در بين اعداد طبيعي بزرگتر از يك يعني ...و 4و3و2 اعدادي ‏وجود دارند كه تنها بر يك و خود بخش پذيرند، اين اعداد را ‏اعداد اول مي نامند. اعداد اول مبنايي براي همه ي عددهاي ‏طبيعي است ، به اين معني كه هر عدد طبيعي به صورت حاصل ‏ضرب تواني از اعداد اولي است كه مقسوم عليه هاي اين ‏عددند. به عنوان مثال ‏ ‏ . نخستين هفت عدد اول ‏متمايز عبارتند از: 2و3و7و11و13و17. اينك اين سؤال پيش ‏مي آيد كه آيا اين رشته از اعداد مختوم است يا اينكه تا ‏بي شمار ادامه دارد. به عبارت ديگر آيا بزرگترين عدد اول ‏وجود دارد يا نه. جواب اين است كه بزرگترين عدد اول وجود ‏ندارد. اين موضوع از عصر طلائي يونانيان مكشوف بوده و ‏توسط اقليدس در سه قرن قبل از ميلاد به اثبات رسيده است. ‏استدلال وي بي اندازه ساده و مبرهن است و هنوز هم تازگي ‏خود را حفظ كرده. پس از اثبات نامتناهي بودن مجموعه ي ‏اعداد اول سؤالاتي ديگر در مورد اين اعداد مطرح مي شود، ‏كه به بعضي از آنها پاسخ داده شده ، ولي برخي هم همچنان بي ‏جواب باقي مانده اند. در اين جا چند نمونه از اين سؤالات ‏مورد بررسي قرار مي گيرند، و ضمناً برهان اقليدس نيز ارائه ‏خواهد گرديد. ‏

معلوم نيست كه مفهوم اول براي اولين بار در چه زماني طرح ‏شده است و چه مدتي سپري گشته تا از مطالعه در خواص اوليه ‏چنين اعدادي به نامتناهي بودن آن پي برده شود. شايد پس از ‏نخستين ملاحظات تجربي و نيز مطالعه ي عملي در خواص اعدادي ‏چون 2و3و11و17 اين سؤال طبعاً پيش آمده است. ‏

برهان ذيل، براي اثبات نامتناهي بودن رشته ي اعداد اول ‏هنوز هم از ساده ترين برهان ها در اين زمينه است. فرض ‏كنيم كه چنين نباشد در اين صورت ، عدد اولي مانند ‏p‏ وجود ‏دارد كه از هر عدد اول ديگر بزرگتر است. اينك ‏ ‏ را در نظر مي گيريم اين عدد بر هيچ يك از ‏اعداد (‏ ‏)بخشپذير نيست . چون ‏m‏ يك عامل اول دارد و ‏اين عامل در بين اعداد (‏ ‏)نيست پس عامل اولي به غير از ‏اعداد ياد شده دارد و اين با فرض ما در تناقض است. اين ‏نتيجه ي ظريف و زيباي اقليدسي ، كه ضمناً برهانش هم بسيار ‏ساده است ، يكي از اولين نمونه ي برهانهاي مشهود رياضي است ‏كه به طريقه ي برهان خلف صورت گرفته است. پس ازبررسي اين ‏حكم سؤالات تازه اي مطرح مي شود، و پاسخ به اين سؤالات ‏منجر به نتايج و ملاحظات ديگري مي گردد. به عنوان مثال ، ‏با بكار بردن مفهوم « فاكتوريل» مي توان متقاعد شد كه ‏همواره يك رشته ي بقدر كافي طولاني از اعداد طبيعي متوالي كه ‏اول نباشد وجود دارد. در واقع به ازاي هر ‏n‏ مفروض مي ‏توان ‏n‏ عدد متوالي ، با در نظر گرفتن اعداد طبيعي : ‏n!+2,n!+3,n!+4,…,n!+n‏ به دست آورد؛ اين اعداد جملگي مركب اند ‏‏(غير اول). زيرا اولي بر 2 ودومي 3 و سومي 4 و ‏n‏ امي بر‏n‏ بخش ‏پذير است. ‏

هر گاه موضوع را بيشتر تعقيب كنيم، به شگفتي اين اعداد و ‏خصيصه ي مسائل مربوط به آن پي خواهيم برد، به تدريج ‏مسائل جديد مطرح مي شوند و اين مسائل ، مسائل جديد ديگري ‏را پيش مي آورند كه عموماً پاسخ به بعضي از آنها چندان هم ‏ساده نيست. ‏

از بين مسائل معروف اعداد اول ، مقدماتي ترين آنها مسئله ‏ذيل است: در مورد اعداد طبيعي زوج به امتحان ملاحظه شده ‏است كه قابل نمايش به صورت حاصل جمع دو عدد اول است. « ‏كريستيان گلدباخ» رياضيدان آلماني حالت كلي را حدس زد. ‏يعني به حدس اظهار داشت كه هر عدد طبيعي زوج بزرگتر از 2 ‏قابل نمايش به صورت حاصل جمع دو عدد اول است. ( اين موضوع ‏در گلچين رياضي هم آمده) تا عصر حاضر اين حدس به يقين مبدل ‏نشده است و رياضيدانان موفق به اقامه ي برهان براي آن ‏نشده اند. صحت اين حكم براي اعداد طبيعي زوج كوچكتر از 108 ‏محقق شده است. ( تا سال 1968)‏

با بكار بردن ماشينهاي الكتريكي محاسبه ، مي توان آمارهايي ‏فراهم آورد براي نشان دادن اينكه به چند طريق مي توان يك ‏عدد زوج مانند ‏‎2n‏ به صورت حاصل جمع دو عدد اول نوشت ، عده ‏ي طرق با بزرگ شدن ‏n‏ بزرگ مي شوند. در حال حاضر ‏رياضيدانان روسي « ايوان ماتويويچ ويورگرادوف» ثابت كرده ‏است كه هر عدد طبيعي فرد بقدر كافي بزرگ ، قابل نمايش به ‏صورت حاصل جمع سه عدد اول است. فرمولي كه بوسيله آن بتوان ‏هر عدد اول بقدر كافي بزرگ را به دست آورد، وجود ندارد. ‏البته عبارت هايي در دست است كه از روي آن مي توان عده ‏اي از اعداد اول را تعيين كرد. به عنوان مثال فرمول اويلر ‏در دست است كه از روي آن مي توان عده اي از اعداد اول را ‏تعيين كرد. به عنوان مثال فرمول اويلر ‏ ‎ ‎به ازاي ‏ ‏ اعداد اول متمايزي به دست مي دهد . همچنين معلوم ‏نيست كه تعدادي نامتناهي از اعداد اول دوقلو ، يعني اعداد ‏اولي كه تفاضل آنها 2 باشد مانند 5و7 ، 11و13، 29و31 و غيره ‏وجود دارد يا نه. اينها نمونه هايي هستند از مسائلي ساده ‏در اعداد اول كه بطور طبيعي مطرح مي شوند و اگر چه صورت ‏ظاهري آنها ساده به نظر مي رسد، اثبات آنها غالباً دشوار ‏است و اين امكان وجود دارد كه با معلومات رياضي عصر ما ‏ثابت نگردند. ‏

اما در مورد حكمي كه اخيراً ذكر شد، اطلاعاتي در دست است. ‏به عنوان مثال، معلوم گشته كه رشته ي اعداد اول به صورت ‏‎4k+1‎‏ و‏‎4k+3‎‏ نامتناهي است. به طور كلي ثابت شده كه در ‏تصاعد حسابي ‏ak+b،كه در اين ‏a‏ و‏b‏  نسبت به هم اولند و ‏k=1,2,3,… ‎‏ يك تعداد نامتناهي عدد اول وجود دارد. ‏

این مطلب رو حمید عزیز  (همون ز ذ بزرگ) برمون فرستاده حتما بخونید جالبه...

معادله 1

انسان = خوردن + خوابیدن + کار+ لذت

خر = خوردن + خوابیدن

بنابراین:

انسان = خر + کار + لذت

در اینصورت:

انسان – لذت = خر + کار

به عبارت دیگر

انسانی که لذت نمی برد چون خری است که فقط کار می کند.



معادله 2

مرد = خوردن + خوابیدن + پس انداز کردن

خر = خوردن + خوابیدن

بنابر این:

مرد = خر+ پس انداز کردن

بنابر این:

مرد - پس انداز = خر

به عبارت دیگر

مردهایی که پس انداز نمی کنند با خر برابرند



معادله 3

زن = خوردن + خوابیدن + هزینه کردن

خر = خوردن + خوابیدن

بنابراین:

زن = خر + هزینه کردن

در اینصورت:

زن – هزینه کردن = خر

به عبارت دیگر:

زنهایی که هزینه نمی کنند خرند.



نتیجه گیری از معادلات 2 و 3

مردهایی که پس انداز نمی کنند = زن هایی که هزینه نمی کنند



بنابراین:

وقتیکه مردها پس انداز می کنند از خر شدن زن هایشان جلوگیری می کنند(نتیجه منطقی 1)

و زن هاییکه هزینه می کنند از خر شدن مردهایشان جلوگیری می کنند (نتیجه منطقی 2)



بنابر این خواهیم داشت:

مرد + زن = خر + پس انداز + خر+ هزینه


بنابر این....از نتایج منطقی 1 و 2 می توانیم استنباط کنیم که:


مرد + زن = 2خر که با شادی در کنار هم زندگی می کنند

پ.ن: البته باید عنوان نمود که خر یعنی بزرگوار

تابع رياضي زندگي

 

 

 

زندگي انسان ها يك تابع رياضي است و از قوانين رياضي تبعيت مي كند. با اينكه رياضيات تنها علمي است كه توسط بشر ايجاد شده است و علمي است منطقي ، نه مشاهداتي و تجربي ، اما همگان مي دانند كه تقريباً قوانين تمامي علوم طبيعي و قوانين مربوط به حركات اجرام آسماني و گذر زمان و ساير قوانين طبيعت هريك به نوعي از قوانين رياضي تبعيت مي كنند. چرا كه رياضيات نيز خود آفريده پنهان خداوند در بطن طبيعت است. بگذريم

Y به x زندگي انسانها نيز همانند توابعي كه در دبيزستان و دانشگاه خوانده ايم، تابعي است از

متغير است x

تابع است Y

ايكس ها يعني متغيرهاي اين تابع كارهايي هستند كه ما در زندگي انجام مي دهيم و تصميم هايي كه در زندگي مي گيريم. و ايگرگ يعني مقادير تابع ، اتفاقاتي هستند كه در زندگي براي ما مي افتند. هميشه تابع وابسته به متغير خود است. بنابراين همواره اتفاقاتي كه در زندگي براي ما مي افتند به طور مستقيم وابسته و نتيجه ي كارهايي هستند كه ما در زندگي خود انجام مي دهيم. بنابراين وجود اختيار در انسان به اين وجه و به صورت رياضي قابل اثبات است

هر تابعي معادله اي دارد. تابع زندگي هريك از ما انسان ها نيز معادله اي دارد. و اين معادلات در هر انساني متفاوت از انسان ديگر هستند. خداوند در بدو آفرينش هر انساني معادله اي را براي زندگي او نوشته و در وجود او قرارداده است. اين تابع در واقع معادله ي سرنوشت انسان است. پس از تولد و رسيدن به رشد فكري ، اين وظيفه ي ما انسان هاست كه معادله ي تابع زندگي خود را كشف كنيم و با استفاده از روش هاي رياضي ريشه هاي آن را در صورت وجود بيابيم و ويژگي هاي معادله ي سرنوشت خود را بدانيم تا بدانيم كه چه متغيرهايي براي قرار دادن در آن مناسبند

انسان اختياري در انتخاب معادله كلي تابع زندگي خود ندارد. چرا كه اين چيزي است كه تحت اراده ي خداوند است. اما انسان همواره مي تواند با يادگيري ، تمرين، كسب تجربه و تسلط يافتن بر قوانين رياضي زندگي ، با يافتن و قراردادن متغيرهاي مناسب معادله ي زندگي ، سرنوشت خود را به نحو بهتري تعيين كند. چرا كه نتيجه ي معادله همواره تابع متغيري است كه ما در آن قرار مي دهيم. در مراحل پيشرفته و با كسب مهارت هاي بيشتر رياضي ، انسان خواهد توانست ضرايب جملات معادله ي تابع زندگي خود را - كه تابعي است چند جمله اي و مركب از جملات جبري ، مثلثاتي ، نمايي ، ديفرانسيلي و غيره- به نحوي تغيير دهد كه اهميت جملات (يعني جنبه هاي مختلف زندگي) به خواست او تغيير كنند

مسائلي از قبيل قسمت ، قضا و قدر و اتفاقات خارج از حيطه ي اختيار انسان نيز كه انسان ها همواره براي فرار از عذاب وجدان كرده ها و نكرده هاي خود به آن ها پناه مي برند ،نيز جملاتي از درجه ي 1 هستنند كه به عنوان ضريبي براي پارامتر متغير هستنده اي معادله ي سرنوشت اضافه يا از آن كم مي شوند. و همواره تاثير ثابتي در زندگي دارند و در نتيجه نهايي تاثير چنداني ندارند. چرا كه همانطور كه جمله ي درجه اول يك معادله درمعادله ي مشتق آن تابع تبديل به عددي ثابت خواهد شد ، اين جملات ثابت زندگي نيز در تغييرات زندگي تاثيري ثابت داشته و تغييرات زندگي ما همواره وابسته به كارهايي هستند كه ما انجام مي دهيم. وبنابراين خود تاثير قسمت و قضا و قدر نيز هميشه وابسته به كارهايي است كه ما انجام مي دهيم

Wednesday July 11, 2007 - 12:49am (IRST)

Next Post: روزه Previous Post:

ایمانوئل کانت
علم ریاضی درخشان ترین مثال برای این واقعیت است که چگونه استدلال محض دامنه تاثیر گذاریش را بدون کمک تجربه گسترش می دهد

فلیکس کلاین
افلاطون گفت : خدا هندسه دان است ، ژاکوبی این جمله را چنین تغییر داد : خدا حساب دان است ، سپس کرونکر آمد و این سخن به یاد ماندنی را باب کرد : خدا عدد های طبیعی را آفرید ، ما بقی کار انسان است

هرمان مینکوفسکی
عدد های صحیح سر چشمه کل ریاضیات هستند

خیام
ریاضیات، به پیشگامی سزاوارتر است

ائوریدس
اعداد نیرومندند و چون با هنر همراه گردند، مقاومت ناپذیرند

جی.جی. سیلوستر
هدف فیزیک نظری کشف قانون های جهان قابل فهم است ؛ هدف ریاضیات محض کشف قانون های فهم بشر

داوید هیلبرت
کسی که در جستجوی روش است بی آنکه مساله ای جدید در ذهن داشته باشد اغلب به نتیجه نمی رسد

پیر فرما
و شاید آیندگان از اینکه نشان داده ام قدیمی ها همه چیز را نمی دانستند ، سپاسگزار من باشند

آراگو
اویلر خیلی راحت محاسبه می کرد، به همان راحتی که انسان نفس می کشد یا عقاب خود را در آسمان نگه می دارد

جان لاک
اثبات ریاضی مانند الماس قاطع و شفاف است، و با چیزی جز استدلال دقیق نمی توان به آن رسید.

دمورگن
نیروی محرکه ابداع ریاضی استدلال نیست، تخیل است

د.یا. سترویک
باید به یاد داشته باشید که مفهوم های ریاضی نتیجه ای از کار ازاد ذهن نیستند بلکه انعکاسی از جهان واقعی و عینی دور وبر ما هستند که البته اغلب به صورت کاملا انتزاعی طرح می شود

آ.ن.کر یلاف
مهندس باید از روشهای کلی ریاضیات که در حل مجموعه ای از مسئله ها به کار می رود استفاده کند . تنها در این صورت است که می تواند به پرسشهای تازه ای که در رشته تخصصی او وجود دارد پاسخ گوید

ب.فلدلیوم
هر کشف تازه ای که در علوم طبیعی و صنعت رخ میدهد تنها از راه به کار بردن نتیجه گیری های جدید در عمل و یا زنده کردن نظریه های فراموش شده ریاضی است به این ترتیب نظریه های ریاضی از قبل راه پیشرفت علم وصنعت را پیش بینی می کنند.

سری فوریه عبارت است از بسط تابع تناوبی  در قالب جملاتی از جمع نامتناهی کسینوس ها و سینوس ها. در واقع سری فوریه بر کاربرد روابط تعامد (orthogonality relationships) توابع سینوسی و کسینوسی تاکید دارد. محاسبه و مطالعه ی سری های فوریه موسوم به آنالیز هارمونیک (harmonic analysis) می باشد که به عنوان یک روش بسیار سودمند برای تفکیک یک تابع تناوبی دلخواه به مجموعه ای از جملات ساده بوده که به راحتی می توان آنها را فهمید، منحصرا حل کرد و دوباره با ترکیب آنها راه حل مساله ی اولیه را بدست آورد...

یا اینکه یک تقریب مطلوب و مناسبی را برای آن تخمین زد.

 نمونه هایی از تقریب های متوالی برای توابع معمول در ریاضیات با استفاده از سری های فوریه در شکل بالا گرداوری شده است.

 

 

 

 

 

که و  نماد دلتای کرونکر است:

با استفاده از متد سری فوریه تعمیم یافته (generalized Fourier series) سری فوریه ی معمول شامل جملات سینوسی و کسینوسی با قرار دادن  و  حاصل می شود. چون این توابع یک دستگاه متعامد کامل در بازه ی را ایجاد می کنند، سری فوریه تابع  به صورت زیر داده می شود:

 
که



 و ... n=۱،۲،۳ توجه کنید که عامل a₀ در فرم خاصی نوشته شده است که در قیاس با شکل عمومی سری فوریه تعمیم یافته می تواند تقارن نسبت به تعاریف  a_n و b_n را حفظ کند.
اگر یک تابع شرایط دیریشله (Dirichlet conditions) را تصدیق کند، سری فوریه تابع مزبور همگرا به تابع  می باشد که برابر با تابع اولیه در نقاط پیوستگی و یا میانگین دو حد در نقاط ناپیوستگی است، یعنی

به عنوان یک نتیجه، در نزدیکی ناپیوستگی ها، یک رشته ی حلقوی موسوم به پدیده ی گیبس (Gibbs phenomenon) می تواند اتفاق بیفتد که در شکل بالا به وضوح این مطلب قابل تایید است.

میلاد با سعادت آخرین اختر تابناک امامت و ولایت حضرت مهدی عجل الله تعالی فرجه برتمام عاشقان عدالت وحقیقت مبارک باد

تو ای صفای ضمیرم چرا نمی آیی

چرا بهانه نگیرم ِچرا نمی آیی

اگر حجاب ظهورت حضور پست منست

خدا کند که بمیرم ِچرا نمی آیی

خوشا به حال مادرت که بهترین پاکان رادر دامان مهربان خود دارد

 

صبح انعکاس لبخند
توست

 زمين اگر برابر کهکشان تکرار شود

 حجم حقيري است

 که گنجايش بلنداي تو را نخواهد داشت

 قلمرو نگاه تو دورتر از پيداست

 و چشمان تو معبدي

 که ابرها نماز باران را در آن سجده
مي‌کنند

 اين را فرشته‌ها حتي مي‌دانند

که نيمي از تو هنوز

نامشکوف مانده است

 از خلأ نامعلوم‌تري

 دستهايي که با نيت مکاشفه

 در تو سفر کردند

 حيران

 در شب جمجمه ايستادند

 تو آن اشاره‌اي که بر براق طوفان نشسته‌اي

 تو آن انعطافي

 که پيشاپيش باران مي‌روي

 آن کس که تو را نسرايد

 بيمار است

زمين

 بي‌تو تاول معلقي است

 بر سينه آسمان

و خورشيد اگرچه بزرگ است

 هنوز کوچک است

 اگر با جبين تو برابر شود

 دنباله تو

 جنگل خورشيد است

 شايد فقط

 خاک نامعلوم قيامت

 ظرفيت تو را دارد

 زمين اگر چشم داشت

 بزرگواري تو اين سان غريب نمي‌ماند

 هيچ جرأتي جز قلب تو نسوخت

 سپيدتر از سپيد

بر شقيقه صبح ايستاده‌اي

 و از جيب خويش

 خورشيد مي‌پراکني

 اي معنويت نامحدود

 زوداست حتي در زمين

 نام تو برده شود

 زمين فقط

پنج تابستان به عدالت تن داد

 و سبزي اين سالها

تتمه آن جويبار بزرگ است

 که از سرچشمه ناپيدايي جوشيد

 وگرنه خاک را

 بي‌تو جرأت آباداني نيست

 تو را با ديدني‌هاي مأنوس مي‌سنجم

 من اگر مي‌دانستم

 پشت آسمان چيست

 تم هماني

تو آن بهار ناتمامي

 که زمين عقيم

 ديگر هيچ گاه

 به اين تجربت سبز تن نداد

 آن يک بار نيز

 در ظرف تنگ فهم او نجنگيدي

 شب و روز

 بي‌قراري پلکهاي توست

وگرنه خورشيد به نورافشاني خود
اميدوار است.

 صبح

 انعکاس لبخند توست

 که دم مرگ به جا آوري

 آن قسمت از زمين

که نام تو را نبرد

يخبندان است

 اي پهناوري که

 عشق و شمشير را

 به يک بستر آوردي

 دنيا نمي‌تواند بداند

 تو کيستي