سطح ابتدایی

دراین مقاله می خواهیم به محاسبه ي سریع جمعي خاص بپردازیم.فرض کنید مي خواهيم مجموع عددهاي زير را محاسبه كنيم:

1024و512و256و128و64و32و16و8و4و2و1

اگر كمي دقت كنيم,در مي يابيم كه هر عدد از دو برابر كردن عدد قبلي به دست مي آيد. مجموع اين عددها برابر است با:  2047 .

از طرفي:

2047=1-1024×2

پس براي به دست آوردن مجموع فوق كافي است عدد آخر را در 2 ضرب كرده و عدد اول را از حاصل كم كنيم.
اكنون عددهاي زير را در نظر مي گيريم:

3072و1536و768و384و192و96و48و24و12و6و3

باز هم هر عدد از دو برابر كردن عدد قبلي به دست آمده است.مجموع اين عددها برابر است با:  6141 .

از طرفي:

6141=3-3072×2

پس براي به دست آوردن مجموع فوق كافي است عدد آخر را در 2 ضرب كرده و عدد اول را از حاصل كم كنيم.
اما اگر تعداد اين گونه عددها زياد شوند مثلا" اگر از 5 شروع كنيم و با دو برابر كردن اعداد به عدد 10485760 برسيم و بخواهيم مجموع تمام اعدادي كه از اين طريق به دست مي آيند را محاسبه كنيم , مطمئنا" بايد زمان زيادي صرف كنيم. اما طبق همان روش كه در دو مثال قبل به كار رفت ،مي توان عدد آخر را در 2 ضرب كرده و عدد اول را از حاصل كم كنيم ،در نتيجه خواهيم داشت:

20971515=5-2×10485760 = مجموع

اكنون بايد قاعده ي كلي براي محاسبه ي اين گونه مجموع ها را  متوجه شده باشيد.
اعداد زير را در نظر بگيريد:

59049و19683و6561و2187و729و243و81و27و9و3و1

با كمي دقت متوجه مي شويم كه هر عدد از 3 برابر كردن عدد قبلي به دست مي آيد.مجموع اين عددها برابر است با : 88573 .

از طرفي:

اكنون اعداد زير را در نظر بگيريد كه هر عدد از 3 برابر كردن عدد قبلي به دست  مي آيد:

45927و15309و5103و1701و567و189و63و21و7 

1240029و413343و137781و

مجموع اين عددها برابراست با : 1860040 .

از طرفي:

اكنون بايد قاعده ي كلي براي محاسبه ي چنين جمع هايي را متوجه شده باشيد.
تمرين : اگر از 5 شروع كنيم و با 3 برابر كردن عدد ها در نهايت به عدد 17433922005 برسيم . مجموع اين عددها را به دست آوريد.
اعداد زير را در نظر بگيريد :

1048576و262144و65536و16384و4096و1024و256و64و16و4و1

با كمي دقت متوجه مي شويم  كه هر عدداز 4 برابر كردن عدد قبلي به دست مي آيد. مجموع اين عددها برابر است با :  1398101 .

از طرفي :

اكنون اعداد زير را در نظر بگيريد كه هر عدد از 4برابركردن عدد قبلي به دست مي آيد.

2359296و589824و147456و36864و9216و2304و576و144و36و9

مجموع اين عددها برابر است با : 3145725 .

از طرفي:

اكنون بايد قاعده ي كلي براي محاسبه ي چنين جمع هايي را متوجه شده  باشيد.
تمرين:اگر از 3 شروع كنيم و با 4 برابر كردن عددها در نهايت به عدد 3298534883328 برسيم. مجموع اين اعداد را به دست آوريد.

از اين بحث ها يك روش كلي براي محاسبه ي جمع هايي كه در آن ها هر عدد از ضرب عدد قبلي در مقداري ثابت به دست مي آيد، حاصل مي شود.
مثلا" اگر از 4 شروع كنيم و با 17 برابر كردن عددها در نهايت به عدد 5679428 برسيم مجموع اين عدد ها برابر است با:

حساب

سطح ابتدایی

هنوز يك هفته نشده بود كه خانم معلّم، تقسيم اعداد سه رقمي بر اعداد يك و دو رقمي را به دانش‌آموزان درس داده بود كه پس از ورود به كلاس با كمال تعجّب از آن‌ها پرسيد: كدام يك از شما مي‌تواند بگويد كه آيا عدد 472987654321 بر اعداد 7 و 11 و 13 بخش‌پذير است يا نه؟ بچّه‌ها گفتند: اجازه خانم، اين يك عدد 12 رقمي است و ما تا سه رقمي بيش‌تر نخوانده‌ايم. معلّم گفت: بچّه‌ها جاي نگراني نيست، الان به شما روشي ياد مي‌دهم تا بتوانيد به اين سؤال به طور كامل پاسخ دهيد
روش: 1- از سمت راست عدد شروع كرده و سه رقم سه رقم جدا كنيد:

هندسه  سطح ابتدائی

نسرين و پدرش براي خريد ميوه به ميوه‌فروشي رفتند. آقاي مغازه‌دار مقداري ميوه را داخل كيسه ي پلاستيكي ريخت و آن را روي يك كفه‌ي ترازو قرار داد. سپس در كفه‌ي ديگر ترازو چند وزنه قرار داد. زماني كه تعداد وزنه‌ها را تغيير مي‌داد كفه‌هاي ترازو بالا و پايين مي‌رفتند. آقاي مغازه‌دار آن قدر وزنه‌ها را تغيير داد تا بالاخره دو كفه ي ترازو با يكديگر برابر شدند. نسرين با تعجب به ترازو نگاه كرد و از پدرش پرسيد: «پدر! چرا وقتي كه دو كفه‌ي ترازو بالا و پايين مي‌روند، ميوه‌ها از كفه ي ترازو بيرون نمي‌افتند؟» پدر لبخندي زد و گفت:« به شكل ترازو خوب نگاه كن!» سپس شكل ترازو را روي كاغذ كشيد و اين طور ادامه داد:

دو كفه ي ترازو بر ميله‌هايي كه به‌ آن‌ها متصل شده‌اند، عمودند. به نظر تو شكل (الف ب ج د) چه شكلي است؟ نسرين جواب داد:« ضلع هاي روبه‌روي اين چهار ضلعي با هم موازي (و مساوي) هستند پس (الف ب ج د) يك متوازي‌الاضلاع است.» پدر گفت:«آفرين! وقتي جسمي را داخل يك كفه ي ترازو قرار مي‌دهيم و داخل كفه ي ديگر،وزنه‌ها را تغيير مي‌دهيم، دو كفه بالا و پايين مي‌روند. اما دو ميله‌ي (الف ب) و (ج د) [كه دو ضلع روبه‌روي متوازي‌الاضلاع هستند] با پاره‌خط (م ن) موازي هستند.["م" وسط (الف د) و "ن" وسط (ب ج) است.] و پاره‌خط (م ن) هم هميشه بر سطح زمين عمود است. پس (الف ب) و (ج د) هميشه بر سطح زمين عمود هستند. قبلاً گفتم كه دو كفه‌ي ترازو هم بر دو ميله‌ي (الف ب) و (ج د) عمودند.بنابراين دو كفه‌ي ترازو هميشه در حالت افقي باقي مي‌مانند و هر چقدر هم كه ترازو بالا و پايين برود، جسم از داخل كفه ي ترازو بيرون نمي‌افتد. حالا بگو ببينم اگر به جاي ميوه يك ظرف آب داخل ترازو باشد چه اتفاقي مي‌افتد؟ نسرين كه راز ترازو را كشف كرده بود،جواب داد:«خاصيت متوازي ‌الاضلاع در ترازو كمك مي كند با بالا و پايين رفتن كفه ها، آب نريزد چون دو كفه‌ي ترازو هميشه در حالت افقي هستند.»

راه حل ژول ورن

 

سطح راهنمائی

ممكن است زماني به درخت يا صخره اي با ارتفاع بلند بر خورد كرده باشيم و بخواهيم ارتفاع آن را اندازه بگيريم اما ندانيم چه طور بايد اين كار را انجام دهيم. در اين جا طرحي را ارائه مي دهيم كه در رمان مشهور ژول ورن به نام‌ «جزيره ي اسرار آميز» نقل شده است .
مهندس گفت : حالا بايد ارتفاع سكوي بلندي كه دور از ما است وارتفاع آن زياداست را اندازه بگيريم .
هربرت پرسيد:آيا وسيله هاي كار را همراه خود داريد ؟
مهندس:نه چيزي لازم نيست ،به وسيله هاي زيادي احتياج نداريم وتنها يك وسيله ي ساده ودقيق كافي است.
مهندس چوب راستي به طول 12 فوت انتخاب كرد . اوآن را با كمك قد خود (كه اندازه ي آن را دقيقا" مي دانست )تا حد ممكن با دقت اندازه گرفت .هربرت هم شاغولي راكه مهندس به او داده بود در دست داشت ،شاغول به سادگي وبا بستن سنگي به انتهاي يك نخ درست شده بود.
مهندس در حدود 500فوتي ديوار سنگي ايستاد وچوب را در شن زار فرو كرد ،به نحوي كه دو فوت آن در خاك فرو رفت وبا كمك شاغول، آن راكاملا"به صورت قائم در آورد ارتفاع چوب 10فوت شد سپس از چوب آن قدردور شد كه وقتي روي شن زار خوابيد توانست نوك چوب وبالاي بلندي را در يك خط راست ببيند. اين نقطه را با دقت و به وسيله ي گذاشتن يك تكه سنگ علامت گذاشت .در همان حال كه مهندس از زمين بر مي خاست از هربرت پرسيد،آيا با مقدمات هندسه آشنايي داريد؟
هربرت:بله!
مهندس:معناي مثلث هاي متشابه را مي دانيد؟
هربرت :بله، اضلاع متناظر آن ها متناسب اند .
مهندس:كاملا"صحيح است ومن هم دو مثلث قائم الزاويه ي متشابه ساخته ام.

در مثلث كوچك تر يكي از اضلاع مجاور به زاويه ي قائمه، طول چوب قائم وضلع ديگر، فاصله ي پاي اين چوب تا علامت سنگي ووتر اين مثلث هم، طول شعاع ديد من تا نوك چوب است.

در مورد مثلث دوم، ضلع هاي مجاور به زاويه ي قائمه عبارت اند از :ارتفاع ديوار كه بايدآن رامعين كنيم وفاصله ي پاي ديوار اين صخره تا علامت سنگي،وتر اين مثلث هم، امتداد شعاع ديد من تا نوك صخره است كه بر امتداد وتر مثلث كوچك تر قرار دارد.

جوان گفت:فهميدم!

مهندس:بله وبه همين مناسبت اگر دو فاصله ي اول را اندازه بگيريم، با توجه به اين كه ارتفاع چوب هم معلوم است، مي توانيم قسمت چهارم تناسب يعني ارتفاع ديوار را بدون اندازه گيري مستقيم به دست آوريم. دو فاصله ي افقي را اندازه گرفتند :فاصله ي كوچك تر 15فوت و فاصله ي بزرگ تر 500فوت بود.
وبالاخره مهندس براي محاسبه ي اصلي، رابطه هاي زير را نوشت:

منبع : سرگرمي هاي هندسه

نويسنده : ياكوب ايسيدورويچ پرلمان

در اين مقاله به معرفي سه نوع از اعداد مي پردازيم...

عدد جبري:

عدد حقيقي را عدد جبري از درجه ي n گوييم هر گاه: ريشه ي معادله ي بوده كه در آن ها اعداد صحيح و است و در هيچ معادله ي با ضرايب صحيح از درجه ي كم تر از n صدق نمي كند.

مثال: عددي جبري از درجه ي 2 است.

عدد متعالي:

عددي كه جبري نباشد را متعالي گوييم.

مثال:اعداد از مشهورترين اعداد متعالي هستند.(روش هاي اثبات متعالي بودن اين اعداد بسيار جالب هستند.)

عدد هندسي:

اين اعداد به صورت چند ضلعي هستند.در زير نمونه هايي از اين اعداد را آورده ايم:

 اعداد مثلثي:

 

 و تساوي برقرار است اگر و تنها اگر a=b. 

در این جا ما می خواهیم با استفاده از چند عمل جمع و ضرب ساده یک غیب گویی انجام دهیم.

شرح کار:
با دوستان خود دور یک میز بنشینید ،5 جسم را روی میز قرار دهید به طوری که تعداد حرف هاي  تشکیل دهنده ی جسم ها از 9 حرف بیش تر نبوده و هيچ كدام با هم مساوي نباشند.مانند کاغذ که 4حرفی است و خود نویس که 7 حرفی است.
حال از يكي از دوستانتان بخواهید که یکی از 5 جسم را در ذهن خود انتخاب کند و به شما نگوید.حال شما با توجه به دستوراتی که به او می دهید، می توانید بگویید که وي چه جسمی را انتخاب کرده است .

نحوه ي عمل:

1- تعداد حرف های  جسم را در عدد 5 ضرب کند.
2- به این حاصل ضرب عدد 3 را اضافه کند.
3- حاصل جمع به دست آمده را در عدد 2 ضرب کند.
4- به حاصل ضرب به دست آمده رقم دلخواهی (از 1 تا 9) اضافه کند.
5- نتیجه را به شما بگوید،تا شما به طور غیبی بگویید که او کدام جسم را انتخاب کرده است و چه رقم دلخواهی را(در مرحله ی 4) به آن اضافه کرده است .

منبع: www.roshd.ir

به بهانه مهرماه