تبليغاتX

JavaScript Codes ریاضی زیباست = زندگی زیباست

چهارشنبه 6 شهریور1387

رياضيات اول دبيرستان

 

رياضيات اول دبيرستان - آموزش گام به گام


  فصل اول - بخش اول : مجموعه ها(مجموعه مرجع و اجتماع دو مجموعه و ...)

تعريف مجموعه : به تعدادي از اشياء، اعداد ، افراد ، مشخص كه گروهي را تشكيل بدهند و رو به دوازدهم متمايز باشند مجموعه مي گويند. هر يك از اشياء ، افراد، اعداد يك مجموعه يك عضو مجموعه ناميده مي شوند.
N= مجموعه اعداد طبيعي
z= مجموعه اعداد صحيح (مثبت، منفي و صفر)
Q= مجموعه اعداد گويا
R= مجموعه اعداد حقيقي



  نمايش يك مجموعه :

روش هاي گوناگوني براي مشخص كردن يك مجموعه وجود دارد . درهمه اي روش ها بايد دقيقاً مشخص شود كه چه اشيايي عضو مجموعه اند و يا چه چيزهايي عضو مجموعه نيستند.  



  عضو يك مجموعه :

هر يك از اشيايي كه مجموعه را تشكيل مي دهند يك عضو آن مجموعه است و اگر a عضوي مجموعه A باشد مي نويسند a€A ولي مي خوانند در aمتعلق به Aاست. و اگر bعضوي مجموعه A نباشد مي نويسند و مي خوانند b متعلق به A نيست يا b عضو A نيست.  



  مجموعه تهي :

مجموعه اي كه هيچ عضو نداشته باشد به آن مجموعه تهي مي گويند و با نماد {} با نشان مي دهند.  



  مجموعه هاي مساوي :

هر گاه هر يك از عضوهاي مجموعه A متعلق به مجموعه B و هر يك از اعضاء مجموعه B متعلق به مجموعه A مي باشد در اين صورت گفته مي شود A=B در غير اين صورت گفته مي شود A ≠ B ناميده مي شود مانند{A={20,3,5,70 و {B={3,2,5,70 كه A=B است ولي مي باشد.  

زير مجموعه يا جزئيت مجموعه :
هر گاه دو مجموعه A و B داشته باشيم بطوري كه هر عضو مجموعه B در مجموعه A وجود داشته باشد در اين صورت مجموعه B زير مجموعه اي از مجموعه A مي باشد و به صورت BCA نوشته شده وb زير مجموعه اي ازA خوانده مي شود.

مجموعه مرجع :
هر گاه زير مجموعه ها يا عضوهاي يك مجموعه مورد مطالعه قرار گيرد به آن مجموعه اصلي (مجموعه مادر( يا مجموعه مرجع مي گويند و با M نشان مي دهند و معمولاً به شكل مستطيل نمايش مي دهند.





اجتماع دو مجموعه :

منظور از اجتماع دو مجموعه A, B مجموعه ديگري است كه هر يك از اعضاي آن يا در مجموعه A و يا در مجموعه B و يا در هر دو مجموعه باشد.

متمم مجموعه :
هر گاه Mمرجع و A زير مجموعه اي از M باشد، مجموعه A' را كه عضوهاي آن عضوهايي از مجموعه مرجع مي باشند كه در مجموعه Aوجود ندارند. مجموعه متمم مجموعه A مي شود.

اشتراك دو مجموعه :
مجموعه اي كه عضوهاي آن از عضوهاي مشترك در مجموعه تشكيل شده باشد اشتراك دو مجموعه ناميده مي شود، اشتراك دو مجموعه A و B را به صورت مي نويسند و مي خوانند Aاشتراك B.
چنانچه اشتراك دو مجموعه تهي باشد آن دو مجموعه جدا از هم ناميده مي شوند.

تفاضل دو مجموعه :
تفاضل دو مجموعه A و B مجموعه اي است متشكل از همه عضوهاي مجموعه A كه عضو مجموعه B نيستند و تفاضل دو مجموعه A,B را به صورت A-B مي نويسند و مي خوانند A منهاي Bيا B ازA.

مجموعه با پايان :
هر گاه بتوان تعداد اعضاي يك مجموعه مانند A را با يك عدد طبيعي بيان كرد آن مجموعه با پايان است.

مجموعه بي پايان :
هر گاه مجموعه ي A با پايان نباشد، اين مجموعه بي پايان است. مجموعه ي تا بي پايان است.

E={2,4,6,000}

 
نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 11:35 قبل از ظهر |  لینک ثابت   • 

چهارشنبه 6 شهریور1387

رياضي سوم راهنمايي

  بخش اول : حساب اعداد طبيعي

 

نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 11:34 قبل از ظهر |  لینک ثابت   • 

چهارشنبه 6 شهریور1387

رياضي دوم راهنمايي

 
 
 

  بخش 1 : مجموعه

  

.شبکه رشد.

نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 11:30 قبل از ظهر |  لینک ثابت   • 

چهارشنبه 6 شهریور1387

رياضي اول راهنمايي

  قسمت اول : مجموعه اعداد حسابي_تقسيم

نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 11:25 قبل از ظهر |  لینک ثابت   • 

دوشنبه 4 شهریور1387

نمونه سوالات پايه سوم ابتدايي


  ارزشيابي مستمر - مهر ماه

رياضي سوم دبستان

  1 - عددي را که جدول نشان مي دهد بنويس .

يکي ده تايي صد تايي
28 7 3
 


  2 - مانند نمونه جمع کن .

 

14 = 4 + 10 = 6 + 8
..... = ..... + 10 = 4 + 9
..... = 2 + ..... = 5 + 7  



  3 - دو عدد داخل شکل را با هم جمع کن.

 



  در جاي خالي رقم مناسب را بنويس .

9    3    ۝

  
4    4     4

+

 
۝   ۝    6  


۝    7    ۝

  
5    ۝     1

-

 
1   4    8  
 


  5 - تساوي مربوط به محور را بنويس.

 



  6 - تفريق را انجام بده سپس درستي آن را امتحان کن.

548

  
245

-

  
   
 


  7 - هر يک از شکلها چه نام دارد.

 



  8 - بزرگترين و کوچکترين عدد چهار رقمي را با رقم هاي 7 - 6 - 0 - 3 بنويس

 و مجموع آن ها به دست آور.

 



  9 - ساعت 20 : 8 را روی شکل نشان بده.

 



  10 - با توجه به شکل جدول را کامل کن و با رقم و حروف بنويس .

 

يکي ده تايي صد تايي هزار تايي
       

با رقم : ...................
با حروف : ..........................

11 - از 3100 تا 3200 را ده تا ده تا بنويس.
.........................................................................  



  12 - فروشنده اي 472 جفت جوراب داشت . 85 جفت آن را روز اول و 63 جفت آن را روز دوم فروخت . اين فروشنده چند جفت جوراب فروخته است ؟ چند جفت جوراب برايش باقي مانده است ؟



  13 - امير 570 تومان پول دارد او مي خواهد يک توپ به قيمت 750 تومان بخرد . امير چند تومان ديگر بايد پس انداز کند نتا بتواند توپ را بخرد.

 



  14 - در يک دبستان کلاس سوم 94 نفر و کلاس چهارم 108 نفر دانش آموز دارد . در کلاس سوم و چهارم اين دبستان چند دانش آموز درس مي خوانند ؟



  15 - در زير هر يک از عددهاي جدول عددي بنويس که 1000 تا بيشتر از عدد بالايي باشد.

600 5 143 28
       
نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 11:25 بعد از ظهر |  لینک ثابت   • 

دوشنبه 4 شهریور1387

ریاضی دوم ابتدایی

  رياضيات سال دوم دبستان

  ياد آوري مفهوم عدد

توضيح : در رياضيات سال اول آموختيد که براي شمارش و تعيين تعداد هر چيز از واحدي به نام عدد استفاده مي کنند مانند: 5 مداد، 7 ماشين و يا 2 تراش. حال با شمارش هر يک از اين چيزها عدد مربوطه را بنويسيد.


1– عدد مربوط به هر دسته از شکل ها را بنويسيد

 

1

9

 

8

4

 

  2– عدد مربوط به هر دسته از شکل ها را بنويسيد.

 

2

5

6

 

3– در سمت چپ هر سطر يک عدد نوشته شده است. به تعداد اين اعداد، دايره ها را رنگ کنيد، تعداد دايره هاي رنگ نشده را در سمت راست بنويسيد.

 

  

    

نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 11:6 بعد از ظهر |  لینک ثابت   • 

دوشنبه 4 شهریور1387

رياضي اول ابتدايي

 



  بخش يك - شناخت محيط، بالا، پايين، چپ، راست

 


 

 

تمرين بخش اول

گل سمت راست و قايق سمت چپ را رنگ کن.  

 

شبکه رشد
نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 10:54 بعد از ظهر |  لینک ثابت   • 

شنبه 2 شهریور1387

معماي كاشي‌كاري با شكل‌هاي پنج‌گانه!!


شكل 1 -«كريج كاپلان» (Craig Kaplan).




مقدمه
«كريج كاپلان» (Craig Kaplan) استاديار «آزمايشگاه گرافيك كامپيوتري» (Computer Graphics Lab) در دانشگاه «واترلو» (Waterloo) است. وي به كاربرد گرافيك كامپيوتري در هنر و طراحي‌هاي تزييني به‌خصوص استفاده از «هندسه» و «نظريه‌ي كاشي‌كاري» (Tiling Theory) در «گرافيك» علاقه‌مند است.

مطلبي كه با عنوان زنگ تفريح تقديم مي‌شود توسط اين محقق جوان آماده شده است.




 

شكل 2 - سه طرح كاشي‌كاري منظم.




مشكل كاشي‌كاري با عدد 5

همه‌ي ما با روش‌هاي ساده‌ي كاشي‌كاري صفحه با مثلث‌هاي متساوي‌الاضلاع، مربع‌ها يا شش‌ضلعي‌ها آشنا هستيم. اين‌ها سه روش قاعده‌مند براي كاشي‌كاري هستند و هريك از آن‌ها از تكرار يكسان يك «چندضلعي منتظم» تشكيل شده‌اند.

چندضلعي منتظم» شكلي است كه همه‌ي اضلاعش طول يكسان دارند و زاويه‌هاي بين آن‌ها و كاشي‌هاي مجاور كاملاً در مرز‌هاي‌شان مشترك‌اند. يعني هرگز قسمتي از مرز يك كاشي با بخشي از مرز كاشي ديگر هم‌پوشاني ندارد.

 

 شكل 3 – سه «پنج‌ضلعي» (Pentagon) كه حول يك نقطه
كنار هم قرار بگيرند يك جاي خالي
به‌جاي مي‌گذارند و چهار «پنج‌ضلعي» (Pentagon)
با‌ يكديگر هم‌پوشاني مي‌كنند.

در اين مجموعه از كاشي‌كاري‌ها با چندضلعي‌هاي منتظم به‌وضوح عدد 5 ديده نمي‌شود. به‌راستي چرا در يك كاشي‌كاري منظم، با «پنج‌ضلعي‌» (Pentagon) مواجه نمي‌شويم؟ به اين نتيجه مي‌رسيم كه چنين كاشي‌كاري‌اي وجود ندارد و البته دليل آن هم چندان پيچيده نيست:

يك «پنج‌ضلعي منتظم» (Regular Pentagon) پنج زاويه‌ي داخلي 108 درجه‌اي دارد. اگر ما تلاش كنيم پنج‌ضلعي‌ها را حول يك نقطه بچينيم خواهيم ديد كه وقتي سه تا از آن‌ها را كنار هم قرار مي‌دهيم يك «جاي خالي» برجاي مي‌ماند زيرا 324=108×3 كه كم‌تر از 360 درجه‌ مربوط به يك دايره‌ي كامل است و هنگامي‌كه 4 تا از اين «پنج‌ضلعي‌ها» (Pentagons) را كنار هم مي‌چينيم با يكديگر هم‌پوشاني دارند زيرا 432=108×3 كه از 360 درجه‌ي مربوط به يك دايره‌ي كامل بيش‌تر است (شكل 3).

بياييد سعي كنيم اين معما را حل كنيم و تلاش نماييم فارغ از برخي محدوديت‌ها، كاشي‌كاري‌هاي جالب ديگري شامل عدد پنج براي صفحه بيابيم. بياييد اين قيد را كه همه‌ي ‌كاشي‌ها تكرار يكسان يك چندضلعي باشند كنار بگذاريم.

اكنون قيد مسأله فقط اين است كه هر كاشي منفرد يك «تقارن پنج‌گانه» (Five- Fold Symmetry) داشته باشد يعني هر كاشي يك مركز چرخش p داشته باشد به‌طوري كه چرخش‌ها حول p به‌اندازه‌ي يك‌پنجم، دوپنجم، سه‌پنجم و چهارپنجم يك دايره باشد. به‌عبارت ديگر چرخش به‌اندازه‌ي ضرايب 72 درجه حول p طرح كاشي‌كاري را تغيير ندهد.

آيا اكنون يافتن مجموعه‌اي از شكل‌ها با «تقارن پنج‌گانه» (Five- Fold Symmetry) - كه در كنار هم بتوانند يك صفحه را بپوشانند - ممكن است؟

با فرض در دسترس بودن تعداد زيادي شكل با «تقارن پنج‌گانه» (Five- Fold Symmetry)، كاشي‌كاري صفحه به‌كمك اين شكل‌ها ممكن به‌نظر مي‌رسد. اگرچه مسأله ظاهراً ساده جلوه مي‌كند ولي به‌طور شگفت‌اوري دقيق و ظريف است تا جايي‌كه ذهن برخي از بزرگ‌ترين متفكران تاريخ رياضي را سال‌ها به خود مشغول كرده ‌بود. با ‌اين وجود تاكنون جواب كاملي به اين معما داده نشده است.


 

شكل 4 - قطعه قطعه تا ساخت يك طرح.




به‌دنبال شكل‌هاي ساده
بياييد هرگونه استدلال دقيق رياضي در مورد وجود يا عدم وجود اين نوع كاشي‌كاري‌ را كنار بگذاريم و قدم به قدم تلاش كنيم آن را بسازيم. در شكل 4 با يك «پنج ضلعي‌ منتظم» (Regular Pentagon) شروع مي‌كنيم: يك شكل خيلي ساده‌ شامل «تقارن پنج‌گانه» (Five- Fold Symmetry).

مي‌دانيم به هر ضلع يك «پنج ضلعي‌ منتظم» (Regular Pentagon) مي‌توانيم يك «پنج‌ضلعي» (Pentagon)‌ ديگر بچسبانيم. البته با اين‌كار، پنج شكاف 36 درجه‌اي در بين آن‌ها به‌وجود مي‌آيد. مي‌توانيم اين شكاف‌ها را به‌كمك ستاره‌هاي «پنج‌‌پَر» (Pentacle) بپوشانيم. شكاف‌هايي كه در ميان اين ستاره ايجاد مي‌شود را مي‌توانيم با پنج‌ضلعي‌هايي (Pentagons) با طول دو برابر پُر كنيم.

اما از اين‌جا به بعد، راه ساده‌اي براي اضافه كردن لايه‌ي ديگري به شكل‌ها نداريم. ستاره‌هاي «پنج‌پَر» (Pentacle) - كه در شكل با رنگ قرمز در گوشه‌ي سمت راست بالا نمايش داده شده - با يكديگر هم‌پوشاني خواهند داشت.

به‌عنوان يك راه‌حل مي‌توانيم از شكل ديگري كمك بگيريم. مثلاً: شكلي كه با علامت سؤال نشان داده شده است. ولي معلوم نيست اين شكل جديد به‌اندازه‌ي ستاره‌هاي «پنج‌پَر» (Pentacle) بي‌ضرر باشند. به‌علاوه هيچ دليلي نداريم كه نشان دهد اين شكل جديد به ما اجازه خواهد داد بقيه‌ي صفحه را كاشي‌كاري كنيم.

 

شكل 5 - حتي با شروع از يك ستاره‌ي «پنج‌پَر» (Pentacle)
باز هم به مشكل برمي‌خوريم.

اين شكل احتمالاً تنها گيرافتادن دوباره‌ي ما را به تعويق مي‌اندازد. اگر برگرديم و شكل خود را دوباره ولي اين‌بار با مركز قرار دادن ستاره‌ي «پنج‌پَر» (Pentacle) - همان‌طور كه در شكل 5 نشان داده شده - بازسازي كنيم مي‌توانيم الگوي بزرگي از كاشي‌كاري شامل «ده‌ضلعي منتظم» (Regular Decagon) بسازيم. اما نه ... اين‌بار هم به‌دام افتاديم ...

 

شكل 6 – با يك ده‌ضلعي مركزي نيز نتيجه‌ي لازم را
به‌دست نخواهيم آورد.

شكل 6 نشان مي‌دهد الگويي با مركز بودن «ده‌ضلعي منتظم» (Regular Decagon) نيز از براوردن خواسته‌ي ما ناتوان است. اگر كمي سمج باشيم مي‌توانيم نشان دهيم چهار شكلي كه تاكنون استفاده ‌كرده‌ايم يعني «پنج‌ضلعي» (Pentagon)‌ كوچك، «پنج‌ضلعي‌‌» (Pentagon) بزرگ، ستاره‌ي «پنج‌پَر» (Pentacle) و «ده‌ضلعي» «ده‌ضلعي منتظم» (Decagon) به هيچ‌ترتيبي نمي‌توانند صفحه را كاشي كنند.





 

شكل 7 - يك «پنج‌ضلعي» (Pentagon)
از يك مربع بيرون بكشيد. حالا شما
يك طرح كاشي‌كاري
با «پنج‌ضلعي» (Pentagon) داريد.
به‌همين سادگي!!




«لوزي» (Rhombus) شكلي بدون پنج ضلع ولي مناسب!
اكنون به دو روش مي‌توانيم كار خود را ادامه دهيم:

- يك راه اين است كه خانواده‌اي از اشكال مختلف طراحي ‌كنيم و بعد ببينيم كار كاشي‌‌كاري را تا كجا مي‌توانيم ادامه دهيم.

- روش ديگر اين است كه شرط داشتن «تقارن پنج‌گانه» (Five- Fold Symmetry) را از روي شكل‌ها برداشته از شكل‌هايي استفاده كنيم كه لزوماً اين تقارن را نداشته باشند.

به‌كمك روش دوم مي‌توانيم كاشي‌كاري‌هايي طراحي كنيم كه به‌سادگي تمام صفحه را مي‌پوشانند. البته بايد راهي بيابيم كه كاشي‌كاري‌هاي‌مان مشكلي نداشته باشد. در اين روش، مجاز شمردن استفاده از شكل‌هاي ديگر، كار را خيلي ساده مي‌كند.

از هر چندضلعي‌اي كه براي كا‌شي‌كاري به‌كار رود مي‌توان يك «پنج‌ضلعي» (Pentagon) جدا كرد و اين شكل جديد در كنار «پنج‌ضلعي» (Pentagon) جدا شده‌، سطح صفحه را كاشي خواهند كرد (شكل 7).

 

شكل 8 - شكلي مانند
«هشت‌ضلعي» (Octagon)
كه با يك «لوزي» (Rhombus) و
دو «پنج‌ضلعي منتظم» (Regular Pentagon)
ساخته شده است.

ما رويكرد اصولي‌تري را پيش خواهيم گرفت. به‌سادگي‌ مي‌توان ديد دو «پنج‌ضلعي منتظم» (Regular Pentagon) و يك «لوزي» (Rhombus) سي و شش درجه‌اي، محدوده‌اي به‌شكل «هشت‌ضلعي» (Octagon) تشكيل مي‌دهند كه مي‌تواند تمام صفحه را كاشي‌كاري كند:

به‌سادگي‌ مي‌توانيد با شروع از يك كاشي و انتقال آن در جهت‌هاي مختلف، عمودي، افقي و مورب، تمام صفحه را با اين كاشي‌ها بپوشانيد (شكل 8).

 

شكل 9 - «چينش شعاعي» (Radial Arrangement) در سمت چپ
توسط «آلبرت دورر» (Albrecht Dürer) انجام شده است.
«چينش مارپيچ» (Spiral Arrangement) در سمت راست
با يك «ده‌ضلعي ‌منتظم» (Regular Decagon) آغاز مي‌شود.

 

شكل 10 - «آلبرت دورر» (Albrecht Dürer).

در واقع روش‌هاي متعددي براي كاشي‌كاري صفحه به‌وسيله‌ي اين شكل وجود دارد. شايد مشهورترين روش كاشي‌كاري صفحه به‌كمك اين شكل، «چينش شعاعي» (Radial Arrangemnet) باشد (شكل 9). اين چينش را هنرمند و رياضي‌دان آلماني «آلبرت دورر» (Albrecht Dürer) در قرن شانزده ميلادي طراحي كرده ‌است. با افزودن تنها يك «ده‌ضلعي» (Decagon) در مركز اين چينش مي‌توانيم طرحي مارپيچ و زيبا ايجاد كنيم (شكل 9).

حدس مي‌زنيم خوانندگان ما آن‌قدر باهوش هستند كه با ديدن الگوي كاشي‌كاري، شيوه‌ي ادامه دادن كاشي‌كاري را تا جايي‌كه تمام صفحه پوشيده شود تجسم كنند.





 

شكل 11 - هر شكل با مجموعه‌اي از شكل‌هاي كوچك‌تر
 [«پنج‌ضلعي» (Pentagon) و «لوزي» (Rhombus)] جايگزين مي‌شود.

 

شكل 12 - «يوهان كپلر» (Johannes Kepler).




پيكربندي‌هاي اعجاب‌انگيز به روش «جانشين‌سازي» (Substitution)
آيا مي‌توانيم شكل‌هاي‌مان را به شكل‌هاي كوچك‌تر مناسبي تقسيم كنيم (همان‌طور كه پيش از اين از «لوزي» (Rhombus) استفاده كرديم)؟

اين پرسش ما را به قانون «جانشين‌سازي» (Substitution) در نظريه‌ي «كاشي‌كاري» و شناخت يكي از نوابغ اين رشته يعني «يوهان كپلر» (Johannes Kepler) هدايت مي‌كند.

وقتي قطعه‌اي از يك كاشي‌كاري را داريم به‌كمك قانون «جانشين‌سازي» (Substitution) به‌جاي اين قطعه، مجموعه‌اي از كاشي‌هاي كوچك‌تر را مي‌نشانيم (شكل 11).

 

شكل 13 - با به‌كارگيري قانون «جانشين‌سازي» (Substitution) شكل 11
بر روي كاشي‌كاري‌هاي شكل 8 و شكل 9 چنين نتيجه‌اي به‌دست مي‌آيد.

در شكل 13 نتيجه‌ي كاشي‌كاري دوره‌اي با «الگوي شعاعي» (Radial Tilings) نمايش داده شده است. وقتي در قطعه‌ي اصلي هيچ دو «لوزي» (Rhombus) مجاوري وجود نداشته باشند كاشي‌كاري جديدي با شكل‌هاي «پنج‌ضلعي» (Pentagon)، ستاره‌ي «پنج‌پَر» (Pentacle)، «ده‌ضلعي» (Decagon) و شكلي خواهيم داشت كه از به‌هم پيوستن دو «ده‌ضلعي» (Decagon) به‌دست مي‌آيد.

اعمال قانون «جانشين‌سازي» (Substitution) در «چينش شعاعي» (Radial Arrangement) «آلبرت دورر» (Albrecht Dürer) به كاشي‌كاري فوق‌العاده‌اي منجر مي‌شود. اين موضوع در مقاله‌اي به‌اسم «هارمونيس ماندي» (Harmonice Mundi) نوشته‌ي «يوهان كپلر» (Johannes Kepler) درباره‌ي ستاره‌شناسي و هندسه در قرن هفدهم مطرح شد.

 

شكل 14 - طرح «يوهان كپلر»
(Johannes Kepler) كه Aa نام دارد.

از «يوهان كپلر» (Johannes Kepler) چندين طرح براي «شكل‌هاي پنج‌گانه» (Five- Fold Shapes) به‌جاي مانده ‌است. احتمالاً اين طرح‌ها در تلاش براي پاسخ‌گويي به مسأله‌ي «كاشي‌كاري پنج‌گانه» (Five- Fold Tiling) طراحي شده‌اند. قطعه‌ا‌ي كه در شكل 14 مي‌بينيد بزرگ‌ترين طرح اوست. او اين طرح را Aa ناميده‌ است. اين طرح با «ده‌ضلعي‌هايي» (Decagons) آميخته شده است كه وي آن‌ها را «اعجاب‌انگيز» (Monstre) ناميد.

متني كه ضميممه‌ي اين طرح است نشان مي‌دهد او چه روشي براي ادامه‌ي ساختار اين طرح در نظر داشته است. در قرن بيستم ميلادي، چند رياضي‌دان به‌طور اصولي نشان دادند كه اين طرح چگونه بايد ادامه يابد. با دقت در طرح‌هاي ارائه شده توسط «آلبرت دورر» (Albrecht Dürer) و «يوهان كپلر» (Johannes Kepler) به ارتباط نزديك ذهني اين دو انديشمند بزرگ به‌رغم حدود دويست سال فاصله‌ي زماني بيش‌تر پي مي‌بريم.




 

شكل 15 - تقسيم يك شكل نامتداول به
«پنج‌ضلعي» (Pentagon)، ستاره‌ي «پنج‌پَر»
(Pentacle) و «لوزي» (Rhombus).




تقسيم‌بندي هميشگي اشكال اعجاب‌انگيز
قطعاً قانون «جانشين‌سازي» (Substitution) مشكل «كاشي‌كاري‌ پنج‌گانه» (Five- Fold Tiling) را حل نمي‌كند. با اين روش، «لوزي» (Rhombus) از كاشي‌كاري حذف مي‌شود ولي به‌جاي آن، اشكالي جايگزين مي‌شوند كه تنها «تقارن دوگانه» (Two-Fold Symmetry) دارند.

وقتي شكل‌هاي بزرگ را به شكل‌هاي كوچك‌تر تقسيم مي‌كنيم نبايد شكل‌ عجيب ديگري به «پنج‌ضلعي» (Pentagon)، ستاره‌ي «پنج‌پَر» (Pentacle) و «لوزي» (Rhombus) اضافه كنيم:

 

شكل 16 مجموعه‌ي كاملي از اعمال قانون «جانشين‌سازي» (Substitution)
براي «پنج‌ضلعي» (Pentagon)، ستاره‌ي «پنج‌پَر» (Pentacle)،
«ده‌ضلعي» (Decagon) و «لوزي» (Rhombus). اگرچه
«جانشين‌سازي» (Substitution)
دو شكل «لوزي» (Rhombus) و ستاره‌ي «پنج‌پَر» (Pentacle)
از آن‌ها بيرون مي‌زند اما كاملاً درست است.

از آن‌جا كه قانون «جانشين‌سازي» (Substitution) براي «لوزي‌ها» (Rhombi) به شكلي نامتداول مي‌انجامد مي‌توانيم زيرتقسيم‌هاي «لوزي» (Rhombus) و آن شكل نا‌متداول را با هم تركيب كنيم (شكل 16). اكنون اين قانون را مي‌توانيم در مورد زيرتقسيم‌هاي ستاره‌ي «پنج‌پَر» (Pentacle) و «ده‌ضلعي» (Decagon) به‌كار ببريم.

 

شكل 17 - بخش كوچكي از كاشي‌كاري كه توسط «لوزي» (Rhombus)
و «پنج‌ضلعي» (Pentagon) با ‌به‌كارگيري قانون «جانشين‌سازي» (Substitution)
در شكل 16 انجام شده ‌است. شكل سمت راست
رابطه‌ي بين كاشي‌ها در تمام سطوح «جانشين‌سازي» (Substitution)
را نمايش مي‌دهد. براي مشاهده‌ي نسخه‌ي بزرگ‌تر عكس
اين‌جا را كليك فرماييد.

اما اين زيرتقسيم‌ها به ما اجازه مي‌دهند نوع ديگري كاشي‌كاري طراحي كنيم:

 

شكل 18 - «چينش مارپيچ» (Spiral Arrangement) شكل 9 كه در آن
«لوزي» (Rhombus) مشابه آن‌چه در شكل 11 نشان داده ‌شده است
و ساير شكل‌ها مشابه شكل 16 به زيرتقسيم‌هاي خود
تفكيك شده‌اند. مي‌توانيم شكل‌هاي نامتداول را مانند شكل 15
با زيرتقسيم‌هاي‌شان جايگزين كنيم.

در واقع در اين‌جا، ديگر شكل جديدي معرفي نمي‌كنيم و تنها با ايجاد دنباله‌اي نامتناهي از زيرتقسيم‌ها، كاشي‌كاري را با «جانشين‌سازي» (Substitution) ادامه مي‌دهيم.

توجه كنيد كه هر طرح جديد شامل «لوزي» (Rhombus) است. بدون انجام عمل زيرتقسيم به‌تعداد كافي نمي‌توانيم به مسأله‌ي كاشي‌كاري پنج‌گانه پاسخ دهيم. شكل 18 اعمال قانون «جانشين‌سازي» (Substitution) را در «چينش مارپيچ» (Spiral Arrangement) شكل 9 نشان مي‌دهد.




شكل 19 - «سر راجر پن‌رز»
(Sir Roger Penrose)‌.





كاشي‌كاري «پِنْ‌رُز» (Penrose)
سيستم ديگري براي «جانشين‌سازي» (Substitution) برمبناي «پنج‌ضلعي‌هاي منتظم» (Regular Pentagon) در قرن بيستم توسط «سر راجر پن‌رز» (Sir Roger Penrose)‌ ابداع شد و به يك كشف شگفت‌انگيز ‌انجاميد.

«سر راجر پن‌رز» (Sir Roger Penrose) مشاهده‌ كرد كه در يك «پنج‌ضلعي» (Pentagon)، آرايشي از شش «پنج‌ضلعي» (Pentagon)‌ كوچك ديگر (مانند تصوير اول در شكل 4) را مي‌توان جاي داد. البته اين «جانشين‌سازي» (Substitution) تمام سطح «پنج‌ضلعي» (Pentagon) اصلي را نمي‌پوشاند بلكه مقداري جاي خالي هم برجا مي‌ماند. اين جاهاي خالي پنج مثلث «متساوي‌الساقين» (Isosceles) با زاويه‌ي رأس 36 درجه هستند.

 

شكل 20 - نخستين گام‌ها براي ايجاد سيستم
«جانشين‌سازي» (Substitution) «پِنْ‌رُز» (Penrose).

همان‌طور كه در شكل 20 ديده مي‌شود تقسيم شش‌تايي (تقسيم يك «پنج‌ضلعي» (Pentagon) به شش «پنج‌ضلعي» (Pentagon)‌ كوچك) يك كاشي «لوزي» (Rhombus) شكل را در ميان 6 «پنج‌ضلعي» (Pentagon) محاصره مي‌كند. در الگويي ديگر، «لوزي‌ها» (Rhombi) در قالب «شكل‌هايي ميخ‌مانند» (Spiky Shapes) قرار مي‌گيرند.


شكل 21 - «سر راجر پن‌رز»
(Sir Roger Penrose)‌.



«سر راجر پن‌رز» (Sir Roger Penrose)‌ فهميد «لوزي‌هاي ميخي‌شكل» (Spiky Rhombi) مي‌توانند با جاسازي‌ «پنج‌ضلعي‌ها» (Pentagon) يعني با تقسيم هريك به «پنج‌ضلعي» (Pentagon)، ستاره‌ي «پنج‌پَر» (Pentacle) و يك ستاره‌ي «پنج‌پَر» (Pentacle) نصفه يا يك «قايق كاغذي»!! (Paper Boat) ساده شوند.

 

شكل 22 – اعمال قانون «جانشين‌سازي» (Substitution)
براي چند شكل خاص.


ادامه مطلب
نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 11:5 قبل از ظهر |  لینک ثابت   •