب (Majorization) نسبت به سه‌تايي مرتب  هستند.

راهكار ضرب همه‌ي عبارت‌هاي چندجمله‌اي و به‌كار بردن «نامساوي‌ها‌ در ميانگين‌هاي حسابي و هندسي» به‌همراه اعمال قضيه‌ي «شور» (Schur) معمولاً راه‌حلي غيرهوشمندانه تلقي مي‌شود به‌خاطر آن‌كه تنها نيازمند صبر و حوصله در محاسبه‌ها و محاسبه‌ي حاصلضرب چندجمله‌اي و فاقد هوشمندي است.

همان‌طور كه بعداً نشان خواهيم داد روش‌هاي غيرهوشمندانه نيز روش‌هايي ارزشمند و مهم محسوب مي‌شوند. هم‌چنين بايد بگوييم كه اعمال «نامساوي‌ها‌ در ميانگين‌هاي حسابي و هندسي» بر روي همه‌ي عبارت‌هاي سمت چپ رابطه‌ي 10 يك راه‌حل ضعيف در حل نامساوي محسوب مي‌شود اما نتيجه ضريبي از  (يعني كوچك‌ترين درجه‌ي‌ چندجمله‌اي با سه متغير) خواهد بود.

هم‌چنين بايد توجه داشت كه استفاده از «نامساوي‌ها‌ در ميانگين‌هاي حسابي و هندسي» به‌تنهايي هميشه براي حل مسائل كافي نيست.

سؤال 2

فرض كنيد براي اعداد حقيقي مثبت ،  و رابطه‌ي ذيل برقرار است:


رابطه‌ي 14)

ثابت كنيد رابطه‌ي ذيل صادق است:


(رابطه‌ي 15)

جواب 2

ابتدا نامساوي را همگن (Homogenize) مي‌كنيم؛ يعني به‌گونه‌اي عمل مي‌كنيم كه همه‌ي عبارت‌ها داراي درجه‌ي يكساني باشند. اگر يك نامساوي يكنواخت بوده داراي درجه‌‌اي نظير:  و ضرايب آن را با  فاكتور بگيريم مي‌توان دو طرف نامساوي را به‌صورت مضربي از  نوشت.

البته اين كار زماني صحيح است كه براي مقادير مثبت و غير صفر  و عدد «زوج» نامساوي هم‌چنان برقرار باشد. بنابراين نياز به تغيير شكل ديگري در رابطه نداريم. در اين حالت طرف چپ رابطه را در  ضرب مي‌كنيم در اين صورت داريم:



(رابطه‌ي 16)

از آن‌جايي كه  رابطه‌اي ناهمگن است نامساوي بالا بايد براي هر عدد غيرمنفي  ،  و  برقرار باشد. هم‌چنين از آن‌جايي كه نسبت به ترتيب (Majorization) ازبزرگ‌تر است با استفاده از «نامساوي‌ها‌ در ميانگين‌هاي حسابي و هندسي» داريم:






(رابطه‌ي 17)

سؤال 3

فرض كنيد چندجمله‌اي با ضرايب مثبت باشد.

ثابت كنيد رابطه‌ي ذيل براي  و  برقرار است:



(رابطه‌ي 18)

جواب 3

فرض كنيد چندجمله‌اي از رابطه‌ي ذيل به‌دست آيد:



(رابطه‌ي 19)

ابتدا براي  بررسي مي‌كنيم:




(رابطه‌ي 20)






(رابطه‌ي 21)

با مقايسه‌ي رابطه‌هاي 21 و 22، رابطه‌ي 19 ثابت مي‌شود.

بنابراين راهكار طبيعي آن است كه و به‌طريقي در  ‌تركيب كنيم. بهترين راه، استفاده از قضيه‌ي «كوشي» (Cauchy) است يعني:







(رابطه‌ي 22)

بدين‌ترتيب مسأله ثابت شد.

اين راه‌حل، نمونه‌اي از كاربرد قضاياي «كوشي» (Cauchy) و «هولدر» (Holder) را نشان مي‌دهد.

نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 8:54 بعد از ظهر |  لینک ثابت   • 

پنجشنبه 28 آذر1387

نامساوي‌ها

نامساوي‌ها

توابع محدب و مقعر

مقدمه

در اين زنگ تفريح با كمك شما بنا داريم قضيه‌ها و روش‌هاي بسياري را در زمينه‌ي «نامساوي‌ها» مطرح كنيم كه مي‌تواند براي حل مسائلي كاربرد داشته باشد كه در المپيادهاي رياضي يا رقابت‌هاي كشوري مي‌تواند مطرح شود.

بسياري از مسائل در زمينه‌ي نامساوي‌ها از اين قضايا برگرفته شده است. مي‌خواهيم از كمك شما نيز بهره بگيريم لذا سعي مي‌كنيم مطالب را از ساده به مشكل براي‌تان طرح كنيم. هم‌چنين منتظريم كه اشكال‌ مطالب را به ما گوشزد كرده مطالب مفيد ديگري از اين مبحث را به دوستان‌تان منتقل كنيد.

توابع «محدب» (Convex) و «مقعر» (Concave)

از آن‌جايي كه از توابع «محدب» (Convex) و «مقعر» (Concave) براي بيان قضاياي مربوط به نامساوي‌ها استفاده مي‌كنيم لذا ابتدا به تعريف آن‌ها مي‌پردازيم.

فرض كنيد و به ترتيب در بازه‌هاي «بسته‌‌ي»  و «باز»تعريف شده باشند:

- اصطلاحاً گفته مي‌شود تابع  در «محدب» (Convex) است اگر و فقط اگر براي همه‌ي و  داشته باشيم:



(رابطه‌ي 1)

- به‌طور معكوس اگر و فقط اگر نامساوي هميشه در جهت مخالف باشد اصطلاحاً گفته مي‌شود تابع  در «مقعر» (Concave) است:



(رابطه‌ي 2)

 

«تقعر» و «تحدب» يك تابع را مي‌توان به‌گونه‌اي ديگر نيز تعريف كرد: اگر تابع  در بازه‌ي  پيوسته بوده و دوبار در بازه‌ي  مشتق‌پذير باشد:

- بر روي بازه‌ي «محدب» خواهد بود اگر و فقط اگر براي هر  داشته باشيم:



(رابطه‌ي 3)

 

- بر روي بازه‌ي  «مقعر» خواهد بود اگر و فقط اگر براي هر  داشته باشيم:



(رابطه‌ي 4)

دو دنباله‌ نظير ذيل از «اعداد حقيقي» را در نظر بگيريد:



اگر براي داشته باشيم:



(رابطه‌ي 5)

در اين صورت گفته مي‌شود دنباله‌ي  بر روي دنباله‌ي  نزولي است.

ياداوري – تساوي در رابطه‌ي 5 زماني محقق مي‌شود كه داشته باشيم:



(رابطه‌ي 6)

رابطه‌ي كلي و معادل اين تعريف آن است كه دنباله‌‌ي «اعداد حقيقي» بر روي دنباله‌ي  نزولي است اگر براي همه‌ي اعداد حقيقي  داشته باشيم:



(رابطه‌ي 7)


«يوهان لودويك ويليام ولاديمير ينسن»
(Johan Ludwig William Valdemar Jensen)

قضيه‌ي «ينسن» (Jensen)

فرض كنيد تابع تابعي «محدب» باشد. براي هر  هم‌چنين براي هر عدد حقيقي غيرمنفي نظير:  داريم:






(رابطه‌ي 8)

ياداوري - اگر تابع ‌ «مقعر» باشد جهت نامساوي عوض مي‌شود.

قضيه‌ي «ميانگين توان وزن‌دار» (Weighted Power Mean)

اگر ‌اعدادي حقيقي غيرمنفي بوده و  اعدادي حقيقي غيرمنفي باشد كه جمع آن مثبت است در اين‌صورت تابع ذيل از متغير  غيرنزولي خواهد بود:





(رابطه‌ي 9)

با اين قرارداد كه مقدار تابع ‌ در «ميانگين توان وزن‌دار» (Weighted Power Mean) است.

تابع  «اكيداً صعودي» است مگر همه‌ي مقادير كه برابر باشند هم‌چنين به‌استثناي مقاديري از  كه محتملاً در بازه‌ي  قرار دارند.

اگر بعضي از مقادير ‌برابر «صفر» باشند تابع  برابر «صفر» خواهد بود.

به‌خصوص وقتي رابطه‌ي ذيل برقرار باشد «نامساوي‌ها‌ در متوسط‌هاي حسابي و هندسي»  (AM-GM-HM) به‌دست خواهد آمد:

(رابطه‌ي 10)

 

«اتو لودويك هولدر»
(Otto Ludwig Hölder)

قضيه‌ي «هولدر» (Holder)

دنباله‌هايي را فرض كنيد كه شامل اعداد حقيقي غيرمنفي باشند:






هم‌چنين فرض كنيد  اعداد حقيقي باشند كه جمع‌شان برابر 1 است. در اين صورت نامساوي ذيل برقرار خواهد بود:




(رابطه‌ي 11)


 

«آگوستين لوييس كوشي»
(Augustin Louis Cauchy)

قضيه‌ي «كوشي» (Cauchy)

قضيه‌ي «كوشي» (Cauchy) همان قضيه‌ي «هولدر» (Holder) است با فرض وجود دو دنباله.

قضيه‌ي «آرايش مجدد» (Rearrangement)

فرض كنيد دو دنباله‌ي ذيل شامل اعداد حقيقي غيرنزولي باشند:



و



 

در اين صورت براي هر جايگشت  از  نامساوي‌هاي ذيل را خواهيم داشت:





(رابطه‌ي 12)

تساوي ذيل زماني برقرار است كه دنباله‌ي  به‌طور نسبي نزولي باشد:





(رابطه‌ي 13)

تساوي ذيل زماني برقرار است كه دنباله‌ي  به‌طور نسبي صعودي باشد:




(رابطه‌ي 14)


 

«پافنوتي لوويچ چبيشف»
(Pafnuty Lvovich Chebyshev)

قضيه‌ي «چبيشف» (Chebyshev)

فرض كنيد دو دنباله‌ي ذيل شامل اعداد حقيقي غيرنزولي باشند:



و



در اين‌صورت نامساوي‌هاي ذيل برقرار خواهد بود:


(رابطه‌ي 15)


«آيسايي شور»
(Issai Schur)

قضيه‌ي «شور» (Schur)

فرض كنيد ،  و  اعدادي غيرمنفي بوده و داشته باشيم:



(رابطه‌ي 16)

در اين‌صورت نامساوي ذيل برقرار خواهد بود:




(رابطه‌ي 17)

تساوي در رابطه‌ي 17 زماني برقرار خواهد بود كه اگر و فقط اگر يكي از دو وضعيت ذيل را داشته باشيم:

-
يا
- بعضي از مقادير ‌برابر بوده يا با برابر صفر باشد.

ياداوري – از آن‌جايي كه قضيه‌ي «شور» (Schur) به اين شكلي كه بيان شد شناخته شده نيست لذا هر موقع از اين قضيه استفاده مي‌كنيد حتماً بايد آن را اثبات نيز بكنيد.

نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 8:47 بعد از ظهر |  لینک ثابت   • 

دوشنبه 25 آذر1387

نامساوي‌ها در مثلث

قضيه‌ي هينگه

شما پس از مطالعه‌ي اين قسمت قادر به‌انجام امور ذيل خواهید بود:

 

- تخميني از مبحث «نامساوي در مثلث‌ها» به‌دست آورید.

 

- رابطه‌ي بين مجموع دو ضلع مثلث را با ضلع سوم آن بيابید.

 

- رابطه‌ي بين بزرگ‌ترين ضلع و بزرگ‌ترين زاويه‌ي مثلث را پيدا كنید.

 

- مسائل تئوري و عملي را با استفاده از «نامساوي‌ها در مثلث» حل كنید.


مقدمه

يكي از مهم‌ترين نامساوي‌ها در رياضي، «نامساوي‌ها در مثلث» است. «نامساوي در مثلث» از يك نگاه عام بر روي فاصله بين نقاط متمركز بوده و عبارت است از اين‌كه خط مستقيم بين نقاط  و  از جمع فواصل نقطه‌ي  تا  و تا از هر مسيري كم‌تر است. اين امر بديهي بخشي از به‌اصطلاح بينش روزانه‌ي ما است و يادگيري آن ساده بوده اما در عين حال بسيار كاربردي است.

گاهي وقتي سخن از «نامساوي‌ها در مثلث» مي‌آيد به‌ياد نامساوي مربوط به اضلاع و زواياي مثلث نظير موارد ذيل مي‌افتيم:

- در هر مثلث، ضلع روبه‌رو به زاويه‌ي بزرگ‌تر از ضلع روبه‌رو به زاويه‌ي كوچك‌تر داراي بزرگي بيش‌تري است

- در هر مثلث، مجموع هر دو ضلع از اندازه‌ي ضلع ديگر بزرگ‌تر است.

- اندازه‌ي تفاضل دو ضلع در هر مثلث از ضلع سوم كوچك‌تر است.

- و ...

در اين زنگ تفريح ضمن بيان روابط رياضي مربوط به نامساوي‌هاي ذكر شده در مثلث (همراه با ذكر قضيه‌هاي مربوط) به بيان يك «نامساوي بزرگ‌تر در مثلث!» هم مي‌پردازيم.

در پايان از يكي از محققان رياضي و طراحان سؤال‌هاي المپياد جهاني رياضي سخن خواهيم گفت.







فاصله‌ها در اعداد حقيقي
با فرض  و  به‌عنوان اعدادي حقيقي،  بيانگر عدد مربوط به فاصله بين دو نقطه‌ي  و  است؛ بنابراين دو حالت ممكن است:

- اگر  داريم:


(رابطه‌ي 1)

- اگر  داريم:

(رابطه‌ي 2)

بنابراين مي‌توان نتيجه گرفت:





(رابطه‌ي 3)

گاهي اوقات مي‌توان رابطه‌ي 3 را با نماد ذيل نشان داد:







(رابطه‌‌ي 4)

بديهي است براي هر سه نقطه نظير: ،  و  مي‌توان نامساوي‌هاي ذيل را نوشت:





(رابطه‌ي 5)

رابطه‌ي فوق به «نامساوي در مثلث» (The Triangle Inequality) مشهور است.

براي اثبات رابطه‌ي 5 دو حالت را در نظر مي‌گيريم:

- حالت اول -
در صورت وجود حالت اول، سه حالت ديگر ممكن است:

 و

در اين حالت داريم:







(رابطه‌ي 6)

هم‌چنين داريم:








(رابطه‌ي 7)

در نتيجه داريم:







(رابطه‌ي 8)

 و

در اين حالت داريم:







(رابطه‌ي 9)

هم‌چنين داريم:







(رابطه‌ي 10)

در نتيجه داريم:








(رابطه‌ي 11)

  و

در اين حالت داريم:










(رابطه‌ي 12)

و هم‌چنين داريم:




در نتيجه داريم:








(رابطه‌ي 13)




- حالت دوم -
در اين صورت خواهيم داشت:





(رابطه‌ي 14)

در صورت وجود حالت دوم، سه حالت ديگر ممكن است:

  و

در اين حالت داريم:







(رابطه‌ي 15)

و هم‌چنين داريم:







(رابطه‌ي 16)

در نتيجه داريم:







(رابطه‌ي 17)

 و

در اين حالت داريم:








(رابطه‌ي 18)

و هم‌چنين داريم:








(رابطه‌ي 19)

در نتيجه داريم:








(رابطه‌ي 20)

 و

در اين حالت داريم:







(رابطه‌ي 21)

و هم‌چنين داريم:








(رابطه‌ي 22)

در نتيجه داريم:







(رابطه‌ي 23)


 

ساير نامساوي‌ها در اعداد حقيقي
«نامساوي در مثلث» (The Triangle Inequality) در اعداد حقيقي را مي‌توان در شكل‌هاي ديگري نيز بيان كرد:







(رابطه‌ي 24)

و يا داريم:







(رابطه‌ي 25)

مي‌توانيم رابطه‌هاي ذيل را در مورد «نامساوي در مثلث» (The Triangle Inequality) بنويسيم:






(رابطه‌ي 26)







(رابطه‌ي 27)





(رابطه‌ي 28)



نامساوي‌ها در مثلث
در هر مثلث  با اضلاع ،  و  به‌ترتيب روبه‌روي زواياي ،  و ، «محيط»  و «مساحت»  از روابطي نظير ذيل به‌دست مي‌آيد:





(رابطه‌ي 29)









(رابطه‌ي 30)

مي‌توان ثابت كرد كه در هر مثلث مي‌توان نامساوي‌هاي ذيل را نوشت:














(رابطه‌ي 31)

-  اگر و فقط اگر
-  اگر و فقط اگر
-  اگر و فقط اگر

(رابطه‌ي 32)





(رابطه‌ي 33)





(رابطه‌ي 34)





(رابطه‌ي 35)





(رابطه‌ي 36)





(رابطه‌ي 37)





(رابطه‌ي 38)






(رابطه‌ي 39)










(رابطه‌ي 40)










(رابطه‌ي 41)










(رابطه‌ي 42)










(رابطه‌ي 43)










(رابطه‌ي 44)






(رابطه‌ي 45)

رابطه‌ي 45 توسط «سيدونز» (Siddons) و «هوقس» (Hughes) در سال 1308 (1929 ميلادي) اثبات شد.










(رابطه‌ي 46)





قضيه‌ي هينگه (Hinge Theorem)
«قضيه‌ي هينگه»(Hinge Theorem) براي مقايسه‌ي دو مثلث به‌كار مي‌رود كه داراي دو ضلع متجانس باشند. مطابق اين قضيه، اگر دو ضلع يك مثلث با دو ضلع مثلث ديگر متجانس باشد و زاويه‌ي بين دو ضلع مثلث اول بزرگ‌تر از مثلث دوم باشد در اين صورت ضلع سوم مثلث اول قطعاً از ضلع سوم مثلث دوم بزرگ‌تر خواهد بود.

معكوس «قضيه‌ي هينگه» (Hinge Theorem) نيز صادق است: اگر دو ضلع يك مثلث با دو ضلع مثلث دوم متجانس باشند و ضلع سوم مثلث اول بزرگ‌تر از ضلع سوم مثلث دوم باشد؛ هم‌چنين زاويه‌ي بين دو ضلع متجانس مثلث دوم از زاويه‌ي بين مثلث اول بزرگ‌تر باشد در اين صورت زاويه‌ي روبه‌روي ضلع سوم مثلث اول بزرگ‌تر خواهد بود زيرا ضلع سوم مثلث اول از ضلع سوم مثلث دوم بزرگ‌تر است.








(رابطه‌ي 47)



مثال‌هايي از قضيه‌ي هينگه (Hinge Theorem)





مثال اول – سفر با هواپيما
شما و دوست‌تان با هواپيماهاي متفاوتي مسافرت مي‌كنيد. در حالي كه هواپيماي شما در 120 كيلومتري شمال فرودگاه است هواپيماي دوست‌تان در 120 كيلومتري جنوب فرودگاه قرار گرفته است.

در اين لحظه، هواپيماي شما 70 كيلومتر با زاويه‌ي 30 درجه‌ به‌سمت شمال‌شرق پرواز مي‌كند. در همان حال، هواپيماي دوست‌تان تغيير مسير داده و 70 كيلومتر با زاويه‌ي 40 درجه به‌سمت جنوب‌غربي حركت مي‌كند.

در حالي كه هر دو هواپيما 190 كيلومتر پيموده باشند كدام‌يك از فرودگاه فاصله‌ي بيش‌تري گرفته است؟

به‌راحتي با استفاده از «قضيه‌ي هينگه» (Hinge Theorem) مي‌توان نتيجه گرفت هواپيماي دوست‌تان فاصله‌ي بيش‌تري از فرودگاه دارد.








(رابطه‌ي 48)



 

مثال دوم – دايره و مثلث
دو مثلث با مشخصات ذيل را در نظر بگيريد:

- يكي از رؤوس هر دو مثلث در مركز يك دايره قرار گرفته است.
- دو رأس ديگرشان بر روي محيط آن دايره واقع است.

چنان‌چه زاويه‌ي مربوط به رأس واقع در مركز دايره در مثلث اول بزرگ‌تر باشد ضلع روبه‌روي آن زاويه در كدام مثلث كوچك‌تر خواهد بود؟

همان‌طور كه در شكل 3 نشان داده شده است مثلث اول  و مثلث دوم  است و داريم:





(رابطه‌ي 49)

در نتيجه داريم:





(رابطه‌ي 50)





يك نامساوي قوي در مثلث (Hinge Theorem)
در سال 1376 (1997 ميلادي) «هـ. ر. باييلي» (H. R. Bailley) يك مهندس بازنشسته و «ر. بانيستر» (R. Bannister) يك شيميدان بازنشسته نتيجه‌اي عجيب منتشر كردند كه به «نامساوي قوي در مثلث» (Strengthened Triangle Ineqality) مشهور شد؛ وجه تسميه‌ي ان نيز مربوط به بيش‌ترين كاربرد آن است.

كمي بعد پروفسور «موراي كلامكين» (Murray Klamkin) - يكي از افرادي كه اخيراً مسائل زيادي توسط وي حل شده است – اثباتي يك‌صفحه‌اي براي آن ارائه داد.

«هـ. ر. باييلي» (H. R. Bailley) و «ر. بانيستر» (R. Bannister) براي بيان رابطه‌ي خود از يك مثلث قايم‌الزاويه و يك مربع محاط بر آن استفاده كردند. آنان دو روشي را كه يك مربع مي‌تواند در يك مثلث قايم‌الزاويه محاط شود مقايسه كردند. سؤال اين بود كه كدام مربع بزرگ‌تر است؟

فرض كنيد داشته باشيم:

-  و ساق‌هاي مثلث
-  وترهاي مثلث

-  ارتفاع وارد بر وتر

- و  اضلاع مربع‌ها به‌ترتيب در شكل‌هاي 6 و 7


در هر دو شكل، وجود مثلث‌هاي مشابه منجر به روابط ذيل مي‌شود:









(رابطه‌ي 51)

از روابط 21 مي‌توان رابطه‌ي ذيل را نتيجه گرفت:










(رابطه‌ي 52)

و سرانجام رابطه‌ي ذيل را مي‌توان به‌دست آورد:









(رابطه‌ي 53)

بنابراين در يك مثلث قايم‌الزاويه هم  و هم هر دو برابر با مساحت مثلث هستند بنابراين داريم:





(رابطه‌ي 54)

لذا از روابط 50 مي‌توان نتيجه گرفت كه نسبت اندازه‌ي مساحت‌هاي مربع‌ها با اندازه‌هاي  و نسبت عكس دارد.

براي مقايسه‌ي اندازه‌هاي  و ، تفاوت مربع‌هاي آن‌ها را محاسبه مي‌كنيم:














(رابطه‌ي 55)

از رابطه‌ي فوق چنين نتيجه مي‌گيريم:

در يك مثلث قايم‌الزاويه هميشه رابطه‌ي ذيل صادق است:





(رابطه‌ي 56)

رابطه‌ي 26 بدين‌معنا است كه:





(رابطه‌ي 57)

بنابراين اضافه كردن ارتفاع  منجر به معكوس «نامساوي در مثلث‌« مي‌شود:





(رابطه‌ي 58)

طبيعي بود كه «هـ. ر. باييلي» (H. R. Bailley) و «ر. بانيستر» (R. Bannister) پس از اثبات اين مطلب، پيش رفته و مقادير  و را براي مثلث‌هايي غير از قايم‌الزاويه بررسي كنند. نتايج به‌دست آمده توسط آنان هيجان‌انگيز بود.

در يك مثلث با اضلاع  ،  و  ارتفاع  و زاويه‌ي  روبه‌روي ضلع  باشد در اين صورت خواهيم داشت:





(رابطه‌ي 59)

رابطه‌ي 59 زماني محقق مي‌شود كه رابطه‌ي ذيل را داشته باشيم:






(رابطه‌ي 60)

يا همان‌طور كه «هـ. ر. باييلي» (H. R. Bailley) و «ر. بانيستر» (R. Bannister) ابراز داشته‌اند رابطه‌ي 59 براي بيش‌تر مثلث‌هايي صادق است كه داشته باشيم:






(رابطه‌ي 61)

علاوه بر آن مي‌دانيم:






(رابطه‌ي 62)

اثبات ذيل به پروفسور «موراي كلامكين» (Murray Klamkin) منتسب شده است كه براساس اتحاد ذيل بيان شده است:










(رابطه‌ي 63)

رابطه‌ي فوق در هر مثلثي صادق است و در آن زواياي   و  به‌ترتيب روبه‌روي اضلاع  و  هستند.

براي مقادير ثابت ، نسبت  زماني حداقل خواهد بود كه  و با يكديگر مساوي باشند (مثلث متساوي‌الساقين):





(رابطه‌ي 64)

لذا براي مثلث با زواياي حاده رابطه‌ي ذيل را خواهيم داشت:













(رابطه‌ي 65)

رابطه‌ي 65 تنها و تنها زماني صادق است كه داشته باشيم:





(رابطه‌ي 66)

براي اين‌كه رابطه‌ي 59 برقرار باشد بايد داشته باشيم:










(رابطه‌ي 67)

سمت چپ رابطه‌ي 67 يك تابع نزولي از بوده و برابر با 1 است زماني كه داشته باشيم:






(رابطه‌ي 68)

و زماني رابطه‌ي 68 برقرار است كه داشته باشيم:






(رابطه‌ي 69)

بنابراين رابطه‌ي 59 زماني برقرار است كه نامساوي ذيل صادق باشد:






(رابطه‌ي 70)

بدين‌ترتيب تنها كافي است رابطه‌ي 63 را ثابت كنيم.

اگر  شعاع دايره‌ي محيطي مثلث باشد داريم:










(رابطه‌ي 71)

بنابراين داريم:








(رابطه‌ي 72)

با استفاده از رابطه‌هاي مقدماتي مثلثاتي و اين‌كه: ، رابطه‌ي ذيل به‌دست خواهد آمد:















(رابطه‌ي 73)

از آن‌جايي كه در هر مثلث مجموع زواياي داخلي مثلث برابر 180 درجه است داريم:


   







(رابطه‌ي 74)

با جايگذاري رابطه‌ي 74 در رابطه‌ي 73 خواهيم داشت:





















(رابطه‌ي 75)

«موراي كلامكين» (Murray Klamkin)



«موراي كلامكين» (Murray Klamkin) 

«موراي كلامكين» (Murray Klamkin) يك رياضيدان امريكايي است كه در 14 اسفند 1300 (1921 ميلادي) در «بروكلين» نيويورك به‌دنيا امد. وي در سال 1321 (1942 ميلادي) درجه‌ي «كوپر يونيون»‌ (Cooper Union) (شاگرد اولي) را به‌دست آورده و در سال 1326 (1947 ميلادي) به‌سمت استادي «انستيتو پلي‌تكنيك بروكلين»‌ (Polytechnic Institute of Brooklyn) نايل آمد؛ در سال‌هاي 1327 تا 1336 (1948 تا 1957 ميلادي) در آن دانشگاه تدريس مي‌كرد.

وي در سال‌هاي 1341 تا 1355 (1962 تا 1976 ميلادي) در چند شركت امريكايي نيز اشتغال داشت. در اين سال‌ها، استاد مهمان «دانشگاه مينوستا» (University of Minoseta) نيز بود.

در سال 1355 (1976 ميلادي) به‌سمت پروفسوري «دانشگاه واترلو» (University of Waterloo) نايل شد. در سال‌هاي 1315 تا 1360 (1976 تا 1981 ميلادي) رئيس گروه رياضي «دانشگاه آلبرتا» (University of Alberta) بود. در سال 1360 به‌سمت «ايمريتوس پروفسور» (پروفسور بازنشسته) (Emeritus Professor) نايل آمد.

«موراي كلامكين» (Murray Klamkin) به طراح و ويراستار سؤال‌هاي رياضي مشهور است. وي ويراستار ماهنامه‌ي امريكايي «سيام رويو» (SIAM Review) و مجله‌هاي ديگري بوده است.

وي هم‌چنين به‌خاطر فعاليت‌هايش در رقابت‌هاي بين‌المللي از جمله: «المپياد ملي ايالات متحده‌ي امريكا» (United States of America Mathematical Olympiad) (USAMO)، «المپياد جهاني رياضي» (the International Mathematical Olympiad) (IMO) و «رقابت‌هاي پوت‌نام» (Putnam Competition) شهرت يافته است.

در سال 1371 (1992 ميلادي)، «فدراسيون جهاني رقابت‌هاي رياضي امريكا» (The World Federation of National Mathematics Competitions)، جايزه‌ي «ديويد هيلبرت» (David Hilbert) را به‌خاطر همكاري‌هايش در رقابت‌هاي رياضي به وي اهدا كرد.

نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 8:41 بعد از ظهر |  لینک ثابت   • 

شنبه 16 آذر1387

مسير حركت موش‌ها-«مارپيچ لگاريتمي» (Logarithmic Spiral)

 

 

 

در مسأله‌ي موش‌ها - كه مسأله‌ي سوسك‌ها نيز ناميده مي‌شود -  موش در گوشه‌هاي يك ضلعي هريك به‌سمت نزديك‌ترين موش مجاور در خلاف جهت عقربه‌هاي ساعت با سرعتي ثابت حركت مي‌كنند.

هر موش در يك مسير «مارپيچ لگاريتمي» (Logarithmic Spiral) حركت كرده و در مركز چندضلعي با ديگر موش‌ها برخورد نموده و مسافت طي شده توسط آن از رابطه‌ي ذيل به‌دست خواهد آمد:






(رابطه‌ي 1)

اولين مقادير براي  دنباله‌ي ذيل را تشكيل مي‌دهد:












بدين‌ترتيب مقادير عددي ذيل به‌دست خواهد آمد:



 



با اتصال محل موش‌ها در فواصل زماني يكسان، شكل جذابي به‌نام «گرداب» (Whirl) تشكيل خواهد شد.

اين مسأله هم‌چنين مسأله‌ي 2، 3 و ... يا مسأله‌ي سوسك، سگ و ... نيز ناميده مي‌شود.

اين مسأله حتي مي‌تواند براي چندضلعي‌هاي نامنتظم و در حالت حركت موش‌ها با سرعت‌هاي متفاوت نيز مطرح شود همان‌طور كه محققي به‌نام «آرتور برنهارت» (Arthur Bernhart) در سال 1338 (1959 ميلادي) آن را مطرح كرد.

محققي به‌نام «ميلر» (Miller) در سال 1250 (1871 ميلادي) سه موش را در هر مكان با سرعت‌هايي در حال حركت در نظر گرفت كه مسيرهايي مشابه و مثلثي متشابه با مثلث اوليه ايجاد مي‌كنند.

نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 5:27 بعد از ظهر |  لینک ثابت   • 

جمعه 1 آذر1387

مثلث خيام - پاسكال

در اين قسمت ، نشان خواهيم داد كه در مثلث خيام - پاسكال از رديف سوم به بعد ،هيچ دو عنصر مخالف با 1 در يك رديف ، نسبت به هم اول نيستند...

مطمئنا" همه ي شما با مثلث خيام - پاسكال آشنايي داريد و طرز ساخت آن را مي دانيد.بد نيست يادآور شويم كه در رديف n ام اين مثلث ،عنصر k ام از جمع عناصر k ام و 1-k ام رديف 1-n ام به دست مي آيد(1k ) .در اين جا،چند رديف از اين مثلث را آورده ايم :

 

لم: در رديف n ام(...,3 ,2 ,1 ,0=n) اين مثلث،عنصر k ام(nو...و2و1و0=k) به صورت  است.

براي اثبات اين موضوع ،ابتدا توجه مي كنيم كه براي ، داريم :.

اكنون با استفاده از رابطه ي (1) و به كمك استقرا ، لم اثبات مي شود.(جزئيات به عهده ي خواننده).

بنابراين مي توان مثلث خيام - پاسكال را به صورت زير در نظر گرفت: 

  

قضيه:در مثلث خيام - پاسكال از رديف سوم به بعد ،هيچ دو عنصر مخالف با 1 در يك رديف ، نسبت به هم اول نيستند.
ابتدا توجه مي كنيم كه براي   داريم :

مساله: آيا مي توانيد رابطه ي (2) را با يك بحث تركيبياتي اثبات كنيد.
حال نشان مي‌دهيم كه براي 0k>m داريم : .
فرض كنيم اين طور نباشد،يعني 1=()  با توجه به رابطه ي (2)، عاد مي‌كند را  .چون نسبت به هم اول اند. پس طبق لم اقليدس عاد مي‌كند را، ولي اين ممكن نيست چرا كه .

به اين ترتيب ، قضيه اثبات مي شود.

نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 12:40 بعد از ظهر |  لینک ثابت   • 

پنجشنبه 30 آبان1387

اتحاد Proizvolov

در اين جا ،اتحاد جالبي در رياضي پايه را بررسي مي كنيم...

عدد طبيعي دلخواه N و مجموعه‌ي  را در نظر بگيريد. اگر B يك زير مجموعه‌ي دلخواه N عضوي از  بوده و عناصرش را به صورت نزولي مرتّب كنيم يعني  كه  و عناصر مجموعه‌ي  را به صورت صعودي مرتّب كنيم يعني  كه  . آن‌گاه:

 

اين حكم به اتحاد Proizvolov (رياضي‌دان روس) مشهور است.
اثبات: ادّعا مي‌كنيم براي هر i ؛يك عنصر مجموعه ي {, } به  و ديگري به   تعلّق دارد.
اگر اين طور نباشد، يكي از دو حالت زير اتفاق مي‌افتد:
حالت اوّل: براي i ي  داريم: . 
چون  پس لااقل 1+N-i عنصر از B كم‌تر از 1+N هستند و چون  پس لااقل i عنصر از C كم‌تر از 1+N هستند. بنابراين لااقل  عنصر  از 1+N كم تر هستند كه تناقض است.
حالت دوّم: براي i ي داريم:  . با استدلالي مشابه حالت اول نتيجه مي‌شود كه اين حالت نيز نمي‌تواند اتفاق بيفتد.
به اين ترتيب،ادعاي فوق ثابت مي شود و در نتيجه داريم:

 



منبع:

http://cut-the-knot.org

نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 7:20 قبل از ظهر |  لینک ثابت   • 

سه شنبه 28 آبان1387

پسر عموهاي

روزی یکی از دانش آموزان پس از ورود معلم به کلاس از جا برخاست و گفت : اجازه آقا من چند رابطه ي عجیب در ریاضی را ثابت کرده ام .
معلم که شور واشتیاق این دانش آموز را دید از او خواست که پای تابلو بیاید و رابطه هايش را بنویسد .
شاگرد پای تابلو آمدوبا کمال تعجب نوشت :

ناگهان کلاس از خنده منفجر شد و معلم پس از دعوت کردن شاگردان به سکوت ، رو به دانش آموز کرد وگفت :
من هم درست زمانی که هم سن وسال تو بودم ، از این گونه رابطه ها و آن چه که به غلط به عنوان استدلال این رابطه ها می آورند بسیار دیده ام . مثلا" آن چه درباره ي  رابطه ي اول می آورند چنین است :

0=X

X=-X

1=1-

  0=1+1

برای سایر رابطه ها نیز کافی است به جای 1ها در رابطه های بالا،2و3و....قرار دهیم.

 


اما دانش آموز گفت:اجازه آقا من هم این گونه استدلال نماها را دیده ام.اما منظورم چیز دیگری است.معلم پرسید:پس منظورت چیست؟دانش آموز گفت:اجازه دهید اول کمی درباره ی خاصیت های عمل جمع در عددهای حقیقی صحبت کنم.برای عددهای حقیقی دلخواهa,b,cداریم:

1) خاصیت شرکت پذیری :   .
2) خاصیت جابجایی  :.
3) خاصیت عضو خنثی : .
4) خاصیت عضو قرینه : .

اکنون اگر برای مجموعه ی عمل+رابه صورت زیر تعریف کنیم:

آن گاه عمل +برA تمامی خاصیت های جمع عددهای حقیقی رادارد وبرای آن خواهیم داشت: 0=1+1.

واگر برای مجموعه ی عمل+ را به صورت زیر تعریف کنیم:

آن گاه عمل +برA تمامی خاصیت های جمع عددهای حقیقی را دارد وبرای آن خواهیم داشت:0=2+2 .

واگر برای مجموعه ی عمل+رابه صورت زیر تعریف کنیم:

آن گاه عمل +برA تمامی خاصیت های جمع عدد های حقیقی راداردو برای آن خواهیم داشت: 0=3+3 .

آن چه که برای ما در این بحث اهمیت دارد این است که عمل های +که در بالا تعریف شدند علاوه بر این که رابطه های 0=1+1و0=2+2و0=3+3را بر می آورند خاصیت های عمل جمع در عدد های حقیقی را نیز حفظ می کنند.

پس از این استدلال دانش آموز،معلم به او آفرین گفت وازشاگردان خواست تا اورا مورد تشویق قرار دهند وبه عنوان تمرین از شاگردان خواست تا با تعریف عمل های +مناسب بر مجموعه های مناسب،ضمن این که این عمل های+خاصیت های جمع عددهای حقیقی را حفظ می کنند داشته باشیم 0=5+5و0=4+4 .

نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 9:21 بعد از ظهر |  لینک ثابت   • 

سه شنبه 28 آبان1387

صفحه ي شطرنج و پاداش مخترع آن

روايت کرده اند که پادشاه هند که به سختي تحت تأثير اختراع بازي شطرنج قرار گرفته بود ، به مخترع آن وعده داد که هرپاداشي بخواهد به او بدهد . مخترع تقاضايي کرد که به ظاهرخيلي نا چيز به نظر مي رسيد : او مقداري دانه هاي گندم درخواست کرد ، به نحوي که اگر آنها را در خانه هاي صفحه شطرنج جادهند ، درهرخانه دو برا بر خانه قبل وجود داشته باشد.
پادشاه هند که ثروتمند ترين مرد جهان بود ، نتوانست از عهده اين درخواست برآيد . درحقيقت اين راجه ثروتمند شرقي با همه تصورات بي پايان خود نمي توانست اين مقدار گندم را تهيه کند !
چون تعداد دانه ها گندم برابراست با مجموع توانهاي متوالي 2از 5تا 63يعني615,551,759,573,744,446, 18 عددگندم
اگر درهر سانتيمتر مکعب 25 دانه گندم جا بگيرد ، روي هم اين تعداد گندم به اندازه 685,253,337,922مترمکعب گندم مي شود ( 20ميليون گندم درهر مترمکعب ).
براي اينکه بتوان اين مقدارگندم را بدست آورد ، بايد هشت بار تمام زمين را کاشت وهشت بار محصول آنرا جمع کرد . به عبارت ديگر اين محصول را از سياره اي مي توان بدست آورد که سطح آن هشت برابر زمين باشد .
ابوريحان بيروني براي محسوس کردن اين عدد مي گويد در سطح کره زمين 2305 کره را در نظرمي گيريم ، واگر از هر کره 000/ 10رود جاري شود ، در طول رودخانه 1000 قطار قاطر حرکت کند و هر قطار شامل 1000 قاطر باشد و بر هر قاطر 8 کيسه گندم قرارداده باشيم ودرهر کيسه 000/10 دانه گندم باشد . آن وقت عدد همه اين گندم ها را از تعدادگندم ها ي صفحه ي شطرنج کوچکتر مي شود .
به اين ترتيب مخترع شطرنج درس خوبي به پادشاه هند داد و به او ثابت کرد که امکانات بي پاياني ندارد ونمي تواند ((هر ))خواهش مخترع را برآورد .

نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 9:19 بعد از ظهر |  لینک ثابت   • 

دوشنبه 27 آبان1387

روز تولد

در يك خانه دو برادر زندگي مي‌كنند كه هميشه راستگو هستند مگر در يك مورد آنهم سالروز تولدشان ، اگر از آنها در مورد روز تولدشان چيزي پرسيده شود، حتماً پاسخ دروغ مي‌دهند.
با اين توضيح، يك نفر روز 31 خرداد از هر دو برادر مي‌پرسد تولد شما چه روزي است؟ اولي پاسخ مي‌دهد ديروز! و دومي جواب مي‌دهد فردا! فرداي آن روز (اول تير) دوباره همان شخص از آنها همان سؤال را مي‌پرسد و هر يك از آنها پاسخ ديروز را تكرار مي‌كند! آيا مي‌توانيد روز تولد هر كدام از اين دو برادر را مشخص كنيد؟

اين برادران هرگز دروغ نمي‌گويند، مگر در روز تولدشان و آن هم در مورد روز تولدشان. پس يكي از پاسخ‌هاي هر يك از آنها در اين دو روز درست بوده است. بنابر پاسخ برادر اول، وي در 30 يا 31 خرداد متولد شده است. اگر روز تولد او واقعاً 30 خرداد باشد، در روز اول تير هرگز نمي‌تواند دروغ بگويد و پاسخ دهد:‌ ديروز، يعني 31 خرداد ولي اگر در 31 خرداد متولد شده باشد، بنا بر داده‌هاي مسأله مي‌تواند دروغ بگويد و فردايش حرف راست بزند. پس اولي در 31 خرداد متولد شده است.
و اما دومين برادر روز اول يا دوم تير به دنيا آمده است. او نمي‌تواند 31 خرداد (كه روز تولدش نيست) دروغ بگويد و فردا (اول تير) را سالروز تولدش بخواند، اما در صورتي كه اول تير به دنيا آمده باشد ، بار اول (31 خرداد) پاسخ صحيح داده است، يعني برادر دوم نيز اول تير به دنيا آمده است.

نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 12:20 بعد از ظهر |  لینک ثابت   • 

دوشنبه 27 آبان1387

پاكت هاي پول

در 9 پاكت دربسته روي هم 255 واحد پول داريم . نحوه ي توزيع پول در پاكت ها به صورت زير است :


پاكت اول: 1 واحد         پاكت پنجم: 16 واحد 
پاكت دوم: 2 واحد       پاكت ششم: 32 واحد 
پاكت سوم: 4 واحد       پاكت هفتم: 64 واحد 
پاكت چهارم: 8 واحد    پاكت هشتم: 128واحد


مساله اين است كه اگر كسي از شما 1، 2، 3 ... يا 255 واحد بخواهد آيا شما مي‌توانيد به راحتي و بدون باز كردن پاكت‌ها، پول مورد درخواست او را بپردازيد؟
جالب اين جاست كه پاسخ مثبت است ، در ابتدا دو مثال مي آوريم :
فرض كنيد ازشما 213 واحد خواسته باشند،شما مي توانيد پاكت هاي اول،سوم،پنجم،هفتم و هشتم را بدهيد : 213=1+4+16+64+128 .

اگر از شما 248 واحد خواسته باشند، شما مي‌توانيد با كنار گذاشتن 3 پاكت اول، 5 پاكت باقي مانده را بدهيد. يعني: 248=8+16+32+64+128 .
اساس اين مسأله بر اين حقيقت استوار است : براي هر n طبيعي ، مي‌توان هر عدد دلخواه از1تا را با استفاده از مجموع اعضايي از مجموعه ي به دست آورد.
در اين جا مبالغي كه در هشت پاكت قرار گرفته‌اند، به ترتيب چنين‌اند:

 

پس مي توان هر مبلغي از 1 تا 255 واحد را بدون باز كردن پاكت ها پرداخت كرد .



منبع:كتاب در پي فيثاغورث

نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 10:12 قبل از ظهر |  لینک ثابت   • 
مطالب قدیمی‌تر