هندسه بخشی از علم ریاضی می باشد و مانند ریاضی دارای مفاهیم مجرد و ‏ذهنی است . نقطه ، خط، سطح و ... برای فراگیران مدارس ابتدایی قابل تعریف ‏نیست و اگر بخواهیم تعریفی برای آنها بنویسیم ، به ناچار این تعاریف ، به کمک خود ‏این مفاهیم و اصطلاحات و مفاهیم نظیر آنها باید انجام شود . ‏

تدریس مفاهیم هندسه نیز در کلاسهای پایه (سالهای اول و دوم ابتدایی ) از کل ‏به جزء تنظیم و هدف نویسی می شود یعنی ابتدا جسم (حجم )معرفی می شود که ‏برای وی کاملاً آشنا خواهد بود . و سپس رویه ها (سطحها ) و آنگاه لبه ها (یالها = ‏خطها ) و بالاخره نکها (نقطه ها) مورد توجه قرار می گیرد به نظر می رسد که این ‏شیوه معرفی مفاهیم ضمن اینکه به شیوه عملی قابل تدریس است موافق طرح و ‏ماهیت آنها خواهد بود و چون درک مفهوم کل از اجزاء آن ساده تر است تدریس آن را ‏حتی می توان قبل از دبستان ،یعنی از دوره آمادگی آغاز نمود . (مبینی ،محمدتقی-‏روش تدریس هندسه-انتشار 1374 صفحه14)‏

اشكال مسطح:‏

به شكل¬هاي دو بعدي مسطح گويند و كاملاً روي يك صفحه قرار مي گيرند. مانند تمام ‏سه ضلعي ها، چند ضلعي هاي منتظم و غير منتظم، دايره و 000 ‏

چند ضلعي : به شكل هاي مسطح بسته با لبه هاي راست چند ضلعي گويند.‏

‎   ‎‏                                                                        ضلع هاي برابر دارند.‏‎ ‎‏

           ‏ويژگيهاي چند ضلعيهاي منتظم:  ‏

                                                                            زاويه هاي برابر دارند. ‏

‏   ‏

تعريف چند وجهي:‏

چند وجهي ، بخشي از فضاست كه از هر طرف به يك چند ضلعي مسطح محدود ‏است. ‏

چند وجهي، جسمي است كه از هر طرف به يك چند ضلعي مسطح محدود باشد، به ‏طوري كه هر دو چند ضلعي مجاور، داراي يك ضلع مشترك باشند، و هر ضلع فقط ‏مابين دو چند ضلعي مشترك باشد، نه بيشتر.‏

هر چند وجهي حداقل داراي چهار وجه ( رويه ) است، زيرا سه صفحه فقط ميتوانند ‏يك كنج ( زاويه ) سه وجهي تشكيل دهند.‏

چند وجهي هاي منتظم:‏

اگر تمام وجه¬هاي چند وجهي، چند ضلعي هاي منتظم متساوي باشند و همه ي كنج ‏هايي ( زاويه هايي ) كه در رأس هاي جسم تشكيل مي شوند برابر باشند، چند وجهي ‏را منتظم گويند.‏

‏                                                       منتظم بودن وجه ها ( رويه ها )‏

ويژگي هاي چند وجهي هاي منتظم:       مساوي بودن وجه ها

‏                                                        مساوي بودن كنج ها ( زاويه ها )‏‎ ‎

‎      ‎‎                                                          ‎‏          ‏‎     ‎

‏                                                    چهار وجهي منتظم‎   ‎‏                                ‏‏                                                    هشت وجهي منتظم‎   ‎

‎    ‎انواع چند وجهي هاي منتظم          دوازده وجهي منتظم‎   ‎‏  ‏

‏                                                    بيست وجهي منتظم

‏                                                    شش وجهي منتظم

هندسه

هِندِسه مطالعه انواع روابط طولی و اشکال و خصوصیات آن‌ها است. این دانش همراه با حساب یکی از دو شاخه‌ قدیمی ریاضیات است.

واژه هندسه عربی شده واژه «اندازه» در فارسی است. در زبان انگلیسی به آن geometry و در زبان فرانسه به آن géométrie می‌گویند که هردو از γεωμετρία (گئومتریا) در زبان یونانی آمده که به معنای اندازه‌گیری زمین است.

کلاس‌بندی هندسه

هنـدسه مقـدماتی به دو شاخه تقسیـم می گردد :

·        هنـدسه مسطحه

·        هندسه فضایی

در هندسه مسطحه ، اشکالی مورد مطالعه قرار می‌گیرند که فقط دو بعد دارند، هندسه فضایی ، مطالعه اشکال هندسی سه بعدی است. این بخش از هندسه در مورد اشکال سه بعدی چون مکعب ها ،استوانه ها، مخروط ها، کره ها و غیره است.

در هندسه مدرن شاخه‌های زیر مورد مطالعه قرار می‌گیرند:

·        هندسه تحلیلی

·        هندسه برداری

·        هندسه دیفرانسیل

·        هندسه جبری

·        هندسه محاسباتی

·        هندسه اعداد صحیح

·        هندسه اقلیدسی

·        هندسه نااقلیدسی

·        هندسه تصویری

·        هندسه ریمانی

·        هندسه ناجابجایی

·        هندسه هذلولوی

تاریخچه هندسه

احتمالاً بابلیان و مصریان کهن نخستین کسانی بودند که اصول هندسه را کشف کردند. در مصر هر سال رودخانه نیل طغیان می‌کرد و نواحی اطراف رودخانه را سیل فرا می‌گرفت. این رویداد تمام علایم مرزی میان املاک را از بین می‌‌برد و لازم می‌‌شد دوباره هر کس زمین خود را اندازه‌گیری و مرزبندی کند. مصریان روش علامت‌گذاری زمین‌ها با تیرک و طناب‌ را ابداع کردند. آنها تیرکی را در نقطه‌ای مناسب در زمین فرو می‌‌کردند و تیرک دیگری در جایی دیگر نصب می‌شد و دو تیرک با طنابی که مرز را مشخص می‌‌ساخت به یکدیگر متصل می‌شدند. با دو تیرک دیگر زمین محصور شده و محلی برای کشت یا ساختمان سازی مشخص می‌شد.

در آغاز هندسه برپایه دانسته‌های تجربی پراکنده‌ای در مورد طول و زاویه و مساحت و حجم قرار داشت که برای مساحی و ساختمان و نجوم و برخی صنایع دستی لازم می‌شد. بعضی از این دانسته‌ها بسیار پیشرفته بودند مثلاً هم مصریان و هم بابلیان قضیه فیثاغورث را ۱۵۰۰ سال قبل از فیثاغورث می‌شناختند.

یونانیان دانسته‌های هندسی را مدون کردند و بر پایه‌ای استدلالی قراردادند. برای آنان هندسه مهم‌ترین دانش‌ها بود و موضوع آن را مفاهیم مجردی می‌دانستند که اشکال مادی فقط تقریبی از آن مفاهیم مجرد بود. در سال ۶۰۰ قبل از میلاد مسیح، یک آموزگار اهل ایونیا (که در روزگار ما بخشی از ترکیه به‌شمار می‌رود) به نام طالس، چند گزاره یا قضیه هندسی را به صورت استدلالی ثابت کرد. او آغازگر هندسه ترسیمی بود. فیثاغورث که او نیز اهل ایونیا و احتمالاً از شاگردان طالس بود توانست قضیه‌ای را که به‌نام او مشهور است اثبات (ریاضی) کند. البته او واضع این قضیه نبود.

اما دانشمندی به نام اقلیدس که در اسکندریه زندگی می‌‌کرد، هندسه را به صورت یک علم بیان نمود. وی حدود سال ۳۰۰ پیش از میلاد مسیح، تمام نتایج هندسی را که تا آن زمان شناخته بود، گرد آورد و آنها را به طور منظم، در یک مجموعه ۱۳ جلدی قرار داد. این کتابها که اصول هندسه نام داشتند، به مدت ۲ هزار سال در سراسر دنیا برای مطالعه هندسه به کار می‌‌رفتند.

براساس این قوانین، هندسه اقلیدسی تکامل یافت. هر چه زمان می‌‌گذشت، شاخه‌های دیگری از هندسه توسط ریاضیدانان مختلف، توسعه می‌‌یافت. امروزه در بررسی علم هندسه انواع مختلف این علم را نظیر هندسه تحلیلی و مثلثات، هندسه غیر اقلیدسی و هندسه فضایی مطالعه می‌‌کنیم.

خدمت بزرگی که یونانیان در پیشرفت ریاضیات انجام دادند این بود که آنان احکام ریاضی را به جای تجربه بر استدلال منطقی استوار کردند. قبل از اقلیدس، فیثاغورث (572-500 ق.م) و زنون (490 ق.م.) نیز به پیشرفت علم ریاضی خدمت بسیار کرده بودند.

در قرن دوم قبل از میلاد ریاضیدانی به نام هیپارک، مثلثات را اختراع کرد. وی نخستین کسی بود که تقسیم بندی بابلی‌ها را برای پیرامون دایره پذیرفت. به این معنی که دایره را به ۳۶۰ درجه و درجه را به ۶۰ دقیقه و دقیقه را به ۶۰ قسمت برابر تقسیم نمود و جدولی براساس شعاع دایره به دست آورد که وترهای بعضی قوسها را به دست می‌‌داد و این قدیمی‌ترین جدول مثلثاتی است که تاکنون شناخته شده است.

بعد از آن دانشمندان هندی موجب پیشرفت علم ریاضی شدند. در سده پنجم میلادی آپاستامبا، در سده ششم، آریابهاتا، در سده هفتم، براهماگوپتا و در سده نهم، بهاسکارا در پیشرفت علم ریاضی بسیار مؤثر بودند.

تقسیم بندی هندسه

هنـدسه مقـدماتی به دو قسمت تقسیـم می‌گردد:

·        هنـدسه مسطحه .

·        هندسه فضائی.

·        هندسه خطی.

در هندسه مسطح، اشکالی مورد مطالعه قرار می‌‌گیرند که فقط دو بعد دارند، هندسه فضایی، مطالعه اشکال هندسی سه بعدی است. این بخش از هندسه در مورد اشکال سه بعدی چون مکعبها ،استوانه ها، مخروط ها، کره‌ها و غیره است.

هندسه مطلق

هندسه مطلق Absolute geometry

یانوش بویویی به هندسه‌یی که بدون اصل توازی و صرفاً بر اساس چهار اصل اول اقلیدس اثبات می‌شوند. نام هندسهٔ مطلق را برگزید. اما امروزه به این هندسه، بیشتر هندسه نتاری می‌گویند.

هندسه نتاری

اقلیدس 28 قضیه نخست اصول خود را بر اساس چهار اصل موضوع نخست اثبات کرد و از قضیه 29 بود که استفاده از اصل پنجم آغاز می‌شود. در واقع پس از آن که اصل توازی موجب انشقاق هندسه شد ریاضی‌دان‌ها هندسهٔ بدون استفاده از اصل توازی ابداع کردند که به آن هندسهٔ نتاری می‌گویند. اگر به خواهیم بر اساس "مبانی هندسه" هیلبرت تعریف خود را گسترش دهیم. هندسهٔ نتاری مربوط به آن قضایای می‌شود که با استفاده از بنداشت‌های وقوع، میانبود، قابلیت انطباق و پیوستگی و بدون استفاده از بنداشت توازی ثابت شوند. یانوش بویویی به این نوع هندسه، هندسهٔ مطلق می‌گفت اما و. پرنوویچ و م. جردن نام نتاری را برای آن برگزیدند.

هندسه هذلولوی

هندسه‌ هذلولوی یکی از هندسه‌های نااقلیدسی است که به هندسه‌ لباچفسکی نیز مشهور است. نام انگلیسی این نوع هندسه, یعنی (Hyperbolic), از کلمهٔ یونانی هیپربالئین به معنی "افزایش یافتن" گرفته شده است که در آن فاصلهٔ میان نیم‌خط‌ها در اصل توازی افزایش می‌یابد.

هندسه‌ نااقلیدسی هندسه‌هایی که اقلیدسی نیستند از مطالعهٔ عمیق‌تر موضوع توازی در هندسهٔ اقلیدسی پیدا شده‌اند. دو نیم‌خط موازی عمود بر پاره خط PQ را در نمودار شماره 1 در نظر بگیرد. در هندسهٔ اقلیدسی فاصلهٔ (عمودی) بین دو نیم‌خط هنگامی که به سمت راست حرکت می‌کنیم فاصلهٔ p تا Q باقی می‌مانند؛ ولی در اوایل سدهٔ نوزدهم دو هندسه‌ی دیگر پیشنهاد شد. یکی هندسهٔ هذلولوی (از کلمهٔ یونانی هیپربالئین به معنی "افزایش یافتن") که در آن فاصلهٔ میان نیم‌خط‌ها افزایش می‌یابد و دیگری هندسهٔ بیضوی (elliptic geometry) (از کلمهٔ یونانی ایپلن "کوتاه شدن") که در آن فاصله رفته رفته کم می‌شود و سرانجام نیم‌خط‌ها هم‌دیگر را می‌برند. این هندسهٔ نااقلیدسی بعدها توسط ک.ف. گاوس و گ. ف. ب. ریمان در قالب هندسهٔ کلی‌تری بسط داده شدند. (همین هندسهٔ کلی‌تر است که در نگرهٔ نسبیت عام اینشتاین مورد استفاده قرار گرفته است.)

هندسه اقلیدسی

هندسه اقلیدسی نام شاخه‌ای از ریاضیات است که به بررسی موجودات ریاضی مثل نقطه و خط می‌پردازد و بر پایه‌هائی که اقلیدس ریاضی‌دان یونانی در کتاب خود به‌نام اصول عرضه کرده، بنا شده است. بخش بزرگی از هندسه اقلیدسی همان است که در دبیرستان‌ها تدریس می‌شود. تا قرن نوزدهم میلادی هر وقت از هندسه سخن می‌رفت منظور هندسه اقلیدسی بود. بررسی مفاهیم هندسه اقلیدسی در دو بعد را «هندسه مسطحه» و در سه بعد «هندسه فضائی» می‌نامند. این مفاهیم را به ابعاد بالاتر از سه نیز می‌توان تعمیم داد و همچنان آن را هندسه اقلیدسی نامید.

اقلیدس دستگاه هندسی خود را بر پایه پنج فرض (یا به اصطلاح رایج امروز پنج اصل موضوع یا پنج بنداشت) و پنج اصل متعارفی تعریف کرد. پنج اصل هندسه اقلیدسی این‌ها است:

هر دو نقطه را می‌توان با یک خط به‌هم وصل کرد.

هر پاره خط راست را می‌توان بینهایت از دو طرف ادامه داد.

با داشتن یک پاره خط دایره‌ای می‌توان رسم کرد که مرکزش یک انتهای پاره خط و شعاعش طول پاره خط باشد.

تمام زاویه‌های قائمه هم‌نهشت‌اند.

اگر دو خط را چنان رسم کنیم که خط سومی را به نحوی قطع کنند که مجموع زاویه‌های داخلی یک سمت کمتر از دو قائمه باشد آنگاه این دو خط یکدیگر را قطع می‌کنند.

هندسه تصویری

فرض کنید دو صفحه و در فضا داریم که لزوماً موازی یکدیگر نیستند. در این صورت، برای به دست آوردن تصویر مرکزی به روی از مرکز مفروض که در یا واقع نیست، می‌توان تصویر هر نقطه از را نقطه‌ای چون از تعریف کرد که و روی یک خط راست گذرنده از قرار داشته باشند                                     .

همچنین می‌توان تصویر موازی را به این طریق به دست آورد که خطهای تصویر کننده را موازی در نظر بگیریم. همین‌طور تصویر یک خط در واقع صفحه به روی خط دیگری چون در هم به صورت تصویر مرکزی از یک نقطه ، و هم به صورت تصویر موازی تعریف می‌شود. تبدیل یک شکل به شکل دیگر از طریق تصویر موازی یا مرکزی و یا به وسیله رشته‌ای متناهی از این تصویر کردنها، تبدیل تصویری نامیده می‌شود                     .

هندسه تصویری صفحه یا خط عبارت از مجموعه آن گزاره‌های هندسی است که بر اثر تبدیلهای تصویری دلخواه شکلها تغییری در صدق آنها پدید نمی‌آید. در مقابل، هندسه متری به مجموعه‌ای از گزاره‌ها، راجعه به اندازه‌های شکلها، اطلاق می‌شود که فقط تحت حرکتهای صلب شکلها صادق می‌مانند.

به بعضی از ویژگیهای تصویری فوراً می‌توان پی‌برد. تصویر هر نقطه، یک نقطه است. به علاوه، تصویر هر خط راست، یک خط راست است زیرا اگر خط واقع در به روی صفحه تصویر شود، تقاطع با صفحه گذرنده از و ، خط راست خواهد بود. اگر نقطه و خط راست ملازم هم باشند. آنگاه پس از هر عمل تصویر، نقطه متناظر و خط متناظر نیز ملازم هم خواهند بود. پس ملازمت یک نقطه و یک خط تحت گروه تصویری ناورداست. این واقعیت، پیامدهای ساده ولی مهمی دارد. اگر سه یا تعداد بیشتری نقطه همخط باشند، یعنی ملازم با یک خط راست باشند، تصویرهای آنها نیز همخط خواهند بود. همچنین اگر سه یا تعداد بیشتری خط راست همرس باشند یعنی ملازم با یک نقطه باشند، تصویرهای آنها نیز خطهای راست همرسی خواهند بود. در حالی که این ویژگیهای ساده – ملازمت،‌همخطی‌، و همرسی – ویژگیهای تصویری (یعنی ویژگیهای ناوردا تحت عمل تصویر) هستند، اندازه‌های طول و زاویه، و نسبتهای چنین اندازه‌هایی، عموماً بر اثر تصویر کردن تغییر می‌کنند. مثلثهای متساوی‌الساقین یا متساوی‌الاضلاع را می‌توان به مثلثهای مختلف‌الاضلاع تصویر کرد. پس اگر چه «مثلث» مفهومی متعلق به هندسه تصویری است، «مثلث متساوی‌الاضلاع» چنین نیست و فقط به هندسه متری تعلق دارد.

هندسه مسطحه

مفاهیم اساسی هندسه نیز،درست همان طور که مفهوم عدد از دنیایی مرئی مجرد شده است،از فرایندی تجریدی که قرن‌ها به طول انجامیده به دست آمده‌اند.

در این مورد ،با چشم پوشی از تفاوت‌های غیر ذاتی، از قبیل رنگ،شکل یا ترکیب رویه ای،و عدم توجه به اختلاف‌های دیگر اشیای حقیقی،به صورتهای فضایی در سه بعد:طول ،عرض و ارتفاع می‌رسیم.

جسم فضایی سه بعد،اما رویه تنها دو بعد،خط مثلا لبه برخورد دو رویه،یک بعد و سرانجام ،نقطه،که به عنوان تقاطع دو خط در نظر گرفته میشود بعد صفر دارد.

در هندسه مسطحه صفحه را همواره به صورتی که داده شده است در نظر می گیریم،و بررسی‌های هندسی را ،در حالت عمومی،در این صفحه انجام می‌دهیم،اما در حالت‌های خاص بهتر است که فضای اقلیدسی نیز به عنوان یک شی هندسی در نظر گرفته شود.

نقطه‌ها و خط‌ها مفاهیم اساسی هندسه مسطحه مقدماتی اند.به طور شهودی،خط را اغلب به صورت مسیر نقطه‌ای تعریف می‌کنند که در صفحه به چنان طریقی حرکت می‌کند که همواره کوتاهترین راه بین دو مکان خود را اختیار می‌کند و تغییر سو نمی‌دهد: با این همه ،حتی در رهیافتی دقیق‌تر نیز هیچ گونه تعریفی از خط و نقطه داده نمی‌شود اما در ریاضیات جدید رابطه‌های بین این دو نوع شی هندسی توسط اصل موضوعه (axiom)ها مشخص می‌شوند.

تعیین قاعده ی بخشپذیری بر اعدادی که یکان آنها3،7،9  باشد :

اگر یکان عددی 3ویا 7 ویا 9 باشد باید کاری کنیم که آن عدد به مضربی از خود عدد که یکان آن یک باشد تبدیل شود.

مثلاً اگریکان 3 بود باید عدد را در 7 و اگر یکان 7 بود عدد را در 3 و اگر عدد یکانش 9 بود باید در 9 ضرب شود. سپس حاصلضرب بدست آمده را به  غیر از یکان آن از عدد کم می کنیم .عددی را که در این عملیات بدست می آید به این صورت در قاعده به کار می بریم.

مانند مثال: می خواهیم قاعده بخش پذیری بر 13 را پیدا کنیم. ابتدا آنرا در 7 ضرب می کنیم تا یکان آن برابر با یک شود . حاصل بدست آمده را که 91 است به غیر از یکان یعنی عدد 9 را از 13 کم می کنیم حاصل برابر با 4 می شود . در اینجا قاعده بخش پذیری بر 13 بدست می آید :

 ( 4برابر یکان + بقیه ارقام    )   ؛ که باید بر 13 بخشپذیر باشد.      

                                       ( 4= 9-13   91= 7 ×13 )

     امتحان این قاعده : 

        13= 5+ 8    8= 2× 4       52 = 20 + 32       20 = 5× 4          425

تعیین قاعده ی بخشپذیری بر اعدادی که یکان آنها1   باشد :

در این روش باید به جز یکان بقیه ارقام را در نظر بگیریم و قاعده را بدست آوریم مانند مثال زیر :

می خواهیم قاعده بخشپذیری بر عدد 31 را پیدا کنیم. ابتدا باید به جز یکان بقیه ارقام را در نظر بگیریم و قاعده ای به این صورت بدست آوریم:

3 برابر یکان را از بقیه ارقام کم کرده عدد حاصل باید صفر باشد تا بر 31 بخشپذیر باشد.

برای قاعده دوم می توان گفت با تقسیم بقیه ارقام بر یکان ، عددی  را که یکان باید در آن ضرب شود بدست می آوریم.

نکته : بدست آوردن قاعده بخشپذیری بر اعدادی با یکان (1) از روش بالا که برای 3و 7و 9 به کار می رفت میسر است ولی طولانی می شود.

۱) قاعده بخشپذیری بر 7 :   5 برابر یکان + بقیه ارقام   باید بر 7 بخشپذیر باشد.                                           (  5= 2- 7      و    21 = 3 × 7  )

     مثال :    14= 9 + 5        5= 1× 5            91      

35 = 5×7    287 = 25 + 26    25 = 5×5       2625

21=15+6    15 = 5×3     63 = 35 + 28

البته یه قاعده دیگه هم برای بخشپذیری بر 7 هست به این صورت که 2برابر یکان را از بقیه ارقام باقیمانده کم می کنیم ، حاصل باید بر 7 بخشپذیر باشد.

2 ) قاعده بخشپذیری بر13 :  4 برابر یکان + بقیه ارقام   باید بر13 بخشپذیر باشد.                                                       ( 4= 9-13   91= 7 ×13 )

 مثال : 13= 5+ 8    8= 2× 4       52 = 20 + 32       20 = 5× 4     425

3 ) قاعده بخشپذیری بر19 :   2 برابر یکان + بقیه ارقام   باید بر 19 بخشپذیر باشد.                                             ( 2= 17 – 19    171 = 9 × 19 )

مثال :                    

                                    19= 6+13       6= 3×2         133

                          16 = 8 ×2     228 = 16 + 212     16= 8 ×2    2128

                19= 3+16  16= 8×2    38 = 16 +22   

4 ) قاعده بخشپذیری بر29 :  3 برابر یکان + بقیه ارقام   باید بر 29 بخشپذیر باشد.                                 ( 3= 26 – 29    261 = 9 × 29 )

    29 = 5+24     24= 8×3     58 = 15 +43     15 = 5×3            345

    29= 18 +11     18 = 6×3     116 = 12 + 104   12 = 4×3      1044

5  ) قاعده بخشپذیری بر33 :  10 برابر یکان + بقیه ارقام   باید بر 33 بخشپذیر باشد.                                            ( 10= 23 – 33    231 = 7 × 33 )

     33= 20 +13  20 = 2×10    132 = 60 +72      60 = 6 ×10     726

    66 = 50 +16    50 = 5 ×10     165 = 10 + 155    10 = 1× 10  1551

6 ) قاعده بخشپذیری بر49 :  5 برابر یکان + بقیه ارقام   باید بر 49 بخشپذیر باشد.                                             ( 5= 44– 49    441 = 9 × 49 )

                                          49 = 25 + 24        25 = 5×5      245

49 = 20 + 29   20 = 4×5    294 = 35 + 295      35 = 7×5     2597

7 ) قاعده بخشپذیری بر57 :  40 برابر یکان + بقیه ارقام   باید بر57 بخشپذیر باشد.                                             ( 40=17– 57    171 = 3 ×57)

                        80 = 2×40  342 = 280 +62   280 = 7 ×40    627

                     160 = 4 ×40   114  = 80 + 34 

           57 = 40 + 17    40 = 1 × 40     171 = 160 +۱۱

تذکر : اگر عدد بدست آمده از انجام عملیات قاعده، غیر قابل  تشخیص باشد یعنی نفهمیم بخشپذیر هست یا نیست باید عملیات را تا بدست آمدن عدد ادامه دهیم .

 1 ) قاعده بخشپذیری بر11 :  اگر  یکان را از  بقیه ارقام کم کنیم    باید بر11 بخشپذیر باشد.

    مثال :                                                0 = 1-1     11= 1- 12      121

                                                         0 = 2-2      22 = 5 – 27      275

قاعده دیگری برای بخشپذیری بر 11:   10 برابر یکان + بقیه ارقام   بر 11 بخشپذیر باشد . 

    مثال:                                       33= 20 +13     20 = 2× 10      132

2) قاعده بخشپذیری بر21 : اگر2 برابر یکان را از  بقیه ارقام کم کنیم    بایدصفر شود.

مثال :     0 = 2-2      2= 1×2      21 = 10 – 31        10 = 5 × 2     315

          0 = 4-4       4= 2×2       42 = 14 – 56        14 = 7 ×2        567

3 ) قاعده بخشپذیری بر31 : اگر  3 برابر یکان را از بقیه ارقام کم کنیم  ، حاصل برابر صفر شود.

 مثال :           0 = 6-6    6= 2×3    62 = = 18 – 80     18 = 6 ×3    806

                  0 = 9-9     9 = 3×3      93 = 15 – 108    15= 5×3     1085

4 ) قاعده بخشپذیری بر51 : اگر 5 برابر یکان را از بقیه ارقام کم کنیم  ، حاصل برابر صفر شود.

 مثال :     0 = 10 -10   10= 2×5     102 = 20 – 122    20 = 4×5     1224

                                                0 = 35-35       35 = 7 × 5           357

5 ) قاعده بخشپذیری بر71 : اگر 7 برابر یکان را از بقیه ارقام کم کنیم  ، حاصل برابر صفر شود.

مثال :   0= 7 – 7      7 = 1×7     71= 21 – 92    21= 3×7      923

                                       0 = 63 – 63          63= 9 ×7        639

6 ) قاعده بخشپذیری بر101 : اگر 10 برابر یکان را از بقیه ارقام کم کنیم  ، حاصل برابر صفر شود.

مثال:   0= 10 -10   10 = 1 ×10    101 = 40- 141      40 = 4 ×10     1414

         0 = 10 -10    10 = 1×10   101 = 30 – 131       30 = 3×10     1313

7 ) قاعده بخشپذیری بر111 : اگر 11 برابر یکان را از بقیه ارقام کم کنیم  ، حاصل برابر صفر شود.

  مثال : 0 = 11- 11    11= 1×11    111= 77 – 188    77= 7 ×11          1887

          0 = 22- 22    22 = 2 ×11     222= 55- 277   55 = 5 ×11         2775

پیدایش و سیر تحول هندسه

هندسه مطالعه انواع مختلف اشکال و خصوصیات آنهاست.

همچنین مطالعه ارتباط میان اشکال ، زوایا و فواصـل است.

زمان دقیق پیدایش هندسه بدرستی مشخص نیست ، اما مسلم است که پس از گذشت  قرن ها از عمر آدمی ، درک مفهوم های هندسی میسر گردیده است .

  هندسه در نقاشی های رسم شده توسط اقوام اولیه روی ظرف ها، دیواره غارها و... تجلی می کند ومناظر و تزیینات نوسنگی سرشار از شکل های گوناگون هندسی است .

  هندسه یا ژئومتری  Geometry  از دو کلمه یونانی ژئومه به معنی زمین و متراین   به معنی اندازه گیری آمده است،زیرا گفته می شود که هندسه در اصل علم اندازه گیری زمین بوده است.هرودت مورخ یونانی سده پنجم قبل از میلاد، پدیدآورندگان هندسه را مساحان مصری می داند که مجبور بوده اند هر سال پس از طغیان رود   نیل محدوده زمین ها را مجدداً مشخص سازند . اما تمدن های کهن دیگر مانند بابلی،هندی،چینی وایرانی هم اطلاعات هندسی زیادی داشته اند

  بابلی ها قادر بودند مثلث متساوی الاضلاع را رسم نمایند و به کمک آن زاویه قائمه را به سه قسمت مساوی تقسیم کنند . به این ترتیب که روی ضلع Ax از زاویه xAy مثلث متساوی الاضلاع ABC را می ساختند.

دراین صورت اندازه زاویهyAC برابر 30 درجه می گردد . سپس با رسم نیمساز زاویه  CAxزاویه قائمهxAy  به سه زاویه مساوی تقسیم می شود .

  مردم بابل قدیم ، قرن ها قبل از یونانیها در ریاضیات ونجوم به پیشرفت های قابل قبولی رسیده بودند .

بابلیها در عددنویسی و ریاضیات محاسبه ای  به  مرحله ای رسیدند که یونانیان تا قرن ها بعد نتوانستند به آن برسند. بابلیها پایه گذار اخترشناسی،سازنده دستگاه شصت شصتی (تقسیم دایره به 360 درجه وهر درجه به 60 دقیقه و... و تقسیم بندی زمان) ، بنیان گذار عددهای موضعی برحسب ارزش نسبی ، کاشف صفر در مرحله ای از تاریخ  خود و قادر به حل معادله درجه دوم  و برخی از حالت های معادله درجه سوم بوده اند . بابلیان قضیه فیثاغورث را خیلی پیش از     آنکه فیثاغورث به دنیا بیاید می دانسته اند .

  هندسه زمان باستان  هندسه ای تجربی بود که نتایج تقریبی بدست آمده از آن ، برای مقاصد عملی آن زمان کافی بود . مثلا ً بابلیان سال های 2000 تا 1600 قبل از میلاد ، عدد  پی  را مساوی 3 اختیار می کردند .

یعنی  محیط دایره را سه برابر قطرش در نظر می گرفتند و در نوشته های  چینی نیز  همین مقدار پیدا شده است .

  هندسه پیشینیان مجموعه ای بود از قواعدی که از طریق آزمایش ، بررسی شباهت ها حدس ها بدست آمده بود ، اما این قواعد هیچ گونه ارتباطی با هم نداشتند. بنابرین هندسه در شوش و مصرو بابل به معنی واقعی کلمه علم نبود بلکه انباری پر از قواعد محاسبه بود .

  تا آنکه از سده هفتم قبل از میلاد راه ورود آزاد به کشور مصر برای مسافران خارجی باز شد و دانشمندان یونانی از این امکان به خوبی استفاده کردند .

  یونانیها تقریبا ً از سده چهارم پیش ازمیلاد جست وجوهای مستقل خود در ریاضیات را آغازکردند  ودراین زمینه به خصوص درهندسه به موفقیتهای زیادی دست یافتند

. یونانیان و بیش از همه تالس اصرار داشتند که احکام هندسی نه از راه آزمایش و خطا بلکه از راه استدلال قیاسی باید ثابت گردند .

  تالس با اطلاع از محاسبات ریاضی مصری و بابلی ضمن تلاش برای مشخص ساختن درست از نادرست، نخستین هندسه منطقی را بنا نهاد . نظم بخشیدن به هندسه و تابع اصول سازی آن که با تالس شروع گردید ، توسط فیثاغورث و شاگردانش تا دو قرن ادامه یافت .

  فیثاغورث خود مدت ها در مصر به سربرد و در خدمت کاهنان مصری به شاگردی پرداخت و اطلاعات و معتقدات بسیاری کسب کرد واز آنجا روانه بابل شد و دوران شاگردی را از نو آغاز نمود . برخی می گویند

که به هند نیز رفته است . آنگاه به وطن بازگشت ودر جزیره کروتون در ایتالیای جنوبی مکتب اخوتی  دایر نمود تا بتواند مسائل عالی ریاضیات و نظریه های فیزیکی و اخلاقی را  تدریس کند و پیشرفت دهد.

چنانکه مشهور است بین اروپاییان ،  فیثاغورث  نخستین کسی بود که در این نکته اصرار ورزید که  در هندسه باید ابتدا اصول(متعارفی و موضوع) را معین کرد وآنگاه به اتکاء آنها روش استنتاج متوالی را پیش گرفت وبا این روش استدلال پیشرفت نمود .

به این ترتیب اروپاییان، فیثاغورث را نخستین کسی می دانند که استدلال را وارد ریاضیات کرد .

  « هر کس هندسه نمی داند وارد نشود . »  جمله ای است  که  بر سردر آکادمی علوم و فلسفه افلاطون ، بزرگترین مرکز آموزشی آن زمان ، که در حدود سال 387  قبل از میلاد بنا نهاده شد ، نوشته شده بود که این جمله خود اهمیت ریاضیات و بخصوص هندسه را نزد یونانیان باستان به خوبی نشان می دهد.افلاطون در کتاب جمهوری خود می نویسد«مطالعه ریاضیات،دستگاهی ذهنی را توسعه می دهد    وبه کار می اندازدکه ارزش آن ازهزار چشم بیشتر است زیرا درک حقیقت فقط از راه ریاضی میسر است»افلاطون با وجود آنکه ریاضیدان نبود اما او را ایجاد کننده  ریاضیدانان نامیده اند . زیرا وی بسیاری از ریاضیدانانی را که هزاران بار از نظر ریاضی بر او تقدم فضل داشتند وادار به ابداعات ریاضی واقعی کرد .

  تأثیرافلاطون بر ریاضیدانان مشکلاتی هم برای ریاضی و بخصوص هندسه پدید آورد،زیرا بنا به نوشته دکتراریک تمپل بل حکومت ذمستبدانه افلاطون برهندسه بیش از بیست قرن  طول کشید و تنها 1985 سال بعد از مرگ افلاطون با اختراع هندسه تحلیلی توسط رنه دکارت،هندسه توانست از زیراین بار گران شانه خالی کند.البته دانشمندانی چون ارشمیدس هم بودند که دنبال افکاراستبدادی افلاطون نرفتند وبه همین علت شاهکارهای زیادی در ریاضی بوجود آوردند.ارشمیدس اندکی بعد از آنکه اقلیدس در دانشگاه اسکندریه به تدریس پرداخت برای تحصیل به آنجا رفت و پس از تحصیل به سیراکیوز ، زادگاهش بازگشت. ارشمیدس دانشمندی به معنای واقعی کلمه متجدد بود . بطوریکه 2000 قبل از نیوتن و لایب نیتس موفق به اختراع حساب انتگرال شد وحتی می توان او را از پیش قدمان فکر ایجاد حساب دیفرانسیل دانست .

  اقلیدس که شاگرد مکتب افلاطون بود درحدود 300 سال پیش از میلاد روش قاطع هندسه یونانی ونظریه اعداد را در کتاب اصول که در 13 جلد تدوین شده بود منتشر ساخت ، که در قرن پانزدهم میلادی  وقتی ماشین چاپ اختراع گردید جزء اولین کتاب هایی بود که به چاپ رسید .

  شاهکار اقلیدس مدون ساختن و تنظیم هندسه بود .  پبش از اقلیدس ریاضیدانان برجسته ای چون تالس و فیثاغورث در  زمینه هندسه کارهای زیادی انجام داده بودند

اما  آنرا مدون نساخته بودند . اقلیدس کارهای پیشینیان را گرد هم آورد وخود به آن  مطالبی افزود  و همه را برمبنای اصول چنان مرتب ومنظم کرد که قرنها بهترین نمونه کار علمی بود . وی تجارب فیثاغورثیان را در کتاب های اول تا چهارم وهفتم ونهم ، کارهای آرکیتاس را در کتاب هشتم ، کارهای اودوکس را در کتاب های پنجم،ششم و دوازدهم  و کارهای تئه تتوس را در کتاب های دهم و سیزدهم گرد آورده است .

  کتاب اصول اقلیدس آنچنان به طور کامل جایگزین تلاشهای پیشینیان هندسه گردید که کمتر نشانه ای از آن کوشش ها به جای ماند . روش  اصل موضوعی که اقلیدس به کار برد الگویی است برای آن چه که ما امروز ریاضیات محض می نامیم. و این روش او متجاوز از 2000 سال بر هندسه مسلط بود. محض به معنی اندیشه محض است،هیچ تجربه عینی برای تحقیق درستی احکام لازم نیست.تنها باید مراقب استدلال در اثبات قضایا باشیم .

  یکی دیگر از یونانیانی که آثارشان در ریاضیات بعد از قرن هفدهم مؤثر واقع شد ، آپولونیوس است . آپولونیوس هندسه را به مفهومی که اقلیدس در نظر داشت تا جایی پیش برد که قابل قیاس با آنچه اقلیدس باقی گذارده بود نیست .

آپولونیوس بین هندسه دانان در اطلاع بر هندسه  خالص  نظیری  نیافت ،  تنها اشتاینر ریاضیدان سوییسی در قرن نوزدهم را می توان با او مقایسه نمود . آپولونیوس ریاضیدان حوزه علمی اسکندریه نویسنده اولین اثر مستقل و مهم در مخروطات است .

دوست دارم نگاه هندسی به زندگی داشته باشم و محیط پیرامون خود را با دیدی نو محاسبه کنم.

دلم میخواهد مساحت عمرم را بسنجم و به شخصیتم شکل مناسبی بدهم.

می توانم زندگی را مربعی فرض کنم که اضلاع آن را ایمان،هدف ،امیدو عشق تشکیل داده اند یا مثلثی  که زاویه های ان علم،ایمان و انسانیت باشد.

میتوانم مرکز دایره حیاتم را انتخاب های خوب قرار دهم.

چرا سطحی بیندیشم؟

وقتی دوست دارم به افکار و زندگیم عمق دهم و می توانم حجم معنویتم را افزون سازم.

من می توانم از نقطه های خط عمرم خطی مستقیم در جهت خوبی و مهربانی ترسیم کنم.

من دلم میخواهد زندگیم بر قاعده پاکی استوار باشد.به موازات حق پیش بروم و زاویه دیدم باز باشد

وقتی این قدر توانایی دارم چرا شکل غیر منتظم باشم و از میان خطوط خط های شکسته و منحنی را  برگزینیم؟

من میتوانم منشوری باشم شفاف که از هر سو جلوه ای خاص دارد.

منشوری که نور را به راحتی تجزیه میکند و فضا را با رنگهای دلپذیر و جذاب محبت-امید-عشق-  عرفان و... می اراید.

‏۱- فراهم ساختن یک محیط مناسب برای یادگیری ‏

‏ ‏‏2- لزوم تاکید به کلیه مواد تحصیلی در آموزش ریاضی ‏

‏ ‏‏۳- مشارکت دادن دانش آموزان در حل مسائل روزانه

‏ ‏۴- بابکارگیری فرمول های کاربردی ریاضی فرصتی مناسب به منظور‏ آشنانمودن دانش آموزان با اصول و قواعد و فرمول های ریاضی ایجاد‏ گردد و فرصت کافی به شاگردان داده شود تا هر یک بتوانند متناسب ‏با قدرت و توانایی خود در فهمیدن قواعد و قوانین ریاضی موفق شوند.‏

‏‏۵-به منظور آموزش مفاهیم ریاضی و حل مسائل دانش آموزان را به گروه های کوچک کار و فعالیت تقسیم کنید.‏

‏‏۶-باید توجه داشت که فرایند دست یافتن به جواب به اندازه خود جواب حائز اهمیت است یعنی دانش آموزان باید بدانند که برای یافتن جواب‏ صحیح فقط یک روش وجود ندارد.‏

‏ ‏۷-به همه دانش آموزان صرف نظر از جنسیت یاسوابق فرهنگی آنها باید به ‏ یک اندازه توجه کرد.همچنین باید فرصت کافی جهت جوابگویی نیز به هر‏ فرد داده شود.‏

‏‏۸- قبل ازشروع به تدریس اندکی در باره نقطه نظرها و نگرش خود نسبت به ‏ ریاضی و تدریس آن بیاندیشید.‏