فصل اول : تعاریف و مفاهیم اولیه معادلات دیفرانسیل

1.1. نگاهی بر آنچه در این قسمت خواهیم آموخت

منظور از معادله دیفرانسیل چیست؟ مرتبه و درجه ی یک معادله دیفرانسیل چیست؟ معادلات دیفرانسیل به چند دسته تقسیم می شوند؟ آیا تمام معادلات دیفرانسیل حل می شوند؟ منظور از جواب یک معادله دیفرانسیل چیست؟ آیا معادلات حل شدنی جواب منحصر به فرد دارند؟ و . . .

اینها سوالاتی هستند که در این فصل در پی پاسخ آنها هستیم...

2.1. منظور از یک معادله دیفرانسیل چیست ؟ اگر یک تابع باشد ، معادله ای که شامل تابع f و مشتقات آن نسبت به متغیرx با شد را یک معادله دیفرانسیل می نامیم. اگر f تابع دو متغیره یا بیشتر باشد، معادله ای که شامل f و مشتقات جزئی آن باشد را یک معادله دیفرانسیل جزئی می نامیم. مثال 1. معادلات زیر نمونه هایی از معادلات دیفرانسیل هستند: الف : y' + y = 0 ب : پ : ت : y" + 4 y' + 4 y = 0 از نمونه های بالا در می یابیم که ، یک معادله دیفرانسیل ، رابطه ای است که بین تابع مجهول y و مشتقات آن برقرار است.

3.1 . مرتبه و درجه ی یک معادله دیفرانسیل

دو تعریف و دو مثال

تعریف 1. اگرy تابعی دلخواه از x باشد و F تابعی از n+2 متغیر ِ x و y و y' و . . . و باشد ، آنگاه معادله دیفرانسیل

( 1 )

یک معادله دیفرانسیل معمولی مرتبه ی n نامیده می شود.

به عبارت ساده تر در یک معادله دیفرانسیل ، بزرگترین مرتبه ی مشتق موجود در آن، ، مرتبه ی معادله دیفرانسیل نامیده می شود.

مثال 2 : معادله ی

( الف )

یک معادله دیفرانسیل معمولی مرتبه 2 است و معادله ی

( ب )

یک معادله دیفرانسیل معمولی مرتبه 3 است.

تعریف 2 : اگر یک معادله دیفرانسیل را بتوانیم به صورت یک چندجمله ای بر حسب تابع مجهول y و مشتقاتش بنویسیم ، در این نمایش ، توان ِ مرتبه ی معادله را درجه ی معادله دیفرانسیل می گوییم.

مثال 3 : معادله ( الف ) در مثال 2 ، یک معادله دیفرانسیل مرتبه 2 و از درجه ی اول است و معادله ی ( ب ) یک معادله دیفرانسیل مرتبه 3 درجه 2 است.

4.1. جواب های یک معادله دیفرانسیل

تعریف 4 : جواب یک معدله دیفرانسیل معمولی مرتبه ی n ، در بازه ی I ، تابع است به طوری که مشتقات مرتبه اول تا مرتبه n ام تابع در این بازه موجود باشند و در معادله ی صدق کنند.

برای درک بهتر این مطلب به مثال زیر توجه کنید.

مثال 4 : معادله دیفرانسیل را در نظر بگیرید. در این صورت خواهد بود. تابع یک جواب این معادله دیفرانسیل است زیرا مشتقات این تابع از هر مرتبه ای در موجودند و این تابع و مشتقاتش تا مرتبه 3 در معادله ی داده شده صدق می کنند :

سوال : آیا تابع ، تنها تابعی است که در معادله مثال 4 صدق می کند؟ یعنی آیا این تابع منحصر به فرد است؟

پاسخ این سوال منفی است. زیرا اگر c عدد ثابت دلخواهی باشد، در این صورت تابع نیز در دارای مشتق از هر مرتبه ای هست و این تابع و مشتقاتش تا مرتبه ی 3، در معادله ی داده شده صدق می کنند :

بنابراین معادله دیفرانسیل یاد شده در مثال 4، به ازای هر ثابت دلخواه c ، یک جواب خواهد داشت.

سوال : آیا تنها توابعی به شکل در معادله مثال 4 صدق می کنند؟

پاسخ این سوال نیز منفی است. زیرا اگر توابع را که c یک ثابت دلخواه از است در نظر بگیریم ، آنگاه این تابع که مشتقاتش از هر مرتبه ای در موجودند، در معادله دیفرانسیل یاد شده صدق می کنند. ( امتحان کنید!! ) همچنین اگرc یک ثابت دلخواه باشد، تابع ثابت ِ y = c نیز دارای مشتق از هر مرتبه ای در است و در معادله دیفرانسیل مثال4 صدق می کند.

اکنون این سوال پیش می آید که از بین این همه جواب برای چنین معادلاتی ، کدام یک از آن ها را به عنوان جواب اصلی انتخاب می کنند؟ که در زیر با تعریف جواب عمومی به پاسخ آن پی خواهیم برد :

تعریف 5 : جواب عمومی یک معادله دیفرانسیل :

جواب عمومی یک معادله دیفرانسیل مرتبه n ، تابعی است شامل n ثابت دلخواه ِ ، که این تابع به ازای هر مقدار ِ این ثابت ها ، در معادله دیفرانسیل ِ صدق کند.

جواب عمومی یک معادله دیفرانسیل را می توان به صورت صریح یا ضمنی بیان کرد که نمایش صریح جواب عمومی و نمایش ضمنی آن است.

مثال 5 : تابع جواب عمومی معادله دیفرانسیل مثال 4 است. این تابع به ازای هر مقدار در معادله دیفرانسیل صدق می کند. مثلا ً تابع به ازای به دست آمده است و تابع به ازای به دست می آید و اگر آنگاه نیز جواب معادله یاد شده است.

تعریف 6 : جواب غیر عادی :

بعضی معادلات دیفرانسیل جوابی دارند که آن را نمی توان از جواب ِ عمومی به دست آورد. این گونه جواب ها را جواب غیر عادی می گوییم.

تعریف 7 : جواب خصوصی :

اگر در جواب عمومی ِ یک معادله دیفرانسیل ، به ثابت ها ، مقادیر معینی نسبت دهیم، جواب خصوصی به دست می آید.

جواب خصوصی بیشتر در مورد مسأله ی مقدار اولیه لازم می آید که در بخش بعدی به بیان آن می پردازیم .

5.1. مسأله ی مقدار اولیه مثال 6 : معادله دیفرانسیل مثال 4 را به یاد آورید. می خواهیم جوابی از این معادله را بیابیم که در شرط های زیر صدق می کند : و و حل : دیدیم که جواب عمومی معادله دیفرانسیل مورد نظر، به صورت است. بنابراین اگر بخواهیم شرط برقرار باشد ، در جواب عمومی مقادیر x = 0 و y = 1 را قرار می دهیم. داریم : بنابر شرط دوم، بایستی داشته باشیم ، پس و همچنین در شرط سوم داریم ، یعنی : بنابراین سه معادله i و ii و iii داریم و و سه مجهول . با حل این دستگاه سه معادله و سه مجهول ، مقادیر محاسبه می شوند : اکنون با قرار دادن مقادیر به دست آمده در جواب عمومی، جواب خصوصی مطلوب به صورت زیر به دست می آید : تعریف 8 : مسأله ی مقدار اولیه : مسأله ی مقدار اولیه ی متناظر با معادله دیفرانسیل مرتبه ی n ، معادله ایست با n شرط به طوری که بتوانیم با این n شرط ، جواب خصوصی را از جواب عمومی بیرون کشیم.

قضیه پیکار ما را راهنمایی می کند که در چه نقاطی در پی ِ جواب برای یک مسأله مقدار اولیه باشیم . در حقیقت با شرایطی که قضیه ی پیکار بر مسأله مقدار اولیه در نظر می گیرد ، نه تنها وجود جواب تضمین می شود بلکه آن جواب را یکتا می کند.

قضیه ی پیکار : فرض کنیم توابع

دارد.

قضیه ی پیکار خاطر نشان می کند که مسائل مقدار اولیه ای که شرایط این قضیه را دارند، دارای جواب منحصربه فرد هستند. این قضیه، جواب ِ مسأله اولیه را به دست نمی دهد ، اما ما را از وجود جواب مطمئن می کند و حتی بیان می کند که این تنها جواب ِ ممکن است و جز آن جواب ِ دیگری وجود ندارد. بدیهی است مسأله ای که شرایط قضیه را نداشته باشد، ممکن است جواب داشته یا نداشته باشد یا حتی جواب آن ها ممکن است یکتا باشد یا نباشد.

اثبات قضیه ی پیکار کاملا ً پیچیده و طولانی است و مناسب برای ابتدای درس معادلات دیفرانسیل نیست. ما از این قضیه استفاده می کنیم و اثبات آن را پس از کسب مهارت در این درس بیان خواهیم کرد .

اکنون با بیان دو مثال شما را با چگونگی استفاده از قضیه ی پیکار آشنا می کنیم.

مثال 7 : تابع

با شرط y(2)=3 ، در بازه ی دارای جواب یکتا است.

مثال 8 : تابع

پیش بینی می کند.

خانواده منحنی ها : گفتیم که جواب عمومی ِ یک معادله دیفرانسیل مرتبه ی n ام ، تابعی به صورت خواهد بود. این تابع به ازای هر مقداری که به ثابت ها نسبت داده شود، یک منحنی را مشخص می کند. بنابراین معادله ی یک دسته یا یک خانواده منحنی است. تاکنون در مورد جواب ِ یک معادله دیفرانسیل بحث می کردیم و درفصل های آینده نیز روش هایی برای یافتن جواب های یک معادله دیفرانسیل بیان خواهیم کرد. اما اکنون می خواهیم عمل عکس انجام دهیم. یعنی می خواهیم معادله دیفرانسیلی را بیابیم که جواب عمومی آن به صورت باشد. به این عمل، یافتن معادله دیفرانسیل ِ یک خانواده منحنی می گویند و معادله دیفرانسیل به دست آمده را معادله دیفرانسیل این خانواده می گوییم. پس فرض کنیم تابع در دست باشد. چون این تابع دارای n ثابت است، n بار از آن مشتق می گیریم. بنابراین به n+1 معادله و n مجهول می رسیم . ( ثابت ها نقش مجهول را دارند.) با حذف ثابت ها از این معادلات، معادله دیفرانسیلی بر حسب y و مشتقاتش به دست می آید که همان معادله ی مورد نظر است. به مثال های زیر توجه کنید : مثال 9: معادله دیفرانسیل دسته منحنی را بیابید. حل : چون معادله شامل دو ثابت است پس دو بار از آن مشتق می گیریم. داریم : مقدار x-b را از معادله ی ''y به دست می آوریم : این مقدار را در معادله ی 'y قرار می دهیم و مقدار a را به دست می آوریم : اکنون مقادیر a و x-b را در معادله ی y قرار می دهیم : که این معادله ی دسته منحنی می باشد. مثال 10: معادله دیفرانسیل دسته منحنی را بیابید : حل : باز هم چون معادله دارای دو ثابت است، دو بار مشتق می گیریم : با نگاهی به معادله ی y و ''y در می یابیم که y''=-y . پس y + y'' = 0 معادله دیفرانسیل این دسته منحنی است.

در یک نگاه کلی معادلات دیفرانسیل به دو دسته ی معادلات خطی و معادلات غیر خطی تقسیم می شوند. شکل کلی معادلات خطی مرتبه ی n به صورت زیر است : که در این معادله، ضرایب   و همچنین   توابعی از x هستند و می توانند اعداد ثابتی باشند و منظور از  نیز   می باشد. معادله ای که نتوان آن رابه صورت یک معادله خطی نوشت، یک معادله ی غیر خطی نامیده می شود.