عدد اول

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد

عدد اول(انگلیسی: Prime number) عددی طبیعی(Natural number) است که بر هیچ عددی بجز خود و عدد ۱ بخش‌پذیر نباشد. تنها استثنا عدد ۱ است که جزو این اعداد قرار نمی‌گیرد. اگرعددی طبیعی وبزرگ‌تر از ۱ اول نباشد مرکب است. علامت اختصاری این اعداد است.

رقم یکان اعداد اول بزرگ‌تر از ۱۰ فقط ممکن است ارقام ۱، ۳، ۷، و ۹ باشد.

پیدا کردن ضابطه‌ای جبری برای اعداد اول جزو یکی از معماهای ریاضی باقیمانده است و هنوز کسی به فرمولی برای آنها دست نیافته است.

دنبالهٔ اعداد اول به این صورت شروع می‌شود:

۲، ۳، ۵، ۷، ۱۱، ۱۳، ۱۷، ۱۹، ۲۳، ۲۹، ۳۱، ۳۷، ۴۱، ۴۳، ۴۷، ۵۳، ۵۹، ۶۱، ۶۷، ۷۱، ۷۳، ۷۹، ۸۳، ۸۹، ۹۷، ۱۰۱، ۱۰۳، ۱۰۷، ۱۰۹، ۱۱۳، ۱۲۷، ۱۳۱، ۱۳۷، ۱۳۹ (دنباله‌ی A000040 در OEIS)

 پویا نمایی(انیمیشن)  آموزش چند ضلعی ها

راه حل ژول ورن

 

سطح راهنمائی

ممكن است زماني به درخت يا صخره اي با ارتفاع بلند بر خورد كرده باشيم و بخواهيم ارتفاع آن را اندازه بگيريم اما ندانيم چه طور بايد اين كار را انجام دهيم. در اين جا طرحي را ارائه مي دهيم كه در رمان مشهور ژول ورن به نام‌ «جزيره ي اسرار آميز» نقل شده است .
مهندس گفت : حالا بايد ارتفاع سكوي بلندي كه دور از ما است وارتفاع آن زياداست را اندازه بگيريم .
هربرت پرسيد:آيا وسيله هاي كار را همراه خود داريد ؟
مهندس:نه چيزي لازم نيست ،به وسيله هاي زيادي احتياج نداريم وتنها يك وسيله ي ساده ودقيق كافي است.
مهندس چوب راستي به طول 12 فوت انتخاب كرد . اوآن را با كمك قد خود (كه اندازه ي آن را دقيقا" مي دانست )تا حد ممكن با دقت اندازه گرفت .هربرت هم شاغولي راكه مهندس به او داده بود در دست داشت ،شاغول به سادگي وبا بستن سنگي به انتهاي يك نخ درست شده بود.
مهندس در حدود 500فوتي ديوار سنگي ايستاد وچوب را در شن زار فرو كرد ،به نحوي كه دو فوت آن در خاك فرو رفت وبا كمك شاغول، آن راكاملا"به صورت قائم در آورد ارتفاع چوب 10فوت شد سپس از چوب آن قدردور شد كه وقتي روي شن زار خوابيد توانست نوك چوب وبالاي بلندي را در يك خط راست ببيند. اين نقطه را با دقت و به وسيله ي گذاشتن يك تكه سنگ علامت گذاشت .در همان حال كه مهندس از زمين بر مي خاست از هربرت پرسيد،آيا با مقدمات هندسه آشنايي داريد؟
هربرت:بله!
مهندس:معناي مثلث هاي متشابه را مي دانيد؟
هربرت :بله، اضلاع متناظر آن ها متناسب اند .
مهندس:كاملا"صحيح است ومن هم دو مثلث قائم الزاويه ي متشابه ساخته ام.

در مثلث كوچك تر يكي از اضلاع مجاور به زاويه ي قائمه، طول چوب قائم وضلع ديگر، فاصله ي پاي اين چوب تا علامت سنگي ووتر اين مثلث هم، طول شعاع ديد من تا نوك چوب است.

در مورد مثلث دوم، ضلع هاي مجاور به زاويه ي قائمه عبارت اند از :ارتفاع ديوار كه بايدآن رامعين كنيم وفاصله ي پاي ديوار اين صخره تا علامت سنگي،وتر اين مثلث هم، امتداد شعاع ديد من تا نوك صخره است كه بر امتداد وتر مثلث كوچك تر قرار دارد.

جوان گفت:فهميدم!

مهندس:بله وبه همين مناسبت اگر دو فاصله ي اول را اندازه بگيريم، با توجه به اين كه ارتفاع چوب هم معلوم است، مي توانيم قسمت چهارم تناسب يعني ارتفاع ديوار را بدون اندازه گيري مستقيم به دست آوريم. دو فاصله ي افقي را اندازه گرفتند :فاصله ي كوچك تر 15فوت و فاصله ي بزرگ تر 500فوت بود.
وبالاخره مهندس براي محاسبه ي اصلي، رابطه هاي زير را نوشت:

منبع : سرگرمي هاي هندسه

نويسنده : ياكوب ايسيدورويچ پرلمان

تعیین قاعده ی بخشپذیری بر اعدادی که یکان آنها3،7،9  باشد :

اگر یکان عددی 3ویا 7 ویا 9 باشد باید کاری کنیم که آن عدد به مضربی از خود عدد که یکان آن یک باشد تبدیل شود.

مثلاً اگریکان 3 بود باید عدد را در 7 و اگر یکان 7 بود عدد را در 3 و اگر عدد یکانش 9 بود باید در 9 ضرب شود. سپس حاصلضرب بدست آمده را به  غیر از یکان آن از عدد کم می کنیم .عددی را که در این عملیات بدست می آید به این صورت در قاعده به کار می بریم.

مانند مثال: می خواهیم قاعده بخش پذیری بر 13 را پیدا کنیم. ابتدا آنرا در 7 ضرب می کنیم تا یکان آن برابر با یک شود . حاصل بدست آمده را که 91 است به غیر از یکان یعنی عدد 9 را از 13 کم می کنیم حاصل برابر با 4 می شود . در اینجا قاعده بخش پذیری بر 13 بدست می آید :

 ( 4برابر یکان + بقیه ارقام    )   ؛ که باید بر 13 بخشپذیر باشد.      

                                       ( 4= 9-13   91= 7 ×13 )

     امتحان این قاعده : 

        13= 5+ 8    8= 2× 4       52 = 20 + 32       20 = 5× 4          425

تعیین قاعده ی بخشپذیری بر اعدادی که یکان آنها1   باشد :

در این روش باید به جز یکان بقیه ارقام را در نظر بگیریم و قاعده را بدست آوریم مانند مثال زیر :

می خواهیم قاعده بخشپذیری بر عدد 31 را پیدا کنیم. ابتدا باید به جز یکان بقیه ارقام را در نظر بگیریم و قاعده ای به این صورت بدست آوریم:

3 برابر یکان را از بقیه ارقام کم کرده عدد حاصل باید صفر باشد تا بر 31 بخشپذیر باشد.

برای قاعده دوم می توان گفت با تقسیم بقیه ارقام بر یکان ، عددی  را که یکان باید در آن ضرب شود بدست می آوریم.

نکته : بدست آوردن قاعده بخشپذیری بر اعدادی با یکان (1) از روش بالا که برای 3و 7و 9 به کار می رفت میسر است ولی طولانی می شود.

۱) قاعده بخشپذیری بر 7 :   5 برابر یکان + بقیه ارقام   باید بر 7 بخشپذیر باشد.                                           (  5= 2- 7      و    21 = 3 × 7  )

     مثال :    14= 9 + 5        5= 1× 5            91      

35 = 5×7    287 = 25 + 26    25 = 5×5       2625

21=15+6    15 = 5×3     63 = 35 + 28

البته یه قاعده دیگه هم برای بخشپذیری بر 7 هست به این صورت که 2برابر یکان را از بقیه ارقام باقیمانده کم می کنیم ، حاصل باید بر 7 بخشپذیر باشد.

2 ) قاعده بخشپذیری بر13 :  4 برابر یکان + بقیه ارقام   باید بر13 بخشپذیر باشد.                                                       ( 4= 9-13   91= 7 ×13 )

 مثال : 13= 5+ 8    8= 2× 4       52 = 20 + 32       20 = 5× 4     425

3 ) قاعده بخشپذیری بر19 :   2 برابر یکان + بقیه ارقام   باید بر 19 بخشپذیر باشد.                                             ( 2= 17 – 19    171 = 9 × 19 )

مثال :                    

                                    19= 6+13       6= 3×2         133

                          16 = 8 ×2     228 = 16 + 212     16= 8 ×2    2128

                19= 3+16  16= 8×2    38 = 16 +22   

4 ) قاعده بخشپذیری بر29 :  3 برابر یکان + بقیه ارقام   باید بر 29 بخشپذیر باشد.                                 ( 3= 26 – 29    261 = 9 × 29 )

    29 = 5+24     24= 8×3     58 = 15 +43     15 = 5×3            345

    29= 18 +11     18 = 6×3     116 = 12 + 104   12 = 4×3      1044

5  ) قاعده بخشپذیری بر33 :  10 برابر یکان + بقیه ارقام   باید بر 33 بخشپذیر باشد.                                            ( 10= 23 – 33    231 = 7 × 33 )

     33= 20 +13  20 = 2×10    132 = 60 +72      60 = 6 ×10     726

    66 = 50 +16    50 = 5 ×10     165 = 10 + 155    10 = 1× 10  1551

6 ) قاعده بخشپذیری بر49 :  5 برابر یکان + بقیه ارقام   باید بر 49 بخشپذیر باشد.                                             ( 5= 44– 49    441 = 9 × 49 )

                                          49 = 25 + 24        25 = 5×5      245

49 = 20 + 29   20 = 4×5    294 = 35 + 295      35 = 7×5     2597

7 ) قاعده بخشپذیری بر57 :  40 برابر یکان + بقیه ارقام   باید بر57 بخشپذیر باشد.                                             ( 40=17– 57    171 = 3 ×57)

                        80 = 2×40  342 = 280 +62   280 = 7 ×40    627

                     160 = 4 ×40   114  = 80 + 34 

           57 = 40 + 17    40 = 1 × 40     171 = 160 +۱۱

تذکر : اگر عدد بدست آمده از انجام عملیات قاعده، غیر قابل  تشخیص باشد یعنی نفهمیم بخشپذیر هست یا نیست باید عملیات را تا بدست آمدن عدد ادامه دهیم .

 1 ) قاعده بخشپذیری بر11 :  اگر  یکان را از  بقیه ارقام کم کنیم    باید بر11 بخشپذیر باشد.

    مثال :                                                0 = 1-1     11= 1- 12      121

                                                         0 = 2-2      22 = 5 – 27      275

قاعده دیگری برای بخشپذیری بر 11:   10 برابر یکان + بقیه ارقام   بر 11 بخشپذیر باشد . 

    مثال:                                       33= 20 +13     20 = 2× 10      132

2) قاعده بخشپذیری بر21 : اگر2 برابر یکان را از  بقیه ارقام کم کنیم    بایدصفر شود.

مثال :     0 = 2-2      2= 1×2      21 = 10 – 31        10 = 5 × 2     315

          0 = 4-4       4= 2×2       42 = 14 – 56        14 = 7 ×2        567

3 ) قاعده بخشپذیری بر31 : اگر  3 برابر یکان را از بقیه ارقام کم کنیم  ، حاصل برابر صفر شود.

 مثال :           0 = 6-6    6= 2×3    62 = = 18 – 80     18 = 6 ×3    806

                  0 = 9-9     9 = 3×3      93 = 15 – 108    15= 5×3     1085

4 ) قاعده بخشپذیری بر51 : اگر 5 برابر یکان را از بقیه ارقام کم کنیم  ، حاصل برابر صفر شود.

 مثال :     0 = 10 -10   10= 2×5     102 = 20 – 122    20 = 4×5     1224

                                                0 = 35-35       35 = 7 × 5           357

5 ) قاعده بخشپذیری بر71 : اگر 7 برابر یکان را از بقیه ارقام کم کنیم  ، حاصل برابر صفر شود.

مثال :   0= 7 – 7      7 = 1×7     71= 21 – 92    21= 3×7      923

                                       0 = 63 – 63          63= 9 ×7        639

6 ) قاعده بخشپذیری بر101 : اگر 10 برابر یکان را از بقیه ارقام کم کنیم  ، حاصل برابر صفر شود.

مثال:   0= 10 -10   10 = 1 ×10    101 = 40- 141      40 = 4 ×10     1414

         0 = 10 -10    10 = 1×10   101 = 30 – 131       30 = 3×10     1313

7 ) قاعده بخشپذیری بر111 : اگر 11 برابر یکان را از بقیه ارقام کم کنیم  ، حاصل برابر صفر شود.

  مثال : 0 = 11- 11    11= 1×11    111= 77 – 188    77= 7 ×11          1887

          0 = 22- 22    22 = 2 ×11     222= 55- 277   55 = 5 ×11         2775

ریاضی سال اول راهنمایی   بخش پذیری          اينجا را کليک کنيد مقایسه کسرها         اينجا را کليک کنيد با چهار ضلعی ها آشنا شوید   اينجا را کليک کنيد             اسلایدی از توان          اينجا را کليک کنيد اسلاید اعداد اعشاری       اينجا را کليک کنيد اسلایدی از زوایای داخلی مثلث    اينجا را کليک کنيد اسلاید اعداد صحیح           اينجا را کليک کنيد

مناسب برای ارائه در سال سوم راهنمایی ( در پایان چند ضلعی های منتظم)

یادآوری فعالیت های قبلی:

1-     ماشین تابع ( ورودی و خروجی – مقدار عددی عبارت های جبری )

2-     مجموع زوایای داخلی یک چند ضلعی ( سال دوم راهنمایی)

نمونه ای از ماشین تابع

در ابتدا فرمول n/ [180*(n-2)]  برای محاسبه هر زاویه چند ضلعی منتظم را به کمک اطلاعات قبلی دانش آموزان به دست می آوریم و از آن ها می خواهیم جدول زیر را با محاسبه ی  مقدار عددی عبارت جبری به کمک ماشین حساب کامل کنند. (فردی یا گروهی)

نمونه ای از جدول کامل شده توسط دانش آموزان

نتایج به دست آمده و شور و شوق دانش آموزان برای الگو یابی و حدس های هندسی که زاویه از 180 درجه نباید بیشتر شود و ... خیلی جالب است.

اهداف مهارتی مورد نظر:

1-   مهارت الگویابی

2-   مهارت استفاده از ابزار و تکنولوژی

3-   مهارت استدلال

4-   ...

نتایج نهفته و غیر آشکار این فعالیت:

1-    مفهوم تابع

2-    دامنه و برد تابع

3-    مفهوم حد تابع و تجربه ای عملی برای محاسبه ی  حد

4-     ...

 در پایان بحث حد تابع که برای خودمان جالب می باشد.

(حداقل برای خودم که اولین تجربه عملی برای محاسبه حد یک تابع داشتم.)

دراین مقاله هدف ،به دست آوردن مساحت وحجم چند شکل است اما نه با روش هایی که تا به حال دیده ایم ، بلکه راحت تر از آن !!!

تعيين مساحت ناحيه ي حلقوي:
براي تعيين مساحت يك ناحيه ي حلقوي(ناحیه ي بین دو دایره ي هم مرکز)، يك روش اين است كه اگر مساحت دو دايره را داشته باشيم، مساحت ناحيه ي حلقوي برابر تفاضل مساحت هاي دو دايره است. اما آيا روش ديگري براي تعيين مساحت ناحيه ي حلقوي شكل ، وجود دارد ؟
اگر طول بزرگ‌ترين وتري كه مي‌توان در اين ناحيه (ناحيه ي حلقوي شكل) رسم كرد را داشته باشيم، مي‌توانيم مساحت این ناحیه را به دست آوريم.چون :
«مساحت ناحيه ي حلقوي شكل برابر مساحت دايره‌اي است كه قطرش برابر با بزرگ‌ترين وتري است كه مي‌توان درداخل اين ناحيه رسم كرد.»
ناحیه ي حلقوی شکل :

 

در اين مقاله ، اثبات هاي مختلفي از قضيه ي فيثاغورث را به صورت انيميشن مي بينيم...

اثبات بدون كلام  : 

دو حالت خاص : 

ایجاد انگیزه در آغاز درس مضرب ها

 به نام مهربان جاوید با سلام به حضور دوستان برای ایجاد انگیزه در درس مضرب ها من معمولا کلاس را با یک یازی با بچه ها شروع می کنم . از دوستان و همکاران عزیز خواهش می کنم که در مورد این روش نظر بدهند و معایب و مزایای اون رو بفرمایند .

 دانش آموزان عزیزم قبل از این که امروز درس بدهم می خوام اول با هم یه بازی قشنگ رو انجام بدیم ( این جمله موجب می شه دانش آموز ذهنش به سمت بازی بره و در حین بازی درس رو بفهمه ) بازی هپ هپ به بچه ها توضیح می دهیم که شماره ی هر کسی به جدول ضرب 5 رسید باید بگه هپ .

 از خودم شروع می کنم 1، نفر بعد می گه 2 ،نفر بعد 3 و ... نفر پنجم می گه هپ ( اگه نگفت خب بازنده است ) خلاصه بازی ادامه پیدا می کنه تا نفر دهم که می گه هپ و پانزدهم هپ ... حالا میگم آن گروهی که هپ شدند دستاشون بالا برند و بگن عدد هاشون چند بود من داخل آکلاد پای تابلو بنویسم . بعد با همین روش میرویم سراغ مضرب های 2 و بعد 3 و .... و الان پای تابلو مجموعه مضرب های 5 و 2 و .... نوشتیم حالا به اونها می گیم که مجموعه ها رو نگاه کنند ببینند چه اتفاقی افتاده که خودشون به راحتی ( حتی بچه ی ضعیف کلاس ) جواب می دهند که مثلا 5 رو در اعداد طبیعی ضرب کردیم تا این گروه به دست اومده . 

خلاصه بعد راجع به وی‍‍‍‍‍‍زگی های مضرب ها حرف می زنیم که مثلا ؛ دوستان عزیزم ما تا چه عددی می تونیم این بازی رو ادامه بدیم که براحتی جواب میدن هرچه چقدر بخواهیم می تونیم جلو بریم یعنی انتها نداره .

بعد از یکی می خوام که مجموعه ی مقسوم علیه های همان اعدادی که پای تابلو نوشته شده رو بگه تا من بنویسم بعد ازشون می خوام که ( حالا، دختر خوب ، قیافه ی ریاضیدانها رو به خودت بگیر یعنی خوب با دقت به سئوال من توجه کن و در موردش فکر کن و با دقت جواب بده )فرق مجموعه ی مقسوم علیه ها و مجموعه ی مضرب های یک عدد در چیه هست ؟ و به این ترتیب دانش آموز تفاوت اونها رو احساس می کنه و احتمالا خیلی دیر یادش می ره .

این نرم افزار برای تمرین و آموزش دوران ریاضی سوم راهنمایی است

 دانلود کنید و لذت ببرید

به پویا نمایی جذر دقت کنید

در پويا نمايي زير روي دكمه هاي ظهر و قبل از ظهر و بعد از ظهر كليك كن و نتيجه را مشاهده كن و به ضرب هاي پايين نگاه كن و حس خودت رو بيان كن

شایدتا کنون شده باشد که در مواقعی که بی کار هستید یا اینکه انتظار خبر مهمی را می کشید برای سرگرم کردن خودتان کاغذی را که در اطرافتان هست بردارید و شروع به تا کردن آن کنید و بعد از چند بار متوجه شوید که دیگر نمی شود کاغذ را تا کرد. در این صورت یا از تا کردن کاغذ منصرف می شوید یا آن را باز می کنید و دوباره شروع به تا کردنش می کنید... البته ممکن است قبل از این که به آن زمان برسید خبر مهم به شما داده شود  و کاغذ را به جای اولش برگردانید !!!

این مسئله را همه ما تجربه کرده ایم اما شاید هیچ کدام از ما به طور جدی روی آن فکر نکرده باشیم. اگر ورق را هر بار طوری تا کنید که اندازه آن نصف شود بیش از 7 یا 8 بار نمی توانید آن را تا کنید. مهم نیست ورق اولیه شما چه قدر بزرگ باشد. شاید تا به حال این قضیه را شنیده باشید و سعی کرده باشید که آن را امتحان کنید و متوجه شده باشید که تا کردن کاغذ بیش از7 یا 8 بار بسیار سخت است.  آیا می توان گفت که این اعداد یک محدودیت مستدل و عمومی برای تا کردن کاغذ هستند؟

فرض کنید شما کاغذی را انتخاب کرده اید که دارای پهنای w و ضخامت t است. اگر شما شروع به تا کردن ورق از یک سمت بکنید وقتی به جایی برسید که دیگر نتوانید کاغذ را تا کنید یک نوار باریک خواهید داشت. با هر بار تا کردن ضخامت کاغذ دو برابر می شود و پهنای آن نصف خواهد شد. یعنی بعد از n  بار تا کردن ضخامت  2ⁿtخواهد بود و البته مشخص است که پهنا2^-nw   می شود و نسبت ضخامت به پهنا برابر 2^2nt/w می شود. اگر با کاغذی به پهنایcm11 و ضخامت cm ۰/۰۰۲ این کار را انجام دهید، بعد از 7 بار تا کردن نسبتt/w  برابر 1/6 می شود. این بدان معنی است که اندازه ضخامت از پهنا بیشتر می شود و در نتیجه دیگر قادر به تا کردن کاغذ نخواهید بود. اگر این کاغذ را ۵۰ بار بزرگ تر کنید شاید بتوانید آن را تا 10 بار هم تا کنید.

اگر به صورت متناوب کاغذ را از عرض و طول تا کنید ممکن است تعداد دفعات بیشتری بتوانید به تا کردن کاغذ ادامه دهید. در این صورت هر بارضخامت دو برابر می شود در صورتی که پهنا هر دو دفعه یک بار نصف می شود.

چندین سال پیش هنگامی که بریتنی گالیوان در دبیرستان درس می خواند با این مسئله رو به رو شد که چگونه کاغذی را 12 بار تا کند. او باید برای گرفتن نمره از یکی از کلاس هایش این مسئله را حل می کرد. بعد از آزمایش راه های مختلف او موفق شد که ورقه نازکی از طلا را 12 بار تا کند. اما مسئله طرح شده در باره کاغذ بود و نه طلا.

گالیوان بر روی معادله تعداد دفعاتی که می توان یک کاغذ با اندازه معین را تا کرد کار کرد.

Lبرابر پی ضرب در t تقسیم بر 6 ضرب در دو به توان n به اضافه چهار ضرب در 2 به توان n منهای یک. که در آن L کمترین درازای کاغذ، t میزان ضخامت کاغذ و n تعداد دفعاتی است که می توان کاغذ را تا کرد. واحد t و L باید یکسان باشد.

براي يک طول و ضخامت معين عبارت(2ⁿ + 4 )(2ⁿ – 1)/6 بيانگر آن است که صفحه بعد از n بار تاکردن چند برابر کوچک شده است. با n=0  شروع می کنیم و به همین ترتیب به رشته ای از اعداد به این صورت می رسیم:

0, 1, 4, 14, 50, 186, 714, 2794, 11050, 43946, 175274, 700074, 2798250, . . .

این به این معنی است که در تای دوازدهم 2798250 برابر مقدار کاغذی که در تای اول از دست می رود از دست خواهد رفت.

گالیوان در کتابی با نام Historical Society of Pomona Valley چگونگی به دست آوردن این معادله و تلاشش برای حل مشکل را توضیح داده است. بالاخره در June 2002 گالیوان یک کاغذ بزرگ را 12 بار تا کرد.

 بزرگ ترین عدد اولی که تاکنون کشف شده چند است؟

 عدد اول : هر عدد طبیعی بزرگ تر از یک که فقط بر خودش ویک بخش پذیر باشد،عدد اول نامیده می شود. مثل ۲ ، ۳ ، ۵ ، ۷ ، ...

 عدد مرکب : هرعدد طبیعی بزرگ تراز یک که به جز خودش و یک بر عدد طبیعی دیگری نیزبخش پذیر باشد، عددی مرکب نامیده می شود . مثل ۴ ، ۶ ، ۸ ، ۹ ، ...

 عدد مرسن :اعداد اولی به شکل ۱- Mn = ۲ⁿ که در آن n اول باشد، اعداد اول مرسن نامیده می شوند. مثل اعداد  ۳ و۷ که اولین و دومین اعداد اول مرسن هستند.

( ۱- ۲^۲ = ۳   و   ۱ - ۲^۳ = ۷ )

 نخستین اعداد اول مرسن عبارت اند از : ۳ ، ۷ ، ۳۱ ، ۱۲۷ ، ۸۱۹۱ ، ۱۳۱۰۷۱ ، ۲۱۴۷۴۸۳۶۴۷ ، ... که به ترتیب  با n های اول ۲ ، ۳ ، ۵ ، ۷، ۱۳ ، ۱۷ ، ۱۹ ، ... متناظر هستند.

آقای مونک مارین مرسن فرانسویMonk Marin Mersenne۱۶۴۸-۱۵۸۸) ) که این اعداد را کشف کرد حدوداً ۳۵۰ سال قبل می زیسته است و اکنون ابر رایانه ها به کمک فرمول او سرگرم جستجوی اعداد اول بزرگ هستند.

        چهل و سومین عدد اول مرسن کشف شد

 اورلاندو ،فلوریدا ، ۲۴ دسامبر ۲۰۰۵ (۳ دی۱۳۸۴)

بزرگ ترین عدد اول که چهل و سومین عدد مرسن است کشف شد. شبکه رایانه ایGIMPS ( Great Internet Prime Search)عدداول   ۱- ۲^{۳۰۴۰۲۴۵۷} راکه  ۹۱۵۲۰۵۲ رقم دارد کشف کرد.

 دریک تلاش گروهی در دانشگاه مرکزی ایالت میسوری ( CMSU ) که سرپرستی و هدایت آن به عهده پروفسور کارتیس کوپر(Curtis Cooper) و استیون بوون (Steven Boone) بود، بزرگ ترین عدد اول کشف شد. این یک پروژه ی بزرگ اینترنتی برای پیدا کردن اعداد اول مرسن ( GIMPS ) بود . موفقیت آنان عامل محرکی است تا محققان در سراسر جهان برای رسیدن به جایزه ی ۰۰۰/۱۰۰ دلاری آن امیدوار باشند.

آنان  با صرف  زمان زیادی  در ۷۰۰ آزمایشگاه  دانشگاهی و به  کمک نرم افزار رایگانی  که سایت   www.mersenne.org در اختیار ده ها هزار رایانه ای قرار داده که در قالب شبکه ای که با یکدیگر مرتبط بودند، این عدد را کشف کردند. این نرم افزار به وسیله ی جرج ولتمن (George Woltman) بنیانگذار GIMPS و شبکه پیشرو اسکات کرو سکی (  (Scott Kurowskiدر سن دیگو کالیفرنیا گسترش یافت.

عدد اول جدید که   M۳۰۴۰۲۴۵۷(عدد مرسن شماره ی ۳۰۴۰۲۴۵۷) نام دارد، در ۱۵ دسامبر سال  ۲۰۰۵ میلادی برابر با ۲۴ آذر سال۱۳۸۴هجری شمسی پس از ۵۰ روز جستجو کشف شد. دکتر کوپر و دکتر بوون با ۲۱۰۰۰ نفر دیگر از محققان سراسر دنیا در پروژه ی GIMPS در ارتباط بودند. علاوه بر شوق دستیابی به عدد اول بزرگ تر، چیزی که آن ها را به رقابت بیش تری برای رسیدن به عدد اول بزرگ تر تشویق می کرد جایزه ی ۰۰۰/۱۰۰دلاری بنیاد EFF بود. اگر چه GIMPS ادعا می کند که در صورت بردن جایزه  ۲۵۰۰۰ دلار آن را خرج موسسات خیریه خواهد کرد، ولی بخش عمده ای از جایزه به پژوهشگرانی که در کشف اعداد اول سهیم بوده اند خواهد رسید. اما هنوز این جایزه به آن ها تعلق نگرفته است. زیرا عدد کشف شده ی آن ها دارای ۹۱۵۲۰۵۲رقم است ، در حالی که جایزه برای عدد اولی در نظر گرفته شده که بیش از ۱۰ میلیون رقم داشته باشد.

جرج ولتمن که پروژه یGIMPS را در سال ۱۹۹۶ آغاز کرد می گوید: امروزه اعداد اول در مبحث تئوری اعداد اهمیت زیادی دارند. هدف بیش ترین افراد شرکت کننده در این پروژه داشتن سرگرمی و حضور در یک کار پژوهشی ریاضی محض ونیز شانس پیدا کردن تصادفی یک عدد مرسن جدید است. به گفته ایشان ۷۰۰رایانه دانشگاهی پیشرفته بخشی از یک شبکه ی بین المللی موسوم به شبکه عدد اول (Primenet)است که شامل ۷۰۰۰۰ رایانه خانگی مرتبط با هم است که در سرتاسر جهان گسترده شده اند. با این کار یک ابر رایانه قوی با توانایی ۶/۱۸ میلیون محاسبه در ثانیه تشکیل شد. کل این پروژه فقط ۱۰ ماه طول کشید در حالی که انجام چنین کاری با یک رایانه حدود ۴۵۰۰ سال زمان می برد. این نهمین عدد اول مرسنی است که توسط GIMPS کشف شده است.

اگر می خواهید شما هم سهمی در کشف عدد اول بعدی داشته باشید می توانید نرم افزار رایگان مربوط را از سایت  www.mersenne.org/freesoft.htm  دریافت کنید. هر زمان که عدد اولی با بیش از ۱۰ میلیون رقم  پیدا  کردید  حتماً  برای  اطلاع  از  چگونگی  دریافت  جایزه ی ۰۰۰/۱۰۰ د لاری  به آدرس  www.mersenne.org/prize.ht مراجعه نمایید. می توانید برای اطلاع بیش تر از پژوهش های انجام شده درباره ی اعداد اول به سایت www.primes.utm.edu   مراجعه کنید.