1. فرض کنید a و b دو عدد مثبت باشند. مقدار انتگرال ناسره زیر را بیابید:
   
   
   

   

   حل مساله:
   
    انتگرال بالا را I بنامید. می توان دید که:
   
   

   
   

   و لذا
   
   
   

   ---

   
   
2.  نامساوی زیر را ثابت کنید:
   
   

   

   منبع: مجله فرهنگ و اندیشه ریاضی-مساله ۱۶
   
   حل مساله:
   
   تابع  را با ضابطه   در نظر بگیرید. پس از مشتق گیری می توان دید که f قبل از b  نزولی و بعد از b صعودی است و در نقطه b  مینیمم مطلق خود را می گیرد. پس می توان نوشت  که نامساوی را ثابت می کند.

   ---

   
   
3. همه خطوط راستی را بیابید که در رویه  قرار دارد.
   
   منبع: مجله فرهنگ و اندیشه ریاضی-مساله ۲۰
   
   حل مساله:
   
   

   معادله پارامتری خطی که از نقطه  و در راستای  می گذرد توسط معدلات زیر داده می شود:
   

   

   شرط لازم و کافی برای آنکه چنین خطی در رویه  واقع شود آن است که برای هر t داشته باشیم:
   
   

   

   لذا . اما d₁ و d₂ نمی توانند همزمان صفر شوند، زیرا در این صورت باید داشته باشیم: که تناقض است. پس

   

   لذا تنها خطوط راستی که در رویه  واقعند به شکل  یا به شکل  هستند که در آن a عدد ثابت و دلخواهی است. شکل رویه  را ذیلاً مشاهده می فرمایید.
   

   

   ---

4.  فرض کنید a, b , c , d همگی مثبت باشند. نامساوی زیر را ثابت کنید:
   
   

   

   
   منبع: حل مساله از طریق مساله، ترجمه علی ساوجی
   
   حل مساله:
   
   کافیست ثابت کنیم:
   
   

   

   
   می توان نوشت:
   
   

   

   
   پس ثابت می کنیم:
   
   

   

   
   بنابر نامساوی کوشی شوارتز (رجوع کنید به اینجا) می توان نوشت:
   
   

   

   
   بنابراین
   
   

   

   
   حال با رساندن طرفین به توان دو و سپس ساده کردن طرفین مساله حل می شود.
   
   مشابه روش بالا می توان در حالت کلی ثابت کرد:
   
   

   

1. برای عدد گویای x فرض کنید  که a و b کوچکترین اعداد ممکن باشند. فرض کنید . ثابت کنید  . به طور کلی تر، یک دنباله نامتناهی از توانهای گویای متمایز s چنان ارائه کنید که گویا باشد.  حل مساله

   ---

2. فرض کنید  و دنباله  در اندازه به f میل کند. نشان دهید
   .
   
   منبع: مجله فرهنگ و اندیشه ریاضی مساله 6
   
   حل مساله:
   
   چون به ازای هر n، ، پس . فرض کنید و فرض کنید زیر دنباله ای از  باشد که . چون  در اندازه به f میل می کند پس  نیز دز اندازه به f میل می کند؛ در نتیجه یک زیر دنباله  از  موجود است که تقریباً همه جا به f میل می کند. حال ؛ پس بنابر لم فاتو می توان گفت:

   

   اما داریم:
   
   

   

    که مطلب خواسته شده را نتیجه می دهد.
   
   

   ---

   
   
3.  فرض کنید E یک فضای خطی نرمدار و F زیر فضایی از E باشد. اگر E-F ناهمبند باشد، ثابت کنید F بسته است.
   
   منبع: مجله فرهنگ و اندیشه ریاضی مساله 7
   
   
   حل مساله:
   
   از آنجا که برای هر ،  همبند است، و با توجه به فرض ناهمبندی E-F، نتیجه می گیریم که به ازای هر x از E-F، (در واقع  یک بعدی است). عضو e از E-F را ثابت در نظر بگیرید و تابع را با ضابطه تعریف کنید . قرار دهید و . می توان نشان داد A و B همبند کمانی هستند. حال اگر F بسته نباشد، دنباله ای مانند از اعضای F به e همگرا خواهد بود؛ پس  به همگراست. در واقع B نقطه حدی در A  پیدا می کند و این نشان می دهد که مجموعه  همبند است که متناقض با فرض ناهمبندی است؛ پس F لزوما بسته است.
   
   

   ---

4. فرض کنید  و  . ثابت کنید اگر به ازای هر زیر مجموعه باز U از ، . ثابت کنید تقریبا همه جا f=0.
   
   منبع: مجله فرهنگ و اندیشه ریاضی مساله 10
   
   
   حل مساله:
   
   ابتدا نشان می دهیم که به ازای هر یک زیرمجموعه باز V از موجود است که
   
   

   

   برای این کار اعداد گویا را به صورت دنباله در نظر می گیریم. به ازای هر n از اعداد طبیعی قرار می دهیم:
   
   

   

   در این صورت یک زیر مجموعه باز است و به آسانی دیده می شود که  . همچنین . حال فرض کنید به ازای هر باز U از ،
   
   

   

   به ازای هر عدد را چنان انتخاب می کنیم که به ازای هر  که ، . پس  و
   
   

   

   چون  دلخواه بود بنابراین و چون  لذا تقریبا همه جا f=0.

   ---

1. دنباله اعداد طبیعی a₁, a₂, a₃, ... را به این صورت تعریف می کنیم که a₁ بر عدد پنج بخش پذیر نیست و a_n+1=a_n+d_n که d_n آخرین رقم a_n است. ثابت کنید این دنباله شامل تعدادنامتناهی جمله به شکل 2^k است. حل مساله

   ---

2.  (الف) فرض کنید m و n دو عدد طبیعی باشند و n>1. ثابت کنید عدد زیر عددی اصم است:
   
   
   
   
   (ب) یک نقطه در صفحه را نقطه گویا ی نابدیهی گوییم اگر طول و عرض آن عدد گویای ناصفر باشد. فرض کنید x عددی با قدر مطلق کمتر یا مساوی 1 باشد و n عددی طبیعی بزرگتر یا مساوی 3 . ثابت کنید منحنی تابع زیر دارای نقطه گویا ی نابدیهی نیست:
   
   
   
   
   (توجه کنید که این دو مساله با وجود تفاوت ساختاری، تقریبا به یک روش حل می شوند.)
   
   حل مساله:
   
    آخرین قضیه فرما یا FLT بیان میکند که
   
   
   
   
   به راحتی می توان ثابت کرد که مساله بالا معادل مطلب زیر است:
   
   
   
   
   حل مساله (الف):
   
   توجه کنید که اگر n=2 ، آنگاه می توان ثابت کرد
   
   
   
   
   فرض کنید n بزرگتر یا مساوی 3 باشد. به برهان خلف عمل می کنیم:
   
   
   
   
   که این مخالف قضیه فرماست.
   
   حل مساله (ب):
   
   فرض کنیم (x,y) نقطه گویای نابدیهی روی تابع f باشد. با جایگذاری مقادیر در تابع f و رساندن طرفین به توان n و تنظیم آن به عبارت معادل دوم از قضیه فرما می رسیم که باز تناقض است.
   
   

1. فرض کنید A ماتریسی مربعی از مرتبه n و با درایه های مختلط باشد که تمام مقادیر ویژه آن حقیقی است و  .ثابت کنید  عددی صحیح است و برای هر عدد طبیعی k، داریم: .  
   منبع: مجله فرهنگ و اندیشه ریاضی مساله ۵۳ 
   
   حل مساله: 
   
   فرض کنید  تمام مقادیر ویژه A باشند. پس می توان نوشت:
   
   

   .
   پس 
   .
   
   چون همه مقادیر ویژه، حقیقی هستند، پس همگی یا صفرند یا یک. چون
   
   پس  عددی صحیح است و  تا از  مقادیر ویژه، برابر یک و بقیه آنها صفرند. پس
   
   

   

   ---

2.  فرض کنیم A و B دو ماتریس  باشند بطوری که AB-BA وارونپذیر باشد و نیز . ثابت کنید  (n مضربی از 3 است).
   
   حل مساله:
   
   قرار دهید  و . لذا   و . در نتیجه  . بنابر این با استفاده از فرض مساله می توان نوشت:. قرار دهید  و . لذا بنابر فرض مساله P و Q وارون پذیرند. حال با محاسبه A و B بر حسب P و Q داریم:  و . حال با توجه بهمی توان نوشت:
       
                          
   
   با استفاده از رابطه های  و  و با ساده کردن تساوی بالا می توان نوشت: . حال با گرفتن دترمینان از طرفین، نتیجه می شود:  و در نتیجه:
               
   .
    
   حال چون ، لذا n مضربی از 3 است.
   
   

   ---

1. اگر x ماتریسی روی میدان F  باشد، ثابت کنید:
   
   
2. 
3. منبع: مجله فرهنگ و اندیشه ریاضی مساله 9
   
   حل مساله:
   
   ماتریسهای بلوکی زیر را در نظر بگیرید:
   
   
4. 
5. چون
   
   
6. 
7.  پس
   
   

---

1. یک R-مدول A با تولید متناهی مثال بزنید که دارای زیر مدولی مانند B باشد که با تولید متناهی نباشد.
   
   منبع : فرهنگ و اندیشه ریاضی، مساله 2
   
   حل مساله:
   
   می دانیم اگر R حلقه ای یکدار باشد، R  یک R-مدول متناهی مولد خواهد بود که زیر مدولهای آن به عنوان  R-مدول، دقیقاً همان ایده آلهای چپ R به عنوان حلقه هستند و متناهی مولد بودن این زیر مدولها معادل با متناهی مولد بودن ایده آلهای چپ است. حال قرار می دهیم . در این صورت R یک R-مدول متناهی مولد است و زیر مدول (ایده آل)  از آن متناهی مولد نمی باشد.
   
   

   ---

2. حلقه تعویض پذیر و یکدار R را حلقه زنجیر گوییم هر گاه ایدآلهای آن با هم قابل مقایسه باشند. یعنی اگر A و B دو اید آل از R باشند آنگاه یا . اگر I ایدآلی از یک حلقه زنجیر باشد و ، ثابت کنید P یک ایدآل اول R است.
   
   منبع : فرهنگ و اندیشه ریاضی، مساله 2۲
   
   حل مساله:
   
   فرض کنید a و b عناصری از R باشند و ab نیز عنصری از P. باید ثابت کنیم حداقل یکی از این دو عنصری از P  هستند. فرض کنیم نه a و نه b هیچکدام عنصری از P نباشند. در این صورت اعداد طبیعی m و n چنان وجود دارند که  و . چون R حلقه زنجیر فرض شده است پس  و  و لذا . اما از  نتیجه می شود   و در نتیجه . بنابر این

   

   قرار می دهیم  و . در اینصورت و لذا

   

   چون R حلقه زنجیر فرض شده است، پس فقط یک ماکسیمال مانند M دارد و می توان فرض کردc عنصری از M است. در نتیجه  عنصری از M نیست و باید وارون پذیر باشد و لذا c=0. پس J=0 و در نتیجه P=0 که یک تناقض است.
   

1. فرض کنید p عددی اول باشد و m و r اعداد صحیح مثبتی باشند که . ثابت کنید که چندجمله ای  ریشه ای در ندارد.
   
   منبع: مجله فرهنگ و اندیشه ریاضی مساله 12
   
   حل مساله:
   
   فرض کنید . در این صورت
   
   
   می توان دید که  و  روی  جداپذیر می باشند و در نتیجه اگر a عضو غیر صفری از  باشد، a ریشه ای از تکراردر چند جمله ای های  و  می باشد. پس a ریشه ای از  نمی باشد. بدیهی است که صفر نیز ریشه این چندجمله ای نمی باشد و مساله ثابت می شود.
   
   

   ---

2.  فرض کنید . ثابت کنید درجه هر سازه تحویل ناپذیر  در  مقسوم علیهی از است.
   
   منبع: مجله فرهنگ و اندیشه ریاضی مساله ۱۸
   
   حل مساله:
   
   قرار می دهیم . پس
   

   
    اما
   
   
   
   
   فرض کنیم ریشه  در توسیعی از باشد. در اینصورت  و چون  لذا . بنابراین . این نتیجه می دهد تمام ریشه های  در  هستند. گیریم یک سازه تحویلناپذیر از  باشد. اگر ریشه فرض شود، داریم:
   
   

   

     قرار می دهیم . لذا به عنوان فضای برداری و لذا
   
   
   و حکم ثابت می شود.
   

معرفی سایتهای حل مساله:

      ۱. مسائل هفتگی دانشگاه پوردوی آمریکا همراه با حل کامل مسائل

المپیاد های ریاضی دانش آموزی - داخلی و خارجی:

 بیست و چهارمین المپیاد دانش آموزی ریاضی کشور   صفحات  ۱  ۲  ۳  ۴  ۵  ۶  ۷  جواب تستها 

  آرشیو بزرگ المپیادهای ریاضی دانش آموزان ایران از سال ۱۳۶۲ تاکنون

        
 سوالات المپیاد ریاضی جهانی سال ۲۰۰۶  (در قالب pdf)   حل مسائل سال ۲۰۰۶

          سوالات المپیاد ریاضی جهانی سال ۲۰۰۵  (در قالب pdf)

          سوالات المپیاد ریاضی جهانی سال ۲۰۰۴  (در قالب pdf)

          سوالات المپیاد ریاضی جهانی سال ۲۰۰۳  (در قالب pdf)

          سوالات المپیاد ریاضی جهانی سال ۲۰۰۲  (در قالب pdf)

          سوالات المپیاد ریاضی جهانی سال ۲۰۰۱  (در قالب pdf)

          سوالات المپیاد ریاضی جهانی سال ۲۰۰۰  (در قالب pdf)

رياضيات آن چيزي نيست كه فقط در مدرسه بياموزيد و ديگر با آن سر و كار نداشته باشيد بلكه رياضيات آن چيزي است كه شما مي توانيد در تمام روز و حتي سراسر زندگي از آن استفاده كنيد

رياضيات قانون زندگي است : روش لذت بردن از آن را بياموزيد

اديسون : يك درصد از موفقيت من مديون نبوغ و نود و نه درصد آن مديون سخت كوشي است