تلاش بی پایان ذهن انسان های كنجكاو برای كشف ناشناخته ها و حل مسائل جالب یكی از جنبه های زیبای زندگی است. تاریخ علم نشان می دهد كه دانشمندان و ریاضیدانان متعددی عمر طولانی خود را وقف حل معماهای مختلف و شناسایی اسرارطبیعت و جامعه كرده و با حل هر مسأله نام خود را جاودانی كرده اند.
تكنولوژی كامپیوتر با توجه به پیشرفت جهشی خود در ۶۰ سال اخیر، هم به عنوان یك ابزار حل مسأله، هم به عنوان منبعی از كاربردهای متنوع آن، روز به روز جذاب تر شده و در این رابطه، الگوریتم به عنوان روش و مراحل حل مسأله، نقش كلیدی را در این فناوری ایفا می كند. یك مثال ساده برای الگوریتم، دستورالعمل های لازم برای روی هم قرار دادن قطعات مدل هواپیماست. این مونتاژ از قطعه خاصی شروع شده و سپس قطعات دیگر به ترتیب تا كامل شدن مدل، روی هم قرار می گیرند. یك برنامه كامپیوتری كه برای پیاده سازی و اجرای الگوریتم ها روی رایانه به كار می رود، مجموعه متناهی از دستوراتی است كه به ترتیب معینی از نخستین دستور به ترتیب تا انتها باید اجرا شوند.
این نوشته انواع الگوریتم ها را به صورت مختصر با عنوان مثال هایی برای هر كدام بررسی و مطالعه می كند. منظور از انواع الگوریتم ها، ارائه یك راه حل جامع و كارآمد برای مسائل مختلف است. الگوریتم ها هسته مركزی راه حل مسائل متعددی در بخش های علوم پایه، مسائل تجاری، رشته های مهندسی مانند طراحی پل ها، سدها، خودروها، هواپیماها، پیش بینی وضع جوی و نقشه های مربوطه، تجزیه و تحلیل ساختار مولكول ها و DNA، كشف ذخایر گاز و نفت و طراحی و بهینه سازی سیستم های كامپیوتری است.
از لحاظ تاریخی كلمه الگوریتم برگرفته از نام ریاضیدان معروف قرن نهم هجری، الخوارزمی است كه برای نخستین بار در كتاب معروف جبر و مقابله برای بعضی از مسائل ریاضی مانند معادلات خطی و معادلات درجه دوم، راه حل نوینی مطرح كرد كه تا آن مقطع زمانی ارائه نشده بود. الگوریتم به عنوان مراحل حل یك مسأله یا انجام یك كار، مجموعه ای متناهی از دستورالعمل هایی است كه برای رسیدن به خروجی های مطلوب با شروع از یك حالت اولیه به كار می رود.
در تعریف ریاضی الگوریتم به دستورالعمل ها یا رویه های خوش تعریف اطلاق می شود كه به وسیله ماشین تورینگ كه یك مدل انتزاعی از كامپیوترهای دیجیتال است، شبیه سازی و اجرا گردد.
روش های زیادی برای گروه بندی الگوریتم ها با توجه به قابلیت و توانایی های هر دسته وجود دارد. از یك دیدگاه كلی می توان الگوریتم ها را به دو گروه عمده الگوریتم های ترتیبی و الگوریتم های موازی تقسیم كرد.
● الگوریتم های ترتیبی
در این گروه از الگوریتم ها، رایانه فقط از یك پردازنده برای اجرای دستورالعمل ها به صورت ترتیبی (سریال) استفاده می كند. در این نوع رایانه ها كه به نام معماری فون نیومن معروف است، برنامه و داده ها در حافظه ذخیره می شوند. ریزپردازنده هر بار یكی از دستورات برنامه را بازیابی كرده، پس از تفسیر آن را اجرا می كند. چنین رایانه هایی را SLSD (جریان تك دستوری، جریان تك داده ای) می گویند. در اینجا به ۲ روش از الگوریتم های ترتیبی اشاره می شود.
▪ روش تقسیم و حل
در این روش، با استفاده از رویه های بازگشتی، مسأله اصلی را به زیرمسأله های كوچكتری تا جایی تقسیم می كنند كه امكان تقسیم مجدد آن وجود نداشته باشد. سپس با حل ساده ترین زیرمسأله ها و تركیب آنها با یكدیگر می توان به حل مسأله اصلی نائل شد. رویه بازگشتی، الگوریتمی است كه با استفاده از فراخوانی خودرویه، دستورات تشكیل دهنده آن را تا رسیدن به شرایط اولیه و خروج از آن، مكرر اجرا كند.
روش تقسیم و حل، یك روش طراحی بالا به پائین است، یعنی الگوریتم یك مسأله از سطح بالا به زیرمسأله ها تقسیم بندی می شود. به عنوان مثال می توان الگوریتم های جست وجوی دورویی در یك بردار (آرایه یك بعدی) یا در یك جدول (آرایه دوبعدی) ، مرتب سازی تركیب و مرتب سازی سریع ، مسأله برج های هانوی ، ضرب «ماتریس به روش استراسن»، عملیات محاسباتی مانند ضرب و جمع اعداد صحیح بسیار بزرگ و جدول مسابقات تیم ها در یك جام حذفی را با استفاده از روش تقسیم و حل انجام داد.
▪ الگوریتم برنامه نویسی پویا
در برنامه نویسی پویا به عنوان یك روش طراحی الگوریتم، چون راه حل مسأله از طریق تقسیم آن به زیرمسأله ها به دست می آید، مشابه روش تقسیم وحل است ولی برعكس آن، یك روش پائین به بالا یا یك روش جز به كل است، یعنی حل مسأله را از ساده ترین زیرمسأله شروع كرده و با قراردادن نتایج در یك آرایه، آنها را در محاسبات بعدی استفاده می كنند. در صورتی كه روش تقسیم و حل فاقد حافظه است. این روش طراحی الگوریتم، دارای شرایط بهینه سازی است وزیرمسأله ها هم بهینه هستند. به عنوان مثال، اگر برنامه نویسی پویا، برای مسأله كوتاه ترین مسیر كه با یك گراف مدل سازی می شود به كار می رود، هر زیرگرافی هم باید دارای ویژگی كوتاه ترین مسیر بین رأس های متشكله آن باشد. اگر اصل بهینه سازی برای یك مسأله مفروض، صدق كند می توان یك رابطه بازگشتی برای حل مسأله و زیرمسأله ها ارائه داد.
الگوریتم فلوید برای تعیین كوتاه ترین مسیر، ضرب زنجیری ماتریس ها، درخت های جست وجوی دورویی بهینه حاصل جمع بهینه لیستی از n عدد حقیقی، تعیین طولانی ترین زیر مشترك در دو رشته دلخواه و مسأله فروشنده دوره گرد (TSP) با استفاده از روش برنامه نویسی پویا قابل انجام هستند.
▪ الگوریتم های حریصانه
الگوریتم های حریصانه مشابه برنامه نویسی پویا، بیشتر برای حل مسائل بهینه سازی به كار می روند. با این اختلاف كه در برنامه سازی پویا از یك رابطه بازگشتی برای حل زیرمسأله ها استفاده می كنند. در روش حریصانه، تقسیم مسأله ها به زیر مسأله ها انجام نمی گیرد و روش تكرارشونده را به كار می برند.
در روش حریصانه در هر لحظه، با توجه به عناصر داده ای مفروض، عنصری را كه دارای ویژگی بهترین یا بهینه است (مانند كوتاه ترین مسیر، بالاترین ارزش، كمترین سرمایه گذاری، بیشترین سود و ...) انتخاب می كنند بدون این كه انتخاب های قبلی ما بعدی را در نظر بگیرد ولی انتخاب های بهینه محلی همواره منجر به راه حل بهینه سراسری نمی شود. این روش انتخاب، منجر به ارائه یك الگوریتم ساده و كارآمد می شود.
تعیین درخت های پوشالی مینیمم با استفاده از الگوریتم های پرایم، كروسكال محاسبه كوتاه ترین مسیر تك منبع با كاربرد الگوریتم دایجسترا ، مسأله زمان بندی مانند بهینه سازی زمان انتظار و سرویس به كاربران برای دسترسی به دیسك گردان ها در یك شبكه رایانه ای، تعیین حداكثر بهره برای مشتریان در یك زمان معین و مسأله كوله پشتی (كسری، صفرو یك) با استفاده از روش حریصانه قابل اجرا هستند.
الگوریتم عقبگرد
▪ الگوریتم عقبگرد، برای یافتن جواب مسأله ای با فضای جست وجو به طور گسترده ای به كار می رود و از آن به عنوان حالت اصلاح شده جست وجوی عمقی یك درخت نام می برند. در این روش، منظور از عقبگرد، پیدا كردن راه حل مسأله از طریق جست وجوی عمقی در درخت فضای حالت برای یافتن گره های امید بخش است. در صورتی كه موقع پیمایش درخت به یك گروه غیرامیدبخش برخورد كند كه منجر یه یافتن جواب مسأله نمی شود، باید به سمت ریشه درخت برگشته و عمل جست وجو را در دیگر شاخه ها ادامه داد. این فرآیند را هرس كردن درخت فضای حالت می نامند.
به عنوان مثال، مسأله n وزیر، استفاده از الگوریتم مونت كارلو برای نخستین كارآیی یك الگوریتم عقبگرد، مسأله حاصل جمع زیرمجموعه ها، مسأله رنگ آمیز گراف، مسأله مدارهای هامیلتونی، مسأله كوله پشتی صفر و یك با استفاده از راهبرد عقبگرد، قابل حل هستند.
▪ الگوریتم شاخه وقید
روش شاخه و قید با ایجاد درختی از زیرمسأله ها با توجه به مسأله اولیه و پیمایش درخت بدون قاعده خاصی، دنبال جواب های مسأله می گردد. این روش شكل بهبود یافته ای از الگوریتم عقبگرد است كه در آن شیوه خاصی را برای ملاقات گره ها اعمال نمی كند و در هر گره برای امیدبخش بودن آن گره، قید یا عددی را محاسبه می كند و فقط برای مسائل بهینه سازی استفاده می شود. به عنوان مثال مسأله كوله پشتی صفر و یك، بهترین جست وجو با هرس كردن، ایجاد یك تور بهینه و محاسبه طول آن، مسأله فروشنده دوره گرد و استنباط با عكس العمل استفاده از روش شاخه و قید اجرا می شود.
ا▪ لگوریتم جست وجو و پیمایش
این روش روی دو گروه از مسائل قابل اعمال هستند:
۱) روش های پیمایش
در روش های پیمایش، باید تك تك گره های یك درخت دودویی برای بررسی مقادیر عددی آنها ملاقات و بررسی جست وجو شوند.
۲) روش های جست وجو
روش های جست وجو كه حالت عمومی تری نسبت به روش های پیمایش هستند، می توانند روی رئوس یك گراف اعمال شوند.
جست وجو و پیمایش در درخت های دودویی و جست وجو و پیمایش گراف ها به صورت عرضی یا عمقی به وسیله این الگوریتم ها قابل حل هستند.
▪ الگوریتم ژنتیك
اخیراً دانشمندان رشته رایانه از نظریه تاریخی داروین برای حل مسائل علمی پیچیده استفاده می كنند تا بتوانند عملیات هوشمندانه را پیش ببرند. ۳ عامل اصلی نظریه داروین عبارتند از:
۱) تنوع: مشخصات والدین متفاوت با یكدیگر تركیب شده تا بتوانند موجودی را با خصوصیات برتر به وجود آورند.
۲) تصادف: عاملی است كه تغییراتی را در موجود فرزند ایجاد می كند.
۳) انتخاب: محیط، موجوداتی را گزینش می كند كه دارای شایستگی بالاتری از لحاظ ادامه حیات و تولید مثل باشند.
مدلسازی در الگوریتم ژنتیك بر پایه فرایند طبیعی تكامل و اصل بقای برتر است و مشابه طبیعت، عمل را با حفظ و تقویت جنس برتر و از بین رفتن جنس ضعیف انجام می دهد. در نتیجه منجر به ایجاد قدرتمندترین ساختار یا بهینه ترین آن برای بقا در محیط می شود. روش انتخاب ژنتیكی در طول میلیون ها سال، طبیعتی را پدید آورده كه براساس اصل بقای برتر و جهش سازنده قادر به حل پیچیده ترین مسائل از جمله ساختارهای پروتئینی برپایه بهترین جانشین آمینواسیدها عمل می كند.

منبع:

مناف ـ شریف زاده
روزنامه ایران

معرفی رشته های دانشگاهی علوم ریاضی و فنی

مسلمانان علم ریاضی ، خاصه جبر و مقابله را به گونه ای پیشرفت دادند که می توان گفت آنان موجد این علم میباشند.< xml="true" ns="urn:schemas-microsoft-com:office:office" prefix="o" namespace="">اگر اصول و مبادی علم ریاضیات قبل از اسلام در دنیا وجود داشت ، لکن مسلمین انقلابی در آن ایجاد کردند و از جمله اینکه قبل از دیگران جبر و مقابله را در هندسه بکار بردند.

جبر و مقابله تا بدانجا مورد توجه آنان بود که مأمون عباسی در قرن سوم هجری ( قرن نهم میلادی ) به ابومحمد بن موسی ، یکی از ریاضیدانهای دربار خود امر کرد کتاب سادةعام الفهمی در جبر و مقابله تآلیف نماید.

 محمدبن موسی (فوت در سال 257 یا 259 هـ. ق. ) یکی از سه برادر دانشمندی بود که به بنوموسی شهرت داشتند.در نیمةدوم قرن سوم هجری ثابت بن قره( 221-228 هـ. ق. )طبیب ،ریاضیدان و منجم حوزه علمی بغداد خدمات بسیاری را در زمینه ترجمه کتابهای علمی از زبانهای سریانی و یونانی به زبان عربی انجام داد.
وی دارالترجمه ای تأسیس کرد که بسیاری از دانشمندان آشنا به زبانهای خارجی در آن کار میکردند.

در این دارالترجمه بسیاری از آثاریونانیان نظیر آپولونیوس ، اقلیدس ، ارشمیدس ، تئودوسیوس،بطلمیوس .

 جالینوس و ائوتوکیوس به وسیله او یا تحت سرپرستی وی به عربی ترجمه شد.

 ابو حفض یا ابوالفتح الدین عمر بن ابراهیم نیشابوریمشهور به خیام نیشابوری از برجسته ترین حکما و ریاضی دانان جهان در سال 329 ه.ق در نیشابور به دنیا آمد .خیام کمتر می نوشت و شاگرد می پذیرفت ، وی برای کسب دانش به خراسان و عراق نیز سفر کرد . به واسطه تبحر و دانش عظیمی که در ریاضیات و نجوم داشت، از سوی ملکشاه سلجوقی فراخوانده شد، ملکشاه به او احترام می گذاشت و خیام نزد او قرب ومنزلت ویژه ای داشت . او بنابه خواست ملکشاه در ساخت رصدخانه ملکشاهی و اصلاح تقویم باسایردانشمندان همکاری داشت . حاصل کارش در این زمینه تقویم جلالی آن است که هنوز اعتبار و رواج دارد و تقویم او از تقویم گریگور یابی دقیق تر است .

 یکی دیگر از دانشمندان اسلامی که تحولی عظیم در علم ریاضی پدید آوردابوعبدالله محمدبن موسی خوارزمی (متوفی 232 هـ. ق. ) است.این ریاضیدان ، منجم، جغرافیدان و مورخ ایرانی یکی از منجمین دربار مأمون خلیفه بود. وی در بیت الحکمه مشغول کار بود.
بیت الحکمه مؤسسه علمی معروفی بود که مأمون خلیفة عباسی ( 198-218 هـ. ق. ) به تقلید از دارالعلم قدیم جندی شاپور در بغداد تأسیس کرد. ظاهراً فعالیت عمدة این مرکز ترجمة آثار علمی و فلسفی یونانی به عربی بود. عده ای از مترجمان برجسته و نیز کاتبان و صحافان در آنجا کار میکردند. کتابخانه ای که بدین طریق فراهم آمد و عنوان خزانه الحکمه داشت از زمان هارون الرشید و برامکه سابقه داشت. از مؤسسات وابسته به بیت الحکمه رصدخانه ای در بغداد و رصدخانه ای در دمشق بود که منجمین و ریاضیدانان اسلامی در آنجا به رصد کواکب و فراهم کردن زیجها (جداولی که از روی آن به حرکت اجرای سماوی پی می برند) اشتغال داشتند.
درباره اهمیت و ارزش آثار خوارزمی چنین آورده اند:

 خوارزمی درخشانترین چهره درمیاندانشمندانی بود که دردربار مأمون گرد هم آمده بودند. او کتب و آثاری را در علوم جغرافیا و نجوم تدوین نمود که سیصد سال بعد به وسیله آتل هارت انگلیسی به لاتین ترجمه و در اختیار علمای اروپا قرار گرفت.
ولی دو اثر او در ریاضیات نام او را جاودانی ساختند. یکی از آنها حل المسائل علمی ، برای زندگی عملی، با عنوان جبر و مقابله بود.

مترجمی که در قرون وسطی این اثر رابرگرداند نیز همان نام عربی رابرای آن برگزید و اولین کلمة عنوان کتاب یعنی « الجبر» رابرای همیشه در ریاضیات تحت عنوان( Algebra) به جای ماند گذاشت .
دومین اثر خوارزمی که نامش را جاودان ساخت ، همان کتاب آموزشی فن محاسبه بود که در آن طریقة استفاده از اعداد هندی را می آموخت. نوشتن اعداد ، جمع و تفریق ، نصف کردن و دو برابر کردن ضرب، تقسیم و محاسبات کسری. این کتابچه نیز به اسپانیا آورده و در اوایل قرن دوازدهم میلادی به لاتین برگردانده شد. ترجمة آن از عربی به لاتین با اینجمله آغاز می گردد:  

«چنین گفت الگوریتمی ( خوارزمی ) ، بگذار خدا راشکرگوییم، سرور و حامی ما.

Dixit algorithmi : lavdes deo»  rectori nostri atque defensori dicamus dignos

 ازدیگر دانشمندان اسلامی که در رشد دانش ریاضی بسیار مؤثر بودند می توان از ابوالوفای بوزجانی(328-388 هـ. ق. ) نام برد.

انسان اوليه نسبت به اعداد بيگانه بود و شمارش اشياء اطراف خود را به حسب غريزه يعني همانطور كه مثلاً مرغ خانگي تعداد جوجه هايش را مي داند انجام مي داد اما به زودي مجبور شد وسيله شمارش دقيق تري بوجود آورد لذا به كمك انگشتان دست دستگاه شماري پديد آورد كه مبناي آن 60 بود. اين دستگاه شمار كه بسيار پيچيده مي باشد قديمي ترين دستگاه شماري است كه آثاري از آن در كهن ترين مدارك موجود يعني نوشته هاي سومري مشاهده مي شود. سومريها كه تمدنشان مربوط به حدود هزار سال قبل از ميلاد مسيح است در جنوب بين النهرين يعني ناحيه بين دو رود دجله و فرات ساكن بودند. آنها در حدود 2500 سال قبل از ميلاد با امپراطوري سامي عكاد متحد شدند و امپراطوري و تمدن آشوري را پديد آوردند. نخستين دانشمند معروف يوناني طالس ملطلي (639- 548 ق. م.) است كه در پيدايش علوم نقش مهمي به عهده داشت و مي توان وي را موجد علوم فيزيك، نجوم و هندسه دانست. در اوايل قرن ششم ق. م. فيثاغورث (572-500 ق. م.)  از اهالي ساموس يونان كم كم رياضيات را بر پايه و اساسي قرار داد و به ايجاد مكتب فلسفي خويش همت گماشت. پس از فيثاغورث بايد از زنون فيلسوف و رياضيدان يوناني كه در 490 ق. م. در ايليا متولد شده است نام ببريم. در اوايل نيمه دوم قرن پنجم بقراط از اهالي كيوس قضاياي متفرق آن زمان را گردآوري كرد و در حقيقت همين قضايا است كه مباني هندسه جديد ما را تشكيل مي دهند. در قرن چهارم قبل از ميلاد افلاطون در باغ آكادموس در آتن مكتبي ايجاد كرد كه نه قرن بعد از او نيز همچنان برپا ماند. اين فيلسوف بزرگ به تكميل منطق كه ركن اساسي رياضيات است همت گماشت و چندي بعد منجم و رياضي دان معاصر وي ادوكس با ايجاد تئوري نسبتها نشان داد كه كميات اندازه نگرفتني كه تا آن زمان در مسير علوم رياضي گودالي حفر كرده بود هيچ چيز غيرعادي ندارد و مي توان مانند ساير اعداد قواعد حساب را در مورد آنها به كار برد. در قرن دوم ق. م. نام تنها رياضي داني كه بيش از همه تجلي داشت ابرخس يا هيپارك بود. اين رياضيدان و منجم بزرگ گامهاي بلند و استادانه اي در علم نجوم برداشت و مثلثات را نيز اختراع كرد. بطلميوس كه به احتمال قوي با امپراطوران بطالسه هيچگونه ارتباطي ندارد در تعقيب افكار هيپارك بسيار كوشيد. در سال 622 م. كه حضرت محمد (ص) از مكه هجرت نمود در واقع آغاز شكفتگي تمدن اسلام بود. در زمان مأمون خليفه عباسي تمدن اسلام به حد اعتلاي خود رسيد به طوري كه از اواسط قرن هشتم تا اواخر قرن يازدهم زبان عربي زبان علمي بين المللي شد. از رياضيدانان بزرگ اسلامي اين دوره يكي خوارزمي مي باشد كه در سال 820 به هنگام خلافت مأمون در بغداد كتاب مشهور الجبر و المقابله را نوشت. ديگر ابوالوفا (998-938) است كه جداول مثلثاتي ذيقيمتي پديد آورد و بالاخره محمد بن هيثم (1039-965) معروف به الحسن را بايد نام برد كه صاحب تأليفات بسياري در رياضيات و نجوم است. قرون وسطي از قرن پنجم تا قرن دوازدهم يكي از دردناكترين ادوار تاريخي اروپاست. عامه مردم در منتهاي فلاكت و بدبختي به سر مي بردند. برجسته ترين نامهايي كه در اين دوره ملاحظه مي نماييم در مرحله اول لئونارد بوناكسي (1220-1170) رياضيدان ايتاليايي است. ديگر نيكلاارسم فرانسوي مي باشد كه بايد او را پيش قدم هندسه تحليلي دانست. در قرون پانزدهم و شانزدهم دانشمندان ايتاليايي و شاگردان آلماني آنها در حساب عددي جبر و مكانيك ترقيات شايان نمودند. در اواخر قرن شانزدهم در فرانسه شخصي به نام فرانسوا ويت (1603-1540م) به پيشرفت علوم رياضي خدمات ارزنده‌اي نمود. وي يكي از واضعين بزرگ علم جبر و مقابله جديد و در عين حال هندسه دان قابلي بود.

 كوپرنيك (1543-1473) منجم بزرگ لهستاني در اواسط قرن شانزدهم دركتاب مشهور خود به نام درباره دوران  

اجسام آسماني منظومه شمسي را اين چنين ارائه داد:

1-مركز منظومه شمسي خورشيد است نه زمين.

2-در حاليكه ماه به گرد زمين مي چرخد سيارات ديگر همراه با خود زمين به گرد خورشيد مي چرخند.

3-زمين در هر 24 ساعت يكبار حول محور خود مي چرخد، نه كره ستاره هاي ثابت.

دیگر برای راهنمایی گرفتن جهت حل مسائل ریاضی خود نیازی به معلم، دوست و

 یا فرد دیگری ندارید. ‏حتی دیگر نیاز به خریدن حل المسائل نیز نخواهید داشت!

با ‏Mathway‏ شما می توانید به راحتی مساله ‏ریاضی خود را وارد کنید تا روش حل

 آن را فورا و قدم به قدم دریافت کنید.‏

‏- ابتدا وارد سایت ‏Mathway.com‏ شوید

‏- برای مشاهده نمودار روی دکمه ‏Graph‏ کلیک کنید!‏

یادگیری ریاضی پیرو اصول و قوانینی ا ست که توجه به آنها کار فراگیری را آسان می سازد ، از جمله آنها می توان به موارد زیر اشاره کرد:

 -        مطالب ریاضی کاملا به هم پیوسته هستند و باهم ارتباط نزدیک و منطقی دارند. به عنوان مثال تسلط در محاسبه چهار عمل اصلی در اعداد طبیعی ( دوره ابتدایی ) پیش نیاز محاسبات چهارعمل اصلی در اعداد صحیح ( سال اول  راهنمایی ) و تسلط در محاسبات چهارعمل اصلی در اعداد صحیح پیش نیاز محاسبات چهارعمل اصلی در اعداد گویا( سال دوم و سوم راهنمایی ) و محاسبات در چهار عمل اصلی اعداد طبیعی و صحیح و گویا پیش نیاز محاسبات در قسمت جبر و معادله است و 000

 -        در موقع تدریس در کلاس کاملا به درس دبیر گوش فرا دهید و اگر می توانید یادداشت مختصری بردارید به ویژه مثال هایی را که دبیر در کلاس حل می کند بنویسید و بعد از کلاس نوشته ها و یادداشت های خود را مرتب کنید .

 -        در حل تمرینات تعیین شده به وسیله دبیر ، حتما از فکر و ابتکار خودتان کمک بگیرید. اگر شما یک سوال ریاضی را با فکر و ابتکار خودتان حل کنید بهتر از آن است که بیست تمرین در کلاس توسط دبیر یا دانش آموزان حل شود و شما راه حل ها را رونویسی کنید . زیرا که انسان از کشف مجهولات و نادانسته های خود لذت می برد و لذتی که از حل مسائل ریاضی در انسان ایجاد می شود قابل توصیف نیست ، شما هم برای خودتان این لذت را تجربه کنید .

 -        برای حل تمرینات و سوالات مربوط به درس باید قبل از شروع به حل آنها به درس مربوط و مثال های حل شده در کتاب یا در کلاس مراجعه کنید و بدانید که : فراگیری علم ریاضی محتاج تفکر و توجه و دقت است . اگر از حل تمرینی بازماندید مأیوس نشوید و تسلیم سوال نشوید ، فکر کنید و قوه اندیشه خود را به کار ببرید حتما موفق خواهید شد .

 -        طبق آخرین تحقیقات انجام شده در سطح جوامع پیشرفته ، همه افراد توانایی یادگیری ریاضی را دارند ولی عده ای برای فراگیری آن باید زحمت بیشتری را متحمل شوند.

 -        اگر در درس ریاضی ضعیف هستید از دانش آموزان قوی کمک بگیرید و سعی کنید با راهنمایی آنها و یا اطرافیان سوالات ریاضی را خودتان حل کنید و هیچگاه از روی چیزی رونویسی نکنید زیرا این کار مانع رشد فکری شما شده و نیروی خلاقیت شما روز به روز کمتر خواهد شد .تا حدی که از مشاهده ساده ترین سوال ریاضی هم استرس و واهمه خواهید داشت .

 -        لازم است بدانید اکثر مفاهیم آموخته شده در کلاس درس در حافظه کوتاه مدت شما ذخیره می شود و شما فکر می کنید که آن درس را به طور کامل یاد گرفته اید در صورتی که عمر مفاهیم در حافظه کوتاه مدت بیش ار 30  ،  40 ساعت نیست و دچار فراموشی می شوید . در صورتی که تمام مفاهیم ریاضی باید در ذهن شما تثبیت شوند و به صورت ملکه ذهنی درآیند.که این امر میسر نخواهد شد مگر با حل سوالات درک و فهمی  و کاربردی و تلفیقی در مورد موضوع درس .

 -        امید است همه ما و دانش آموزان این مرز و بوم به اهمیت تحصیل و تزکیه نفس پی ببرند و قدمی در راستای پیشرفت جامعه برداریم.

 آن کس که هدف دارد ناامیدی  را نمی شناسد .

چگونه ریاضی بخوانیم !

 how to study mathematics

ردیف	نام کتاب	توضیحات کلی	دانلود وحجم فایل
۱	انفجار ریاضییات	مولف: انجمن ریاضی فرانسه و انجمن ریاضیات کاربردی و صنعتی  فرانسه زبان: فارسی تعداد صفحات: ۱۸۵ با فرمت pdf خلاصه ای از فهرست کتاب: هوا چگونه خواهد بود، پشت پرده تلفن همراه، پیداکردن ژنی که مسوول سرطان است، وقتی هنر با ریاضیات در هم آمیزند و ... چگونه می توان ریاضیدان شد و ..

رياضيات  سرشار  از  زيبايی  است  و اگر  کسی  دلبسته ی  آن  زِيبايی ها  شود ، هر گز از آن دل نمی  کند. خاطره ای  را از آموزگاری  بخاطر  می آورم .او از  شاگردش  می گفت : نمی  دانم  با او چه کنم.نه محبت  و گذشت  سرش  می  شود ، نه تنبيه  و تهديد! من تعجب کردم  از اين  که معلم  رياضی  در برخورد با  دانش آموز  تنها  دو حالت را در نظر می گيرد. حالت گذشت  و محبت  يا  تهديد .معلم  رياضی  بايد همه ی گونه های  ممکن را در نظر  بگيرد.يکی  از حالت ها اين است  که وقت صرف کند   تا دريابد شاگردش چقدر  رياضی می  داند؟ و درست از همان جايی  شروع کند که او احتياج دارد و  به  تدريج جلو برود.اين گونه  است  که راهی برای  پيشرفت دانش  آموز  پيدا  می  شود.

برای  ايجاد  خلاقيت  رياضی ،  بايد  بدانيم از کجا  شروع کنيم . نه  ابزار  و وسيله ای  لازم  است و نه  سابقه ی  ذهنی.تنها  چيزی  که لازم  است   اين  است  که  فرد  خود را  برای  درک  مطالب آماده  کند. مطالبی  که  به واقع  برای هر انسانی  قابل  فهم  است .

رياضيات  منطقی  است . دليل  بر  اين  نيست که  زيبا  نيست . دليل  بر  اين  نيست که  با هنر  خيلی  فاصله  دارد. اگر هنر  به درون  آدم می  نگرد، رياضيات  هم به درون آدم  توجه می  کند.اگر دانش  به ماهيت اجسام توجه می کند، رياضيات هم به ماهيت توجه می کند ، برای  دانش  و هنر  يک اختلاف جدی  قايل  هستند و می  گويند دانش همه چيز  را خرد می کند  و جز ء به جزء بررسی می کند. هنر  همه چيز را در کل می  بيند. رِيا ضيات دارای  هر دو جنبه  است ، يعنی هم  در کل  مسايل  را  می  بيند  هم خرد  می کند  و جز  به جز  می  بيند ، بنابراين هم هنر  است  هم دانش .برای  خلاقيت اول ببينيم   چه مقدماتی  لازم است ، اين  مقدمات صرف دقت  و تلاش است و ديگر هيچ. تنها تلاش  لازم است ، در زمانی که کوشش می  شود انديشه ی جوان ها  را به مسايل مختلف ، منحرف کنند، خيلی دشوار  است  که از ايشان بخواهيم تلاش  کنند و در زمينه ی  رياضيات کار خلاق  داشته باشند.از آن جا بخواهيم انديشه  هايشان را متمرکز کنند، در حالی  که همه جا  صحبت  از  فوتبال  و ورزش  است؟  من با  ورزش  دشمن  نيستم، اما  ورزشی که  سالم  باشد.ورزشی  که برای  سلامتی  مفيد  باشد  و نه  برخی  از  ورزش  ها مانند  هالتر  و کشتی  و بوکس  و برخی  از  ورزش های  رزمی  و حتا  تا حدی  فوتبال .از جوان  امروزی می پرسید در سال 1964 در فلان تیم اسپانیا ،در فلان روز چه کسی اولین گل را زد ؟فوری جواب شما را می دهد .اما اگر از او بپرسید ابوریحان بیرونی که بود و چه کرد،چیزی نمی داند.نظام سرمایه داری می خواهد جوانان کشور منحرف باشند.

ولی در کشور ما و کشورهای دیگر جهان سوم چه؟علاوه بر تلویزیون ،رادیو و وسایل سرگرم کننده دیگر که حالا  رایانه هم به آن اضافه شده،ورزش هم یکی از گرفتاریهاست .کسی که می خواهد در ریاضیات خلاق باشد باید وقت صرف کند.بدون صرف وقت ممکن نیست به جایی برسد .این اولین و آخرین شرط است .هیچ شرط دیگری نداریم . اما چه کسی می تواند تضمین کند که خلاقیت به ویژه خلاقیت ریاضی در جوان وجود دارد ؟یاد آوری می کنیم که خلاقیت جنبه های مختلفی دارد .شاخه ای از خلاقیت تنها در حل مساله است. در دنیا و یا در ایران هم ،آدم هایی هستند که کارشان تنها حل مساله است و کسانی در حل مساله ها گیر می کنند به آن ها مراجعه می کنند .اما اگر از این افراد بخوا هید قضیه ای را به قضیه های ریاضی اضافه کنند ، نمی توانند . برخی  هم  تلاش و خلاقيتشان در ترجمه است .چند کتاب می خوانند به  اصطلاح می گويند موسيقی دان  تنها  کارش اين نيست که آهنگ سازی کند ، آن که خوب هم  اجرا می کند ، خلاق  است.هم  ساختن آهنگ و هم اجرای خوب  هر دو  جزء خلاقيت است و اگر  خلاقيت  را به  اين معناهای مختلف بگيريم همه ی  آدم ها ، بی  استثنا ، همه ی  دانش آموزان  ما خلاق  هستند ، منتها  برای خلاقيت شرط هایی لازم  است :اولين  شرط  اين است  که به کار گروهی عادت کرده باشيم .در مدارس بچه ها  را  به کار گروهی عادت نمی  دهيم .روی کار انفرادی تکيه  می کنيم.

برای دانش آموز  بطور انفرادی  معلم می گيريم ، معلم سرخونه ، معلم خصوصی ، در سده های 17  و 18 ، شاهزاده های  اروپايی ، کسرشانشان بود که به مدرسه  بروند و برایشان معلم خصوصی می گرفتند.حالا خدا را شکر همه ی بچه های  ما  شاهزاده شده اند.همه معلم خصوصی می خواهند. پس مدرسه و معلم سرکلاس  برای  چيست ؟ در مدرسه  است که همه چير را بايد فهميد و همه چيز را بايد  ياد گرفت.  اين کارگروهی به معنای  اين است که دانش  آموز  عادت  کند  با هم  شاگردی هايش  همکاری  کند. بدون همکاری  با هم  ديگر  نه تنها  کار مربوط به مدرسه  دچار زحمت  می  شود  بلکه در مجموعه ی  مسایل زندگی و جامعه هم گرفتاری پيدا می شود . این جا داستانی از دوران معلمی  خود  نقل می  کنم. در  سال 1326 در يکی  از مدرسه های  تهران درس  می دادم،در سالی  که خودم  دانشجو  بودم.يک ماه سر کلاس  رفتم و  سعی کردم در اين  یک ماه  شاگردها را بشناسم .بعد شاگردها را به گروه های  سه نفری  دسته بندی  کردم  به اين قرار : يک شاگرد خوب يعنی  درس  خوان ، يک  شاگرد متوسط و يک  شاگرد تنبل ، به آن ها توضيح دادم بعد از هر امتحانی  ورقه های  شما را جدا  تصحيح می کنم، ولی  نمره های  هر گروه را با هم  جمع و به  سه  تقسيم می  کنم و برای هر نفر آن  نمره  را به  حساب می آورم.صدای  شاگردهای خوب درآمد.آقا به من  چه ديگران درس  نمی خوانند؟

گفتم من اين جور می خواهم.اين ها باور نکردند که معلمی  اين قدر بی  منطق  باشد. سه ماهه ی  اول  همين کار را کردم، بچه ها ديدند  با معلم بی منطقی سروکار دارند.کسی که نمره ی 20 گرفته، به دليل اين که  دو نفر ديگر گروه يکی 10 گرفته و ديگری  سه ، نمره ی  هر سه نفر 11 شده  است. اين گونه بود که  افتادند به جان هم . اولين بار در کريدور مدرسه ،شاگردی دنبال  شاگرد  ديگری می  دويد که تو را به خدا بيا  اين   قضيه  را ياد  بگير، تو پدره نمره من را در آوردی و من  فهميدم که به نتيجه ای که می  خواستم، رسيدم.اما باور نکنيد به آسانی از اين مهلکه  گذشتم. بيش  از همه مدير و مسوولين مدرسه و پدر و مادرها  پوست مرا کندند .از  سوی  آموزش  و پرورش  هم آمدند  و بازرسی  کردند،با  شاگردها،من و مدير مدرسه  صحبت کردند .اما از آن ها خاطرم  جمع  بود. تا بروند گزارش  بدهند و گزارش  به جايی  برسد  دستور  بيايد  و  سرانجام تصميم بگيرند و ابلاغ کنند ، سال گذشته است .اما پدر و مادرها  و مسوولين  مدرسه هميشه  بيخ گوشم  بودند، به هر حال شاگردها افتاده بودند به  جان  همديگر . خانه ی همديگر می  رفتند. آن موقع  ظهرها  دو  ساعت و نيم  تعطيل  بودند . ظهرها مدرسه می  ماندند، با هم درس  می  خواندند ، ثلث  دوم هم  به همين ترتيب عمل کردم .معدل کلاس کمی  بالا آمده  بود .برای  سه ماهه ی سوم ( چون در  آن مقطع  سه کلاس  وجود داشت  ، که آن دو  کلاس  ديگر  معلم های  ديگری  داشتند) ،  از معلم  های  ديگر  خواهش  کردم  سوال ها  را تعيين کنند. می خواستم  تحت تاثير سوال های خودم  قرار نگيرم.سوال ها از خارج  باشد  ببينم نتيجه  برای  شاگردهای من چگونه  است . سوال ها را آن ها  طرح کردند.امتحان کرديم و اين بار  يعنی سه ماهه ی آخر هر  نمره را به  صاحب ورقه ی خود  دادم ، معجزه اتفاق  افتاده بود معجزه ای  که ديگر  هرگز  در هيچ کلاسی نديِدم .کمترين نمره ی آن کلاس 5/15  بود . اما در آن  کلاس  شاگردی  بود که  رفوزه  شد. شاگردان  بسياری   بودند که تجديد  شدند،اما  در درس  هاس  ديگر ، چون  عادت کرده بودند درس  نخوانند .ولی  در درس  هندسه(هندسه از  درس  هاس  دشوار رياضی است )، شاگردهای  من  توانستند  با نمره هايی  بالاتر  از  5/15  قبول  شوند .اين نتيجه کار گروهی  است.

من اين آزمايش  را  تنها  برای  اين کردم  که  ببينم  نتيجه اش  چه می  شود.بايد  انديشيد و راه حل های  ديگری  پيدا کرد.درس  کلاس  از جمله رياضيات  برای  بالا بردن  شخصيت  دانش  آموز و اعتبار اجتماعی  او است ، اين  اعتبار و شخصيت اجتماعی  را از کجا بايد پیدا کند؟ تنها در کار گروهی ممکن  است .اين گونه  عادت  می  کند  با هم  شاگردی اش  کار کند  و عادت  می کند حرف  او را بشنود و مسايل  ديگری  را که ناشی از کار گروهی  است  بياموزد.توصيه ی  ديگر اين که  دفتر خاطره های علمی  داشته  باشيد ، کتابی را می  خوانيد که در آن مطلبی برايتان جالب  است آن  را یادداشت  کنيد  و تاريخ  بگذاريد  که از  کجا  نقل کرده ايد .گاه به گاه  به دفتر خاطراتتان  مراجعه کنيد .حرف معلم را می شنويد  ،خيلی چيز  جالبی گفته ، یا بر عکس چيزی که به مذاق شما  خوش نيامده ،آن را یادداشت  کنيد.بنويسيد  که خوشتان آمده يا خوشتان نيامده است .عادت کنيد  هر چه  می نويسيد  دقيق و درست  باشد.دوستی  داشتم که وقتی مساله ای  حل  می کرد( روی  چرک  نويس )؟، کارش  که تمام  می  شد  آن ها  را می  ريخت توی  سبد  آشغال ، يک مرتبه يادش  می آمد مساله ای  را اشتباهی  حل کرده ،در  سبد آشغال می گشت ،آن  را پيدا می  کرد می  آمد کاغذ را باز می  کرد آن  را خط می  زد  و اصلاحش  می  کرد،دوباره مچاله اش می کرد می انداخت   درون  سبد.ممکن  است به نظر  برسد  اين کار برای  چيست ؟ او نمی  خواست  مطلبی  نوشته باشد که نادرست  باشد ،حتا  اگر در  سبد زباله برود!

همه جا  می  خواست  مطلب  دقيق  و  درست  باشد.و اين يکی از آموزش های ریاضی است.در ریاضیات فرضیه نمی سازد يا یک مطلب درست است يا نادرست. اگر در ست است،ديگر فرضیه نمي سازد  اگر نادرست است بايد به کنار برود.

همه جا می خواست  مطلب  دقيق  و درست  باشد. و اين يکی  از آموزش  های  رياضی  است . در رياضيات فرضيه نمی  سازند  يا  يک مطلب درست  است یا نادرست. اگر درست  است ، ديگر فرضيه نيست  و اگر نادرست است  بايد کنار برود. به همين مناسبت می گويند در رياضی مجادله وجود ندارد.دو نفر  اگر با هم اختلاف  داشته باشند ، خيلی راحت  يا با شکل يا با فرمول و يا  استدلال رياضی، هم ديگر را قانع می  کنند.در بحث های فلسفی ، اجتماعی ، اجتماعی ، علوم انسانی ، به طور کلی  انواع  بحث  ها  پيش  می  آید، حتا در فيزيک ، شيمی ،بسته به نتيجه ی تجربه، ممکن است  بحث هایی وجود داشته باشد .ولی  در رياضی بحثی وجود ندارد.به همين  مناسبت لايب نيتس  يکی  از بزرگترين رياضی دان ها است ، دلش  می خواست فرمولی  جهانی  پيدا کند.آرزوی لايب نيتس  اين بود که دو  فيلسوف وقتی يکی  آن  سوی ميز و يکی  اين سوی  ميز می  نشيند، به جای  اين  که با هم  جدل کنند، با فرمول رياضی  بنويسند و به هم ديگر پاس  بدهند و نتيجه بگيرند که چه کسی درست می  گفته و هيچ جدلی نباشد ، هيچ  بحثی نباشد.متاسفانه نظر لایب نيتس درست  نبود .نمی  شد همه ی  همه مسايل جهانی  را در فرمول های  رياضی منظم  کرد. دليلش  هم روشن  است . موقعی  می شود اين فرمول را ساخت  که همه مردم جهان آماده  باشند. یعنی  هر آنچه که بايد کشف شود ، شده باشد. هنوز خيلی  مانده تا  همگان بيايند. اين مقدماتی برای خلاقيت  رياضی  بود . اما خلاقيت چه راه هایی دارد ، چگونه می  شود خلاقيت را به وجود آورد؟

توضيح دادم از هر کسی انتظار خاص  خودش را بايد داشت .هر کس در خودش ، در مرز خودش  ممکن است  خلاق باشد و تمام وقت جوانان  را تلويزيون ،رايانه  و ورزش  نگرفته باشد. اما خلاقيتی  که مد نظر ما است ، چيزی  که بشود احشاسش کرد  و درکش  کرد ، نيست.ن.عی  از خلاقيت  در مرحله های بالا اين است  که به کشف های جديدی، به قضيه های  جديدی  برسيم. ولی مگر می شود به خصوص در رياضی  به جايی  رسيد، بدون این که  پلکان قبلی را طی کرده باشيم. در بعضی مسایل، به ويژه مسايل مربوط به عددهای  طبيعی، گاهیی الهام وجود دارد. حتا هانری پوانکاره، که يکی  از  رياضی دانان بزرگ سده ی نوزدهم بود، به الهام اعتقاد داشت. نه تنها به الهام ، بلکه به اين اعتقاد داشت  که يک دفعه فکری  ناگهانی به آدم روی  می آورد که موجب می  شود همه چيز درباره ی  مساله ای برايش  روشن  شود.آيا برای  همه  اين وضع پيش می آید؟ اين برای هانری پوانکاره پيش می آید که تمام مقدمات رياضی  را می داند. برای  من پيش آمده  که روزهای متوالی  روی مطلبی  ذهنم مشغول بوده است ،بعد يک مرتبه از خواب بيدار شدم و ديدم در خواب مطلب را حل کردم، خوشحال شدم.گفتم خوب صبح آن را يادداشت می کنم.اما  صبح  از يادم رفته بود.از آن شب دطگر  يک کاغذ و قلم می گذاشتم پهلوی دستم. يک بار ديگر پيش آمد که همان موقع بيدار شدم ، چراغ را روشن کردم و مغز استراحت ندارد، مانند رایانه، در خواب هم کار روزانه را تعقيب می کند. به واقع تعبطر خواب  را از روی  اعمال روزانه  می شود پیدا کرد.اين است  که یک الهام  ناگهانی ،بر  اساس  اطلاعات  و آگاهی  های  قبلی  است . يکی ديگر از چيزهایی که برای خلاقيت در رياضی  لازم است تخيل است .درباره ی داويد هيلبرت (رياضی دانی که فاشطست ها او را کشتند.او در سال 1945 از زندان آزاد شد.اما چند روز بعد درگذشت)، يکی از بزرگترين رياضی دانان  نه در عصر خود  که در تمام اعصار  بود.روزی به او خبر دادند که فلان شاگردت  رياضيات را ترک کرد،و به شاعری  پرداخته  است . هيلبرت گفت :چه خوب ، تخطل اين شاگرد به اين اندازه نبود که بتواند رياضی دان شود، همان بهتر که شاعر شد. اين گفته نشان می  دهد که هيلبرت تخيل را چه قدر برای  رياضی لازم می داند. تخيل در مراحل اول  دبيرستان ، بيشتر برای شکل ها ، به ويژه هندسه فضايی  لازم است .ولی  در مراحل بالاتر  در همه جا. هر گونه کاری را که آدم در رياضی بخواهد انجام  دهد، تخطل برايش  لازم است.برمی گرديم  به حرف اولم. بيشتر از همه ی اين ها  ،کار مداوم و سخت .اما از دانش های  ديگر و از  هنر هم نبايد  غفلت کرد. يک  رياضی دان  خوب به شرطی  می تواند  رياضی  دان خوبباشد، که به تمام دانش  ها به حد معقول آشنا باشد.از هنر لذت ببرد ، در حد معقولش. کسی که يک بعدی  رياضی کار می کند حتا رياضی دان خوب نمی تواند  باشد. بايد جوان امروزی را عادت داد که تاريخ بداند. به ويژه تاريخ کشور خودش را. تاريخ علم کشور خود را بشناسد. بايد يک جوان را عادت داد ، رمان های کلاسيک  را بخواند .شعر بخواند و با دانش های  مختلف هم آشنا باشد. به هنری  که دوست دارد نقاشی ، مجسمه سازی  يا موسيقی هم بپردازد.بعد بقيه ی وقت خود را  صرف  رياضی کند.اما حالا می رسم به  مساله ای  اساسی : آيا همه اينها  با وضعی  که در کنکور ما هست عملی  است ؟ آيا کارگروهی ، تعاون اجتماعی  و به فکر  هم شاگردی خود بودن ، با کنکور موافق  است ؟ هر کسی  سعی  می کند  راه خودش را برای  خودش  نگه دارد.يک ميليون و نيم  داوطلب وجود دارد.اگر رشته حلبی سازی  را هم به حساب بياوريم ، یک صد و پنجاه هزار نفر می گيرند يعنی  ده به یک ، يک مسابقه ی وحشتناک.آن وقت شاگردان در رشته ای هم که می خواهند قبول نمی شوند و تست هم  جواب گوی  واد آدمی زاد نيست .تست را که لعنت بر بنياد گذارش باد ،آمريکايی ها درست کردند.حالا خود آن ها کنار رفتند و فهميدند که با تست نمی  شود کاری کرد، ولی ما رهايش نمی کنيم.در تست  می شود تاريخ پرسيد؟ از کاربرد رياضی پرسيد؟می شود  فلسفه ای ريضی پرسيد؟ حتا خود رياضيات هم و مفهوم های  رياضی را هم نمی شود  پرسيد!

ولی  ما از  تست استفاده می  کنيم  و با تست  قبولی  و ردی  می دهيم.همين امسال  جوانی که خوب  درس  خوانده بود و معتقد بود که  قبول می  شود  و حقش  هم بود ،در کنکور قبول  نشد  و خودکشی کرد. جواب اينها را چه کسی می  دهد؟ نمی گويم که يک مرتبه راه حلی  پيدا کنند که  کنکور محو  شود.کاری  است که کرده اند و ساليانی  به آن ادامه داده اند.نه آنگونه که چهار سال  پيش شروع کردند. پيش دانشگاهی را شروع کردند که کنکور  سبک شود، در واقع  يک کنکور به کنکورها  اضافه کردند، حالا برای  فوق ليسانس و دکترا هم کنکور گذاشته اند و آن هم  با تست ! حالا اميد داده اند  از سال 81 ديگر کنکور را به گونه ای  حل کنند. اما چه گونه، من نمی دانم!  علت اصلی تمام اين چيزها  اين است که تمام کارها  را می  خواهند پشت در اتاق های  در بسته  انجام دهند. اين معلمين رياضی چه کاره اند؟ انجمن های معلمين  رياضی چه کاره اند؟  چرا با آنها مشورت نمی کنند. چهار نفر می  نشيند در اتاق تصميم می گيرند فلان کار را بکنيم و این گونه مشکل را  حل می  کنند و مشکل هم حل نمی  شود.  مسايل ديگر جامعه هم  تا موقعی که در اتاق های  بسته  تصميم می گيرند،حل نمی شود. 

المپيادها حرکتی در جامعه ما بوجود آورده است .چون دانش آموزی که به اميد رفتن به المپياد است از ابتدا کوشش می کند  که مفاهيم را درک کند، اما متاسفانه تنها مفهوم های  نظری به تاريخ  رياضی و به  کاربرد رياضی و به فلسفه ی  رياضی هيچ توجهی ندارد. دختر خانمی  که در المپياد شرکت کرده بود و نمره ی خوبی  هم گرفته بود ، از هواپيما که پياده شد ، خبرنگار يکی  از کانال  های  تلويزيونی  ، فوری ميکروفون را گرفت  جلوی او و گفت  دخترم می دانی جمشيد کاشانی کيست ؟ گفت : نه . نمی دانم .خبرنگار گفت: اون عدد پی را کشف کرده . حالا از عدم آگاهی آن دختر خانم که بگذريم، جواب گوينده تلويزيون خيلی  مضحک بود.عدد پی قابل کشف نيست.عدد پی در تورات مقدارش تعيين شده : برابر با سه. از روی قديمی ترين  نوشته ای  که داريم و بعد از آن  شايد چند سال بعد، در مصر آن را 16/3  حساب کرده اند و عدد پی را نمی شود کشف کرد.  آن چه جمشيد کاشانی  انجام داد محاسبه  می گويند نه کشف . اطلاعات جوان های ما در زمينه ی تاريخ  رياضی اين گونه است  و اين بايد حل شود.بايد به گونه ای معلمان رياضی ما جرات کنند و در انجمن های معلمان  مطرح کنند. پشت سرهم به وزارت آموزش  و پرورش بنويسند که برای اين  کنکور  فکری بايد کرد!  دوم برنامه های رياضی دبيرستانی  بايد چنان باشد  که با تاريخ ، فلسفه و کاربرد رياضی همراه  باشد.در غير این صورت قابل پذيرش نيست . 

****

منبع : کتاب " خلاقيت و  رياضيات   "-برگرفته شده از  کتاب  خلاقيت در  رياضيات و مهندسی - گردآورنده  و مترجم : پرويز  شهرياری- ناشر : پژوهنده  -چاپ اول- 1380 -تيراژ 3100

قضیه 2: اگر n^۲ زوج باشد، آنگاه n زوج است.
اثبات: در این مورد "n^۲ زوج است" 'گزاره A و "n زوج است" گزاره B می باشد. نشان می دهیم اگر n فرد باشد (نقیض B) آنگاه n^۲ فرد است (نقیض A). به این ترتیب که: می دانیم که عدد صحیحی چون K هست که n=۲k+1. بنابراین:

n^۲ = (۲k+۱)^۲ = ۴k^۲+۲k+۱ = ۲(۲k^۲+k)+۱.

چون k صحیح است پس 2k^۲+k نیز صحیح است. پس ما نشان دادیم که n^۲ فرد است.

 3. اثبات با تناقض (برهان خلف) (PROOF BY CONTRADICTION):

در این روش از برهان، می خواهیم نشان دهیم که " اگر A آنگاه B ". برای این کار فرض میکنیم خلاف این حکم درست باشد (فرض خلف). یعنی فرض می کنیم که " گزاره A درست و گزاره B غلط است." . حالا باید به دنبال یک تناقض بگردیم. این تناقض ممکن است، با فرض قضیه و یا یک حکم بدیهی که از درستی آن مطلع هستیم ولی در فرض مسئله نیست، ایجاد شود. مثلا به این حکم برسیم که 3 کوچکتر از 0 است (تناقض با یک دانسته بدیهی). خوب! به محض اینکه به یک تناقض رسیدیم، نتیجه می گیریم که چیزی که فرض کردیم (فرض خلف) غلط بوده، پس قضیه درسته.

قضیه 3: n و m را اعدا صحیح در نظر میگیریم. اگر n.m زوج باشد، حداقل یکی از اعداد n یا m ، زوج است.

اثبات: فرض میکنیم که "n.m زوج است (A) ولی نه m و نه n هیچکدام زوج نیستند (Not B)" (فرض خلف). بنابرای ما می توانیم بنویسیم:
عددیهای صحیح k و c وجود دارن که : n=۲k+۱ و m=۲c+۱ . در نتیجه:

n.m = (۲k+۱)(۲c+۱) =  ۴ k.c + ۲k + ۲c +۱ = ۲(۲k.c + k + c) +۱

n.m فرد است. از آنجایی که این یک تناقض (با فرض) است، نتیجه میگیریم که قضیه درست است.

نکته: این یه نکته کوچولو رو داشته باشید که درستی این روش بر اساس قانون ِ"طرد ِشِق ِوسط " است. این قانون میگه که یک گزاره یا درسته و یا غلط و حالت بینابین یا حالت سومی نداره. این روش اثبات تنها در منطق دو ارزشی پذیرفتنی است. (نگران نباشید. این یعنی تقریبا همه جای ریاضی ای که ما می خوانیم به جز جایی که دقیقا در زمینه منطق های چند ارزشی صحبت میشه.) در این روش میگیم: چون فرض غلط بودن حکم به تناقض می رسه، پس غلط نیست، پس درسته. چون نمیتونه نه درست باشه نه غلط.

برای آشنایی با کامل ترین نوع منطق چند ارزشی (منطق فازی Fuzzy) می تونید به وبلاگ امید ریاضی سر بزنید.

 
  4. اثبات با استقراء (PROOF BY INDUCTION) :

در مواردی می خواهیم نشان دهیم که گزاره S(n) برای تمام اعداد صحیح بزرگتر از عدد صحیحی چون n₀ درست است. برای این منظور باید دو مرحله را انجام دهیم:

 الف) مورد پایه: باید نسان دهیم که S(n₀) ، (یعنی گزاره S(n) در مورد n₀ ) درست است.

ب‌)   فرض استقرائی: فرض میکنیم که S(n) برای یکn > n₀  درست باشد و نشان میدهیم که S(n+۱) نیز درست است.

قضیه 4: برای هر n>=0 و x <> 1 داریم: (علامت <> یعنی مخالف)

۱+ x + x^۲ + … + xⁿ = (xⁿ⁺¹ – ۱)/(x-۱)

اثبات: ابتدا نشان میدهیم که برای مورد پایه درست است. برای n=0 ، S(0) میرساند که

        ۱= (x^0+۱ -۱ )/(x -۱)   که این به روشنی درست است.

حالا فرض استقراء را دانبال می کنیم: فرض میکنیم که

۱+ x + x^۲ + … + xⁿ = (xⁿ⁺¹ – ۱)/(x-۱)

باید نشان دهیم که:

۱+ x + x^۲ + … + xⁿ  + xⁿ⁺¹ = (x^n+۲ – ۱)/(x-۱)

داریم:

۱+ x + x^۲ + … + xⁿ  + xⁿ⁺¹  =  (xⁿ⁺¹ – ۱)/(x-۱) + xⁿ⁺¹

= ( xⁿ⁺¹ – ۱ + (x-۱).(xⁿ⁺¹) ) / (x-۱)

= ( xⁿ⁺¹ – ۱ + x^n+۲ – xⁿ⁺¹ ) / (x-۱)

= ( x^n+۲ – ۱ ) / (x-۱) .:.

که در اولین تساوی از فرض استقرائی استفاده کردیم و بقیه تساویها، اعمال ساده جبری اند. به این ترتیب قضیه ثابت شد.

نکته: معمولا نشان دادن اینکه حکم برای مورد پایه درست است بسیار بدیهی و ساده است. اما با این وجود این مرحله بسیار مهم است و عدم در نظر گرفتن آن ممکن است به نتایج غلطی منجر شود. برای اینکه مطلبمون زیاد طولانی نشه، روش پنجم اثبات رو هم میگم و مثال هایی در مورد اهمیت مورد پایه در روش استقرا و بعد دو روش غلط اثبات رو برای پست بعدی می گذاریم.

 
  5. رد کردن یک حکم با مثال نقض (DISPROOF BY COUNTEREXAMPLE):

گاهی لازم است نشان دهیم که یک حکم غلط است. برای نشان دادن اینکه یک "حکم" غلط است، یکی از ملزومات آوردن یک مثال نقض است. مثال زیر را ملاحظه فرمائید:

قضیه 5 (اشتباه): به ازای هر n صحیح، 3n زوج است.

اثبات اشتباه بودن: یک مثال نقض مورد n=۷ است. زیرا 21=7×3  زوج نسیت.

توجه کنید که در بعضی موارد یک حکم ممکن است برای بسیار و یا حتی بینهایت مورد درست باشد و حتی در بعضی موارد آوردن مثال نقض بسیار سخت است. مثلا در مورد حدس گلدباخ با آنکه اثبات کاملی برای آن ارائه نشده (نکنه شده من نمی دونم) اما تا به حال مثال نقضی هم برای آن پیدا نشده است.حدس گلدباخ: هر عدد صحیح زوج بزرگتر از 2، مجموع دو عدد اول است.
راستی می پرسید پس یک کلمه ریاضی چی شد؟

خواستم پست طولانی نشه. یه جای خوب براس پیدا می کنم.شما کلمه های توی اسم روش ها رو بخونید فعلا. مثلا :  CONTRADICTION یعنی تناقض.

 منبع:science.persianblog.com

قالب هاي ملي براي آموزش رياضي

منبع اصلي اين نوشته ، کتاب " قالب هاي ملي براي آموزش رياضي و علوم : دايرةالمعارف نظام هاي آموزشي کشورهاي شرکت کننده در تيمز" از سري انتشارات تيمز است که توسط ديويد روبيتال ، مسؤل سابق کميته بين المللي تيمز ، و استاد آموزش رياضي دانشگاه بريتيش کلمبيا در کانادا ، تدوين شده است . اين کتاب در سال 1997 ، توسط انتشارت آموزشي پاسيفيک ، دانشکده علوم تربيتي دانشگاه بريتيش کلمبيا، چاپ شده است. نويسنده مقاله ، اين مطلب را به عنوان بخشي از تکليف درس " نظريه هاي آموزش رياضي " که توسط دکتر زهرا گويا ، در نيم سال دوم تحصيلي 81- 1380 در دانشگاه شهيد بهشتي تدريس کرده است.

 مقدمه

 نتايج حاصل از سومين مطالعه بين المللي رياضيات و علوم 1 (TIMSS) و تکرار آن (TIMSS-R)2 که توسط انجمن بين المللي ارزش يابي پيشرفت تحصيلي 3 (IEA) برگزار شد ، نشان داد که عملکرد دانش آموزان ايراني نسبت به عملکرد دانش آموزان ساير کشورهاي جهان ، بسيار ضعيف است و با متوسط جهاني ، فاصله زيادي دارد ( کيامنش ؛ خيريه ، 1379 ) . اين مطالعه ، مهم ترين و بزرگ ترين مطالعه اين انجمن در دهه 90 بود و نزديک به 41 کشور عضو انجمن ، در اين مطالعه (TIMSS) شرکت داشتند (عصاره ، 1380) . طبيعي است که همه کساني که به نحوي با آموزش رياضي در ارتباط هستند ، در پي کسب اين نتايج ضعيف ، به جستجوي علل اين نتيجه غير منتظره پرداختند. شاهد اين ادعا ، برگزاري همايش علمي – پژوهشي آموزش رياضي و علوم با تاکيد بر يافته هاي تيمز (TIMSS) در روزهاي 10 و 11 آذر 1378 در دانشگاه تربيت مدرس است و نوشتن چند پايان نامه در رابطه با تيمز ( سلسبيلي ، 1378 ) . اگر چه تعداد پايان نامه ها يي که در اين زمينه نوشته شده اند بسيار کم هستند ، ولي اين مورد از اهميت موضوع کم نمي کند و شايد يکي از دلايل نبودن پژوهش هاي بيشتر در اين زمينه ، عدم وجود رشته آموزش رياضي تا قبل از سال 1380 باشد. به هر حال ، بايد در جستجوي روش هايي براي ارتقاي سطح سواد عمومي رياضي در کشور بود. البته اين روشها بايد براساس کارهاي پژوهشي اصيل باشند تا نتيجه هاي مناسب را براي آموزش عمومي کشور به همراه داشته باشند . به گفته گويا ( 1376 ) در تحولات آموزشي ، حداقل ده سال تلاش مستمر و همگاني لازم است تا نتايج مطلوب حاصل شوند . بنابراين ، براي ايجاد تغييرات مناسب و مفيد در آموزش و پرورش ، بايد وقت لازم را براي آن صرف کرد . بسياري از معلمان و بعضي از معلمان رياضي ، علت اين نتايج ضعيف را ناشي از کمبودهاي نظام آموزشي ، شلوغ بودن کلاس ها ، متمرکزبودن نظام آموزشي و غيره مي دانند ، در حالي که عوامل زيادي را ناديده مي گيرند. در اين مقاله سعي شده است تا ساختار آموزش و پرورش چند تا کشور دنيا که خصوصيات ويژه اي دارند ، مورد بحث و بررسي قرار گيرد تا اين شبهه که علت اين ضعف در عملکرد ، تنها به کمبود هاي کلاس درس بر نمي گردد ، بلکه به عواملي مانند نحوه ارزش يابي ، نحوه تدريس و غيره نيز بستگي دارد ، رفع شود. در دنباله اين مقاله ، شش کشور مختلف از قاره هاي متفاوت جهان و با نظام هاي آموزشي متنوع از قبيل متمرکز و نيمه متمرکز ، انتخاب شده اند ، تا شايد بتوانيم ضمن آشنايي با آن ها و چگونگي برنامه ريزي درسي شان ، از روش هايي که موجب موفقيت يا شکست آن ها شده است ، تجربه کسب کنيم . براي اين منظور ، کشورهاي سنگاپور ، کره جنوبي و ژاپن ، که هم در مطالعه تيمز و هم در مطالعه تکرار تيمز ، عملکرد بسيار خوبي نسبت به ساير کشورهاي جهان داشتند ، و نيز کشورهاي انگلستان و کانادا که از جمله کشورهاي صنعتي هستند که نتايج خوبي در اين مطالعه نداشتند ، انتخاب شده اند . لازم به ذکر است که کشور کره جنوبي ، برنامه هاي پنج ساله توسعه را هم زمان با ايران شروع کرده و کلاس هاي درسي کشور کره جنوبي ، هم چون کلاسهاي درسي ايران ، از نظر تعداد دانش آموز شلوغ است و حتي در بعضي موارد ، شلوغ تر هم هست ( روبيتايل ، 1997 ) .

ايران

 به گفته کيامنش ( به نقل از روبيتايل ، 1997) ، در سال هاي 93 ، 94 و 95 ، پنج درصد در آمد ناخالص ملي در ايران ، صرف آموزش و پرورش شد ، که مقدار هزينه صرف شده براي آموزش و پرورش به ترتيب 1.5 ، 1.9 و 2 ميليارد دلار بود. خط مشي هاي تربيت و تدريس را وزارت آموزش و پرورش تهيه و اجرا مي کند و اين خط مشي ها ، براي کل آموزش و پرورش قبل از دانشگاهي اجرا مي شود.

 براي تهيه و تدارک کتاب هاي درسي ، در جلسات ويژه اي اهداف هر سطح آموزش تعيين مي شوند. در سال 95 – 1994، آموزش و پرورش بيش از 171 ميليون شماره از کتاب هاي درسي مدرسه اي را با بيش از 1000 عنوان چاپ کرده است ، ساختار آموزش و پرورش ايران 1-3-3-5 است و آموزش اجباري ، شامل 8 پايه اول است . در دبيرستان ، دانش آموزان به سه گروه اصلي نظري ، فني – حرفه اي و کارودانش تقسيم مي شوند . گذراندن يک سال پيش دانشگاهي براي ورود به دانشگاه الزامي است.

 سازمان هاي دولتي قادر به تاسيس مدارس خصوصي هستند ، ولي بايد همان برنامه درسي ملي که در مدارس عمومي اجرا مي شود را ، اجرا نمايند . براي سال 1995 ، درصد خيلي کمي از مدارس خصوصي بودند. تقويم مدرسه در ايران براي هر سه سطح ابتدايي ، راهنمايي و دبيرستان ، شامل 200 روز است و دانش آموزان ، 6 روز در هفته از شنبه تا پنج شنبه به مدرسه مي روند. تعطيلات شامل يک تعطيلات تابستاني سه ماهه و تعطيلات 13 روزه براي سال نو است و در مجموع ، چندين تعطيلات ملي در طول سال وجود دارد . در پايه ابتدايي دانش آموزان 24 تا 28 ساعت در هفته در کلاس درس شرکت مي کنند که 18 تا 21 درصد از اين زمان صرف رياضي مي شود. در دوره راهنمايي ، دانش آموزان 30 تا 33 ساعت در هفته در کلاس درس شرکت مي کنند که 12 تا 17 درصد از اين زمان صرف رياضي مي شود . متوسط تعداد دانش آموزان در کلاس هاي مدارس ابتدايي 29 نفر و اين تعداد براي دوره هاي راهنمايي و دبيرستان ، 32 نفر است.

 تا پايان سال اول دبيرستان ، هيچ گروه بندي وجود ندارد. ولي براي شروع سال دوم دبيرستان ، دانش آموزان بر حسب توانايي هايشان و آزمون رغبت سنج ، به شاخه ها و رشته هاي مختلف تقسيم بندي مي شوند.

معلمان به يکي از دو روش روبرو ، گواهي نامه تدريس را دريافت مي کنند:

 الف ) در مراکز تربيت معلم يک دوره دو ساله که 20 درصد آن صرف آموزش پداگوژي مي شود را مي گذرانند . اين دوره براي تربيت معلمان در سطوح ابتدايي و راهنمايي است.

 ب ) گرفتن ليسانس در يک رشته خاص که چهار سال طول مي کشد و 18 درصد اين دوره صرف آموزش پداگوژي مي شود.

 ايران در سال 1991 ، به عضويت انجمن ارزش يابي پيشرفت تحصيلي درآمد و در مجموع ، در مطالعه تيمز و مطالعه آموزش زبا ن دوم که توسط اين انجمن برگزار شد ، شرکت کرده است . در مطالعه تيمز در سال 1995 ، ايران در دو جمعيت يک و دو شرکت داشته که جمعيت اول شامل پايه هاي سوم و چهارم ابتدايي ؛ و جمعيت دوم شامل پايه هاي دوم و سوم راهنمايي است.

  برنامه درسي رياضي در سطح ملي طراحي مي شود که تمام مدارس ، ملزم به اجراي آن هستند. اهداف برنامه درسي به وسيله شوراي رياضي دفتر برنامه ريزي و تاليف کتب درسي تهيه ، و به وسيله شوراي عالي آموزش و پرورش تاييد مي شود . به طور مثال ، اهداف برنامه درسي رياضي از پايه يک تا هشت به صورت زير است : - توسعه راه هاي تفکر نظام وار که دانش آموزان بتوانند در نتيجه گيري و تجريد از اين راه ها استفاده کنند ؛ - توسعه توانايي انجام محاسبا ت ذهني ساده شامل تخمين عددي و اندازه ؛ - آشنا کردن دانش آموزان با جنبه هايي از رياضيات که مربوط به ساير موضوعات است ؛ - توسعه توانايي هاي حل مساله ؛ - توسعه فهم مفاهيم رياضي در هر مساله و توانايي توضيح دادن آن مفاهيم در هر قالب رياضي. در حال حاضر ، راهنماي برنامه درسي براي کتاب هاي درسي و تغيير برنامه درسي وجود ندارد .

 در ويرايش جديد کتاب هاب درسي دوره ابتدايي ، بر اساس نظريه هاي يادگيري ، تغييراتي ايجاد شده است . به طور مثال مطالب مربوط به ضرب و تقسيم کسرها از پايه چهارم و تقسيم اعشاري از پايه پنجم حذف شده اند و در کتاب هاي جديد براي آوردن مثال ها و تمرين ها از زمينه زندگي واقعي استفاده شده است . براي دوره راهنمايي ، کتاب پايه سوم راهنمايي که به تازگي انتشار يافته است ، تغيير کرده است . به طور مثال ، مقدمات هندسه تحليلي و تبديلات هندسي دراين کتاب گنجانيده شده است . در سطح دبيرستان با تغيير نظام آموزشي ، کتاب هاب درسي به طور کلي عوض شده و رياضيات محاسباتي و الگوريتمي در تمام پايه ها گنجانيده شده و روي کاربرد تاکيد شده است . کتاب هاي درسي به وسيله وزارت آموزش و پرورش تهيه و توزيع مي شوند و تمام مدارس ، بايد از آنها استفاده کنند . در مدارس ابتدايي و راهنمايي ، معلم دقيقا کتاب درسي را دنبال مي کند تا نسبت به برنامه درسي وفادار باشد . بيشتر کتاب هاي درسي شامل شکل هاي زياد و توضيح به کمک تصوير است.

انگلستان

 به گفته ديويس 4 (روبيتال ، 1997 ) ، بر اساس گزارش يونسکو ، انگلستان رتبه خوبي به لحاظ رشد اقتصادي دارا است . مخارج آموزش و پرورش در سال 94 – 1993 شانزده درصد از مخارج دولت بود و 5 درصد درآمد ناخالص ملي در سال 1991 صرف آموزش و پرورش شد. در انگلستان ، دولت مرکزي مسئول تامين نيازهاي آموزشي ، برنامه ريزي و تعيين خط مشي ملي است . طبق قانون اصلاح آموزش و پرورش محلي سال 1988 ، بيش تر مديران مدارس توسط انجمن محلي تعيين مي شوند. آموزش اجباري در انگلستان از 5 سالگي تا 16 سالگي است و سطوح ابتدايي ( 11 – 5 سالگي ) و راهنمايي ( 16 – 11 سالگي ) را در بر مي گيرد و تا پايان پايه 11 ، درس هاي رياضي و علوم ، اجباري هستند. در انگلستان ، سال تحصيلي به سه بخش تقسيم شده است که شامل يک تعطيلات تابستاني طولاني و يک تعطيلات کوتاه دو تا سه هفته اي در کريسمس و عيد پاک است . هفته مدرسه اي از دوشنبه تا جمعه و روز درسي ، تقريبا 6 ساعت است . در سال 1995 ، متوسط تعداد دانش آموزان در دوره ابتدايي در هر کلاس 27 دانش آموز و در دوره دبيرستان ، 22 دانش آموز در هر کلاس بود . در انگلستان ، هيچ خط مشي مشخصي براي گروه بندي وجود ندارد و بيش تر مدارس ، گروه بندي ندارند . کلاس هاي مدارس ابتدايي شامل دانش آموزان با توانايي هاي متفاوت در رياضي و علوم است ولي در دبيرستان ، گروه بندي در درس رياضي رايج است اما در درس علوم ، کمتر اتقاق مي افتد . معلمان براي دريافت گواهي نامه معلمي بايد به يکي از دو روش زير عمل کنند:

 الف) دوره چهار ساله ليسانس علوم تربيتي را بگذرانند .

 ب) پس از پايان دبيرستان ، يک سال علوم تربيتي5 بخوانند و سه سال ديگر را در يک رشته تحصيلي صرف کنند. انگلستان و ولز از سال 1959 ، عضو انجمن ارزش يابي پيشرفت تحصيلي هستند . انگلستان به تنهايي يا به همراه ولز، در مطالعات قبلي اين انجمن از جمله FIMSS6 ، FISS 7 ، SISS 8 ، SIMSS 9 ، شرکت کرده اند . انگلستان در مطالعه تيمز 1995 ، در دو جمعيت 1و2 شرکت داشته است . جمعيت 1 شامل دانش آموزان پايه 4 و 5 ابتدايي و جمعيت 2 شامل دانش آموزان پايه 8 و 9 دبيرستان است. در سال 1988 ، براي اولين بار در انگلستان برنامه درسي ملي 10 مطرح شد که در سطح آموزش اجباري ، به کار گرفته شد . مدارس مستقل ، ملزم به پيروي از اين برنامه ملي نيستند ، ولي بايد يکي از برنامه هاي تاييد شده را انتخاب کرده و اجرا کنند. استفاده از ابزارهاي کمک آموزشي هم چون ماشين حساب و کامپيوتر در کلاس هاي درس رياضي ، طي ده سال گذشته افزايش يافته است. در حال حاضر، نگرش دانش آموزان نسبت به رياضي منفي است و همين باعث مي شود که مطالعه رياضي را در سطوح بالاتر دنبال نکنند . در سطوح بالاتر ، نسبت دختران به پسران ، براي مطالعه رياضي کم تر است و اين نگراني را ايجاد مي کند که بايد راهي براي ترغيب بيش تر دختران به خواندن رياضي پيدا کرد. کتاب هاي درسي به طور طبيعي توسط شرکت هاي تجاري توليد مي شوند . با اين حال ، بسياري از کتابها قديمي شده اند ، چون برنامه هاي درسي تغيير کرده اند ، ولي کتابهاي درسي هيچ تغييري نکرده اند .

 در حال حاضر ، ناشران در حال دوباره نويسي کتابها هستند تا با برنامه درسي جديد ، متناسب باشند. در انگلستان ، تعداد زيادي از کتاب هاي درسي که در دوره دبيرستان خيلي زياد استفاده مي شود ، از سري پروژه رياضيات مدرسه اي (SMP)11 است. تا سال 1991 ، براي دريافت ديپلم متوسطه انجام کارهاي پروژه اي اجباري نشده بود ، ولي از آن پس ، اجباري شد. براي دانش آموزان پايه هاي پايين تر ، کارهاي پروژه اي معرفي شدند و دانش آموزان در اين پايه ها بر خلاف گذشته ، بيش تر به کار گروهي تشويق مي شوند. هم چنين کامپيوترها به طور وسيعي در مدارس در دسترس هستند و دانش آموزان با چگونگي استفاده از آنها و کاربرد هايشان ، آشنا شده اند . در اواسط دهه هشتاد در انگلستان ، يک بحث جدي در زمينه تربيت معلمان ، چگونگي به دست آوردن تکنولوژي جديد توسط معلمان است . در نظام آموزشي انگلستان ، دو نوع ارزش يابي وجود دارد که يکي ارزش يابي هاي پيوسته است و به وسيله معلم اجرا مي شود و ديگري ، ارزش يابي خارجي است که در پايان 7 ، 11 و 16 سالگي و به طور متمرکز ، اجرا مي شود . لازم به ذکر است که ارزش يابي خارجي فقط به عنوان نمونه اجرا مي شود و هدف آن ، ارزش يابي نظام آموزشي است و بر ارزش يابي شخصي دانش آموزان ، تاکيد ندارد.

سنگاپور

 با توجه به گفته هاي انگ ، تونگ و توه 12 ( روبيتال ، 1997) ، مي توان گفت که نظام آموزشي سنگاپور در مواردي ، شبيه ايران است . به طور مثال مردم سنگاپور به زبان هاي چيني ، مالزيايي و هندي تکلم مي کنند در حالي که زبان رسمي کشور ، واحد است . هم چنين جمعيت جوان دانش آموزان در کشور سنگاپور ، مشابه ايران است ، و نظام آموزشي ، متمرکز است . کل مخارج دولت در حدود 9.2 ميليارد دلار است که 22 درصد آن صرف آموزش و پرورش ، تدارک آموزش کودکان در مدرسه و فراهم کردن آموزش به تناسب توانايي هاي بالقوه هر دانش آموزاست . توسعه برنامه درسي ، انتخاب کتاب هاي درسي ، آموزش و استاندارد هاي ارزش يابي ، در وزارت آموزش و پرورش متمرکز شده اند. هر دانش آموز سنگاپوري حداقل 10 سال آموزش عمومي مي بيند که شامل 6 سال دوره ابتدايي و 4 سال متوسطه است . در پايه 1 تا 4 ، روي سواد پايه و مهارت هاي عددي تاکيد مي شود و تمام دانش آموزان براساس توانايي هايشان طبقه بندي مي شوند . در سنگاپور ، سه نوع طبقه بندي وجود دارد . تمام دانش آموزان در پايان پايه ششم ، به وسيله يک آزمون ملي ارزش يابي مي شوند و سپس ، بر اساس توانايي هايشان ، در يکي از دوره هاي نظري يا فني ثبت نام مي کنند . پس از پايان دبيرستان ، دانش آموزان حتما بايد يک دوره دو ساله را براي ورود به کالج کمبريج – سنگاپور بگذرانند . تمام دانش آموزان از پايه 1 تا 10 ، رياضي را مطالعه مي کنند . هر سال  مدرسه اي ، شامل 4 ترم 10 هفته اي است. بين ترم هاي 1 و 2 و بين ترم هاي 3 و 4 مدارس يک هفته تعطيل است .

  يک تعطيلات 4 هفته اي در پايان نيم سال و يک تعطيلات طولاني 6 هفته اي در پايان سال وجود دارد . در سنگاپور ، بيش تر مدارس دو نوبتي هستند . روزهاي مدرسه اي از دوشنبه تا جمعه است و فعاليت هاي فوق برنامه ، قبل يا بعد از ساعت مدرسه يا در روز شنبه برگزار مي شود . ميزان وقتي که براي درس رياضي در پايه هاي مختلف صرف مي شود ، متغير است . به طور مثال ، براي پايه هاي 1 تا 4 ، 20 درصد ؛ در پايه هاي 5 و 6 ، 20 تا 27 درصد ؛ در پايه هاي 7 تا 8 ، 13 تا 14 درصد و در پايه هاي 9 و 10 ، بين 13 تا 25 درصد از زمان برنامه درسي ، صرف رياضي مي شود. متوسط تعداد دانش آموزان در کلاس هاي دوره ابتدايي 37 نفر ، در کلاس هاي دبيرستاني 35 نفر و در سطح کالج ، کمتر از 22 نفر است. آموزش حرفه اي معلمان در سنگاپور، به وسيله شوراي ملي آموزش و پرورش تهيه و تدوين شده است که شامل دوره هاي رير است:

 الف) دوره چهارساله ليسانس براي تدريس در دوره ابتدايي و راهنمايي ؛

ب) گذراندن يک دوره يک ساله پس از فارغ التحصيل شدن در يک رشته دانشگاهي که با گذراندن اين دوره ، دانشجويان مي توانند معلم ابتدايي يا راهنمايي شوند ؛

ج) گذراندن ديپلم آموزشي که مدت آن دو سال بوده و مي توان با گذراندن اين دوره ، معلم ابتدايي شد ؛

د) دوره هاي ضمن خدمت که براي تمرين عملي تدريس ، از سوي شوراي ملي پيشنهاد شده است. اگر چه جمعيت دانش آموزي سنگاپور همانند ايران جوان است ، ولي متوسط سن معلمان ابتدايي و متوسطه آن ، 41 سال است . سنگاپور در سال 1982 به عضويت انجمن ارزش يابي پيشرفت تحصيلي درآمد . در گذشته سنگاپور در آزمون هاي ديگر اين انجمن از جمله SIMSS شرکت داشته است . در سال 1995 ، سنگاپور در جمعيت 1 و2 تيمز شرکت کرده است. در سال 1990 ، در بخش هاي رياضي برنامه درسي ارايه شده ، بازنگري شد . برنامه درسي جديد ، تاکيد بيشتري بر مفاهيم رياضي و توانايي به کار بردن آن ها براي حل مساله رياضي دارند و به روش هاي تدريس موثر تاکيد شده است . اين روش ها عبارتند از : § توسعه مفاهيم رياضي از طريق انجام فعاليت هاي معني دار ؛ § استفاده از تفکر رياضي ، ارتباط هاي رياضي وار و حل مساله رياضي ؛ § استفاده از تکنولوژي کامپيوتر ، در تدريس و يادگيري رياضيات. وزارت آموزش و پرورش سنگاپور ، فهرستي از کتاب هاي درسي و مواد کمک آموزشي مناسب را تهيه و در اختيار همه قرارمي دهد . لازم به توضيح است که کتاب هاي درسي اين فهرست ، به طور تجاري تهيه مي شوند .

  اين کتاب ها بدون انعطاف ، برنامه قصد شده را دنبال مي کنند . دانش آموزان به خواندن کتاب هاي درسي تشويق مي شوند ، ولي از کتاب ها چيزي نمي آموزند و بيش تر ، از تدريس معلم شان براي مرور درس و انجام تکاليف شان استفاده مي کنند. از آن جايي که دانش آموزان در يادگيري رياضيات دوست دارند که از يک فرآيند ملموس وعيني به سوي تجريد حرکت کنند ، معلمان تشويق مي شوند که از اين روند ، براي آموزش آنها استفاده کنند . معلمان براي به کار بردن شيوه فعال در يادگيري دانش آموزان و با استفاده از مواد آموزشي ، فيلم هاي متنوع و کامپيوتر ترغيب مي شوند. ارزش يابي ، بخشي از فرآيند يادگيري و تدريس است و هدف آن ، اندازه گيري ميزان يادگيري مورد نظر است. ارزش يابي ، آمادگي دانش آموزان را براي يادگيري موضوعات جديد ، مورد بررسي قرار مي دهد و به اين ترتيب ، براي ميزان اثر بخشي تدريس معلم ، بازخورد مناسبي تهيه مي کند. 

ژاپن

 به گفته مياکه و ناگاساکي 13 ( روبيتال ، 1997 ) ، در سال 1990 ، هفده درصد هزينه عمومي دولت ژاپن صرف آموزش و پرورش شده است که اين ميزان ، تقريبا 6 درصد توليد ناخالص ملي است. وزارت آموزش و پرورش ژاپن قالب هاي برنامه درسي استاندارد را تهيه کرده است و مدارس ، براي آموزش اجباري بايد يکي از آنها را انتخاب کنند. در ژاپن ، آموزش و پرورش بر طبق الگوي 3-3-6 است. آموزش اجباري شامل شش سال در مدارس ابتدايي و سه سال در مدارس متوسطه است. ميزان رياضي تدريس شده در پايه هاي مختلف در جدول زير آمده است.

9

8

7

6

4

3

2

1

پايه

25 25 25 22 22 21 20 19

13% 13%

10%

17% 17% 18% 19% 16%

درصد کلاس رياضي

 در آموزش و پرورش ژاپن ، هم مدرسه خصوصي وجود دارد و هم مدرسه دولتي. بيش تر مخارج مدارس دولتي به عهده دولت مرکزي است. حتي نيمي از مخارج مدارس خصوصي نيز ، به عهده دولت مرکزي است. سال مدرسه اي که از اول آوريل شروع مي شود و در 31 مارس تمام مي شود ، به سه بخش تقسيم شده است . بيش تر مدارس ابتدايي و متوسطه ، به مدت 35 هفته يا 190 روز باز هستند . روزهاي مدرسه اي در هر هفته ، از دوشنبه تا جمعه است . دانش آموزان در هر روز ، 6 ساعت به مدرسه مي روند و گاهي 4 ساعت نيز در کلاس هاي روز شنبه که 2 تا 3 بار در هر ماه برگزار مي شود ، حضور مي يابند. در سال 1994 ، تعداد متوسط دانش آموز در کلاس هاي ابتدايي 29 نفر بود و اين تعداد ، براي دوره متوسطه 34 نفر بود . در حالي که بيش ترين تعداد دانش آموزان در دبيرستان ، 40 دانش آموز در کلاس درس بود. در ژاپن ، هيچ برنامه مشخصي براي گروه بندي دانش آموزان وجود ندارد و يک برنامه اجباري رياضي و علوم در کلاس هايي با توانايي هاي متفاوت دانش آموزان تا پايان پايه نهم ، ارائه مي شود. با شروع پايه نهم ، مدارس بايد درسهاي انتخابي از رياضي را در برنامه درسي قرار دهند تا دانش آموزان علاقه مند ، درس ها را بگيرند. کساني که مي خواهند در آينده معلمان ابتدايي و متوسطه شوند ، بايد يک ليسانس چهار ساله را به همراه چندين دوره در نظريه هاي آموزشي و پداگوژي ، به عنوان قسمتي از ليسانس حرفه اي معلمي ، داشته باشند .

 دوره هاي دوساله کالج نيز در آموزش وجود دارند که فارغ التحصيلان اين دوره ، مي توانند در پايه هاي 1 تا 9 تدريس کنند. متوسط سن معلمان ژاپن در دوره ابتدايي 40 سال و دردوره اول متوسطه ( پايه هاي 7 تا 9 ) ، 39 سال و براي دوره دوم متوسطه ( پايه هاي 10 تا 12 ) ، 42 سال است. ژاپن از سال 1961 ، عضو انجمن ارزشيابي پيشرفت تحصيلي است و قبل از شرکت در مطالعه تيمز ، در مطالعه هاي تطبيقي ديگر اين انجمن از قبيل ، SIMSS,FISS,SISS,FIMSS شرکت کرده است. ژاپن در مطالعه تيمز در سال 1995 ، در دو جمعيت 1 و2 شرکت کرده است. شوراي برنامه ريزي در وزارت آموزش و پرورش ژاپن ، هدف هاي برنامه درسي را هدايت مي کند. در دوره ابتدايي ، هدف ها ، کمک به دانش آموزان در مطالعه خردمندانه و منطقي پديده هاي زندگي روزانه ، کسب علوم و مهارت هاي اساسي در ارتباط با اعداد ، کميت ها و شکل هاي هندسي ، ايجاد نگرش مثبت نسبت به رياضي و دست يافتن به رضايت مندي در استفاده از رياضيات در زندگي روزانه است. در سطح دبيرستان ، اين اهداف شامل کمک به دانش آموزان در عميق تر کردن فهم شان از مفاهيم پايه اي رياضي ، اصول و قواعد درباره اعداد ، کميت ها و شکل هاي هندسي است. دانش آموزان بايد بياموزند که پديده هاي رياضي را نمايش دهند و از شيوه هاي رياضي وار ديدن و فکر کردن ، قدرداني نمايند . تغييرات ايجاد شده در برنامه درسي به ترتيب در سالهاي 1992 و 93 و 94 براي پايه هاي 1 تا 6 و 7 تا 9 و 10 تا 12 اجرا شد . اساس اين اصلاح ، تاکيد بر رياضيات پايه ، ايجاد قدرداني نسبت به رياضيات ، راه هاي رياضي وار فکر کردن ، و فراهم کردن وضعيتي که دانش آموزان بتوانند به طور فردي تربيت شوند ، است .

  در برنامه درسي جديد ، استفاده از کامپيوتر از دوره ابتدايي شروع مي شود و در دوره دبيرستان ، در سطح وسيعي به کار گرفته مي شود و از پايه پنجم به بعد ، از ماشين حساب در تدريس به طور فزاينده اي استفاده مي شود. براساس سومين مطالعه بين المللي رياضيات و علوم تيمز ، و مطالعات ديگر ، به نظر مي رسد که دانش آموزان ژاپني از رياضي بيزار هستند و اين طرز تلقي ، در بين دانش آموزان رشد يافته است و بايد براي آن ، تدبيري انديشيده شود. براي استفاده از ماشين حساب و کامپيوتر در برنامه درسي قصد شده ، تاکيد زيادي شده ولي به نظر مي رسد که به طور موثر در کلاس درس از آنها استفاده نمي شود و بايد در اين زمينه ، معلمان را بيشتر آموزش داد.

 کتاب هاي درسي توسط تيم نويسنده آن ها که شامل آموزشگران رياضي ، رياضي دان ها و معلمان است ، نوشته شده و توسط انتشاراتي هاي تجاري چاپ مي شود . هيات محلي آموزش و پرورش در مشورت با نماينده هاي معلمان ، مشخص مي کنند که از کتاب کدام کتاب درسي از فهرست توليدات تاييد شده توسط وزارت آموزش و پرورش ، استفاده شود . در تمام سطوح از معلم انتظار مي رود تا از کتاب درسي براي تدريس استفاده کند و معلمان ، معمولا از کتاب هاي درسي براي مرور و استحکام بخشيدن دانش ها و مهارت هاي پايه اي و خلاصه کردن قواعد استفاده مي کنند . کتاب ها از يک رهيافت حل مساله که شامل پنج گام پرس و جو ، تشريح ، مثال ها ، تمرين ها و کاربرد ها است ، استفاده مي کنند و بيش تر از موضوعات حقيقي زندگي براي معرفي مفاهيم رياضي استفاده مي نمايند. راهنماي برنامه درسي بر برقراري تعادل بين تدريس تکنيک هاي محاسباتي و توسعه مفاهيم ، تاکيد دارد. ولي معلم ها در تدريسشان بيش تر بر تکنيک ها تاکيد دارند. اگر چه رياضيات به صورت يک علم يکپارچه است ، ولي گرايش معلم ها در تدريس رياضي به صورت موضوعات مجزااست و اين گرايش ، در رياضيات دبيرستاني بسيار رشد کرده است . استفاده از ماشين حساب از پايه پنجم به بعد توصيه شده است ولي معلمان به ندرت از آن استفاده مي کنند ، و نيز، استفاده از کامپيوتر براي تمام پايه ها توصيه شده اما هنوز هم در کلاس هاي درس ، خيلي کم از آن استفاده مي شود. رهيافت هاي استقرايي براي تدريس مفاهيم رياضي در پايه هاي 1 تا 9 مورد استفاده قرار مي گيرد .

 مواد آموزشي و دست ورزي در دوره ابتدايي استفاده مي شوند در حالي که در دوره دبيرستان به ندرت مورد استفاده قرار مي گيرند . استفاده از پروژه هاي تحقيقي و باز – پاسخ ، قويا توصيه شده اند . در حال حاضر همه معلمان موافقند که پروژه ها مهم هستند ، ولي در چگونگي استفاده از اين روش مطمئن نيستند . به يادگيري مشارکتي هم توجه زيادي نشده و هنوز روش هاي معلم – محوري حاکم هستند. در نظام آموزشي ژاپن ، به طور رسمي ، هيچ ارزشيابي خارجي وجود ندارد . ولي براي آزمون ورودي سه سطح وجود دارد . اولي در پايان پايه نهم و ورود به دوره اول دبيرستان و دومي در پايان پايه نهم و ورود به دوره دوم دبيرستان و سومي در پايان پايه 12 ، براي ورود به دانشگاه است . ارزش يابي محلي نيز براي دادن بازخورد به مدارس و کمک به آن ها در انجام وظايفشان ، وجود دارد . ارزش يابي هاي کلاسي ، به منظور پرورش دانش آموزان و توسعه تدريس انجام مي شود . در ارزشيابي هاي کلاسي ، استفاده از آزمون کتبي هنوز شيوه غالب است.

کانادا

 به گفته تيلور 14 به نقل از روبيتال ، 1997 ، کشور کانادا داراي يک حکومت مرکزي و چندين حکومت فدرالي استاني است که آموزش و پرورش ، به وسيله استان ها اداره مي شود . کانادا جزو هفت کشور صنعتي جهان است و هزينه هاي آموزش و پرورش کانادا در سال 1992بيش از 7 درصد در آمد ناخالص ملي بود و در سال 93 – 1992 اين هزينه ها ، به 30 ميليارد دلار رسيد. کانادا کشوري با تنوع بسيار زياد جغرافيايي ، سازمان دهي سياسي وساختار فرهنگي است ، که همه اين عوامل ، برساختار و ماهيت نظام آموزشي آن ، تاثير مي گذارد. ساختار آموزش وپرورش کانادا عموما ، 6- 3- 3 است. در طول سال ، 180 تا 200 روز درسي وجود دارد و شامل چند تعطيلي ملي و محلي است. دانش آموزان دوم ابتدايي هفته اي 30 ساعت به مدرسه مي روند که 23 تا 24 ساعت از آن ، صرف تدريس و بقيه آن صرف بازي روزانه ، نهار و زنگ تفريح مي شود . در دبيرستان ، دانش آموزان هفته اي 30 تا 35 ساعت به مدرسه مي روند . در کانادا ممکن است کلاس هايي با بيش از 40 دانش آموز وجو د داشته باشند ، ولي ميانگين تعداد دانش آموزان در سال 94 – 1993 در ايالت کبک ، براي دوره ابتدايي 27 نفر و براي دوره دبيرستان 30 نفر بود . خواندن رياضي تا پايه 9 يا 10 ، اجباري است . در بعضي ازاستانها ، اين وضعيت تا پايان پايه 11 ادامه دارد . درس هاي انتخابي در رياضي ، معمولا در سطح دبيرستان ارايه مي شوند .

گروه بندي دانش آموزان در کانادا ، يک موضوع قابل بحث است ، چرا که با اهداف مدارس عمومي تناقض دارد . گروه بندي ، موافقان و مخالفاني دارد و فلسفه طرفداران گروه بندي ، عمل گرايي است . معلمان براي دريافت گواهي نامه معلمي ، به يکي از دو روش زير اقدام مي کنند : الف) يک دوره چهارساله دانشگاهي در يک رشته ، به اضافه يک دوره يک ساله در تربيت معلم را مي گذرانند ، ب) بعد از اخذ ليسانس ، يک دوره دو ساله آموزش معلمان را مي گذرانند. بيش تر زمان صرف شده براي دوره هاي تربيت معلم ، برنامه پداگوژي و برنامه درسي تاکيد دارد . آموزش ضمن خدمت به وسيله آموزش و پرورش ، هيات آموزشي مدرسه يا دانشکده هاي علوم تربيتي ارايه مي شود . شرکت در اين دوره ها اجباري نيست ، ولي در بسياري از مواقع و در زمان تغييرات برنامه درسي و اطمينان بخشي به معلمان ، ضروري است .

 استان هاي کبک ، انتاريو و بريتيش کلمبيا از سال 1981 ، عضو انجمن ارزش يابي پيشرفت تحصيلي شده اند ، که در دومين مطالعه تيمز ، در تمام سطوح جمعيتي شرکت داشته است . در مجموع ، پنج استان بريتيش کلمبيا ، آلبرتا ، انتاريو ، نيوبرانزويک ، و نيوفوندلند ، مستقلا در يک يا بيش تر از جمعيت هاي تيمز شرکت داشته اند. اغلب دوره هاي برنامه درسي رياضي در کانادا ، مشابه هستند و تمرکز جديد کتاب هاي درسي رياضي ، بر يادگيري فعال و فرآيند رياضي قرار گرفته است .

 يکي از دلايل اين تشابه اين است که ناشران ، براي صرفه اقتصادي بيش تر ، مواد درسي اي را در کتاب هاي خود مي گنجانند که حداقل ، مورد تاييد دو يا چند استان کانادا باشند. اهداف رياضي در راهنماي برنامه درسي که به وسيله هر ايالت منتشر شده است ، موجود است . اين اهداف در اکثر موارد ، شبيه استاندارد برنامه درسي رياضي مدرسه اي است که توسط شوراي ملي معلمان رياضي آمريکا و کانادا (NCTM) 15 تهيه شده است. رهيافت هاي تدريس در 10 سال اخير ، تغيير زيادي کرده اند . اين رهيافت ها به سوي يادگيري فعال رفته اند و سعي مي کنند تا دانش آموزان را در تکاليف باز – پاسخ ، فعالانه شرکت دهند .

 استفاده از ابزارهاي کمک آموزشي الکترونيکي از قبيل ماشين حساب و کامپيوتر در کلاس درس رياضي ، طي 10 سال اخير افزايش يافته است . در سطح مدارس ابتدايي ، استفاده از ماشين حساب به طور محسوسي افزايش يافته است ، به گونه اي که صحت بيش تر جواب هاي به دست آمده براي مسايل رياضي ، با استفاده از ماشين حساب بررسي مي شوند . ماشين حساب باعث شد تا مسايل رياضي واقعي تر شوند ، چرا که قبلا سعي مي شد تا اعداد به گونه اي سرراست باشند تا محاسبات ، ساده باشند . ولي اکنون با استفاده از ماشين حساب ، مي توان با اعداد غير معمولي و واقعي نيز ، به راحتي کار کرد . استفاده از ماشين حساب هاي گرافيکي ، انقلابي در تدريس و يادگيري نمودار و کاربردهاي آن پديد آورده است . در حال حاضر، تاکيد برنامه درسي رياضي بر حل مساله و کاربردهاي رياضيات در جهان واقعي و روابط بين رشته اي مانند رابطه رياضي با سايرعلوم است . در راستاي اين تاکيد ها ، کتاب هاي درسي نيز تغيير کرده اند .

  بسياري از مدارس ، از تکنولوژي جديد در برنامه درسي استفاده مي کنند تا بتوانند از برنامه هاي نرم افزاري و پايگاه هاي داده هاي بين المللي نيز ، استفاده کنند. برنامه درسي بر تدريس مفاهيم ، بيش از يادگيري طوطي وار تاکيد دارد . استفاده از ماشين حساب در تمام سطوح توصيه شده است . به ويژه در جمعيت 3 ، استفاده از کامپيوتر نيز قويا ، توصيه شده است . استفاده از روش يادگيري فعال ، يادگيري مشارکتي و برنامه درسي باز – پاسخ در تمامي دوره ها ، مورد انتظار است. معلمان براي ارزشيابي آموخته هاي دانش آموزان ، از آزمون هاي کتبي ، پروژه هاي کلاسي و ارزش يابي فردي استفاده مي کنند .

 از زماني که رهيافت هاي تدريس به سمت يادگيري فعال تغيير يافته ، معلما ن استفاده از رويه هاي ارزش يابي غير سنتي مانند مشاهده را گسترش داده اند. هم چنين ، آن ها از ساير روش هاي ارزش يابي که شامل ارزش يابي پرونده کاري 16 ، مشاهده دقيق و خود ارزش يابي است ، نيز استفاده مي کنند.

 کره جنوبي

به گفته کيم 17 ( روبيتال ، 1997 ) ، در سال 1994 ، هزينه هاي آموزش و پرورش در کره جنوبي ، بيست و سه درصد از کل هزينه هاي دولت و در حدود 4 درصد از درآمد ناخالص ملي بود. در کره جنوبي ، وزارت آموزش و پرورش مسئول تهيه خط مشي مربوط به آموزش ، چاپ و تاييد کتاب هاي درسي ، سياست هاي اجرايي و فراهم کردن پشتوانه مالي براي دانشگاه هاي ملي است . هيات مديره هر ناحيه آموزش و پرورش ، تصميمات مربوط به آن ناحيه را مي گيرد.

 مسئوليت تمام مدارس ابتدايي و متوسطه ، با ادارات محلي آموزش و پرورش است . از زمان انقلاب کره در سال 1948 ، مدارس کره ملزم هستند تا برنامه درسي ملي را که توسط وزارت آموزش و پرورش کره 6 - 3 -3 است که شامل 6 سال ابتدايي و سه سال راهنمايي و سه سال دبيرستان است . بيش تر مدارس در کره دولتي هستند ولي تعدادي مدرسه خصوصي نيز وجود دارد که معمولا توسط يک شخص و با رعايت بعضي اصول تعيين شده توسط دولت ، اداره مي شوند . سال مدرسه اي در کره از اول مارس تا آخرين روز فوريه است و شامل بيش از 220 روز است که از اين ميان ، 204 روز براي آموزش و 16 روز براي فعاليت هاي فوق برنامه و جشنواره است . سه دوره تعطيلي در طول سال تحصيلي وجود دارد . دانش آموزان در هر هفته ، از دوشنبه تا شنبه به مدرسه مي روند. در سطح ابتدايي ، دانش آموزان 24 تا 31 ساعت در هفته و در سطح دبيرستان ، 34 ساعت در هر هفته به مدرسه مي روند .

 در سال 1995 ، متوسط تعداد دانش آموزان در کلاس هاي درس دوره ابتدايي 37 نفر بود و اين تعداد براي دوره راهنمايي و دبيرستان ، به ترتيب 48 و 49 نفر بود. در کره جنوبي ، قانون رسمي براي گروه بندي دانش آموزان وجود ندارد و کلاس ها در بر گيرنده دانش آموزان با توانايي هاي متنوع هستند . مطالعه رياضي تا پايان پايه 11 ، اجباري است. معلمان به يکي از دو روش زير گواهي نامه تدريس را دريافت مي کنند: يا دوره چهار ساله ليسانس را در يک کالج مي گذرانند و يا يک دوره معلمي را که توسط دانشگاهها ارايه مي شود ، سپري مي کنند. در سال 1994 ، متوسط سن معلمان براي مدارس ابتدايي ، دوره اول دبيرستان و دوره روم دبيرستان ، به ترتيب 42 و 39 و 40 سال بود. کره از سال 1982 ، عضو انجمن ارزشيابي پيشرفت تحصيلي است و در دومين مطالعه بين المللي علوم و مطالعه محيط زيست ، شرکت داشته است . کره در جمعيت 1 و جمعيت 2 مطالعه تيمز شرکت کرده است . کره در جمعيت 3 شرکت نکرد چرا که دانش آموزان پايه 12 ، کار زيادي براي ورود به کالج انجام مي دهند و برنامه سنگيني دارند.

 اهداف کلي آموزش رياضي در کره ، به صورت زير معرفي شده است: - فهميدن مفاهيم و اصول پايه اي و اشکال هندسي از طريق استفاده از رهيافت هاي رياضي در مشاهده و سازمان دهي پديده هاي مختلف که در زندگي روزمره اتفاق مي افتد ؛ - حل مسايل منطقي متفاوت به وسيله تمرين مهارت هاي رياضي پايه و به کار بردن آن ها در زندگي روزمره ؛ - افزايش توانايي ها و قابليت هاي مورد نياز رياضي کاربردي و مهارت هاي حل مسايل مختلف. در کره ، خط مشي مشخصي در رابطه با استفاده از وسايل کمک آموزشي مانند کامپيوتر و ماشين حساب در کلاس هاي درس ، وجود ندارد و استفاده از آن ها ، فقط به علاقه معلم بستگي دارد ولي استفاده از اين وسايل در آينده ، اجتناب ناپذير است. اگرچه رويکرد برنامه درسي رياضي به سوي روش فعال تغيير کرده ، ولي تغيير شيوه تدريس خيلي کند است . با اين که آموزشگران رياضي استفاده از شيوه هاي متفاوت تدريس را توصيه مي کنند ، ولي معلمان استفاده از روش سخنراني را پيشنهاد مي کنند .

 چون در کره جنوبي ، تعداد دانش آموزان در کلاس هاي درس زياد است ، خواسته والدين هم اين است که مدرسه ، فرزندانشان را براي آزمون ورودي دانشگاه ها ، آماده کنند. در اين کشور ، در دوره ابتدايي از يک کتاب درسي و يک کتاب تمرين که توسط وزارت آموزش و پرورش تهيه شده ، استفاده مي شود . کتاب تمرين بر تمرين هاي محاسباتي و کاربردي تمرکز يافته است .

  کتاب هاي درسي طي ده سال اخير ، تغيير بسياري کرده است . اين کتابها به وسيله مؤسسات تخصصي که زير نظر وزارت آموزش و پرورش کار مي کنند ، چاپ مي شوند . نويسندگان کتابها ، معمولا ترکيبي از معلمان ، متخصصان آموزش و پرورش و متخصصان موضوعي هستند. استفاده از سؤالات باز – پاسخ در امتحانات خارجي مثل ارزش يابي ملي و امتحان هاي ورودي دانشگاه ها ، افزايش يافته است و درکلاس درس ، بر اين نوع سؤالات ، تاکيد بيشتري مي شود . معلمان سعي مي کنند بر فعاليت هاي دست ورزي ملموس و کار گروهي ، تاکيد کنند . براي آسان تر کردن يادگيري ، تعدادي تکليف با هدف مرور آن چه که آموخته شده ، در پايان هر درس ، به دانش آموزان داده مي شود . اگر چه ماشين حساب به عنوان قسمتي از زندگي روزانه در کره جنوبي شده است ، ولي دانش آموزان استفاده از آن را در برنامه رياضي مدرسه اي ندارند . علوم کامپيوتري ، برنامه هاي کامپيوتري و کاربردهاي آن ها در برنامه درسي رياضي ضروري نيستند و به صورت موضوعات مجزا تدريس مي شوند. در کره ، آموزش کلاسي طي ده سال گذشته بوده است .

  ارزش يابي ملي براي دانش آموزان کره اي يکي براي ورود به دانشگاه است. دانش آموزان براي شرکت در امتحان ورودي دبيرستان بايد در ناحيه آموزشي خود شرکت کنند . البته ، دانش آموزان يک آزمون پيشرفت تحصيلي هم در سطح ملي مي دهند که در مدارس ابتدايي ، راهنمايي و دبيرستان اجرا مي شود و هدف آن ، ارزش يابي ، کنترل فرآيند يادگيري دانش آموزان و کارآمدي نظام آموزشي در سطح ملي است . ارزش يابي هاي محلي و کلاسي نيز با روش هاي متفاوتي انجام مي شوند.

  زير نويس ها

 ______________________________________________________

 ThirdInternationalMathematicsandScience Study .1

2. Third International Mathematics and Science Study-Repead .

3 International Association for the Evaluation of Educational Achievement

4. Claudia J . Davis

5. Education

6. First International Mathematics and Science Study

 7. First International Science Study

8. Second International Mathematics and Science Study

 9. Second International Science Study

10. National Curriculum

11. School Mathematics Project (SMP)

12. Chan Siew , Eng Chang Swee Tong , and Mary Toh

13. Masao Miyake and Eizo Nagasaki

14.Alan R. Taylor

15. National Council of Mathematics

16. Portfolio

 17. Jingyu Kim

منابع

 [1] Robitaile , David F . (1997) National Context for Mathematics and Science Education , AN {1}  ENCYCLOPEDIA OF THE EDUCATION SYSTEMS PARTICIPATING IN TIMSS , Published by Pacific Educational press , Faculty of Education , University of British Clombia.

 {2} سلسبيلي ، نادر ( 79 – 1378 ) ، همايش علمي – پژوهشي آموزش رياضي و علوم با تاکيد بر يافته هاي سومين مطالعه بين المللي رياضيات و علوم ( تيمز) ، مجله رشد آموزش رياضي ، شماره 57 . سال پانزدهم ، دفتر انتشارات کمک آموزشي ، سازمان پژوهش و برنامه ريزي ، وزارت آموزش و پرورش.

 {3} عصاره ، عليرضا . ( 80 – 1379 ) . عوامل مؤثر بر پيشرفت تحصيلي دانش آموزان پايه هاي دوم و سوم راهنمايي کشور در درس رياضي ( جمعيت دوم تيمز ) مجله رشد آموزش رياضي ، شماره 59 و 60 ، سال پانزدهم ، دفتر انتشارت کمک آموزشي ، سازمان پژوهش و برنامه ريزي آموزشي ، وزارت آموزش و پرورش .

{4} کيامنش ، عليرضا ؛ خيريه ، مريم ، ( 1379) ، روند تغيير درون دادها و برون دادهاي آموزش رياضي براساس يافته هاي TIMSS و TIMSS-R ، انتشارت پژوهشکده تعليم و تربيت ، وزارت آموزش و پرورش .

{5} گويا ، زهرا ؛ غلام آزاد ، سهيلا ، ( 80 – 1379 ) ، گزارش بيست و چهارمين کنفرانس روان شناسي آموزش رياضي ، مجله رشد آموزش رياضي ، شماره 61 ، سال پانزدهم ، دفتر انتشارات کمک آموزشي ، سازمان پژوهش و برنامه ريزي آموزشي ، وزارت آموزش و پرورش.

{6} گويا ، زهرا ، ( 1376 ) ، يادداشت سر دبير ، مجله رشد آموزش رياضي ، شماره 48 ، سال يازدهم ، دفتر انتشارات کمک آموزشي ، سازمان پژوهش و برنامه ريزي آموزشي ، وزارت آموزش و پرورش

مطمئناً همه‌ي شما با اعداد گويا آشنا هستيد و درباره‌ي جبر آن‌ها مطالب زيادي شنيده‌ايد، از جمله اين كه جمع هر عدد گويا با خودش، عددي گويا و يا ضرب هر عدد گويا در خودش، عددي گويا است. امّا تا به حال از خود پرسيده‌ايد كه آيا هر عدد گويا به توان خودش لزوماً عددي گويا مي‌شود؟ يقيناً اگر عدد گوياي صحيح داشته باشيم اين حكم درست است امّا اگر عدد گوياي ما غير صحيح باشد چه طور؟ براي اين منظور حكم شگفت انگيز زير را دنبال كنيد:

حالت الف) 1عدد گوياي غير صحيحي باشد.]

چون 1 نوشت كه در آن 1

عدداوّل و هستند.چون 1=(a,b) پس و در نتيجه 1=(p,a) و لذا . با توجه به(*) چون پس (1).

چون1 [تجزيه به عوامل اوّل]و در نتيجه و با توجه به (1)، موجود است كه .چون 1=(c,d) پس   .توان p در تجزيه ي اعداد به عوامل اوّل به ترتيب عبارت هستند از: . پس توان p در تجزيه ي اعداد  به عوامل اوّل به ترتيب عبارت هستند از: . با توجه به(*) و اين كه تجزيه به عوامل اوّل يكتاست، نتيجه مي‌شود كه: بنابراين:                  

از طرفي با توجه به اين كه نتيجه مي‌شود كه . از دو رابطه ي اخير نتيجه مي‌شود: . (2)
اكنون توجه شما را به لم زير جلب مي‌كنيم:
لم: اگر p عددي اوّل و  دلخواه باشد آن‌گاه  .
اثبات لم: با استقراء‌ بر m . [جزئيات به عهده‌ي خواننده].

چون رابطه ي (2) و لم فوق با هم در تناقض هستند پس حالت الف) اتفاق نمي‌افتد.

حالت ب) 1=d .با مروري بر قسمت قبل، مي‌توان دريافت كه اين حالت نيز اتفاق نمي‌افتد.[به (*) توجه كنيد ].

اين بحث نشان مي‌دهد كه گنگ است و به اين ترتيب اين حكم شگفت انگيز اثبات مي‌شود.

منبع: سایت ریاضیدانان جوان (مورد توجه بعضی ها!)

هر معلم رياضي در طول سال هاي تدريس ، ممكن است با اين پرسش از جانب دانش آموزان خود رو به رو شود كه رياضيات به چه دردي مي خورد ؟ و يا چرا بايد رياضي ياد گرفت ؟ و هر معلمي به فراخور دانش و تجربه ي خود پاسخي در اين زمينه ارائه مي كند. شايد ساده ترين توضيح در مورد علت يادگيري رياضيات ، آن باشد كه رياضيات با زندگي ما و به طور كلي با جهان اطراف ما عجين شده است  . رياضيات ، يكي از كليد هاي اصلي درك جهان محسوب مي شود و به قول گاليله طبيعت با زبان رياضيات سخن مي گويد.  با اين حال بسياري از دانش آموزان ما نمي خواهند در آينده رياضي دان شوند و پاسخ ما براي آنان قانع كننده نخواهد بود.

ژان پياژه – روان شناس بزرگ سوئيسي – نشان داد كه كودكان در مراحل مختلف رشد جسمي و رواني قادر به يادگيري سطح خاصي از دانش هستند و علوم جديد يادگيري بر اين نكته تأكيد دارند كه يادگيري مي بايد براساس كسب موفقيت هاي موضعي و احساس رضايت از روند يادگيري استوار باشند. اين موضوع در روش هاي قديم آموزشي و از جمله روشهاي مكتبخانه اي ناديده انگاشته مي شد.

براي مثال قرائت و فهم كتاب دشوار كليله و دمنه يا بوستان سعدي براي كودكان خردسال از ضروريات محسوب مي گرديد. هندسه و حساب با چوب و تركه و تهديد به هم مي آميخت و عطش يادگيري را در كودك براي هميشه خاموش مي كرد. تعداد اندكي از كودكانِ با استعداد و نكته سنج نيز كه از تمام مصائب اين روش آموزشي به سلامت گذر مي كردند ، براي هميشه خاطرات تلخ يادگيري غير اصولي را به خاطر مي سپردند. در روش هاي مكتبخانه اي ، دانش آموز ممكن است كه مطالبي را ياد بگيرد ، اما چيزهاي ارزشمندي را نيز براي هميشه از دست خواهد داد. پياژه معتقد است كه هرگاه مطلبي را به كودك ياد مي دهيم ، لذت اكتشاف آن را از وي دريغ مي كنيم . نكته ي حاضر از اهميت فوق العاده اي در آموزش و پرورش برخوردار است . ليكن ما نمي توانيم صبر كنيم تا همه ي دانش آموزان ما ، مطالب كتابهاي درسي خود را كشف كنند. در واقع ما مجبوريم كه حجم زيادي از مطالب كتاب را به آنان آموزش دهيم و اين كار فرصت بسيار اندكي را براي ما و دانش آموزان باقي مي گذارد. به همين دليل شايد بزرگ ترين وظيفه ي ما آن باشد كه احساس مطبوعي از رياضيات يا هر درس ديگر را در دانش آموزان بر انگزيم و به گونه اي عمل كنيم كه دانش آموز احساس كند موضوع مورد بحث را خود كشف كرده است .

برنامه درسي با نگاه به آينده

اگر از معلم يا ولي دانش آموزي سؤال شود كه چرا دانش آموزان به مدرسه مي روند ، برخي پاسخ ها چنين خواهد بود : براي زندگي در جامعه ي فردا و آينده آماده شوند . براي آينده مفيد باشند .

شهروندان خوبي براي جامعه باشند و ...

حال سوال اساسي اين جاست كه نيازهاي يك فرد در جامعه ي آينده چيست ؟ آيا برنامه ريزان با توجه به سرعت تغييرات و عصر انفجار اطلاعات و توسعه و پيشرفت سريع علم ، مي توانندنيازهاي آينده راتشخيص دهند و براساس آن برنامه ريزي درسي مناسبي طراحي كنند ؟

پاسخ به اين سوال اصل و پايه رويكردي است كه موجب تغيير ديدگاه در انتخاب هدف هاي آموزشي خواهد شد و به نوعي برنامه درسي و روش ها را تحت تأثير قرار خواهد داد . برنامه ريزان درسي و نظريه پردازان و نظريه پردازان آموزشي براي آموزش و پرورش در قرن بيست و يكم ديدگاه هايي مطرح كرده اند كه يكي از مهم ترين آنها يادگيري مادام العمر است  . يعني هر فردي براي زندگي جمعي در تمام سالهاي عمر خود به ياد گرفتن نياز دارد و بايد او را به نوعي آماده كرد تا بتواند خودش ياد بگيرد. آموزش ، به تحصيل در مدرسه و دبيرستان نياز دارد . از آن جا كه يادگيري مادام العمر اصلي در زندگي آينده افراد است ، بايد آنها را در مدارس به گونه اي آماده كرد كه هميشه توان يادگرفتن داشته باشند. به عبارت ديگر ، افراد بايد ياد بگيرند كه چگونه ياد بگيرند.

و وظيفه ي مدرسه اين است كه راه هاي كسب دانش يا راه هاي يادگيري را به او بياموزند.

اين هدف كلي و مهم از ياددادن اطلاعات و دانش هاي فراوان به دانش آموزان ، بسيار مهم تر و حياتي تر است .

ضرب المثلي چيني را به ياد بياوريد كه در آن آمده است : به جاي آن كه به كسب ماهي بدهيد ، به او ماهي گرفتن بياموزيد.

با توجه به نكات ذكر شده ، تبديل دانش آموز به يادگيرنده ي مادام العمر ، يك ضرورت انكار ناپذير است. براي رسيدن به اين هدف داشتن اطلاعات پايه و كافي و نيز ميل وعلاقه به يادگرفتن و دانستن راه و روش يادگيري از شرايط اصلي است .

اهداف كلي آموزش رياضي در دورة آموزش عمومي

همان گونه كه بيان شد ، هدف كلي آموزش در دوره ي آموزش عمومي ، آماده كردن دانش آموز براي يادگيري مادام العمر و توانايي كسب سواد علمي فناورانه براي زندگي در جامعه ي آينده در مقام يك شهروند است  . به اين ترتيب ، اهداف آموزش رياضي را مي توان در سه حيطه ي اصلي و اساسي به شرح زير تقسيم كرد :

1- كسب دانش هاي ضروري : دانش هاي ضروري در علم رياضي مفاهيم پايه هستند كه با تغيير زمان و گسترش علم به ثابت بودن آن اطمينان نسبي داريم و نياز به آن ها يك نياز هميشگي است . براي مثال ، مفاهيم جمع ، تفريق ، ضرب و تقسيم يك نياز روزمره است كه براي زندگي آينده نيز به آن احتياج داريم. اما فنون محاسباتي و نوع دست يابي به آن در حال تغيير است . زماني از چرتكه يا كاغذ و قلم استفاده مي كرديم و حالا مي توانيم از ماشين حساب يارانه بهره بگيريم .بنابراين ، فنون محاسباتي در درجه ي اول اهميت قرار نمي گيرند و پرداختن به آن ها ضرورت كم تري دارد . دانش آموزان بايد مجموعه اي كافي از مفاهيم و اصول را ، كه با آموزش در دوره ي متوسطه دانشگاه متناسب است و در سواد علمي فناورانه نيز تأثير دارد ، در دوره ي آموزش عمومي فرا گيرند.

2- كسب مهارت هاي ضروري : مهارت ها در آموزش رياضي ، در واقع راه هاي يادگيري هستند. مهارت ها مجموعه اي از توانايي هستند كه پرورش آنها در دانش آموزان ، به منزله ي آموختن راه يادگيري به آنان تلقي مي شود. مهارت هاي مورد تأكيد در آموزش رياضيات عبارت اند از : 1- حل مسأله 2- كشف  - استدلال 3- اندازه گيري – 4- محاسباتي عددي و عملياتي ذهني 5- تخمين و تقريب عددي

6- استفاده از نمودارها و شهود هندسي  7- فرضيه سازي و نظريه پردازي 8- شمارش  9- الگويابي و مدل سازي  10- استفاده از ابزار و فناوري .

3- كسب نگرش هاي ضروري : نگرش يعني تمايل به اقدام در يك مسير معين كه از مجموع كسب دانستني ها و مهارت هاي ضروري در دانش آموزان ايجاد مي شود. همه ي آموزش ها ، از جمله كسب دانش ها و پرورش مهارت ها براي رسيدن به اين ارزش هاست. ارزش هاي هر جامعه در واقع تعيين كننده ي نگرش هاي ضروري در برنامه درسي است. به نوعي مي توان گفت در آموزش رياضي ، دانش ها و مهارت ها تقريباً مشترك هستند ، ولي در قسمت نگرش ها با توجه به ارزش هاي حاكم بر جامعه ، تفاوت هايي ديده مي شود. اما بخش هاي زيادي از نگرش ها از جمله تمايل به همكاري گروهي ، نقش رياضيات در زندگي روزمره ، تعامل بين طبيعت و رياضيات و تعامل بين رياضيات وفناوري مورد اتفاق تمام برنامه هاي درسي است .

نكاتي در خصوص مهارت ها

1-هر يك از مهارت ها مانند چتري روي دانش ها ومفاهيم قرار مي گيرند . زماني كه به آموزش يكي از مفاهيم مي پردازيم و فعاليت هايي طرح مي كنيم تا دانش موردنظر توسط دانش آموزان توليد شود، فهرست مهارت ها را مدّنظر قرار مي دهيم ، تا امكان تقويت ، توسعه و پرورش مهارت ها را در اين موضوع خاص بررسي كنيم .به اين ترتيب مهارتي مثل پيدا كردن مقدار تقريبي يك عدد به عنوان يك موضوع درسي خاص مطرح نمي شود تا پس از آموزش آن به فراموشي سپرده شود بلكه اين مهارت در تمام دروسي كه به محاسبات و عمليات مربوط مي شود ظاهر مي گردد. مهارت ها مستقل از موضوع يا مفاهيم درسي هستند ، به عبارت ديگر ، با موضوعات و مفاهيم گوناگون قابل تركيب اند. براي مثال ، وقتي موضوع درس مفهوم كسر است ، مي توان مهارت تخمين را با اين درس تركيب كرد  . نمونه ي زير يكي از سؤال هاي آزمون تيمز (TIMSS)  است . تقريباً چه كسري از شكل مقابل هاشور زده است ؟

به هر موضوعي درسي كه مي رسيد ، فهرست هدف هاي مهارتي را براي خود مرور كنيد و بكوشيد بين مهارت ها ومفهوم موردنظر ارتباط برقرار نسازيد و سوال هاي مناسب طراحي كنيد.

2- هر حرفه و شغلي ابزار خاصي خود را دارد و در واقع ، مهارت ها ابزار يادگيري رياضيات هستند و در درك بهتر مفاهيم رياضي ، دانش آموزان را ياري مي دهند . ممكن است هنگام انجام دادن يك فعاليت چندين مهارت به كار رود ، ولي وقتي فعاليتي براي يك مهارت خاص مطرح مي شود ، به اين معناست كه اين مهارت در آن فعاليت مهم تر و اثربخش تر است ، براي مثال ، وقتي فرضيه سازي مي كنيد ، حتماً يك رابطه يا الگويي كشف كرده ايد ، ولي آنچه مسلم است ، مهارت حل مسأله از ساير مهارت ها اهميت بيشتري دارد و نقطه ي تمركز در آموزش رياضيات است .

3- در ارائه فعاليت هاي مهارتي به دانش آموز هميشه تفاوت و توانايي هاي فردي آنان را مدّ نظر داشته باشيد ، زيرا دانش آموزان در توانايي مهارتي با هم متفاوت اند ، بنابراين نمي توان از همه انتظار يكساني  داشت ، زيرا عده اي در استدلال توانايي دارند و تعدادي در به كار بردن ابزار ما هر شده اند.

4- مهارت ها آموزش دادني هستند و گسترش آن ها به زمان نياز دارد. براي مثال وقتي براي اولين بار از دانش آموزان مي خواهيم پس از انجام دادن فعاليت داده شده يك نتيجه ي درست بگيرند ممكن است همه ي دانش آموزان فقط معلم خود را نگاه كنند و هيچ كس حرفي نزند. اين موضوع طبيعي است و نشان مي دهد كه مهارت نتيجه  گيري را بايد آموزش داد. پس از گذشت چند ماه كه معلم با همين شيوه به دانش آموزان آموزش داد و پس از انجام دادن فعاليت ها ، نتيجه را از آنها سؤال كرد ، آهسته آهسته پاسخ هاي درست شروع ميشود و پس از گذشت مدتي ديگر همه ي دانش آموزان قادر خواهند بود نتيجه گيري كنند. يا وقتي معلم از دانش آموزان مي خواهد استدلال خود را بيان دارند يا راهبردهاي تخمين زدن و راهبردهاي محاسباتي ذهني خود را بگويند يا بنويسند ، ابتدا دانش آموزان حتي منظور معلم را نيز نمي فهمند. اما پس از چند مثال و توجه به نحوه ي استدلال و بيان معلم ، كم كم مي توانند توانايي خود را در اين مهارت ها نيز نشان دهند.

حل مسأله

هر يك از ما بايد در روز به حل مسأله بپردازيم . زيرا به طور مداوم با موقيعت هايي روبه رو مي شويم كه در آنها چيزي بين ما و خواسته هايمان حايل مي شود كه ما بايد بر آن غلبه كنيم و مانع را كنار بزيم.البته همه ي مسائلي كه در طول روز با آنها مواجه مي شويم ، مسأله هاي رياضي نيستند . از اين گذشته ، هدف ما به عنوان يك معلم ، كمك كردن به فراگيران است تا بتوانند طيف وسيعي از مسائل را حل كنند .

ما به آنها كمك مي كنيم تا مهارت هاي درك مطلب را در خواندن ياد بگيرند ، مهارت هاي تحقيق را در علم به كار ببرند ، وقايعي را كه در مطالعات اجتماعي رخ مي دهد ، تجزيه و تحليل كنند و بتوانند از عهده ي تأثيرات متقابل اجتماع برآيند.

در رياضي ، ما داستان يا مسائل داستاني و كاربردهاي آن را ارائه مي دهيم . ما نياز داريم كه قدمي به پيش برداريم و توانايي دانش آموزان  را به در كار گرفتن تكنيك ها و راهبردهاي گوناگون حل مسأله توسعه دهيم . آگاهي ، مهارت و ادراك مهم ترين عناصر يادگيري رياضي محسوب مي شوند . با اين حال در حل مسأله است كه فراگير اين اجزا و عناصر را براي پاسخگويي به يك سوال ، يك تصميم گيري و يا نيل به يك هدف با يكديگر تركيب مي كند.

معلمان براي آموزش حل مسأله به دانش آموزان و دانش آموزان براي آموختن روش هاي آن با مشكل مواجه مي شوند. بعضي از اين مشكلات به اين دليل رخ مي دهد كه يافتن پاسخ مقصود نهايي اين فرآيند در نظر گرته ميشود . دانش آموزان ، اغلب تكنيكي را كه براي حل مسأله وجود دارد ، به دليل تسلط آن بر يافتن پاسخ ، به طرز نادرستي به كار مي گيرند. ما بايد به طور فزاينده اي به فرآيند حل مسائل ، يعني شيوه اي كه به كمك آن به جستجوي پاسخ مسأله مي گرديم ، آشنا شويم ، زيرا اين فرآيند از اصول اوليه يادگيري محسوب مي شود . وقتي كه تأكيد بر يافتن جواب باشد ، ممكن است بچه ها روش حل مسائل خاصي را ياد بگيرند ، اما وقتي بر فرآيند حل مسأله تأكيد شود ، ياد مي گيرند كه چگونه به مسائل گوناگون يورش ببرند.

مسأله چيست و حل مسأله به چه چيزي اطلاق مي شود ؟

مسأله به موقعيتي اطلاق ميشود كه در آن فرد چيزي را طلب مي كند ، ولي نمي داند كه چگونه به طور مستقيم به آن دست يابد. اگر مسأله چنان ساده باشد كه دانش آموزان چگونگي پاسخ را بدانند يا بي درنگ آن را بيابند ، در واقع نمي توان آن را مسأله ناميد.

در اين كه  تمرين ها و مسائل داستان گونه ي كتاب درسي ، واقعاً براي بيشتر دانش آموزان مسأله هستند يا نه ، جاي بحث دارد . در واقع ، چنين مسائلي نوعي تمرين هستند كه در قالب كلمات آمده اند و بزرگ ترين مشكل در زمينه ي محاسبات رخ مي دهد . نوع محاسبات و انتخاب مناسب آنها نيز مشخص است .

اگر درس هفته ي گذشته مربوط به جمع بوده است ، مسأله را از طريق جمع كردن حل كنيد ، اگر بحث مربوط به تقسيم بوده است ، در مسأله به دنبال دو عدد بگرديد و آنها را بر هم تقسيم كنيد. تعجبي ندارد كه بچه هايي كه اينگونه آموزش ديده اند ، به سختي از عهده ي امتحانات بر آيند. زيرا در اين روش مسائل به نحو مناسبي گروه بندي نشده است. به مسأله هاي زير توجه كنيد : الف ) 7809 نفر از مردم در روز دوشنبه تلويزيون تماشا مي كنند و9060 نفر از مردم در روز سه شنبه تلويزيون تماشا مي كنند و در روز

 چهارشنبه 9924 نفراز مردم تلويزيون تماشا مي كنند.چند نفردرطول اين سه روزتلويزيون تماشا كرده

 اند؟

ب) ارقام 1و2و3و4و5و6و7و8و9 را در نظر بگيريد . هر كدام از آنها را دست كم يكبار به كار ببريد و از آنها سه عدد چهار رقمي بسازيد ، به طوري كه مجموع اين سه عدد برابر 9636 شود.

در مسأله ي الف تصميم به جمع كردن سه عدد براي اكثر دانش آموزان از طريق تكاپوي فراوان حاصل نمي شود و آنان در تعيين آنچه كه بايد انجام دهند به زحمت نمي افتند زيرا مسأله صرفاً به يك تمرين محاسباتي تبديل ميشود و عملياتي از طريق عمل جمع را طلب مي كند . آنها مي دانند كه بايد چه كاري انجام بدهند ، زيرا الگوي كلي از طريق مسأله ي قبلي حاصل شده است.

در مسأله ي (ب) دانش آموزان مجبور خواهند بود اعداد ممكن بسياري را امتحان كنند. اگر آنها بعضي از انديشه هاي رياضي را به كار ببرند ، شانس بيشتري براي رسيدن به جواب خواهند داشت.

براي مثال اطلاع از اين كه مجموع سه عدد فرد باز هم عددي فرد است ، به آنها كمك مي كند تا از بكارگيري اعداد 1و3و5 با يكديگر در محل يكان خودداري كنند. دانش آموزان داده هايي براي حل مسأله در اختيار دارند ، اما جواب به يكباره آشكار نخواهد شد. ممكن است آنان مجبور شوند تعدادي از حالتهاي ممكن را حدس بزنند وآنها را امتحان كنند. ميل به يافتن يك يا چند جواب وتلاش و تكاپو براي انجام دادن كاري كه پيش از اين انجام نداده ايد (اما اطمينان داريد كه مي توانيد انجام دهيد) كليدهاي حل مسأله محسوب مي شود. اين كه مسأله واقعاً يك مسأله باشد يا صرفاً يك تمرين ، بستگي به نحوه ي برخورد فرد با آن دارد .

تمايز ميان دانش آموزان غالباً در حل مسائل قالبي و ابتكاري آشكار مي شود. مسائل قالبي به مسائلي اطلاق مي شود كه در آنها ، يك طرز عمل رياضي خاص تدريس ميشود و همان عمل در حل مسائل گوناگون به كار مي رود. مسائل ابتكاري عموماً به تفكر بيشتري نياز دارند. انتخاب نحوه ي عمل در حل اين مسائل چندان آشكار نيست. تجربه نشان داده است كه اكثريت عظيمي از دانش آموزان با مسائل ابتكاري ، كه نياز به تجزيه وتحليل يا تفكر دارند ، به آساني كنار نمي آيند.

به طور كلي دانش آموزان براي حل مسائل قالبي يك مرحله اي ، نظير آنچه در كتابهاي درسي عرضه ميشود موفق هستند .  بيشترين مشكل آنها در مواجهه با مسائل چند مرحله اي يا ابتكاري ظاهر ميشود. مسائل مربوط به سطح ابتدايي نبايد به صورت مسائل يك مرحله اي فعلي باشد . بلكه بايد از مسائل ابتكاري كه به كار برد وسيع تري از اعمال حسابي نياز دارند ، استفاده كرد.

متأسفانه ، حل مسأله در بسياري از كتابهاي رياضي به يافتن پاسخ هايي در مسائل كلامي كتاب درسي محدود شده است . در حالي كه حل مسائل رياضي به چيزي بيش از اينها نياز دارد . هرگاه دانش آموزان با راه حلي روبه رو شوند ، كه قبلاً بر آن تسلط نيافته اند ، در واقع در حال حل كردن مسأله هستند.

آموزش حل مسأله

مسأله :هرگاه فردي بخواهد كار ديگري انجام دهد يا جاي ديگري باشد ، ولي نتواند به هدف خود برسد ، مسأله ايجاد ميشود . مسأله و تلاش براي حل آن جزئي از زندگي هر فرد است . تعليم و تربيت بايد دانش آموزان را براي برخورد با زندگي آينده آماده كند. فرآيند برخورد با شرايط زندگي را حل مسأله  مي نامند. در آموزش رياضي حل مسأله از دو جنبه اهميت دارد. اول آن كه از اهداف مهارتي مهم در آموزش رياضيات است و از طرف ديگر مي توان گفت انجام هر فعاليت يا پاسخ دادن به سوال ها و يا تمرين هاي رياضي به نوعي حل مسأله است . با اين توضيح حل مسأله چتري است كه بر روي تمام اهداف مهارتي و به تعبيري ديگـر بر تمام آموزش رياضي قرار مي گيرد. به طور كلي حل مسأله قلب تپيده يا نقطه ي تمركز آموزش رياضي  است.

در آموزش رياضي دو ديدگاه و يا رويكرد كلي در مورد حل مسأله وجود دارد :

1- رياضي را آموزش مي دهيم تا به كمك آن دانش آموزان مسأله حل كنند.

2- آموزش رياضي را از طريق حل مسأله انجام دهيم .

در نگاه اول حل مسأله در پايان فرآيند آموزش قرار مي گيرد. در رويكرد دوم ، حل مسأله در آغاز فرآيند آموزش است . در واقع با طرح يك مسأله و به چالش انداختن ذهن دانش آموزان شرايط براي آموزش مهيا شده ، و دانش آموز با درگير شدن در فرآيند حل مسأله به تدريج مفهوم و يا دانش موردنظر را مرحله به مرحله توليد مي كند و ضمن حل مسأله يك موضوع تازه از رياضيات را نيز فرا مي گيرد .

آموزش مهارت حل مسأله

تا چندي پيش اغلب افراد دست اندركار رياضي بر اين باور بودند كه حل كردن مسأله يك توان ، استعداد نيرويي فردي است و آموزش دادن آن معنا ندارد . به عبارت ديگر ، توانايي حل مسأله به صورت يك استعداد در درون افراد قرار دارد و نمي توان آن را از طريق آموزش تقويت و يا ايجاد كرد.

جرج پوليا با اين تفكر كه چه تفاوتي بين افراد مسأله حل كن و افراد ديگر وجود دارد كه آنها را قادر به حل مسأله مي كند و ديگران را عاجز ، به بررسي فرايند تفكر حل مسأله پرداخت و با نوشتن كتاب (چگونه مسأله را حل كنيم؟) ذهنيت آموزش حل مسأله را مطرح كرد.

امروزه با توجه به نظريات او و افرادي كه پس از وي تحقيقات در مورد حل مسأله را ادامه دارند بر اين بارو هستند كه مي توان از طُرقي مهارت حل مسأله را براي دانش آموزان آموزش داد .

اغلب دانش آموزان ما در مواجه شدن با مسأله توان اقدام كردن به حل آن را ندارند. در واقع نمي دانندچطور بايد حل را آغاز كنند يا وارد حل مسأله شوند. اين مشكل براي معلمان كاملاً قابل درك است. اغلب آن ها از اين كه دانش آموزان درباره ي مسأله نمي توانند فكر كنند ، ناراحت به نظر مي رسند.

بعضي از معلمان نيز سعي كرده اند به روش هاي تجربي خود ، به نوعي حل كردن مسأله را به دانش آموز آموزش دهند. اغلب آنها در اين شيوه ، راه راه اشتباه رفته اند و به دانش آموزان آموزش هاي نادرست داده اند . براي مثال ، واژه هاي به كار رفته در متن مسأله را مهم جلوه مي دهند. (اگر كلمه ي روي هم را ديديد جمع كنيد) و يا (كلمه ي متفاوت به تفريق مربوط ميشود) . بيان اين قبيل جمله ها نه تنها آموزش نيست ، بلكه به نوعي ضد آموزش است و قدرت تفكر را در ذهن دانش آموز از بين مي برد.

الگوي حل مسأله

هر كس در ذهن خود فرآيندي براي حل مسأله طي مي كند. مسير حل مسأله براي مسائل گوناگون و براي افراد مختلف متفاوت است. اما جرج پوليا تلاش كرده است تا اين مسير را به نوعي مدل سازي كند.

الگوي چهار مرحله اي او به شكل زير است :

1- فهميدن مسأله : فهميدن مسأله ، يعني تشخيص داده ها و خواسته هاي مسأله وارتباط بين آنها .

اولين گام در يك مسأله ، فهميدن آن است . اين گام نشان مي دهد مسأله وقتي مسأله است كه چيزي براي فهميدن داشته باشد. فهم مسأله بخش اصلي فرايند حل مسأله است  .

براي طي كردن اين گام در هنگام حل مسأله مي توان سؤال هايي مثل پرسش هاي زير طرح كرد.

1- مسأله چه اطلاعاتي داده است؟

2- خواسته ي مسأله چيست؟

3- آيا مسأله بايد در شرايط خاصي بررسي شود ؟

4- آيا مسأله داراي محدوديت ها و شرايط معيني است؟

5- مسأله را به زبان خود بيان كنيد و توضيح دهيد.

6- مسأله را خلاصه كنيد.

7- مسأله را به صورت يك نمايش به عمل درآوريد.

8- براي مسأله يك شكل بكشيد.

يكي از راه هاي مناسب براي طرح مسأله قرار دادن اطلاعات اضافي در متن سؤال است تا گام فهميدن و تشخيص داده ها و خواسته ها اهميت بيشتري پيدا كند.

2- طرح ريزي كردن :گام دوم برنامه ريزي ،طرح ريزي يا قصد كردن براي حل مسأله است . در اين مرحله مسأله را از ابعاد مختلف رياضي بررسي مي كنيم . يعني اين مسأله با كدام يك از مفاهيم چهار عمل اصلي و يا مقولات هندسي واصول و ... در ارتباط است. چگونه آن را مي توان مدل سازي كرد؟ كدام روش براي حل آن مناسب تر است ؟ در اين مرحله ممكن است مجبور شويم به گام فهميدن بر گرديم واين رفت و برگشت تا رسيدن به يك راه حل مناسب ادامه مي يابد.

آنچه در اين گام مطرح مي شود ، انتخاب روش حل مناسب براي حل مسأله است ، يعني در اين مرحله دانش آموز داده هاي مختلف ، حل مسأله را بررسي و امتحان مي كند. راه هايي مثل كشيدن شكل ، حدس زدن جواب ،حذب كردن جواب هاي غيرممكن براي رسيدن به جواب اصلي ،تكه تكه كردن مسأله ، ساده تر كردن مسأله ، تشكيل جدول تناسب و ... بنا براين نام اين مرحله را (انتخاب راهبرد) مي گذاريم.

مهم ترين بخش در آموزش مهارت حل مسأله ، آموزش راهبرد است . در واقع آنچه در حل مسأله ، آموزش دادني است ، آموزش راهبردهاست.

3- حل مسأله : در گام سوم ، نقشه ي طرح شده را به اجراء مي گذاريم  . اگر راهبرد مناسب را انتخاب كرده باشيم ودر فهم مسأله مشكلي نداشته باشيم ، نقشه با موفقيت اجراء شده ، مسأله حل ميشود . در غيراينصورت ممكن است به گام دوم برگرديم و طرح و نقشه يا راهبرد خود را تغيير دهيم . همچنين اين امكان وجود دارد در هنگام حل مسأله ، متوجه شويم هنوز بخش هايي از مسأله را نفهميده ايم  و يا در تشخيص داده ها يا خواسته هاي مسأله اشتباه كرده ايم و بايد به گام اول برگرديم .

يكي از نكات مهمي كه بايد به دانش آموزان گوشزد كنيم ، اين است كه اين قسمت بخشي از فرايند حل مسأله است نه تمام آن . در واقع تمام تلاش هايي كه براي فهميدن مسأله و انتخاب راهبرد مي شود نيز جزيي از حل مسأله است .

4- نگاه به عقب (برگشت به عقب) : در گام آخر در صورتي كه مسأله حل شده باشد ، آن را در دنياي واقعي ، تفسير و ترجمه مي كنيم . همچنين درمورد منطقي بودن پاسخ و اين كه جواب به دسـت آمده همان خــواسته ي مسـأله است يا نه ، بررسي مي كنيم . راه حل و روش هاي رياضي كه در حل مسأله استفاده شده است ، مجدداً بررسي و امتحان مي شوند.

معمولاً اين گام در كلاس درس فراموش مي شود ، و دانش آموزان اغلب درباره ي منطقي بودن پاسخ خود فكر نمي كنند و پاسخ خود  را در دنياي واقعي تفسير و تعبير نمي كنند.

اين مراحل در هنگام حل مسأله به صورت طبيعي و پنهان طي مي شود. تأكيد بيش از حد بر چهار گام و جدا كردن آنها از يكديگر ممكن است به عاملي براي متوقف شدن فرايند حل مسأله منجر شود لذا توصيه ميشود . معلمان محترم اين 4 مرحله را به صورت طبيعي در كلاس با دانش آموزان خود طي كنند و با تكرار آن در حل مسأله آن را به صورت ملكه در ذهن دانش آموز در آورند تا او بتواند فرايند تفكر خود را نظم و سازماندهي كند.

راهبردهاي حل مسأله

يكي از مشكلات اصلي دانش آموزان ، عدم اقدام به حل مسأله است . يعني وقتي با يك مسأله مواجه ميشوند ، نمي دانند از كجا بايد شروع كنند و يا چگونه اقدام به حل آن نمايند. مدل پوليا از يك طرف مي تواند الگويي براي شروع به دانش آموز بدهد اما از طرف ديگر ممكن است خود مانع حل ، خلاقيت و آزادانديشي دانش آموز شود اما آموزش راهبردهاي حل مسأله مي تواند گام مفيدي براي حل مسأله باشد. دانش آموز در گام دوم حل مسأله مي تواند از بين راهبردهاي مختلف كه براي حل مسائل آموزشي ديده است ، راه حل مسأله مي تواند از بين راهبردهاي مختلف كه براي حل مسائل مختلف و امكان حل مسأله با آن راهبردها در واقع اقدام مهمي براي حل مسأله است . در آموزش عمومي 8 راهبرد زير به دانش آموزان داده ميشود.

1- رسم شكل : اين راهبرد به طور طبيعي در ذهن دانش آموز پيش مي آيد و كشيدن شكل يك مسأله ، اولين ايده اي است كه به ذهن مي آيد. بسياري از مسائل ، با كشيدن يك شكل به راحتي حل ميشوند و حتي نيازي به عمليات نخواهند داشت .

2- به مسأله هاي زير و نحوه ي حل آن با رسم شكل توجه كنيد :

1- در يك مزرعه 20 مرغ و گاو وجود دارد . تعداد پاهاي آنها 54 عدد است . با فرض اين كه همه ي آنها سالم هستند چند مرغ و گاو در اين مزرعه وجود دارد ؟       پاسخ : 7 گاو و 13 مرغ

راهبرد مسأله ي بالا براي دانش آموز دوم دبستان قابل طرح است  .

2- توپي از ارتفاع 8 متري سطح زمين رها مي شود و پس از به زمين خوردن ، نصف ارتفاع قبلي خود بالا مي آيد . اين توپ پس از 3 بار به زمين خوردن ، در مجموع چند متر حركت كرده است ؟

پاسخ :                           20= 2+2+4+4+8

                                                                                                       (3)                         (2)               (1)          

3- قيمت يك دفتر و يك خودكار و پنج مدد با قيمت يك دفتر و دو خودكار و دو مداد و ني با قيمت دو دفتر و يك خودكار و يك مداد برابر است . اگر قيمت هر مداد  50 تومان باشد ، قيمت هر دفتر و هر خودكار را حساب كنيد.

پاسخ :  150= 50+50+50

              خ = م + م + م

200= 50 + 50 + 50 + 50

د = م + م + م + م

  4- قيمت يك پرتقال و دو هلو و سه سيب با قيمت دو پرتقال و دو هلو و يك سيب و نيز با قيمت يك پرتقال و چهار هلو و دو سيب برابر است . اگر قيمت هر هلو 25 تومان باشد ، قيمت هر سيب و هر پرتقال را حساب كنيد.

پاسخ :               100 = 50 + 50

                        پ = س + س

50 = 25 + 25

س = هـ + هـ

5- در يك كلاس از 30 نفر دانش آموز 16 نفر واليبال و 20 نفر فوتبال بازي مي كنند. چند نفر فقط و فقط واليبال بازي مي كنند ؟

¡¡¡¡¡         ¡ ¡ ¡        o o o o o o o

¡¡¡¡¡         ¡ ¡ ¡        o o o o o o o

پاسخ : 10 نفر

براي كشيدن شكل از طرح هاي ساده استفاده كنيد ، براي مثال در مسأله هاي بالا لازم نيست يك نقاشي زيبا از مرغ و گاو و پرتقال و سيب و دفتر و خودكار و... بكشيد.  به جاي آنها ميتوانيد از هر شكل يا نمادي استفاده كنيد.

يك تصوير ، طرح يا شكل به ما در درك بهتر جمله ها و نوشته هاي يك متن كمك مي كند و نكات پيچيده و مبهم را برايمان روشن و آشكار مي سازد . در مسأله هاي رياضي نيز شكل به ما كمك مي كند كه قبل از حل مسأله ، آن را ببينيم .

كشيدنِ شكل مناسب براي مسأله ها ، طبيعي ترين راهبردي است كه در حل مسأله به ذهن مي آيد. اين كار به فهم بهتر و پيدا كردن راه حل آن كمك مي كند. گاهي مسأله با كشيدن شكل به طور كامل حل ميشود و به نوشتن عمليات رياضي نيازي نيست . ممكن است شما براي بعضي از مسأله ها شكلي نكشيد اما شكل در ذهنتان نقش مي بندد و شما به كمك اين طرح ذهني ، مسأله را حل كنيد. در اين باره كمي فكر كنيد. آيا تاكنون هنگام حل يك مسأله طرح يا شكلي ذهني را در نظر گرفته ايد ؟

● ویژگی های ریاضیات
▪ اولین ویژگی ریاضیات دقت است، کم و زیاد شدن یک صفر ، مثبت یا منفی در نظر گرفتن یک رقم ، پس و پیش کردن یک نماد ، اضافه کردن یک کلمه و … هر کدام می‌تواند مساله‌ای را به جوابی دیگر رساند یا صورت مساله را عوض کند.
▪ دومین ویژگی ریاضیات ، خلاصه گویی و استفاده از مطالب ، قضیه‌ها و مساله‌های اثبات شده به عنوان ابزارهایی برای حل مساله‌های جدید است و این که همواره به دنبال داده‌های صحیح و کوتاه باشیم.
● جنبه‌های مختلف ریاضیات
▪ ریاضیات به عنوان یک ابزار
یعنی وسیله‌ای برای توصیف و تجزیه و تحلیل و انتقال آن ، به دلیل گنگ و نامفهوم بودن زبانهای معمولی.
▪ ریاضیات به عنوان یک موضوع
ریاضیات علاقه می‌آفریند و لذت می‌بخشد و ارزش مطالعه محض و مستقل از کاربرد دارد که خود جنبه آزادی اندیشه را از قید زمان و مکان می‌طلبد چرا که در بسیاری از موارد مطالعات در خارج از فضای سه بعدی و در فضاهای آفریده شده توسط ریاضیدان صورت می‌گیرد. بطوری که بیشتر مفاهیم مهم ریاضی به واسطه همین ، امروز کاربرد زیادی پیدا کرده‌اند. همان طور که در ساختن بدن سالم نیاز به ورزش مکرر فیزیکی داریم.
▪ ریاضیات به عنوان یک علم
یعنی از دیدگاه کاربردی که نقش و ارزش آن در جوامع کنونی بشری روز به روز مورد توجه قرار گرفته است و کاملا محسوس می‌باشد.
▪ ریاضیات به عنوان یک مساله تربیتی
برای پرورش ونظم فکری و بالابردن قدرت اندیشه و استدلال منطقی همچنین رشد قوه خلاقیت ذهنی که شاید این جنبه از ریاضیات مهمترین هدف از تدریس آن می‌باشد.
● ریاضیات از دیدگاه دانشمندان
▪ گالیله می‌گوید: اصول ریاضیات الفبای زبانی است که خداوند جهان را با آن نوشته است و بدون کمک آنها درک یک کلمه هم غیر ممکن است. و انسان بیهوده در راهروهای تاریک و پر پیچ و خم سرگردان است.
▪ لیوناردو داوینچی معتقد است که: هیچ دانشی را نمی‌توان دانش واقعی دانست مگر این که به صورت ریاضیات متجلی شود.
▪ واجر بیکن معتقد است که: ریاضیات دروازه علوم است غفلت از ریاضیات به همه دانشها لطمه می‌زند زیرا کسی که علوم دیگر را نمی‌تواند درک کند و اشیای دیگر جهان را نمی‌شناسد. و بدتر از آن کسانی که نادانند نمی‌توانند جهالت خود را درک کنند.
▪ کانت می‌گوید: در هر بخش از علوم فیزیکی به معنای عام آن قدر از علم واقعی است که در آن ریاضیات وجود دارد یعنی علوم منهای ریاضیات یعنی هیچ.
● فرجام سخن
بنابراین اگرفردی به هر دلیل در رسیدن به هدف از ریاضی کمک نگیرد، وظیفه خود را انجام نداده است و همچنین اگر شخصی توانایی را در این مورد بدست نیاورد نه تنها توفیقی به دست نمی‌آورد، بلکه در زندگی اجتماعی نیز از طریق راههای سالم پیروزی چشمگیر نخواهد داشت. می‌توان نتیجه گرفت که ریاضیات غذای مغز است. که باید بطور حساب شده به مغز برسد. همچنین ریاضیات مانند غلتکی است که جاده ناهموار و سنگلاخ علم را صاف و ناهموار می‌سازد تا دیگر علوم در گذر زمان سرعت بیشتری بگیرند.

خط d را در صفحه در نظر بگيريد. اگر O نقطه‌ي دلخواهي بر d و نقاط به ترتيب قرينه‌ي A,B نسبت به O باشند، آيا مي‌توان AB را با حركت دادن روي d بر منطبق كرد؟

علم و عمل توسعه‌ ي دانش انساني از طريق استفاده از روش‌هايي براي گردآوري و تنظيم و تحليل داده هاي تجربي به‌شکل اطلاعات «عددي» است. همچنين در صورتي که معناي شاخه‌اي علمي مد نظر نباشد، معناي آن، داده‌هايي به‌شکل ارقام و اعداد واقعي يا تقريبي است که با استفاده از علم آمار مي‌توان با آن‌ها رفتار کرد و عمليات ذکر شده در بالا را بر آنها انجام داد.

علم آمار

علم آمار بر نظريه ي آمار مبتني است كه شاخه اي از رياضيات كاربردي است. در نظريه ي آمار، اتفاقات تصادفي و عدم قطعيت توسط نظريه ي احتمال، مدل بندي مي شود. در اين علم، مطالعه و قضاوت معقول در باره ‌ي موضوع‌هاي گوناگون، بر مبناي يک جمع انجام مي‌شود و قضاوت در مورد يک فرد خاص، اصلاً مطرح نيست. از آن‌جا که هدف آمار اين است که «بهترين» اطلاعات را از داده‌هاي موجود توليد کند، بعضي نويسندگان، آمار را شاخه‌اي از نظريه ي تصميم گيري به شمار مي آورند كه اين علم به بخشهاي آمار توصيفي و آمار استنتاجي تقسيم مي شود

عمل آماري

عمل آماري شامل برنامه‌ريزي و جمع‌بندي و تفسير مشاهدات غير قطعي است به‌شکلي که
اعداد نماينده‌ي واقعي مشاهدات بوده، غير واقعي يا غلط نباشند
به‌نحو مفيدي تهيه و تنظيم شوند
به‌نحو صحيح تحليل شوند
قابل نتيجه‌گيري صحيح باشند

آناليز شاخه اي از رياضيات است که با اعداد حقيقي و اعداد مختلط و نيز توابع حقيقي و مختلط سر و کار دارد و به بررسي مفاهيمي از قبيل پيوستگي ،انتگرال گيري و مشق پذيري مي پردازد. از نظر تاريخي آناليز در قرن هفدهم با ابداع حساب ديفرانسيل و انتگرال توسط نيوتن و لايپ نيتس پايه ريزي شد. در قرن هفدهم و هجدهم سر فصل هاي آناليزي از قبيل حساب تغييرات،معادلات ديفرانسيل با مشتقات جزئي، آناليز فوريه در زمينه هاي کاربردي توسعه فراواني يافتند و از آنها به طور موفقيت آميز در زمينه هاي صنعتي استفاده شد. در قرن هجدهم تعريف مفهوم تابع به يک موضوع بحث بر انگيز در رياضيات تبديل شد. در قرن نوزدهم کوشي با معرفي مفهوم سري هاي کوشي اولين کسي بود که حساب ديفرانسيل و انتگرال را بر يک پايه منطقي استوار کرد.. در اواسط قرن نوزدهم ريمان تئوري انتگرال گيري خود را که به انتگرال ريمان معروف است ارائه داد، در اواخر قرن نوزدهم وايراشتراس مفهوم حد را معرفي کرد و نتايج کار خود بر روي سريها را نيز ارائه داد در همين دوران رياضيدانان با تلاش هاي زياد توانستند انتگرال ريمان را اصلاح نمايند . در اوايل قرن بيستم هيلبرت براي حل معادلات انتگرال فضاي هيلبرتي را تعريف و معرفي نمود.از آخرين تحولات در زمينه آناليز مي توان به پايه گذاري آناليز تابعي توسط يک دانشمند لهستاني به نام باناچ نام برد

چگونه رياضيات را به دانشي دلچسب تبديل كنيم؟  

طي بيست و شش سال اخير كه مستقيم و غيرمستقيم با رياضيات سر و كار داشته ام، چه در دوران مدرسه و دانشگاه و چه به عنوان دبير رياضيات در مدارس، يك پرسش بي جواب چون سايه همه جا مرا دنبال كرده است: «رياضياتي كه مي خوانيم به چه دردمان مي خورد؟»

در دبيرستان يك درد بزرگ داشتيم: «كنكور»! و البته رياضيات با ضريب بالايي كه داشت درمان مناسبي براي كاهش اين درد بود، ولي خود رياضيات هم درد كمي  نبود. در دانشگاه فني مهندسي، جايگاه والاي رياضيات، صد البته نيازي به يادآوري نداشت. رياضيات مهندسي، محاسبات عددي، تبديلات لاپلاس و فوريه، معادلات پواسن و دهها عنوان و موضوع پرطمطراق ديگر.

بزرگان رياضي در طي دوران براحتي مي‌توانستند با کشيدن نيمساز، هر زاويه دلخواه را به دو بخش برابر قسمت کنند، ولي در سه قسمت کردن کمان عاجز بودند. بنابراين تثليث يا سه بخش کردن زاويه يکي از مسائل عهد باستان گرديد.

با آشنايي در حد مثلثات دبيرستاني مي‌شود ثابت کرد اين مسئله ‌که جزء مسئله‌هاي طرح شده در شاخه ساختمان‌هاي هندسي است با کمک پرگار و ستاره (خط‌کش غير مدرج) قابل حل نيست. ولي با حل يک معادله درجه ? ساده مي‌توانيم دريابيم که بي‌نهايت زاويه وجود دارد که با کمک ستاره و پرگار قابل تثليث است، از جمله زاويه‌هاي ?? درجه يا ?? درجه؛ و بي‌نهايت زاويه وجود دارد که با کمک ستاره و پرگار قابل تثليث نيست، از جمله زاويه? ?? درجه. بنابراين، زاويه? ?? درجه را نمي‌توان، به کمک پرگار و خط‌کش، به سه بخش برابر تقسيم کرد.

تثليث زاويه، به همراه تربيع دايره، تضعيف مکعب و چندضلعيهاي منتظم محاط در دايره از مسائل سه‌گانه عهد باستان است طي قرن‌ها حل نشده باقي‌مانده بود.

با وجود اثبات امکان ناپذيري حل اين مسئله و مسئله‌هاي مشابه با استفاده از ستاره و پرگار، عده‌اي تلاش مي‌کنند اين مسائل را حل کنند. در اصطلاح رياضي‌کاران ايراني، اين عده نوابيغ ناميده مي‌شوند.

نقش اجتماعي رياضيات

آيا مي توانيم براي آموزش رياضيات در دنيايي كه در آن تكنولوژي نقش عمده را بازي
مي كند نقش اجتماعي جديد پيدا كنيم ؟

دليل 1 - رياضيات بي طرف است و در شرايطي دور از مسايل متنازع اجتماعي بهتر آموخته مي شود .

پيامدها : 1- آموزگاران ، همچنان سخت درون مرزهاي تخصص گرايي موضوعي خود خواهند غنود .

2- همه حكومتهايي كه رياضيات را به عنوان ابزاري كارساز براي پيشرفتهاي تكنولوژيكي و اقتصادي مي بينند ، همچنان بيشترين اولويتها را به تدريس آن اختصاص خواهند داد .

3- رياضيات در چشم اكثر مردم عامي ، همچنان هاله جادويي و تنزه خود را ، بر فراز وابستگيهاي معمولي آدميان ، دارا خواهدبود .

4- آموزش رياضيات كمك مستقيمي به مسايل فوري اجتماعي نسل كنوني نخواهد كرد .

دليل 2 - از آنجا كه رياضيات ، هم تكنولوژي در همه شكلهاي گوناگونش ، هم سياست تعيين چگونگي كاربردش را پي ريزي مي كند ، تدريس آن بايد آگاهانه به اين مسايل مربوط باشد .

پيامدها : 1- اين كار دشواري است . به علاوه بسياري از آموزگاران رياضي ، اگر نه همه شان وظيفه خود نمي دانند كه مسايل اجتماعي و متنازع را لمس كنند .

2 - انتظار مي رود حكومتها واكنش مخالف نشان دهند . اين در برخي از كشورها كه تلاشهايي براي گنجاندن يك بخش (( مسئوليت اجتماعي )) در تدريس فيزيك ، يا براي
وارد كردن (( مطالعات صلح )) در مدارس انجام شده رخ داده است .

3- انتظار مي رود انگيزش دانش آموزان افزايش يابد .

4- آموزشگران رياضي شايد سهم حرفه اي مستقيمي در حل برخي از مسايل رودرروي جامعه انساني پيدا كنند .

5- جامعه همچنان مملو از كساني خواهد بود كه بر خوردشان با رياضيات بيشتر مطيع احساس از شكست است . كساني كه يادگيري بيشتر رياضيات را ، اگر معلوم شود كه در آينده بكارشان مي آيد . ناممكن مي پندارند .

در حد يك كلاس درس ، آموزگار خوب خود پيشاپيش تا حدي دست به تفكيك برنامه درسي
مي زند ، وي براي دانش آموزان پر استعدادتر مسايل پيچيده تري طرح مي كند تا پيشرفت بيشتر آنان را برانگيزد و براي كم استعدادتران مسايل ساده تر تا در آنان اعتماد به خويش و ايستاري مثبت تر نسبت به يادگيري رياضيات بيافريند .

گونه ديگر تفكيك ، بر اساس سرعت ترقي در يك برنامه درسي مشترك است كه به وضوح بدان معناست كه شاگردان ضعيفتر هنگامي كه مدرسه را ترك مي كنند مقدار كمتري از برنامه را گذرانده اند . در برخي از كشورها اين گونه تفكيك با نگه داشتن شاگرد در يك كلاس تا هنگامي كه در جه آموختگي قابل قبولي بدست آورد انجام مي شود .

امكان بهتر كار كردن  :

معلمی كه بايد روزي 5 يا 6 كلاس داشته باشد ، وقت چنداني براي انديشيدن خويش ، فراهم آوردن مواد آموختن وي ، وارسي گونه هاي مختلف رويكردهاي بديل ، يا كار با همكاران خود براي توسعه و نوسازي يك برنامه منسجم ندارد .

از آموزگاري كه فاقد جا براي كار ، تجهيزات ، بودجه براي خريد مواد يا سفر ، وقت اختياري براي كار با همكاران يا دانش آموزان است نمي توان انتظار داشت همچون يك
(( كارورز انديشه گر )) پيشرفت زيادي داشته باشد .

معلم همچون (( قرباني )) :

افزودن باري بر دوش آموزگاران مثلا" از طريق ارجاع مسئوليت بيشتر در طرح برنامه درسي انتخاب روشهاي آموزشي ، و ارزيابي دانش آموزان ، بسيار ساده است .

روشن است كه همه اينها از حيث آموزش مطلوبند اگر پشت آموزگاران قوت كافي براي تحمل چنين باري را داشته باشد . نقش خدماتي رياضيات اهميت مردم فزاينده اي دارد . اين چيزي

 سواي نقش صافي مانند اين درس است ، چرا كه بسياري از مشاغلي كه ورود به آنها مستلزم ارائه مدارك از دانش رياضي خواسته در مرحله ورود آن را به كار نمي گيرند .

رياضيات و دشواري :

رويهمرفته مردم رياضيات را به عنوان يك درس نخست مي شناسند . براي خيلي ها رياضيات با يك احساس قوي از شكست همراه است . و خاطره آنها از رياضيات مدرسه خاطره آزمايشها ، امتحانها ، سرخوردگي و ترس از (( غلط در آوردن جواب )) است .

دختران و رياضيات :

براي دختران و پسران تمايزي قائل نشويم ، چرا كه از نظر ما تفاوت اساسي اي وجود ندارد . با وجود اين شكي نيست كه در خيلي از كشورها تفاوتهاي جنسيتي زيادي از حيث چشمداشت و دستاورد در كار هست

يكي ديگر از عوامل مهم در پيشرفت تحصيلي دانش آموزان عوامل خانوادگي است . خانواده اولين مكاني است كه كودك در آن زندگي مي كند و تربيت مي يابد . بسياري از روانشناسان معتقدند كه : شخصيت كودك در شش سال اول زندگي شكل مي گيرد .

عمده ترين عوامل خانوادگي مؤثر در پيشرفت تحصيلي عبارتند از :

1- شرايط عاطفي و امنيت محيط خانواده

2- شرايط اجتماعي و اقتصادي

3- تحصيلات و سطح فرهنگ خانواده

4- تعداد اعضاي خانواده

5- اشتغال كوكان

6- اشتغال مادران

7- ارتباط بين اوليا و معلمان

8- اثرات تلويزيون

9- حاكميت ارزشهاي مادي

اكنون از بين عوامل فوق به توضيح اهم آنها مي پردازيم :

1- شرايط عاطفي و امنيت محيط خانواده :

خانواده اولين كانون تربيتي كودكان به حساب مي آيد و كودك مقدار قابل توجهي از وقت خود را در آن مي گذراند بهرام زاده ( 1372 ) به فقل از شاروك ( 1967 )
 مي گويد : (( محيط خانوادگي بيش از بهره هوشي كودكان در موفقيت تحصيلي آنها مؤثر است . )) شايد بتوان گفت مهم ترين عامل مؤثر در شكل گيري نگرش دانش آموز نسبت به تحصيل ، خانواده است .

چنانچه نگرش خانواده ، نسبت به مدرسه ، معلمان و درس ، منفي باشد و يا بين آنچه مي گويند آنچه عمل مي كنند تفاوت وجود داشته باشد طبيعي است كه به تدريج فرزند آنها نيز نگرش منفي به درس و تحصيل پيدا خواهد كرد . پدران و مادراني كه درس را كاري بيهوده و اتلاف وقت تلقي مي كنند همين نگرش را به فرزندان خود منتقل ساخته و براي پيشرفت درس آنها هيچ گونه كوششي انجام نمي دهند .

گاهي ممكن است يك خانواده از نظر مالي و اقتصادي در حد مطلوبي باشد اما فرزندان آن خانواده به دليل اختلاف و كشمكش هاي خانوادگي بين پدر ومادر و يا بين هر يك از اعضاي خانه كه محيط خانه را به محيط نا امن تبديل مي كنند ، دچار افت تحصيلي مي شوند .

دانش آموزي كه در خانواده باپدر ومادر درگير است ، براي نشان دادن مخالفت خود با آنها ناخودآگاه سعي مي كند برخلاف ميل آنها رفتار كند . از اين رو چون تمايل و حساسيت پدر و مادر به تحصيلي را مش شناسد ، در درس خواندن كوتاهي مي كند . نوجوانان در سن بلوغ به علت تغيرات جسمي و روحي ، به مسائلي غير از درس و مدرسه توجه مي كنند . ممكن است شديدا" به ورزش روي آورند يا بيشتر به فكر تفريح و گردش باشند . پسر نوجواني عقيده داشت كه : درس خواندن مال دخترها است . اين نوع فكر مي تواند اثر نامطلوب بگذارد ( معتمدي ، 1373 )

خيّر ( 1365 ) در تحقيقي تحت عنوان(( رابطه شكست تحصيلي با زمينه ها و شرايط خانوادگي )) درصدد يافتن برخي از عوامل يا ويژگي هاي خانوادگي گروهي از
شكست خوردگان تحصيلي بوده است . نتايج نشان مي دهد كه عواملي چون شغل پدر ، ميزان تحصيلات والدين ، حضور يا نبود يكي از والدين در خانه ، وضعيت اقتصادي واندازه خانواده از جمله عواملي هستند كه با موفقيت و يا شكست تحصيلي دانش آموزان رابطه دارند .

2- شرايط اجتماعي و اقتصادي :

درصد قابل توجهي از دانش آموزاني كه به طور جدي دچار افت تحصيلي شده بعضا" ناگزير در مدارس استثنايي مشغول به تحصيل مي شوند واز (( عقب ماندگان فرهنگي )) به شمار مي آيند .كودكاني متعلق به خانواده هايي هستند كه از تبار اقتصادي و اجتماعي
فوق العاده ، پايين بوده تواما" با فقر اقتصادي و فرهنگي مواجه اند ، از انگيزه تحصيلي بسيار پاييني برخوردارند .

از سوي ديگر در كنار فقر فرهنگي و محروميت هاي محيطي ، شرايط اقتصادي اجتماعي حاكم بر جامعه نيز در چگونگي تبلور انگيزه هاي رشد و پيشرفت يا افت تحصيلي دانش آموزان نقش بسزايي دارند ( افروز ، 1375 )

دانش آموزاني هستند كه از نظر بهره هوشي و جسماني هيچ گونه ناراحتي و عقب ماندگي ندارند ، اما بر اثر فقر خانوادگي ، تحمل گرسنگي و كمبود ها و نداشتن وسايل نمي توانند به طور مرتب در مدرسه حضور يابند و درس هاي خود را فرا گيرند ، در نتيجه دچار عقب ماندگي مي شودن . در واقع فقر به سلامت و آسايش كودك لطمه مي زند .

وضعيت اقتصادي تعيين كننده محل سكونت است و اگر دانش آموزان به دليل فقر مالي نتوانند محل مناسبي داشته باشند ، براي انجام تكاليف و مطالعه دروس با مشكل روبرو خواهند بود . از يك طرف محل سكونت تعيين كننده نوع مدرسه اي است كه كودك در آن درس مي خواند . وقتي محل سكونت دانش آموز در يك محل فقير باشد ، چه از نظر امكانات آموزشي و چه از لحاظ معلمان ، با كمبودهايي روبرو مي شودن ، كه مستقيما" بر پيشرفت تحصيلي او اثر مي گذارند . فقر مالي سبب مي شود كه دانش آموز از غذاي كافي و استراحت لازم محروم بماند و يا براي جبران كمبودهاي خود و خانواده ساعاتي از روز را به كار مشغول شود در نتيجه فرصت كافي براي انجام تكاليف رياضي و تمرين بيشتر نداشته باشد .

همچنين سطح آرزوهاي دانش آموزان خانواده ثروتمند و مرفه متفاوت از خانواده هاي فقير و كم درآمد است و همين تفاوتهاي كمي و كيفي ، بالا بودن شكست هاي تحصيلي در طبقات اجتماعي كم درآمد را به رغم وجود سطح توانايي هاي برابر ، توجيه مي كند ( لوگال ، ترجمه شجاع ، 1374 )

علت افت تحصيلي و يا ترك تحصيلي در كشورهاي مختلف متفاذوت است . طبق گزارش گروه مشاوران يونسكو ( 1369 ، ترجمه مشايخ ) در هندوستان دانش آموزان بيشتر به علت كمبود لباس و عدم امكانات و شهريه ، ترك تحصيل مي كنند . همچنين آمار نشان مي دهد كه 30 درصد ترك تحصيل كنند گان زن بر اثر عدم علاقه والدين به تحصيل بوده است . در فيليپين خانواده هاي متعددي وجود دارند كه اغلب هزينه ناچيز تحصيل كودكان براي آنها مبلغ مهمي تلقي مي شود .

در بعضي خانواده ها دختران بايد در خانه بمانند و به كار كمك كنند و يا از بچه هاي كوچك نگهداري كنند . در پاكستان 60 درصد از ترك تحصيل كنندگان فقر را عامل آن ذكر كرده اند .

3- تحصيلات و سطح فرهنگ خانواده :

سطح تحصيلات و فرهنگ خانواده همانند ساير عوامل مؤثر در پيشرفت تحصيلي به اشكال مختلف در پيشرفت تحصيلي و يا افت تحصيلي تأثير مي گذارد .

1-3- پايين بودن سطح تحصيلات و فرهنگ خانواده در درجه اول سبب مي شود كه خانواده نتواند كمكهاي درسي لازم را به دانش آموز ارائه دهد .

2-3- پايين بودن سطح تحصيلات خانواده سبب مي شود كه والدين در خانه از روزنامه، مجلات و ديگر رسانه ها كمتر استفاده كنندودانش آموزان از اين لحاظ محروم باشند .

3-3- به دليل فقر فكري نمي توانند نگرشهاي لازم را به فرزندان خود براي ادامه تحصيلات بدهند .

4-3- والدين كم سواد و بي سواد معمولا" كمتر به مسأله پيشرفت تحصيلي فرزندان خود فكر مي كنند .

5-3- از روابط و همكاري نزديك با اولياي مدرسه آگاهي كافي ندارند و كمتر به مدرسه مي روند و كمتر جوياي وضعيت درس فرزندان خود مي شوند .

نكته قابل ذكر در اين زمينه اين است كه گر چه نظارت و كمك غير مستقيم والدين در امور مربوط به درس و تحصيل فرزندان در پيشرفت و موفقيت دانش آموزان بسيار مؤثر است ، اما اين كمك اگر به طور مستقيم باشد ، يعني والدين تكاليف فرزندان را به جاي آنها انجام دهند ، نه تنها عامل موفقيت نبوده بلكه باعث افت و شكست آنها نيز خواهد شد .

4- تعداد اعضاي خانواده :

امروز در كليه جوامع بشري افزايش جمعيت يكي از مشكلات اساسي مي باشد و ازدياد روز افزون آن جامعه را تهديد مي كند . و در نتيجه توجه اصلي پژوهشگران و
صاحب نظران علوم تربيتي و اجتماعي را به خود جلب كرده است .

ازدياد بي رويه جمعيت خانواده ها باعث مي شود كه كودكان به خوبي رشد نكنند و تربيت درستي بروي آنها انجام نگيرد .

جنوبي ( 1976 ) : خانواده هايي كه تعدادشان زياد است ، به مراتب ، احتمال به انحراف كشيدن كودكانشان بيشتر است .

نيكو كار ( 1372 ) (( گچساران )) : معدل درسي دانش آموزاني كه در خانواده هايي سه تا چهار نفري و يا كمتر زندگي مي كنند به مراتب بيشتر از دانش آموزاني است كه در خانواده هاي بيش از پنج نفر زندگي مي كنند .

بهرام زاده ( 1372 ) : ميزان بهره هوشي در ميان خانواده هاي كم جمعيت به مراتب بيش از بهره هوشي ديگران ( پرجمعيت ) است .

5- اشتغال كودكان :

يكي از عوامل خانوادگي كه همواره منشأ انحراف توجه كودك از تحصيل مي گردد جابجايي وظايف (( والدين و فرزندي )) است . از جمله اين جابجايي ها كه ارتباط قابل توجهي با افت تحصيلي دارد اشتغال كودكان و نوجوانان است . به اين ترتيب كه كودكان در سني به كار و اشتغال مي پردازند كه معمولا" از آنها انتظار مي رود در آن مقطع بيشتر به نقش هاي مورد انتظار از جمله تحصيل بپردازند .

عدم تأمين نيازهاي مالي خانواده و نياز به نيروي كار كودك از دلايل عمده اشتغال كودكان در سنين پايين است .

اشتغال دانش آموزان باعث تقليل انرژي جسمي و رواني آنان شده ، آمادگي جسمي و ذهني شان را براي يادگيري دروس كاهش مي هد . مسأله اشتغال كودكان و نقش آن در افت تحصيلي ( خصوصا" در درس رياضيات ) در خانواده هاي طبقه پايين اجتماعي - اقتصادي از اهميت خاصي برخوردار است . ( ليامي و همكاران ، 1373 )

6- ارتباط بين اوليا ومربيان :

از جمله عوامل مهم ديگر در پيشرفت تحصيلي دانش آموزان وجود رابطه هماهنگي بين اوليا و معلمان و مربيان مدرسه است . هر ميزان كه پدران و مادران نسبت به مسئوليتهاي خود و نقش هاي خود در مقابل يكديگر كودكان ، اوليا ، معلمان ، مربيان و مديران مدارس نيز نسبت به نقش ها و مسوليتهاي خود در مقابل همديگر ، آگاهي بيشتري داشته باشند در كار خود عملا" موفق تر خواهند بود . به طور كلي پيشرفت تحصيلي دانش آموزان قبل از هر چيز مستلزم برخورداري آنان از يك فضاي متعادل و هماهنگ در خانه و مدرسه است .

وظايف خانه و مدرسه نسبت به رشد و تربيت دانش آموزان متقابل و مكمل است . از يك طرف خانواده بايد نيازها و ضرورتهاي محيط مدرسه را به خوبي درك كند و كمك و همراه مدرسه باشد . و از سرف ديگر مدرسه بايد دعوت هاي مستمر از والدين و ارتباط دايم با آنان ، امكانات مدرسه و مهمتر از آن خود خانواده ها را براي ارائه آموزشهاي لازم به آنان بسيج كند . تحقيقات نشان مي دهد كه اگر خانواده در گير و علاقه مند به مسائل تحصيلي فرزندان خود گردد ، كودكان نيز با ذوق و شوق بيشتري تحصيل خواهند كرد .

فضاي كلاس و تسهيلات مدرسه :

دماي مناسب يكي از ضروريات يك كلاس درس است و در غير اين صورت مي تواند به عنوان يك متغير مزاحم مانع توجه دانش آموزان به معلم و درس شود . بنابراين يك كلاس درس بايد از دماي مناسب در فصول سال بهره مند باشد . اگر فضاي كلاس براي نشستن و راه رفتن مناسب نباشد ، همچنين اگر فضاي كلاس نور كافي نداشته باشد و يا تابلوي كلاس طوري نصب شده باشد كه همه به راحتي نتوانند از آن استفاده كنند منجر به افت آموزشي خواهد شد . در مورد نقش تراكم كلاس ( تعداد دانش آموزان كلاس ) مطالعات نشان مي هدهد كه در كلاس هاي كم تراكم ، موفقيت دانش آموزان بيشتر نيست ، مگر آنكه كلاس كمتر از 15 نفر باشد كه در اين صورت امكان آموزش انفرادي فراهم مي شود . همچنين مي توان اظهار داشت كه ميزان پيشرفت تحصيلي دانش آموزان در كشورهاي صنعتي در كلاس هاي بيشتر از 45 نفر و در كشورهاي در حال توسعه در كلاس هاي بيش از 55 نفر كاهش مي يابد . جالب توجه است كه در مقايسه تطبيقي انجام شده بين دانش آموزان پايه ينجم 15 كشور ، كره با تراكم 60 نفر در كلاس و ژاپن با 42 دانش آموز در كلاس ، رتبه اول را به دست آورده اند . بنابراين آنچه در پيشرفت دانش آموزان نقش مهمي ايفا مي كند ، تراكم كلاس نيست بلكه چيزي است كه در كلاس اتفاق مي افتد . در مورد كلاس هاي با تراكم بيش از 60 دانش آموز هيچ مطالعه اي در دسترس نيست و به نظر مي رسد كه عدد 60 را بتوان به عنوان تراكم حداكثر به حساب آورد ، مشروط برآنكه اتاق درس به اندازه كافي باشد و معلم قبلا" با شيوه تدريس در اين گونه شرايط آشنا شده باشد . ( ماشيني ، 1370 )

10 - انتظارات مدرسه از دانش آموزان :

بخشي از شكستهاي تحصيلي درس رياضيات و دروي ديگر به ناسازگاري كودكان با توقعات و انتظارات مدرسه ارتباط دارد . در شكستهايي هم كه شخصيت دانش آموز منشأ اصلي نيست ، نقش علت معين را به خود مي گيرد . به بيان ديگر انتظارات مدرسه تاكنون نتوانسته است با برخي از شخصيتهاي كودكان سازگار شود . سازگاري مدرسه با شخصيتهاي كودكان يا نوجوانان بايد از را ملاقات دانش آموز و معلم و با برداشتن گامهايي از سوي طرفين به جانب ديگر ، صورت گيرد و در اين راه (( همسويي )) ابتكار عمل را در مدرسه در دست گيرد . ( لوگال ، ترجه شجاع ، 1374 ص 8 )

گاهي علت افت تحصيلي دانش آموز انتظار عدم موفقيت و پيش داوري هاي غلطي است كه معلم از دانش آموز دارد ، معلم در اولين برخورد با دانش آموزان خود سعي مي كند با پيش داوري هاي خود ، آينده تحصيلي آنها را پيش بيني كند .

مطالعات نشان داده است كه اين پيش داوريها بر ميزان پيشرفت و يا شكست درسي دانش آموزان مؤثر است . به اين صورت كه اگر يك دانش آموز را كه نمرات متوسطي از درس رياضيات دارد ، به يك معلم مصرفي كنيم و به او بگوئيم تيزهوشان است و نمرات درختاني خواهد آورد ، خود اين دادن نگرش در ارتباط و رابطه معلم با دانش آموز تأثير خواهد گذاشت و باعث پيشرفت درسي وي خواهد شد . نتيجه اينكه معلمان بايد از پيش داوري منفي در مورد يك فرد جدا بپرهيزند . زيرا خود اين پيش داوري شايد منجر به شكست او بيانجامد .  ( بيابانگرد ، 1378 ص 223 )

11- تعويض مكرر معلمان :

تعلويض مكرر معلمان در طول سال تحصيلي و ناتواني بعضي از دانش آموزان به منظور سازگاري با روش تدريس و خصوصيات معلم ممكن است   منجر به افت تحصيلي شود .

۱۲- دوري راه مدرسه :

مسافت بسيار زياد بين خانه و مدرسه دانش آموزان و يا طولاني بودن ساعات آموزشي در طول روز باعث مي شود كه آنها خستگي بسيار زياد را روزانه تجربه نمايند و اين خستگي به مرور موجب بي علاقگي و دلزدگي آنها به درس و مدرسه مي شود . لذا توصيه مي شود كه حتي الامكان نزديكترين مدرسه براي تحصيل دانش آموزان انتخاب شود كه برخي بزرگان امروزي گفته اند : نزديكترين مدرسه بهترين مدرسه براي دانش آموز .

اهداف آموزش ریاضی (جرج پولیا)

چگونه به كودكان خود رياضي بياموزيم

بسياري از اوليا براي كمك به كودك خود در آموختن رياضيات ، سعي ميكنند به روشهاي  گوناگون متوصل شوند تا مفاهيم پيچيده ي  رياضي را به او بياموزند . براي اينكه كودك بهترين كمك را دريافت كند ، بايد هدف را ايجاد اشتياق هرچه بيشتر در نظر گرفت و سعي كرد تا آنجا كه ممكن است فشار را   كاهش  داد . انگيزه ي يادگيري را با نشان دادن كاربرد گسترده رياضي در زندگي روزمره و اينكه خود اوليا احساس منفي خود را از رياضي به كودك القا نكنند ،  مي توان  قوي تر ساخت .

 سعي كنيد احساس شخصي شما نسبت به رياضي ، شناخت كودك را از دنياي اعداد و محاسبات تحت تاثير قرار ندهد. زمان روش هاي آزار دهنده اي براي آموزش  مفاهيم رياضي  سپري شده و نگاه جديد سعي در هر چه بيشتر كاربردي تر ساختن اين آموزش دارد تا آموخته هاي كودكان با جهان واقعيت سازگارتر باشد .

 با كاربرد روزمره رياضي در زندگي ، كودك به اهميت  اين مهارت پي خواهد برد. مثلا به هنگام پرداخت صورت حساب خريد يا اندازه گيري متراژ منزل يا محاسبه وزن مواد غذايي در آشپزي ، مي توان كودك را به كمك طلبيد . با توضيح شغل هاي مختلف مثل مهندسان ، دارو سازان  و  ستاره شناسان ، ديد گاه او به كاربرد رياضي گسترده تر خواهد شد .

با صداي بلند حساب كردن در منزل يا فروشگاه ، كه  روند محاسبه را به كودك نشان مي دهد  نيز روش موثري است . مثلا ، وقتي كودك از شما تقاضاي شيريني مي كند با گفتن اينكه " خوب ، اگر از اين پنج شيريني  يكي را  تو بخوري و يكي هم  خواهرت بخورد براي من و پدرت چند تا باقي مي ماند؟ " از او بخواهيد كه او هم با صداي بلند حسابش را به شما بگويد . مهمتر از جواب درست يا نادرست او ، روالي است  كه او براي رسيدن به جواب استفاده مي كند .

  بسته به علاقه كودك و البته نظر معلم او ، گاهي و نه هميشه ، ماشين حساب و نرم افزار هاي رايانه اي براي ايجاد هيجان نسبت به مفاهيم رياضي و محاسبات مفيد خواهد بود .

   يك ساعت عقربه اي براي كودك تهيه كنيد . گاهي از او سئوالاتي در مورد زمان  بپرسيد . مثلا : "  اگر برادرت ساعت 4 بيايد ، چند دقيقه ي ديگر بايد منتظر باشيم ؟"

 از كودك بخواهيد وزن اشيا ، لوازم منزل ، كتاب و ... را حدس بزند . خود شما هم حدس بزنيد و بعد با ترازو تعيين كنيد كه كدام يك  نزديكتر حدس زده است .    يك  روش ديگر جمع زدن اندازه ي  قد يا وزن اعضاي خانواده است تا معلوم شود در مجموع قد يا وزن خانواده  شما چقدر است .اين روش براي تمرين جمع اعداد سه  يا دو  رقمي مناسب است . 

بازي هاي خريد و فروش با مقدار هاي مختلف پول كودك را با مفهو م پول و محاسبه آن آشنا مي كند . بازي هايي مثل مونو پولي ،هنوز براي بسياري از اوليا و كودكان جالب است . يك بازي ديگر هم  پيشنهاد مي شود:  با كمك يك  تاس اعداد ، اعضاي خانواده  عددي را بين يك وشش بدست مي آورند و برابر آن سكه معيني -مثلا يك توماني - دريافت مي كنند  ، وقتي مجموع سكه ها به رقمي قابل تعويض رسيد ، آنرا با اسكناس يا  سكه ي پر ارزش تر ، معاوضه مي كنند . وقتي بودجه فرضي تمام شد ، كسي كه بيشترين ميزان پول را بدست آورده است ، برنده مي شود .  در مثالي ديگر، مي توان كودك را با بودجه اي معين براي خريد لوازم يك وعده غذا به حساب دعوت كرد و ديد كه چطور بودجه بندي را مي آموزد و آيا حدس هاي او قابل انجام است؟ و اگر چنين بود بر همان اساس خريد انجام بشود .

 يك روش براي آشنايي وي با مفهوم حجم ، وزن و نسبت اين است كه با كمك ظروف اندازه گيري از او بخواهيد مقادير برنج ، حبوبات يا مايعات را براي تهيه ي غذا پيمانه كند .

 گاهي اوليا نگران توان يادگيري فرزندشان هستند . در اين شرايط ، معلمان بهترين داوري را عرضه مي كنند زيرا امكان مقايسه كودك را در كنار  همكلاسان ديگر و شرايط مختلف مدرسه دارند .  علائمي مانند مشكل در ياد آوري ارقام ، اشتباه نوشتن اعداد مثلا 7 با 8 يا 3 با 2 ، كلافه شدن و بيقراري هنگام كار با ارقام ، ناتواني در دنبال كردن دستور العمل هاي ساده رياضي ، ناتواني در درك مفاهيم ذهني مثل بزرگتر و كوچكتر يا قبل و بعد يا كم سن تر و مسن تر و  اضطراب بالا در مورد تكاليف رياضي كه اگر همه يا اغلب شان در يك كودك ديده شود بايد با معلم كودك صحبت نمود . چون قبل از آنكه تشخيص اختلال يادگيري مطرح شود  بايد اين احتمال كه شايد كودك تحت فشار زياد تر از حد توان است يا نيازمند  تمرين هايي مانند آنچه در بالا ذكر شد است   ، رد شود . سرانجام ممكن است اوليا و معلم ، به اين نتيجه برسند كه كمك روانپزشكي براي كودك لازم است.

 من در گذشته ، وقتی كه در حاصل ضرب دو عدد یك رقمی شك داشتم ، مجبور بودم كه حاصل ضرب آن دو عدد را در گوشه اي از كاغذ حساب كنم ، اما حالا راهی یاد گرفته ام كه كار من را بسیار آسان كرده است . بد نیست كه شما هم این راه را یاد بگیرید .

فرض كنید می خواهیم حاصل ضرب 5×6 را حساب كنیم . انگشت های هر دو دست را باز می كنیم . بعد می گوییم : چون یكی از عددها 5 است ، پس هر پنج انگشت دست چپ را باز نگاه می داریم . چون عدد دیگر 6 است و شش یك واحد از پنج بیش تر است پس یك انگشت دست راست را تا می كنیم . آن وقت حاصل ضرب شماره انگشت هایی را كه تا نكرده ایم به دست می آوریم . دست چپ پنج انگشت باز دارد و دست راست چهار انگشت باز ، پس 20= 5×4 . بعد در برابر هر انگشت تا كرده، ده واحد به این حاصل ضرب اضافه می كنیم . در این مثال، چون یك انگشت تا كرده بودیم ،

 پس 10 را به 20 اضافه می كنیم ، می شود 30 .

حالا فرض كنید می خواهیم حاصل ضرب 7×6 را به دست آوریم . انگشت های هر دو دست را باز می كنیم . چون 6 یك واحد از پنج بیش تر است ، پس یكی از انگشت های دست چپ را تا می كنیم . چون 7 دو واحد بیش تر ا ز پنج است ، پس دو تا از انگشت های دست راست را تا می كنیم . حالا 4 تا از انگشت های دست چپ و 3 تا از انگشت های دست راست باز است . حاصل ضرب 4×3 را به دست می آوریم كه می شود 12 . آن وقت برای هر انگشتی كه تا كرده ایم 10 واحد به این حاصل ضرب اضافه می كنیم . در این مثال چون سه انگشت تا كرده داریم ، 30 واحد به 12 اضافه می كنیم ، حاصل 42 می شود .

 پس : 42 = 30 + 3 × 4=6× 7

حالا یك مثال دیگر می آورم؛ فرض كنید می خواهیم حاصل ضرب 8× 7 را به دست آوریم . انگشت ای هر دو دست را باز می كنیم . چون عدد 8 سه واحد از پنج بیش تر است ، پس 3 تا از انگشت های دست چپ را تا می كنیم . چون عدد 7 دو واحد از پنج بیش تر است ، پس 2 تا از انگشت های دست راست را تا می كنیم . حاصل ضرب انگشت های باز هر دو دست ، یعنی 2× 3 را به دست می آوریم كه مي شود 6 چون روی هم رفته پنج انگشت از هر دو دست را تا كرده ایم ، 50 واحد به این حاصل ضرب اضافه می كنیم . حاصل 56 می شود؛

يعني: 56 = 50 +.3 × 2= 7×8

پاسخ این است که ریاضیات زندگی روزمره ، برای علم ، برای تجارت و برای صنعت مفید است . زیرا اولا" یک وسیله ارتباطی قدرتمند ، معتبر و بدون الهام است . ثانیا" ابزاری برای تعیین و پیش بینی است . قدرت آن در علائم ( سمبولهای ) آن ، که گرامر و تجزیه و ترکیبهای خاص خود را دارد ، نهفته است .

(( این گزارش )) همچنین مدعی است که ریاضیات باعث توسعه تفکر منطقی می شود و از جاذبه زیبایی شناسانه نیز برخوردار است .

کودکان چگونه ریاضیات می آموزند :

در اوایل قرن بیستم جان دیویی مدعی شد که یادگیری از طریق تمرین حاصل می شود اگر چه این موضوع ، که کودکان چگونه ریاضیات می آموزند ، پیش ازاین کشف شده بود ، با این حال اهمیت تمرین کردن چندان مورد توجه قرارنگرفته بود .

این ورزیدگی را می توان به طرق گوناگون کسب کرد و واقع شدن در تجارت جهان واقعی ، به طور پی در پی چنین موقعیتهایی را فراهم می آورد . اینکه ریاضیات به کمک تعاریف ساخته می شود ، تا حدودی طعنه آمیز است .

تعاریف در ریاضیات اهمیت فوق العاده دارند ، اما باید  تجارب با اکتشافات قبلی کودک استوار باشد تا او بتواند با آنها ارتباط برقرار کند . در غیر این صورت همه چیز در ذهن کودک به طور مغشوش و بی ارتباط جای خواهد گرفت .

در کار کلاس ، یادگیری باید قدم به قدم صورت گیرد و از حالات خاص به تعمیم یک موضوع برسد . مثلا" ساده ترین راه برای رسیدن به مفهوم (( محیط )) یا (( پیرامون )) تعریف مستقیم آن است . روش بهتر برای این کار در اختیار قرار دادن مدلهایی است که بیانگر مفهوم محیط باشند . مانند : تیله شیشه ای ، توپ ، بادکنک ......... در این صورت تصور از مفهوم محیط به تدریج شکل می گیرد . البته ریاضیات را می توان از طریق دیگری غیر از روش تمرینهای متوالی آموخت . کودکان از طریق نگاه کردن ، گوش دادن ، خواندن ، پیگیری کردن ، راهنماییها ، تقلید کردن ، و آزمایش کردن نیز یاد می گیرند . این اعمال به یادگیری ریاضیات کمک می کند . به علاوه می توان با استفاده از مدلها وراهنمایی معلم ، هر کدام از آنها را به طور مناسب بکار گرفت و از با معنا بودن عمل یادگیری مطمئن شد .  یادگیری به خصوصیات فردی یادگیرنده مانند تجارب قبلی و بلوغ و انگیزش نیز بستگی دارد .

به طور کلی هیچ نظریه جامع یادگیری را نمی توان بدون ابهام و به طور مستقیم برای هر دانش آموزی ، در هر سطح و به شکل رضایت بخش بکار برد .

یکی از راههای یادگیری ریاضیات ساختن پلهای یادگیری است .

تجارب واقعی با فراهم آوردن زیربنایی مبتنی برمفهوم ، سبب ارتقای هر چه بیشتر میزان یادگیری ریاضیات در فرد می شود . معلمان باید برای برقراری ارتباط میان تجارب واقعی و مفاهیم ریاضیات دانش آموزان کمک کنند . این ارتباطها نیز به نوبه خود موجب پدید آوردن پلهای ضروری در یادگیری می شوند .

ارتباط و پیوستگی مواد واقعی با نمادها از طریق نمایش و همراه با توصیف آنها حاصل می شود . به عبا رت دیگر باید روش مجسم و پس از آن نیمه مجسم و در نهایت مجرد و نمادین صورت گیرد .

عوامل اصلی در برنامه تحصیلی و تکامل آن :

1- ضرورتهای موضوع   2- نیازهای کودک    3- نیازهای اجتماعی

 1- ضرورتهای موضوع :

طبیعت ریاضیات خود در تعیین اینکه چه چیزی در چه دوره ای باید آموزش داده شود مؤثر است . اعداد صحیح مبنایی برای بسیاری از اندیشه های ریاضیات محسوب می شود .  و کودکانی که وارد مدرسه می شوند باید کارکردن با آنها را تجربه کنند . بنابراین ابتدای هر کاری با اعداد صحیح تأکید می شود .

2- نیازهای کودک :

تغییر دربرنامه تحصیلی در نگرش ما از چگونگی یادگیری کودکان نیزتأثیر می گذارد . تا سالهای اولیه این قرن ریاضیات برای پروردن قوای ذهنی یا ایجاد نظم فکری تدریس می شود . و تصور بر این بود که سر و کله زدن با مسایل ریاضی نوعی تمرین فکری است که به کار منظم تر کمک مؤثری می کند . در اواخر قرن نظریه نظم فکری محرک تأثیر ادوارد ثورندایک جای خود را به نظریه ارتباط (( پیوستگی )) داد .

3- نیازهای اجتماعی :

کارآیی و سودمندی ریاضیات در فعالیتها و حرفه های روزمره نیز در تشخیص این که چه چیزی و در چه هنگامی باید تدریس شود مؤثر مانده است .

اصولی برای تدریس ریاضیات :

1- حل مسئله یکی از روشهای آموزش ریاضیات است .

2- در تدریس ریاضیات باید عواملی که کودکان را به کلاس درس علاقه مند می کند شناخته شود .

3- مبنای همه آموزشها باید بر آزمایش استوار باشد . بخصوص آزمایش با مواد کمک آموزشی که ساخته خود کودکان است .

4- گفتگو در مورد ریاضیات باید یکی از اهداف آموزش باشد .

5- این مفهوم که بسیاری از اندیشه های ریاضیات با هم ارتباط دارند باید گسترش داده شود .

6- معناجویی در ریاضیات باید به عنوان زمینه ای در آموزش مورد توجه قرار گیرد .

7- کار گروهی در ریاضیات باید به یک روش معمول تبدیل شود .

8- نیازهای متفاوت کودکان باید مورد ملاحظه قرار گیرد .

9- برای کودکان باید فرصتهایی برابر در یادگیری ریاضیات فراهم شود .

10 - پیشرفت کودکان در زمینه ریاضیات باید از طریق آزمونهای کتبی تشخیص داده شود .