تبليغاتX

JavaScript Codes ریاضی زیباست = زندگی زیباست

دوشنبه 13 خرداد1387

ابوریحان بیرونی

ا بوریحان محمد بن احمد بیرونی

تولد : 12 ذالحجهُ 362 هجری كاث ، خوارزم ( شهر كارا ـ كلپاكسكایا كنونی وا قع در ا زبكستان )

وفا ت : 4 رجب 440 هجری غزنه ( غزنه كنونی در ا فغا نستان )

ابو ریحان بیرونی در خوارزم ،منطقه ای كه در مجاورت دریا ی آرال قرار دارد و امروزه همه آن را به نام كارا كلپاكسكایا می شناسند ، به دنیا آمد . كاث و جورجانیه دو شهر بزرگ این منطقه به شمار می رفتند . بیرونی در نزدیكی كاث به دنیا آمد و نام شهری كه در آن متولد شد را به افتخار او ، بیرونی نام نهادند .او در هر دو شهر كاث و جورجانیه زندگی كرد و پرورش یافت ومطالعه و تحصیل علم را درحالی كه خیلی جوان بود تحت نظر ریاضی دان و ستاره شناس مشهوری به نام ابو نصر منصور آغاز نمود .بی تردید بیرونی از سن 17 سالگی به انجام فعالیتهای علمی مهم و ویژه ای پرداخت .وی در سال 379 با مشاهده بیشترین ارتفاع خورشید ،عرض جغرافیایی شهر كاث را محاسبه كرد .

فعالیتهای دیگری كه بیرونی به عنوان یك مرد جوان و كم تجربه انجام داد ،بیشتر نظری بود .قبل از سال 384 ( وقتی كه22ساله بود) چندین اثركوتاه ازخود برجای گذاشت .یكی ازآثارموجوداوتحت عنوان" نقشه كشی"( Cartography ) اثری است كه در آن به بررسی نقشه های جغرافیایی پرداخته است .در این اثر , او علاوه بر این كه نقشه نیم كره را روی صفحه سطح ترسیم كرده است ،نشان داده كه تا سن 22 سالگی بسیار مطالعه داشته ,چرا كه او مجموعه كاملی از نقشه هایی كه دیگران رسم كرده اند را مورد مطالعه و بررسی قرار داده و موارد مربوط به آنها را دراین رساله مورد بحث قرار داده است . زندگی نسبتا ْ آرام بیرونی تا این مرحله ، پایان غیرمنتظره ای به همراه داشت .

در اواخر قرن چهاردهم و اوایل قرن پنجم در عالم اسلام شورش عظیمی بر پا شد و در منطقه ای كه بیرونی در آن زندگی می كرد ،جنگ های داخلی در حال وقوع بود .در این زمان خوارزم بخشی از فرمانروایی سامانیان و بخارا مركز آن به شمار می رفت .حكومت زیار با پایتختش در گرگان در كنار دریای خزر از دیگر حكومت های این منطقه بود .از طرف غرب ،خاندان آل بویه بر سراسر ناحیه بین دریای خزر و خلیج فارس و همچنین بین ا لنهرین حكومت می كرد .سلسله پادشاهی دیگری كه به سرعت طلوع كرد ، سلسله غزنویان بود كه پایتختشان را شهر غزنه در افغانستان اختیار كردند .این حكومت نقش مهمی را در زندگی بیرونی ایفا كرد .

بنو عراق از جمله فرمانروایان منطقه خوارزم بود و ابو نصر منصور ـ استاد بیرونی ـ یكی از امیران آن خاندان به شمار می رفت . در سال 384 حكومت بنو عراق با یك قیام سرنگون شد . بیرونی به هنگام شروع جنگ داخلی از آن منطقه گریخت اما اینكه برای ستاد بیرونی ـ ابو نصر منصور ـ چه اتفاقی افتاد ، معلوم نیست . بعد ها ، بیرونی در مورد این وقایع نوشت :

بعد از اینكه چند سال در آن منطقه به سختی زندگی كردم ،با اجازه حاكم وقت به زادگاه خودبازگشتم اما مرا وادار به انجام امور مادی و دنیوی كردند كه موجب حسادت ورزیدن ابلهان گردید اما خردمندان از این امر متاسف شدند .

دقیقا معلوم نیست كه بیرونی به هنگام گریختن از خوارزم به كجا رفت . او باید به شهر ری رفته باشد و بدون تردید مدتی را در شهر ری زندگی كرده است . بر اساس نوشته هایش ،او هیچ پشتیبانی نداشت و با فقر و تنگدستی در شهر ری زندگی می كرد . خجندی ستاره شناسی بود كه با دستگاه بسیار بزرگی كار می كرد او خودش این دستگاه را ساخته و آن را روی كوهی بالا تر از شهر ری قرار داده بود تا بدینوسیله عبور نصف النهاری خورشید را نزدیك انقلابین مشاهده كند . او در روزهای4 و 5 جمادی الاول سال 384 انقلاب تابستانی را مشاهده كرد و در روزهای 8 و 9 ذیقعده سال 384 شاهد انقلاب زمستانی بود و بدین ترتیب او توانست مایل بودن دایرهْ البروج و همچنین عرض جغرافیایی شهر ری را محاسبه كند اما هیچ یك از این دو محاسبه دقیق نبود .

خجندی در مورد مشاهداتش و همچنین دستگاه ذات السُدس ( sextantدستگاه سنجش ارتفاع خورشید و ستارگان ) با بیرونی به بحث و بررسی می پرداخته . پس از آن بیرونی در مورد مشاهدات خجندی در كتاب " تحدید النهایات الاماكن " Tahdid)) خود گزارشی نوشت و ادعا كرد كه در طول مشاهدات خجندی ، دیافراگم دستگاه ذات السُدس بدلیل وزن دستگاه 9 اینچ تنظیم شده است . بیرونی تقریبا علت خطاهای خجندی را دقیق و درست تشخیص می داد . از آنجایی كه خجندی در سال 389 از دنیا رفت می توان به این نتیجه رسید كه بیرونی سالهای بین 384 تا 386 را در شهر ری سپری كرده است .او همچنین باید مدتی از این زمان را در گیلان كه دریای خزر آن را از شمال احاطه كرده است ، زندگی كرده باشد چرا كه حدودا در همین زمان كتابی را به حاكم گیلان , ابن رستم تقدیم كرده . ابن رستم با حكومت زیار در ارتباط بود .

تاریخهای معینی را در زندگی بیرونی با اطمینان می دانیم چرا كه او در آثارش وقایع نجومی را شرح داده است و بدین ترتیب این امكان را به ما می دهد تا زمانها و مكانهای دقیق را تعیین كنیم .شرح و توصیف او از ماه گرفتگی روز 13 جمادی الاول سال 387 كه او در كاث شاهد آن بوده است نشان می دهد كه او تا آن زمان به كشور خود باز گشته بوده است . این ماه گرفتگی در بغداد نیز قابل رویت بود و بیرونی ترتیبی داد كه به همراه ابووفا بوزجانی در بغداد شاهد این رویداد گردند . مقایسه زمانها آنها را قادر كرد تا تفاوت طول جغرافیایی بین دو شهر را محاسبه كنند . بر این امر نیز واقفیم كه در طول این مدت بیرونی بسیار زیاد نقل مكان می كرده است چرا كه تا سال 389 او در گرگان بوده و قابوس ـ حاكم حكومت زیار ـ از او حمایت می كرد . او تقریبا در سال 389 كتاب " آثارالباقیهِ "(Chronology) خود را به قابوس تقدیم كرد و در روزهای 13 ربیع الثانی سال 393 و همچنین 12 شوال سال 393 به هنگام ماه گرفتگی در گرگان بوده . شایان ذكر است كه بیرونی در كتاب " آثارالباقیهِ " خود به هفت اثر قبلی اش اشاره كرده است : یك كتاب در مورد دستگاه اعشاری ،كتابی در مورد اسطرلاب ،یك كتاب در مورد مشاهدات نجومی ،سه كتاب در مورد اخترگویی و نهایتا دو كتاب در مورد تاریخ .

تا 12 شعبان سال 394 بیرونی به وطن خود باز گشته , چرا كه در آن روز شاهد ماه گرفتگی دیگری در جورجانیه بوده .علی بن مامون فرمانروای خوارزم به شمار می رفت و تا زمانی بر این مقام بود كه برادرش ابوعباس مامون به عنوان حاكم ،جانشین وی شد .این دو برادر با دو خواهر محمود كه فرمانروای حكومت قدرتمند غزنه بود ، ازدواج كردند . بدین ترتیب ،عاقبت سلسله پادشاهی ابو عباس مامون تحت كنترل فرمانروایان حكومت غزنه قرار گرفت .

علی بن مامون و ابو عباس مامون هر دو حامی علم بودند و از تعدادی از دانشمندان عالی رتبه و نخبه در دستگاه حكومتی خود حمایت می كردند . ابو عباس مامون تا سال 394 فرمانروایی می كرد و از آثار علمی بیرونی بسیار حمایت می نمود . نه تنها بیرونی ،بلكه ابو نصر منصور ـ استاد سابق بیرونی ـ نیز در این دستگاه حكومتی كار می كرد . بدین ترتیب به هر دو این امكان داده شد تا دوباره با یكدیگر همكاری كنند . بیرونی توانست با حمایت ابو عباس مامون در جورجانیه دستگاهی بسازد كه بوسیله آن عبور نصف النهاری خورشیدی را مشاهده كند . او از 28 ذالحجه سال 406 تا 4 رجب سال 407 با این دستگاه 15 مشاهده به انجام رساند .

جنگهای آن منطقه در فعالیتهای علمی بیرونی و ابو نصر منصور وقفه ایجاد كرد و باعث شد عاقبت آن دو خوارزم را تقریبا در سال 407 ترك كنند . محمود نفوذ خود را درغزنه بیشتر می كرد و در سال 404 از ابو عباس مامون خواست تا خطبه نماز جمعه را به نام او بخوانند .این خواسته او نشان می داد كه خواستار پایان بخشیدن به حكومت مامون است و تلاش می كرد تا كنترل آن منطقه را بدست آورد . بعد از اینكه مامون تقریبا با درخواست محمود موافقت كرد ، توسط سپاه خود به قتل رسید چرا كه آنها این عمل او را خیانت تلقی كردند . پس از آن ، محمود سپاه خود را به آن منطقه برد و در روز 5 صفر سال 408كنترل كاث را بدست گرفت . به این ترتیب ، بیرونی و ابو نصر منصور به عنوان اسیرهای محمود فاتح وظایف را به وی واگذار كردند .

نوشته های بیرونی مدركی است كه نشان می دهد او یك دوره غیر عادی و عجیبی را در زندگی پشت سر گذاشته و درد و رنج زیادی را متحمل شده است . اما ظاهراً محمود نیز بخاطر برخی از فعالیتهای علمی اش از او حمایت كرده است . گزارشات مربوط به ظلم كردن محمود به بیرونی علی رغم حمایتی كه بیرونی از طرف وی دریافت می كرد ، مستند می باشد . از شرح و توصیف وقایع نجومی كه بیرونی به ثبت رسانده است می توان برخی از زمانها و مكانها را در این دوره تعیین كرد . در روز 30 جمادی الاول سال 409 او در كابل بوده و علی رغم نداشتن هیچ ابزاری برای مشاهداتش ، قادر بود باز هم مشاهداتی به انجام برساند به این ترتیب كه او با ابزاری كه در اختیار داشت ، خلاقیت به خرج داد و دستگاهی ساخت كه به وسیله آن بتواند مشاهدات خود را دنبال نماید . در روز 29 ذیقعده سال 409 او در لامقان كه در شمال كابل واقع شده است ، شاهد یك خورشید گرفتگی بود . وی اینگونه نوشته است :

به هنگام طلوع خورشید دیدیم كه تقریبا بر یك سوم خورشید سایه انداخته شد تا اینكه خورشیدگرفتگی كامل شد .

در طول سالهای 408 تا 410 در حالی كه بیرونی تحت حمایت محمود به سر می برد ،در شهر غزنه مشاهداتی به انجام رسانید و بدین ترتیب توانست به طور دقیق عرض جغرافیایی آنجا را تعیین كند . در روز 14 جمادی الاول سال 410 بیرونی در شهر غزنه شاهد یك ماه گرفتگی بود .

ارتباط مابین بیرونی و محمود نیز جالب است . احتمالا بیرونی بنا به ضرورت در دست محمود اسیر به شمار می رفت و برای ترك آن منطقه نیز اختیاری از خود نداشت . با این وجود ،رفتن نظامیان محمود به هند نشان می دهد كه بیرونی را به آن كشور بردند . شواهد كمی وجود دارد كه نشان می دهد بیرونی در هند بهره بیشتری می برده است . بیرونی آرزو می كرد محمود رفتار بهتری با او داشته باشد اما بدون شك فعالیتهای علمی بیرونی مفید واقع می شد . حدودا از سال 412 سپاه محمود موفق شد كنترل بخشهای شمالی كشور هند را بدست آورد و در سال 416 سپاه او به اقیانوس هند راه پیدا كرد . بیرونی ظاهرا در بخشهای شمالی هند به سر برده است . تعداد بازدیدهای او معلوم نیست اما مشاهداتش او را قادر ساخت تا عرض جغرافیایی یازده شهر در اطراف پنجاب و شهرهای هم مرز با كشمیر را تعیین كند . او معروف ترین اثرش را تحت عنوان " ماللهند "(India) زمانی ارایه داد كه در ان كشور به سر می برد . او این كتاب را در نتیجه مطالعات كامل خود نوشت .

" ماللهند " (India) كتاب حجیم و برجسته ای است كه بسیاری از ابعاد مختلف این كشور را در بر می گیرد . بیرونی در این كتاب به شرح و توصیف دین و فلسفه هند ، نظام طبقاتی ( طبقه اجتماعی موروثی در هند ) و آداب و رسوم ازدواج در هند پرداخته است . او همچنین قبل از اینكه وضعیت جغرافیایی این كشور را مورد بررسی قرار دهد ، دستگاههای نگارش و اعداد هندی ها را مطالعه كرد . علاوه بر این ، بیرونی در این كتاب به ستاره شناسی ، اخترگویی و سالنامه هندی ها اشاره كرده و مواردی را پیرامون این سه موضوع مورد بررسی و تحقیق قرار داده است .

بیرونی ادبیات هند را به زبان اصلی مطالعه نمود و چندین متن را از زبان سنسكریت به زبان عربی ترجمه كرد . او همچنین چندین رساله در مورد ابعاد ویژه ستاره شناسی و ریاضیات هند نوشت كه برای خودش اهمیت خاصی داشت . او فوق العاده اهل مطالعه بود و در موضوعات : اختر گویی ،ستاره شناسی ،تاریخ شناسی ،جغرافیا ،دستور زبان ،ریاضیات ،پزشكی ،فلسفه ،دین و مذهب ،اوزان و مقیاسات ,از ادبیات سنسكریت احاطه داشت .

محمود در سال 420 از دنیا رفت و مسعود ـ پسر بزرگش ـ جانشین او شد . اما این جانشینی زمانی صورت گرفت كه قبل از آن وضعیت سیاسی حادی به وجود آمده بود كه دو پسر محمود سعی می كردند تا از پدرشان به عنوان فرمانروا تبعیت كنند . ظاهرا بیرونی مطمئن نبود چه كسی جانشین خواهد شد چرا كه او تصمیم گرفته بود كتاب خود را تحت عنوان " ماللهند " (India)كه در آن زمان به چاپ رسید ، به كسی تقدیم كند . بهتر بود كتاب را به كسی تقدیم نكند تا اینكه شخصی را به اشتباه بر گزیند . مسعود نشان داد كه به عنوان فرمانروا بیش از پدرش نسبت به بیرونی لطف دارد و با مهربانی با او رفتار می كند . گر چه بیرونی در زمان فرمانروایی محمود یك اسیر واقعی به شمار می رفت ، ظاهرا برای رفتن به هر جایی كه می خواست ، كاملا آزاد بود .

تعداد كلی آثار بیرونی در طول زندگی اش تحسین برانگیز است . كندی نوشته است : بیرونی حدودا 146 اثر از خود بر جای گذاشته است كه هر كدام مجموعا شامل 13000 صفحه می باشد (هر صفحه همانند صفحات چاپی كتابهای جدید است) . برخی از اثار بیرونی را قبلا ذكر كردیم اما آثار وی در حقیقت تمام علم زمانه اش را در بر می گیرد . كندی نوشته است :

بیرونی به مطالعه پدیده های قابل مشاهده در طبیعت و همچنین در وجود انسان گرایش بسیاری داشت . در بین علوم مختلف ، علاقمند به آنالیز ریاضی بود و در این زمینه استعداد زیادی داشت .

پیشتر به مشاهدات نجومی بیرونی بسیار اشاره كردیم . بیرونی در مقایسه با بطلمیوس در مورد خطاها نظر مساعدتری داشت . نویسنده می نویسد : بطلمیوس بر این عقیده بود كه از میان مشاهداتش ،معتبرترین را بر گزیند ( یعنی مشاهداتی را انتخاب كند كه با نظریاتش هماهنگ است ) و به خوانندگان آثارش در مورد كنار گذاشتن و نادیده گرفتن آندسته از مشاهداتش كه انتخاب نشدند ، چیزی نگوید . از طرف دیگر ، بیرونی خطاهای مشاهداتش را از نظر علمی بیشتر مورد بررسی قرار می داد وهنگامیكه برخی از آنها را به عنوان مشاهداتی كه دقیق تر بودند ،انتخاب می كرد ،دیگر مشاهداتی را كه دارای خطا بودند و كنار گذاشته می شدند را نیز ارایه می داد .او همچنین نسبت به خطاهای محاسباتش حساسیت نشان می داد و همیشه سعی می كرد تا كمیتهایی را مشاهده كند كه برای رسیدن به جواب به كمترین دستكاری نیاز دارد .

" سایه ها "(Shadows) یكی از مهمترین آثار بیرونی است كه حدودا در سال 411 نوشته شده است . روزنفلد به طور مفصل در مورد این اثر بیرونی نوشته است. محتوای این اثر بیرونی شامل موارد زیر است : اصطلاحات عربی سایه ها و تصویرها ، پدیده های جدید و غیر عادی از جمله تصویرها ، gnomonics ،تاریخچه تانژانت و تابع های متقاطع .

این كتاب به شرح مقاله هایی كه بیرونی در زمینه ریاضیات نوشته است ، می پردازد . این مقاله ها شامل موارد زیر می باشد : حساب نظری و عملی ،برآیند دسته ها ،آنالیز تركیبی ،قانون 3 ،اعداد گنگ ،نظریه خارج قسمت ،تعاریف مفاهیم جبری ،شیوه های حل معادله های جبری و مسایلی كه تنها با خط كش و پرگار حل نمی شدند ،منحنی های مخروطی ،فضاسنجی ،تصویرگنجنگاری ،مثلثات ،قانون سینوس در صفحه ،حل مثلثات كروی.

بیرونی همچنین مقاله هایی در مورد زمین پیمایی و جغرافی ارایه داد . او شیوه های اندازه گیری زمین و فاصله های روی آن را از طریق مثلث بندی معرفی نمود .او شعاع زمین را 6339.6ارزیابی كرد كه این اندازه تا قرن دهم در كشورهای غربی بدست آورده نشده بود .كتاب " قانون مسعودی"(Masudic canon) وی شامل جدولی است كه مختصات ششصد مكان را ارایه می دهد واودرمورد همه این مكانها دانش كافی داشت . البته بیرونی همه آنها را خودش اندازه گیری نكرده است . برخی از آنها را از جدول مشابهی كه خوارزمی عرضه كرده بود ،گرفته است .نویسنده اظهار می دارد كه بیرونی ظاهرا در مورد ارقامی كه خوارزمی و بطلمیوس ارایه كرده بودند ،به این نتیجه می رسد كه ارقام ارایه شده توسط خوارزمی دقیق تر است .

بیرونی همچنین در مورد هماهنگی زمان رساله ای نوشته است . او چندین رساله نیز در مورد اسطرلاب نوشته و به شرح و توصیف تقویم ماشینی پرداخته است .او مشاهدات جالبی در مورد سرعت نور به انجام رساند و اظهار داشت كه سرعت نور در مقایسه با سرعت صوت بسیار زیادتر است .او از كهكشان راه شیری به عنوان " مجموعه ای از اجزا بیشمار طبیعت ستارگان سحابی " یاد كرد .

هیدرواستاتیك موضوعی در علم فیزیك است كه بیرونی مورد مطالعه قرار داد و از وزنهای ویژه ،اندازه های دقیقی ارایه داد و به شرح نسبتهای بین چگالی طلا ،جیوه ،سرب ،نقره ،برنز ،مس ،برنج ،آهن و قلع پرداخت . او نتایج را به عنوان تركیبی از اعداد به صورت 1/n , n = 2 , 3 , 4 , ... 10 نشان داد .

دانشمندان دیگر بسیاری از نظریات بیرونی را در جلسات بحث و گفتگوهایشان مورد بررسی قرار دادند . ازمدتها پیش ،بیرونی با استادش ـ ابو نصر منصور ـ همكاری داشت ،هر كدام از آنها از دیگری می خواست تا بخش خاصی از كار را به عهده بگیرد تا بدین ترتیب كار خود را به تایید برساند .او به طرز ستیزه جویانه ای با ابو علی سینا در مورد ماهیت نور و گرما مكاتبه می كرد . 18 نامه از ابو علی سینا كه در جواب سوالهایی كه بیرونی مطرح كرده ، موجود می باشد . این نامه ها در بر گیرنده موضوعات زیر است : فلسفه ،ستاره شناسی و فیزیك . بیرونی با سجزی نیز از طریق نامه در ارتباط بود .همچنین نامه های نیز كه بیرونی به سجزی نوشته است موجود می باشد .این نامه ها مداركی را مبنی بر وجود نسخه های مسطح و كروی قانون سینوس در بر دارد .اظهارات بیرونی بر اساس نظریات استادش ـ ابو نصر منصور ـ بوده است .

نهایتا در مورد شخصیت این دانشمند برجسته باید كم سخن گفته شود .در مقایسه با آثار بسیاری از دانشمندان دیگر ،از نوشته ها و كتابهای بیرونی اطلاعات بسیار زیادی بدست آورده می شود . با وجود اینكه كمتر از یك پنجم آثار او باقی مانده است ، به تصویر واضحی از این دانشمند بزرگ دست می یابیم . او مبتكر بزرگ تئوریهای جدید ،ریاضیات و یا جز آن نبود .تنها مشاهده گر دقیقی بود كه پیشرو روش تجربی به شمار می رفت . او زبان شناس بزرگی بود كه رساله های موجود را می خواند و به وضوح شاهد پیشرفت علم به عنوان بخشی از حوادث بود .او همیشه مراقب بود این حوادث را در جای مناسب خود قرار دهد . مورخین علم به آثار و نوشته های او علاقه وافری داشتند .

علی رغم فعالیتهای زیادی كه در زمینه اختر گویی انجام داد ، ظاهرا اختر گویی را به عنوان علم قبول نداشته است اما از آن به عنوان وسیله ای برای تایید آثار علمی اش استفاده می كرده است . او نسبت به فرقه های مذهبی مختلف یا نژادهای متفاوت تعصب خاصی نشان نمی داد اما همیشه در برابر اعمال مختلفی كه آنها انجام می دادند ، حرفی برای گفتن داشت . به عنوان مثال ،عربهایی كه موفق به فتح خوارزم شدند ، متون قدیمی را از بین بردند چه گناهی می تواند برای دانشمندی همچون بیرونی كه زندگی را وقف علم و دانش و تاریخ می كند ، بدتر از آن باشد ـ بیرونی در دین مسیح مسئله عفو و بخشش را مورد توجه قرار داده است . او در كتاب " ماللهند "(India) نوشته است :

قسم می خورم كه زندگی ام یك فلسفه مهم است اما همه مردمی كه در این دنیا زندگی می كنند ، فیلسوف نیستند . . . و در حقیقت از وقتیكه كنستانتین فاتح ـ امپراطور روم ـ به دین مسیح روی آورد ،شمشیر و شلاق را به كار گرفتند .

بیرونی به آنهایی كه فكر می كرد احمق هستند ، كنایه ای زد . این كنایه مبنی بر جوابی بود كه او به مردی مذهبی داد كه به وسیله ای كه او ساخته بود ،ایراد گرفته بود . بر روی این وسیله ماههای بیزانسی حكاكی شده بود و زمان عبادت را نشان می داد . پاسخی كه بیرونی به آن مرد داد ، در كتاب " سایه ها "(Shadows) اینگونه آورده شده است :

بیزانسی ها نیز غذا می خورند . پس شما غذا خوردن آنها را تقلید نكنید .

http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Al-Biruni.

نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 1:9 بعد از ظهر |  لینک ثابت   • 

دوشنبه 13 خرداد1387

محمد ابن موسی خوارزمی

محمد ابن موسی خوارزمی

ابوجعفر محمد بن موسی خوارزمی از دانشمندان بزرگ ریاضی و نجوم می‌‌باشد از زندگی خوارزمی چندان ا طلاع قابل اعتمادی در دست نیست الا اینکه وی در حدود سال 780 میلادی در منطقه خوارزم آسیای میانه زاده شد شهرت علمی وی مربوط به کارهایی است که در ریاضیات مخصوصاٌ‌ در رشته جبر انجام داده به طوری که هیچیک از ریاضیدانان قرون وسطی مانند وی در فکر ریاضی تاثیر نداشته‌اند اجداد خوارزمی احتمالاٌ اهل خوارزم بودند ولی خودش احتمالاٌ از قطر بولی ناحیه‌ای نزدیک بغداد بود. به هنگام خلافت ماموی عضو دارالحکمه که مجمعی از دانشمندان در بغداد به سرپرستی مامون بود، گردید خوارزمی کارهای دیونانتوس را در رشته جبر دنبال کرد و به بسط آن پرداخت خود نیز کتابی در این رشته نوشت.

الجبر و المقابله که به مامون تقدیم شده کتابی است در باره ریاضیات مقدماتی و شاید نخستین کتاب جبری باشد که به عربی نوشته شده است دانش پژوهان بر سر این که چه مقدار از محتوای کتاب از منابع یونانی و هندی و عبری گرفته شده است اختلاف نظر دارند معمولاٌ در حل معادلات دو عمل معمول است خوارزمی این دو را تنقیح و تدوین کرد و از این راه به واردساختن جبر به مرحله علمی کمک شایانی انجام داد اثر ریاضی دیگری که چندی پس از جبر نوشته شد رساله‌ای است مقدماتی در حساب که ارقام هندی(یا به غلط ارقام عربی) در آن به کار رفته بود و نخستین کتابی بود که نظام ارزش مکانی را(که آن نیز از هند بود) به نحوی اصولی و منظم شرح می‌‌داد اثر دیگری که به مامون تقدیم شد زیج السند هند بود مه نخستین اثر اختر‌شناسی عربی است که به صورت کامل بر جای مانده و شکل جداول آن از جداول بطلمیوس تاثیر پذیرفته است. کتاب صورت الارض که اثری است در زمینه جغرافیا اندک زمانی بعد از سال 195 – 196 نوشته شده است و تقریباٌ فهرست طولها و عرضهای همه شهرهای بزرگ و اماکن را شامل می‌‌شود این اثر که احتمالاٌ‌ مبتنی بر نقشه جهان نمای مامون است(که شاید خود خوارزمی هم در تهیه آن کار کرده بوده باشد)، به نوبه خود مبتنی بر جغرافیای بطلمیوسی بود این کتاب از بهضی جهات دقیق تر از اثر بطلمیوس بود خاصه در قلمرو اسلام. تنها اثر دیگری که بر جای مانده است رساله کوتاهی است در باره تقویم یهود. خوارزمی دو کتاب نیز در باره اسطرلاب نوشت آثار علمی خوارزمی از حیث تعداد کم ولی از نفوذ بی بدیل برخوردارند زیرا که مدخلی بر علوم یونانی و هندی فراهم آورده‌اند بخشی از جبر دوبار در قرن ششم / دوازدهم به لاتینی ترجمه شد و نفوذی عمده بر جبر قرون وسطایی داشت رساله خوارزمی در باره ارقام هندی پس از آنکه در قرن دوازدهم به لاتینی ترجمه و منتشر شد بزرگترین تاثیر را بخشید نام خوارزمی مترادف شد با هر کتابی که در باره حساب جدید نوشته می‌‌شد(و از اینجا است اصطلاح جدید))الگوریتم)) به معنی قاعده محاسبه کتاب جبر و مقابله خوارزمی که به عنوان الجبرا به لاتینی ترجمه گردید باعث شد که همین کلمه در زبانهای اروپایی به معنای جبر به کار رود نام خوارزمی هم در ترجمه به جای الخوارزمی به صورت الگوریتمی تصنیف گردید و الفاظ آلگوریسم و نظایر آنها در زبانهای اروپایی که به معنی فن محاسبه ارقام یا علامات دیگر است مشتق از آن می‌‌باشد.

ارقام هندی که به غلط ارقام عربی نامیده می‌‌شود از طریق آثار فیبوناتچی به اروپا وارد گردید همین ارقام انقلابی در ریاپیات به وجود آورد و هر گونه اعمال محاسباتی را مقدور ساخت باری کتاب جبر خوارزمی قرنها در اروپا ماخذ و مرجع دانشمندان و محققین بوده و یوهانس هیسپالنسیس و گراردوس کرموننسیس و رابرت چستری در قرن دوازدهم هر یک از آن را به زبان لاتینی ترجمه کردند نفوذ کتاب زیج السند چندان زیاد نبود اما نخستین اثر از این گونه بود که به صورت ترجمه لاتینی به همت آدلاردباثی در قرن دوازدهم به غرب رسید جداول طلیطلی (تولدویی) یکجا قرار گرفتند و به توسط ژرار کرمونایی در اواخر قرن یازدهم به لاتینی ترجمه شدند، از مقبولیت گستره تری در غرب برخوردار شدند و دست کم یکصد سال بسیار متداول بودند از کارهای دیگر خوارزمی تهیه اطلسی از نقشه آسمان و زمین و همچنین اصلاح نقشه‌های جغرافیایی بطلمیوس بود جغرافیای وی تا اواخر قرن نوزدهم در اروپا ناشناخته ماند، دیگر از کتب مهم خوارزمی کتاب مفاتیح‌العلوم است که کتاب مهم و ارزنده‌ای است خوارزمی در حدود سال 848 میلادی مطابق با 232 هجری قمری در گذشت.

 

نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 1:4 بعد از ظهر |  لینک ثابت   • 

دوشنبه 13 خرداد1387

عمر خیام

خیام

 

غیاث الدین ابوالفتح، عمر بن ابراهیم خیام (خیامی) در سال 439 هجری (1048 میلادی) در شهر نیشابور و در زمانی به دنیا آمد که ترکان سلجوقی بر خراسان، ناحیه ای وسیع در شرق ایران، تسلط داشتند. وی در زادگاه خویش به آموختن علم پرداخت و نزد عالمان و استادان برجسته آن شهر از جمله امام موفق نیشابوری علوم زمانه خویش را فراگرفت و چنانکه گفته اند بسیار جوان بود که در فلسفه و ریاضیات تبحر یافت. خیام در سال 461 هجری به قصد سمرقند، نیشابور را ترک کرد و در آنجا تحت حمایت ابوطاهر عبدالرحمن بن احمد , قاضی القضات سمرقند اثربرجسته خودرادر جبرتألیف کرد.

خیام سپس به اصفهان رفت و مدت 18 سال در آنجا اقامت گزید و با حمایت ملک شاه سلجوقی و وزیرش نظام الملک، به همراه جمعی از دانشمندان و ریاضیدانان معروف زمانه خود، در رصد خانه ای که به دستور ملکشاه تأسیس شده بود، به انجام تحقیقات نجومی پرداخت. حاصل این تحقیقات اصلاح تقویم رایج در آن زمان و تنظیم تقویم جلالی (لقب سلطان ملکشاه سلجوقی) بود.

در تقویم جلالی، سال شمسی تقریباً برابر با 365 روز و 5 ساعت و 48 دقیقه و 45 ثانیه است. سال دوازده ماه دارد 6 ماه نخست هر ماه 31 روز و 5 ماه بعد هر ماه 30 روز و ماه آخر 29 روز است هر چهارسال، یکسال را کبیسه می خوانند که ماه آخر آن 30 روز است و آن سال 366 روز است هر چهار سال، یکسال را کبیسه می خوانند که ماه آخر آن 30 روز است و آن سال 366 روز می شود در تقویم جلالی هر پنج هزار سال یک روز اختلاف زمان وجود دارد در صورتیکه در تقویم گریگوری هر ده هزار سال سه روز اشتباه دارد.
بعد از کشته شدن نظام الملک و سپس ملکشاه، در میان فرزندان ملکشاه بر سر تصاحب سلطنت اختلاف افتاد.

 به دلیل آشوب ها و درگیری های ناشی از این امر، مسائل علمی و فرهنگی که قبلا از اهمیت خاصی برخوردار بود به فراموشی سپرده شد. عدم توجه به امور علمی و دانشمندان و رصدخانه، خیام را بر آن داشت که اصفهان را به قصد خراسان ترک کند. وی باقی عمر خویش را در شهرهای مهم خراسان به ویژه نیشابور و مرو که پایتخت فرمانروائی سنجر (پسر سوم ملکشاه) بود، گذراند. در آن زمان مرو یکی از مراکز مهم علمی و فرهنگی دنیا به شمار می رفت و دانشمندان زیادی در آن حضور داشتند. بیشتر کارهای علمی خیام پس از مراجعت از اصفهان در این شهر جامه عمل به خود گرفت.

دستاوردهای علمی خیام برای جامعه بشری متعدد و بسیار درخور توجه بوده است. وی برای نخستین بار در تاریخ ریاضی به نحو تحسین برانگیزی معادله های درجه اول تا سوم را دسته بندی کرد، و سپس با استفاده از ترسیمات هندسی مبتنی بر مقاطع مخروطی توانست برای تمامی آنها راه حلی کلی ارائه کند.

وی برای معادله های درجه دوم هم از راه حلی هندسی و هم از راه حل عددی استفاده کرد، اما برای معادلات درجه سوم تنها ترسیمات هندسی را به کار برد؛ و بدین ترتیب توانست برای اغلب آنها راه حلی بیابد و در مواردی امکان وجود دو جواب را بررسی کند. اشکال کار در این بود که به دلیل تعریف نشدن اعداد منفی در آن زمان، خیام به جوابهای منفی معادله توجه نمی کرد و به سادگی از کنار امکان وجود سه جواب برای معادله درجه سوم رد می شد. با این همه تقریبا چهار قرن قبل از دکارت توانست به یکی از مهمترین دستاوردهای بشری در تاریخ جبر بلکه علوم دست یابد و راه حلی را که دکارت بعدها (به صورت کاملتر) بیان کرد، پیش نهد.

خیام همچنین توانست با موفقیت تعریف عدد را به عنوان کمیتی پیوسته به دست دهد و در واقع برای نخستین بار عدد مثبت حقیقی را تعریف کند و سرانجام به این حکم برسد که هیچ کمیتی، مرکب از جزء های تقسیم ناپذیر نیست و از نظر ریاضی، می توان هر مقداری را به بی نهایت بخش تقسیم کرد. همچنین خیام ضمن جستجوی راهی برای اثبات "اصل توازی" (اصل پنجم مقاله اول اصول اقلیدس) در کتاب شرح ما اشکل من مصادرات کتاب اقلیدس (شرح اصول مشکل آفرین کتاب اقلیدس)، مبتکر مفهوم عمیقی در هندسه شد. در تلاش برای اثبات این اصل، خیام گزاره هایی را بیان کرد که کاملا مطابق گزاره هایی بود که چند قرن بعد توسط والیس و ساکری ریاضیدانان اروپایی بیان شد و راه را برای ظهور هندسه های نااقلیدسی در قرن نوزدهم هموار کرد. بسیاری را عقیده بر این است که مثلث حسابی پاسکال را باید مثلث حسابی خیام نامید و برخی پا را از این هم فراتر گذاشتند و معتقدند، دو جمله ای نیوتن را باید دو جمله ای خیام نامید. البته گفته می شودبیشتر از این دستور نیوتن و قانون تشکیل ضریب بسط دو جمله ای را چه جمشید کاشانی و چه نصیرالدین توسی ضمن بررسی قانون های مربوط به ریشه گرفتن از عددها آورده اند.

استعداد شگرف خیام سبب شد که وی در زمینه های دیگری از دانش بشری نیز دستاوردهایی داشته باشد. از وی رساله های کوتاهی در زمینه هایی چون مکانیک، هیدرواستاتیک، هواشناسی، نظریه موسیقی و غیره نیز بر جای مانده است. اخیراً نیز تحقیقاتی در مورد فعالیت خیام در زمینه هندسه تزئینی انجام شده است که ارتباط او را با ساخت گنبد شمالی مسجد جامع اصفهان تأئید می کند.

تاریخ نگاران و دانشمندان هم عصر خیام و کسانی که پس از او آمدند جملگی بر استادی وی در فلسفه اذعان داشته اند، تا آنجا که گاه وی را حکیم دوران و ابن سینای زمان شمرده اند. آثار فلسفی موجود خیام به چند رساله کوتاه اما عمیق و پربار محدود می شود. آخرین رساله فلسفی خیام مبین گرایش های عرفانی اوست.

اما گذشته از همه اینها، بیشترین شهرت خیام در طی دو قرن اخیر در جهان به دلیل رباعیات اوست که نخستین بار توسط فیتزجرالد به انگلیسی ترجمه و در دسترس جهانیان قرار گرفت و نام او را در ردیف چهار شاعر بزرگ جهان یعنی هومر، شکسپیر، دانته و گوته قرار داد. رباعیات خیام به دلیل ترجمه بسیار آزاد (و گاه اشتباه) از شعر او موجب سوء تعبیرهای بعضاً غیر قابل قبولی از شخصیت وی شده است. این رباعیات بحث و اختلاف نظر میان تحلیلگران اندیشه خیام را شدت بخشیده است. برخی برای بیان اندیشه او تنها به ظاهر رباعیات او بسنده می کنند، در حالی که برخی دیگر بر این اعتقادند که اندیشه های واقعی خیام عمیق تر از آن است که صرفا با تفسیر ظاهری شعر او قابل بیان باشد. خیام پس از عمری پربار سرانجام در سال 517 هجری (طبق گفته اغلب منابع) در موطن خویش نیشابور درگذشت و با مرگ او یکی از درخشان ترین صفحات تاریخ اندیشه در ایران بسته شد.

آثار

خیام آثار علمی و ادبی بسیار تالیف نمود که معروفترین آنها هفده رساله و کتاب است بشرح زیر:

·                     ۱- رساله فی براهین‌الجبر و المقابله به زبان عربی، در جبر و مقابله که فوق العاده معروف است و بوسیله دکتر غلامحسین مصاحب در تهران به چاپ رسیده است.

·                     ۲- رساله کون و تکلیف به عربی درباره حکمت خالق در خلق عالم و حکمت تکلیف که خیام آن را در پاسخ پرسش امام ابونصر محمدبن ابراهیم نسوی در سال ۴۷۳ نوشته است و او یکی از شاگردان پورسینا بوده و در مجموعه جامع البدایع باهتمام سید محی الدین صبری بسال ۱۲۳۰ و کتاب خیام در هند به اهتمام سلیمان ندوی سال ۱۹۳۳ میلادی چاپ شده است.

·                     ۳- رساله‌ای در شرح مشکلات کتاب مصادرات اقلیدس و این رساله در سال ۱۳۱۴ به اهتمام دکتر تقی ارانی به چاپ رسید که از لحاظ ریاضی بسیار مهم است.

·                     ۴- رساله روضة‌القلوب در کلیات وجود.

·                     ۵- رساله ضیاء العلی.

·                     ۶- رساله میزان‌الحکمه.

·                     ۷- رساله‌ای در صورت و تضاد.

·                     ۸- ترجمه خطبه ابن سینا.

·                     ۹- رساله‌ای در صحت طرق هندسی برای استخراج جذر و کعب.

·                     ۱۰- رساله مشکلات ایجاب.

·                     ۱۱- رساله‌ای در طبیعیات.

·                     ۱۲- رساله‌ای در بیان زیگ ملکشهاهی.

·                     ۱۳- رساله نظام الملک در بیان حکومت.

·                     ۱۴- رساله لوازم‌الاکمنه.

·                     ۱۵- اشعار عربی خیام که در حدود ۱۹ رباعی آن بدست آمده است.

·                     ۱۶- نوروزنامه.

·                     ۱۷- رباعیات فارسی خیام که در حدود ۲۰۰ چارینه (رباعی) یا بیشتر از حکیم عمر خیام است و زائد بر آن مربوط به خیام نبوده بلکه به خیام نسبت داده شده.

·                     ۱۸- عیون الحکمه.

·                     ۱۹- رساله معراجیه.

·                     ۲۰- رساله در علم کلیات.

·                     ۲۱- رساله در تحقیق معنی وجود.

مثلث خیام ، پاسکال

بسیاری عقیده دارند که مثلث حسابی پاسکال را باید مثلث حسابی خیام نامید و برخی پا را از این هم فراتر گذاشته اند و معتقد اند که دو جمله ای نیوتون را باید دوجمله ای خیام نامید . اندکی در این باره دقت کنیم.

همه کسانی که با جبر مقدماتی آشنایی دارند ،"دستور نیوتن" را درباره بسط دوجمله ای میشناسند. این دستور برای چند حالت خاص (وقتی n عددی درست و مثبت باشد) چنین است:

(a+b)0 = 1 (1)
(a+b)1 = a+b (1,1)
(a+b)2 = a2+2ab+b2 (1,2,1)
(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3 (1,3,3,1)
(a+b)4 = a4+4a3b2+6a2b2+4a2b3+b4 (1,4,6,4,1)
. . .

اعداد داخل پرانتزها، معرف ضریبهای عددی جمله ها در بسط دوجمله ای است.

بلیز پاسکال (Blaise Pascal) فیلسوف و ریاضی دان فرانسوی که کم وبیش با نیوتون همزمان بود، برای تنظیم ضریبهای بسط دوجمله ای، مثلثی درست کرد که امروز به "مثلث حسابی پاسکال" مشهور است. طرح این مثلث برای نخستین بار در سال 1665 میلادی در "رساله مربوط به مثلث حسابی "چاپ شد.مثلث ابی چنین است:

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1

دراین مثلث از سطر سوم به بعد هر عددبرابر با مجموع اعداد بالا و سمت چپ آن در سطر قبل است و بنابراین میتوان آنرا تا هر جا که للازم باشدادامه داد. هرسطر این مثلث ضریبهای بسط دوجمله ای را در یکی از حالتها بدست میدهد بطوری که n همان شماره سطر باشد.

ضریبهای بسط دوجمله ای (برای توانهای درست و مثبت) حتا در سده دوم پیش از میلاد البته به صورت کم و بیش مبهم برای دانشمندان هندی روشن بوده است .باوجود این حق این است که دستور بسط دو جمله ای با نام نیوتن همراه باشد زیرا نیوتن آن را برای حالت کلی و وقتی n عددی کسری یا منفی باشد در سال 1676میلادی بکاربرد.که البته در این صورت به یک رشته بی پایان تبدیل میشود.

اما در باره مثلث حسابی وضریبهای بسط دوجمله ای در حالت طبیعی بودن n. از جمله، دستور بسط دو جمله ای را میتوان در "کتاب حساب مخفی" میخائیل شتیفل جبردان آلمانی (که در سال 1524 چاپ شد) پیدا کرد.

در سال 1948 میلادی،پاول لیوکی آلمانی،مورخ ریاضیات،وجود دستور نیوتن را برای توانهای طبیعی ،دز کتاب "مفتاح الحساب"(1427 میلادی) غیاث الدین جمشید کاشانی کشف کرد. بعدها س.آ.احمدوف ،مورخ ریاضیات و اهل تاشکند، دستور نیوتون وقانون تشکیل ضریبهای بسط دوجمله ای را،در یکی از رساله های نصر الدین توسی،ریاضیدان بزرگ سده سیزدهم میلادی ،کشف کرد (این رساله توسی درباره محاسبه بحث میکند). چه جمشید کاشانی وچه نصرالدین توسی ،این قاعده را ضمن بررسی قانون های مربوط به ریشه گرفتن از عددها آورده اند.

همچنین براساس آگاهی هایی که داریم حکیم عمر خیام رساله ای داشته که خود رساله تاکنون پیدا نشده ولی از نام آن "درستی شیوه های هندی در جذر وکعب "اطلاع داریم ،کهدر آن به تعمیم قانونهای هندی درباره ریشه دوم و سوم ،برای هر ریشه دلخواه پرداخته.لذا خیام از "دستور نیوتن" اطلاع داشته.

اما بنا به اسناد تاریخی معتبر قانونهای مربوط بهضریبهای بسط دوجمله ای وطرح مثلث حسابی تا سده دهم میلادی(برابر چهارم هجری) جلو میرود و به کرجی (ابوبکر محمد بن حسن حاسب کرجی ریاضیدان سده ده و یازده میلادی) پایان میپذیرد .بنابراین حتی" مثلث حسابی پاسکال" را هم از نظر تاریخی نمیتوان "مثلث حسابی خیام " نامید.

با تلخیص از کتاب سرگذشت ریاضی نوشته پرویز شهریاری

نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 1:2 بعد از ظهر |  لینک ثابت   • 

دوشنبه 13 خرداد1387

مطالب جالب ریاضی

مطالب جالب ریاضی

کاربر گرامی ،مطالب ذیل توسط معلمان و کارشناسان علوم ریاضی ارسال گردیده، و درج آنها در سایت ،به منزله تایید محتوای مربوطه نمی باشد.

لذا خواهشمند است در صورت تمایل ،نظرات خود را در خصوص مطالب این بخش از طریق پست الکترونیک در اختیار گروه ریاضی قرار دهید تا به اطلاع تهیه کنندگان مطالب رسانده شود.   math-dept@talif.sch.ir

 

 عنوان مطلب: نویسنده یا مترجم:
  یک فعالیت تلفیقی علیرضا تنهایی
- هفت مسأله ریاضی از شیخ بهایی (نقل از کتاب خلاصه الحساب)  سید محمد کاظم نائینی
- توابع بد رفتار  سید محمد کاظم نائینی
معلم موفق کیست؟ بهروز نصیری
- عدد طلایی، تقسیم طلایی و ......  سید محمد کاظم نائینی
- مسائل افسانه ای  ،ادامه  سید محمد کاظم نائینی
هوش چند گانه چیست؟ سوسن بالغی زاده
آموزش مهارت علمی بررسی ،جمع آوری اطلاعات احمد شریفیان
 یک فعالیت برای تدریس مفهوم حجم سپیده چمن آرا
هندسه آموز (1) طغیان انگشتری
معلم ها عبور می کنند
دو پارادوکس،سه سفسطه حسین نامی ساعی
10 گام عملی برای افزایش سیما حاج ابوالقاسمی
ارزشیابی جزء جدانشدنی هر تدریس-دیدگاهها و چشم اندازها سپیده چمن آرا
نگاهی به روش حل مسئله در آموزش ریاضی نرگس عصارزادگان
شاخه های علم ریاضی نرگس عصارزادگان
ساختار سه-خمینه ها-پوانکاره و حدس های هندسه سازی شینگ-تانگ یااو نرگس عصارزادگان
معرفی درس پژوهی عظیمه سادات خاکباز
رهیافت و حل مسئله عظیمه سادات خاکباز
منطق فازی ،منطقي كه تكنيك را هوشمند كرد. مرضیه کریمی رادپور
بعد چهارم مرضیه کریمی رادپور
  هایپرکیوب چیست؟ فاطمه شنبه زاده 
اعداد متحابه زهرا شریف زاده
هندسه موسیقی دادمنش
 استفاده از عدد پی در ساخت تخت جمشید دادمنش
بررسی عوامل مؤثر در پیشرفت تحصیلی ملودی دوکا
شش عدد حاکم بر كل جهان دادمنش
هر کس هندسه نمی داند وارد نشود نرگس عصارزادگان
آن چه مدیران آموزشی باید بدانند نرگس عصارزادگان
آیا می دانید سریه فوریه چیست؟ علیرضا بکتاش
نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 12:59 بعد از ظهر |  لینک ثابت   • 

یکشنبه 12 خرداد1387

طرح درس ریاضی (1)

طرح درس ریاضی (1)

 

جدول طرح درس روزانه

موضوع درس

ضرب یک جمله ای و چند جمله ای و تقسیم یک جمله ای بر یک جمله ای

عناوین فرعی

(رئوس مطالب)

الف-ضرب یک جمله ای در چند جمله ای

ب- ضرب چند جمله ای در چند جمله ای

ج- تقسیم یک جمله ای بر یک جمله ای

هدف کلی درس

دانش آموزان با روش صحیح ضرب یک جمله ای و چند جمله ای در چند جمله ای  روش صحیح تقسیم یک جمله ای بر یک جمله ای آشنا شوند.

هدفهای جزئی

الف-دانش آموزان با ضرب یک جمله ای در چند جمله ای آشنا شوند.

ب-دانش آموزان با ضرب چند جمله ای در چند جمله ای آشنا شوند.

ج- دانش آموزان با تقسیم یک جمله ای بر یک جمله ای آشنا شوند.

هدفهای رفتاری

پس از پایان آموزش از دانش آموزان انتظار می رود بتوانند:

1- توزیع پذیری عمل ضرب نسبت به جمع را تعریف کنند.

(شناختی - دانش)

2- غیر از مثال کتاب در مورد توزیع پذیری عمل ضرب نسبت به جمع مثالی بزنند. (شناختی – کاربرد)

3-ضرب یک جمله ای در چند جمله ای را بدون اشتباه انجام دهند.

(شناختی - درک و فهم)

4- ضرب چند جمله ای در چند جمله ای را بدون اشتباه انجام دهند.

(شناختی - درک و فهم)

5- تقسیم یک جمله ای بر یک جمله ای را بدون اشتباه انجام دهند.

(شناختی - درک و فهم).

رفتار ورودی

دانش آموزان باید:

- مفهوم یک جمله ای و چند جمله ای و روش جمع کردن آنها را بدانند.

ارزشیابی تشخیصی

-1 یک جمله ای را با ذکر مثال بیان کنید.

-2 در مورد چند جمله ای مثالب بزنید.

-3 تمرینهای داده شده در زمینه جمع جبری یک جمله ای را حل کنید.

فعالیت های آموزشی

 

فعالیت های معلم

-1سلام و احوالپرسی، حضور و غیاب و جویا شدن علت غیبت غائبین جلسه قبل

-2دقت در وضعیت روحی و جسمی دانش آموزان

-3 معرفی درس جدید

-4طرح سؤال و برانگیختن توجه و تفکر دانش آموزان در زمینه ی موضوع درس

-5توجه به پاسخهای دانش آموزان و تحریک مجدد آنها با طرح سؤالهای جدید

-6 ارائه مثالهایی از نمونه ها و غیر نمونه های مطالب درس

-7 ارزشیابی تکوینی در طول فعالیت های آموزشی

-8 اظهار نظر نهایی در زمینه درستی یا نادرستی تمرینهای حل شده ی دانش آموزان

فعالیت های دانش آموزان

-1 گزارش از علل غیبت جلسات قبل

-2توجه به مطالب معلم و یادداشت آنها

-3تفکردرباره سؤالهای معلم و پاسخ دادن به آنها

-4 مقایسه نمونه ها و غیر ارائه شده ی معلم

-5 فرضیه سازی و طرح سؤال

-6 حل تمرینهای داده شده در کلاس

-7مطالعه متن درس و بحث و گفتگو در مورد مفاهیم آن به صورت گروهی

-8 جمع بندی مطالب درس

روش تدریس

روش توضیحی، روش پرسش و پاسخ، روش حل تمرین و روش حل مسأله

وسایل آموزشی

کتاب درسی، تخته سیاه، گچ سفید و رنگی، دفتر حضور و غیاب

ارزشیابی

الف- از دانش آموزان خواسته می شود درباره درس ارائه شده اظهار نظر کنند و به این ترتیب میزان علاقمندی آنها به موضوع مورد نظر و فعالیت کلاس مشخص می شود.

 

ب- به سؤالهای زیر پاسخ دهند:

-1 توزیع پذیری عمل ضرب نسبت به جمع را در یک سطر بنویسید.

-2 در مورد توزیع پذیری عمل ضرب مثالی بزنید.

-3 ضربهای چند جمله در چند جمله زیر را حل کنید.

تمرینها باید زیر هر سؤال نوشته شود.

-4 تقسیمهای یک جمله ای بر یک جمله ای داده شده را انجام دهید.

تمرینها باید در زیر هر سؤال نوشته شوند.

فعالیت های تکمیلی

1- متن کتاب در زمینه موضوع درس امروز را با دقت مطالعه کنید.

2-تمرینهای صفحه 53 کتاب را حل کنید و با خود در جلسه آینده به کلاس بیاورید.

نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 1:10 بعد از ظهر |  لینک ثابت   • 

یکشنبه 12 خرداد1387

بارم امتحانی همه دروس ریاضی

بارم امتحانی همه دروس ریاضی

    ریاضی1 سال اول                      ریاضی 2 سال دوم                   هندسه1 سال دوم      

     سوم انسانی                          سوم تجربی                             آمار ومدلسازی      

    جبر واحتمال                             حسابان                                  هندسه2            

     ریاضی عمومی تجربی                                                            ریاضی پایه انسانی    

      ریاضی گسسته                     حساب دیفرانسیل                      هندسه تحلیلی

نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 1:7 بعد از ظهر |  لینک ثابت   • 

یکشنبه 12 خرداد1387

سوالات ریاضی سوم دبیرستان خرداد۸۷

 

سوالات ریاضی سوم دبیرستان خرداد۸۷

reyaze(3).pdf رياضي(3) سؤال و پاسخ
نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 12:40 بعد از ظهر |  لینک ثابت   • 

یکشنبه 12 خرداد1387

ریاضی اول دبیرستان خردادماه ۸۷

 

ریاضی اول دبیرستان خردادماه ۸۷

riyazi.pdf رياضي 1 (نوبت عصر) سؤال و پاسخ

 

 

riyazi.pdf رياضي 1 ( نوبت صبح ) سؤال و پاسخ
نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 12:34 بعد از ظهر |  لینک ثابت   • 

جمعه 10 خرداد1387

هندسه‌ي غيراقليدسي

هندسه‌ي غيراقليدسي



 

شكل 1 – «كارولين سريز» (Caroline Series).






«كارولين سريز» (Caroline Series)
آن‌چه تقديم مي‌شود برگرفته از مقاله‌اي است كه در مجموعه مقاله‌هاي كنفرانس با عنوان: «ارتباط رياضي با علوم و موسيقي» (Mathematical Connections in Art Science and Music) در سال 1385 (2006 ميلادي) ارائه شده است.

هم‌چنين در اين زمينه كتابي با عنوان: «مرواريد خدا» (Indra's Pearls) توسط محققين رياضي «ديويد مامفورد» (David Mumford)، «كارولينا سريز» (Carolina Series) و «ديويد رايت» (David Wright) نوشته شده كه در مجله‌ي «دانشگاه كمبريج» (Cambridge University Press) چاپ گرديده است.

«كارولينا سريز» (Carolina Series) پروفسور رياضي در دانشگاه «مارويك» (Marwick) است. وي در «آكسفورد» (Oxford) به‌دنيا آمده آموزش ديد و در دانشگاه «سامرويلد» (Somerville) فارغ‌التحصيل شد. مدرك دكتري PhD را به‌عنوان دانشيار «كندي» (Kennedy) دريافت كرد.

وي به انگلستان بازگشت و تا سال 1358 (1979 ميلادي) در دانشگاه «سامرويلد» (Somerville) حضور داشت.

علاقه‌ي وي به يافتن الگوهايي است كه پشت ساختارهاي هندسي وجود دارد. حوزه‌‌ي پژوهشي وي درباره‌ي هندسه‌ي «هذلولوي» (Hyperbolic) يا «غيراقليدسي» (نااقليدسي) خيلي به «فراكتال‌ها» (Fractals) و «تصادف‌ها» (Chaos) نزديك است.

«ديويد رايت» (David Wright) درجه‌ي دكتري را در «نظريه‌ي اعداد» (Number Theory) در سال 1361 (1982 ميلادي) از دانشگاه «هاروارد» (Harvard) با راهنمايي بسيار خوب «بري مازور» (Barry Mazur) دريافت كرد. در عين حال بيش‌ترين زمان خود را صرف پژوهش‌ در زمينه‌ي «رياضيات تصويري» (Visual Mathematics) همراه با «ديويد مامفورد» (David Mumford) مي‌كرد.

وي در حال حاضر پروفسور رياضي در دانشگاه ايالتي «اوكلاهاما» (Oklahoma) بوده و دو دختر فوق‌العاده به‌نام‌هاي «الكساندر» (Alexandra) و «ژولي» (Julie) دارد.

شكل 2 - «كلاه كاسكت آپولوني» (Apollonian Gasket).




مقدمه
بسياري از افراد با مشاهده‌ي پيچيدگي و زيبايي «فراكتال‌ها» (Fractals) متعجب مي‌شوند (شكل 2). « فراكتال» نشان داده شده در شكل 2، «كلاه كاسكت آپولوني» (Apollinian Gasket) ناميده شده و شامل آرايشي پيچيده از دايره‌هاي مماس بر هم است. اما به هر حال افراد كمي مي‌دانند تصاوير فراكتال‌ها (شبيه شكل 2) به چيزهايي شباهت دارد كه در رياضيات به «فضاي هذلولوي»‌ (Hyperbolic Space) مشهور است.

شكل 3 – پوشش غيراقليدسي (نااقليدسي) يك ديسك با هفت‌ضلعي‌هاي منتظم.

شكل 4 – پوشش اقليدسي صفحه با شش‌ضلعي‌هاي منتظم.

در شكل 3 نمونه‌اي از چنين پوشش غيراقليدسي (نااقليدسي) نشان داده شده است. در مقايسه، شكل 4 نشان‌دهنده‌ي پوشش يك صفحه‌ي مسطح معمولي است.

آن‌چه ذيلاً مطرح مي‌شود در مجموعه مقاله‌هاي «كنفرانس بريجز» (Bridges Conference) برگزار شده در سال 1385 (2006 ميلادي) در شهر لندن ارائه شده و درباره‌ي رياضياتي است كه پشت اين پوشش‌ها به‌كار رفته است و اين‌كه چگونه منجر به تصاوير زيباي «فراكتال‌ها» مي‌شود.





خطوط منحني و دايره‌هاي عجيب
در هندسه‌ي «هذلولوي» (Hyperbolic Geometry)، «فواصل» با روشي عادي اندازه‌گيري نمي‌شوند. در اندازه‌گيري‌هاي هذلولوي، كوتاه‌ترين فاصله‌ي بين دو نقطه بزرگ‌تر از اندازه‌ي خط مستقيم واصل بين آن دو نقطه نيست.

اما در مورد نوعي متفاوت از منحني لازم است توضيح بيش‌تري ارائه كنيم. روش‌هاي جديد اندازه‌گيري باعث مي‌شود اشكال به‌روشي غيرمنتظره‌اي رفتار كنند.

به‌عنوان مثال:

نقطه‌اي نظير  را در نظر گرفته تمام نقاطي را فرض كنيد كه داراي فاصله‌‌اي نظير  از نقطه‌ي مورد نظر باشند. در هندسه‌ي معمول – كه هندسه‌ي «اقليدسي» (Euclid) ناميده مي‌شود – اين نقاط فرضي يك «دايره» (به‌عنوان مثال: به‌ »مركز»  و «شعاع» ) تشكيل مي‌دهند. مي‌دانيم «محيط» دايره‌ با «شعاع»‌ آن متناسب بوده و از رابطه‌ي شناخته شده‌ي ذيل به‌دست مي‌آيد:

= محيط

(رابطه‌ي 1)

در هندسه‌ي «هذلولوي» (Hyperbolic) - چون فواصل به‌صورتي متفاوت اندازه‌گيري مي‌شوند - نقاطي كه در فاصله‌ي برابر با نقطه‌ي  قرار دارند تشكيل يك «دايره» مي‌دهند اما  ديگر در آن‌چه به «مركز» دايره شبيه است قرار نخواهد داشت. در اين صورت، محيط اين دايره‌ي «هذلولوي» متناسب با «شعاع» دايره نبوده بلكه متناسب با خواهد بود كه در آن،  پايه‌ي «لگاريتم طبيعي» (Natural Logarithm) و تقريباً برابر 718/2 است.

 

شكل 5 – يك برگ كلم كه دور لبه‌اش به‌طور كامل پيچيده شده است.

اگر «شعاع» بزرگ باشد بدين‌معنا است كه محيط دايره‌ي «هذلولوي» به‌مراتب بزرگ‌تر از يك دايره‌ي «اقليدسي» است. بنابراين براي تناسب با فضاي «اقليدسي» (Euclid Space)، يك ديسك هذلولوي بزرگ بايد به‌طور كامل دور لبه‌هايش شبيه به «برگ كلم» به‌طور كامل پيچيده شود.

اولين باري كه شروع به مشاهده‌ي «برگ كلم» مي‌كنيد اين نوع افزايش را در سرتاسر جهان مي‌بينيد.

شكل 6 - قانون «رشد تواني» (Exponential Growth) در پوشش.

جدول 1 – تعداد هفت‌ضلعي‌ها و «عدد فيبوناچي» نسبت به شماره‌ي لايه.

تعداد هفت‌ضلعي‌ها در لايه‌ي ام

عدد فيبوناچي ام

1

7

1

2

21

3

3

56

8

...

...

...

8

6909

987





پوشش هذلولوي دوبعدي
قانون «رشد تواني» (Exponential Growth) در پوشش شكل 6 مشاهده مي‌شود. در شكل مذكور، ديسك به‌طور كامل با هفت‌ضلعي‌هايي پر شده كه در لايه‌هايي حول مركز ديسك آرايش داده شده‌اند. اگر به‌دقت بشماريد مي‌فهميد كه تعداد هفت‌ضلعي‌ها در لايه‌ي ام دقيقاً 7 برابر امين «عدد فيبوناچي» است.

شكل 7 .



جدول 2 – تعداد هفت‌ضلعي‌ها نسبت به شماره‌‌ي لايه.

تعداد هفت‌ضلعي‌ها در لايه‌ي ام

1

6

2

12

3

18

...

...

8

48

در شكل 7 شش‌ضلعي‌هاي اقليدسي پوشش داده شده با «رنگ» مقايسه شده‌اند.

به‌عنوان مثال:

پوشش لانه‌ي زنبوري در شكل 7 دقيقاً داراي  شش‌ضلعي در لايه‌ي ام است. تعداد شش‌ضلعي‌ها در اين حالت، رشد كم‌تري را نشان مي‌دهند.

عليرغم ظاهري غيرمنتظره در دنياي هندسه‌ي «هذلولوي» (Hyperbolic)، شكل 6 هفت‌ضلعي‌هايي با اندازه‌ و شكل يكسان را نشان مي‌دهد. در حالي كه از مركز ديسك دور مي‌شويم براي اين‌كه «تكه‌ها» (Tiles) را با تصوير «اقليدسي» متناسب كنيم بايد آن‌ها را از لحاظ اندازه فشرده‌تر نماييم. بنابراين از منظر اقليدسي، «تكه‌ها» (Tiles) هر قدر به لبه‌هاي ديسك نزديك مي‌شوند از لحاظ اندازه كوچك‌تر مي‌گردند.

از آن‌جايي كه لايه‌هاي بسيار و نامحدودي از «تكه‌ها» (Tiles) بين مركز و لبه‌هاي ديسك وجود دارد در روش اندازه‌گيري «هذلولوي»، خط حد مرزي بايد به‌طور نامحدودي از مركز ديسك دور باشد. در اين هندسه‌ي عجيب و غريب، شعاع ديسك نامحدود خواهد بود. به‌همين دليل، دايره‌ي حد مرزي، «دايره در بي‌نهايت» ناميده مي‌شود.

 

شكل 8 – تمام صفحه‌ي هذلولوي متناسب با ديسكي است كه به دايره‌ي «آبي» محدود شده است. نقش خطوط مستقيم در اين هندسه با كمان‌هايي از دايره‌‌ها نشان داده شده است كه (شبيه به كمان «قرمز» نشان داده شده در ذيل تصوير) عمود بر حد مرزي هستند.

در اندازه‌گيري‌هاي هذلولوي، طول هر «تكه» (Tile) (هفت‌ضلعي) در شكل 6 داراي طول يكساني هستند به‌گونه‌اي كه در نقش اضلاع دو «تكه‌ي» (Tile) مجزا عمل مي‌كنند. اگرچه طول هر «تكه» (Tile) به‌طور كامل براي ما به‌شكل منحني به‌نظر مي‌رسد در اندازه‌گيري‌هاي هذلولوي عملاً «خط مستقيم» محسوب مي‌شوند.

براي درك اين موضوع براي لحظه‌اي درك مستقيم از «مستقيم بودن» را فراموش مي‌كنيم و چشم‌اندازي كاملاً نظري‌تر به آن مي‌اندازيم:

يك مسير زماني «مستقيم» است كه كم‌ترين فاصله‌اي بين نقاط پاياني‌اش ايجاد كند. در اندازه‌گيري‌هاي هذلولوي، كوتاه‌ترين فاصله بين نقاط در امتداد كماني از يك دايره است كه با آن دايره در بي‌نهايت به‌صورت عمودي برخورد مي‌كند (شكل 8).

طول «تكه‌ها» (Tiles) در شكل 6، قطعه‌هايي از دايره‌هايي است كه دقيقاً اين ويژگي را داشته باشند. همه‌ي «تكه‌هايي» (Tiles) كه به پاره‌خط‌هاي مستقيم محدود شده‌اند داراي طول يكساني بوده و همان‌طور با زاويه‌ي يكساني با دايره برخورد مي‌كنند. اين «تكه‌ها» (Tiles)، «چندضلعي‌هاي هذلولوي منتظم» (Regular Hyperbolic Polygons) محسوب مي‌شوند.

اگر از منظر «هندسه‌ي هذلولوي دوبعدي» نگاه كنيم همه‌ي «تكه‌ها» (Tiles) (هفت‌ضلعي‌هاي منتظم) در شكل 6 يكسان به‌نظر مي‌رسند. از آن‌جايي كه دايره‌ي مرزي به‌طور نامحدودي دور است هرگز قادر نخواهيم بود آن را به‌دست آورده يا حتي از آن آگاه باشيم. تمام دنياي ما با «تكه‌هايي» (Tiles) - كه تا افق نظير يك صفحه‌ي نامحدود شطرنج گسترده شده‌اند - داخل چنين ديسكي واقع شده است.

 

شكل 9 – مكعب حجمي شامل شش صفحه‌ي متقاطع است. هر يك از شش صفحه‌ي مكعب بخشي از يكي از اين صفحه‌ها محسوب مي‌شود.





پوشش هذلولوي در سه‌بعد
اكنون هندسه‌ي هذلولوي را در سه‌بعد تصور كنيد. درست همانند هذلولوي دوبعدي، صفحه‌ي سه‌بعدي را مي‌توان همانند ديسكي تصور كرد كه در بي‌نهايت به دايره‌اي محدود شده است. بنابراين دنياي «هذلولوي سه‌بعدي» را مي‌توان همانند «توپي صلب» (Rigid Ball) فرض كرد كه به «كره‌اي اقليدسي» (Euclid Sphere) محدود شده است. برحسب هندسه‌ي هذلولوي، حد مرزي كره‌ي مورد نظر به‌طور نامحدودي دور از مركز آن واقع شده است. در اين صورت «تكه‌ها» (Tiles)، اشياي سه‌بعدي‌اي شبيه به چندضلعي‌هاي هذلولوي محسوب مي‌شوند.

در هندسه‌ي اقليدسي، چندوجهي‌ها حجم‌هايي محدود به تعدادي صفحه‌ي مسطح و متقاطع هستند.

به‌عنوان مثال:

يك «مكعب» (Cube) حجمي است كه از شش صفحه تشكيل شده و هر صفحه با چهار صفحه‌ي ديگر به‌صورت عمودي متقاطع است (شكل 9).

 

شكل 10 – فضاي سه‌بعدي هذلولوي را مي‌توان داخل يك كره تصور كرد. يك صفحه‌ي هذلولوي بخشي از يك صفحه است كه با زاويه‌ي قايمه در بي‌نهايت با كره متقاطع مي‌شود.

اما يك «صفحه‌ي هذلولوي» شبيه چه چيزي است؟ در فضاي هذلولوي دوبعدي، خطوط مستقيم با «كمان‌هاي مدور» محدود به دايره با زاويه‌ي قايمه بيان مي‌شود. به‌طور مشابه، صفحه‌ها در فضاي «سه‌بعدي هذلولوي» با «قطاع كره‌ها» نشان داده مي‌شوند. قطاع‌ كره‌ها در داخل كره‌اي بزرگ – كه دنياي هذلولوي ما را احاطه كرده‌اند – قرار گرفته و با دايره‌ي محيطي با زاويه‌ي قايمه برخورد مي‌كنند (شكل 10).

 

شكل 11 – پوشش فضاي هذلولوي سه‌بعدي
برگرفته از فيلم مشهور «بدون گره» (Not Knot).

يك چندوجهي هذلولوي حجمي است كه با تقاطع چند صفحه‌ي هذلولوي به‌دست مي‌آوريم و درست همانند اين‌كه فضاي اقليدسي را با چند چندوجهي (به‌عنوان مثال: مكعب) پوشانده‌ايم مي‌توانيم فضاي سه‌بعدي هذلولوي را با چندجهي‌هاي هذلولوي پوشش دهيم. در شكل 11 – كه برگرفته از فيلم مشهور «بدون گره» (Not Knot) است – چنين پوششي را از منظري عميق در فضاي هذلولوي نشان مي‌دهد كه فاصله‌ي زيادي از دايره‌ي محيطي در بي‌نهايت دارد.

شكل 12 – پوشش غيراقليدسي (نااقليدسي) ديسك با يك چندضلعي با اضلاع در بي‌نهايت.





جام شيشه‌اي در بي‌نهايت
همان‌طور كه از شكل 11 ممكن است تصور كنيد رسم پوشش سه‌بعدي هذلولوي نسبتاً سخت‌تر است. به‌عنوان جايگزيني ساده‌، رياضيدانان معمولاً آن‌چه را در محدوده‌ي فضاي هذلولوي مي‌بينند مطالعه مي‌كنند. در الگوهاي موجود در اشكال، زيبايي متحيركننده‌اي مي‌يابيد. اين روش توصيف، ساده‌تر است زيرا سطح يك دايره، شيئي دوبعدي خواهد بود كه در صفحه‌اي مسطح مي‌توان آن را رسم كرد.

شباهت دنيا در دوبعد مطالعه‌ي چيزي است كه مي‌توانيم در محدوده‌ي ديسك مذكور به‌نام «دايره» ببينيم. حالت شكل 2 خيلي جالب‌توجه نيست: همه‌ي تكه‌ها (Tiles) به‌سادگي اطراف دايره افزايش مي‌يابند. اكنون فرض كنيد تكه‌ي اوليه يك چندضلعي باشد كه داراي تعداد محدودي ضلع است اما به هر روشي به‌سمت بيرون و حد مرزي مذكور افزايش مي‌يابد؛ همانند ناحيه‌اي كه به‌رنگ «زرد» در شكل 12 مشاهده مي‌شود. سپس هريك از نسخه‌هاي آن به دايره‌ي حدمرزي در چهار كمان مدور برخورد مي‌كنند. اگرچه تكه‌ها به‌طور كامل همه‌ي فضاي هذلولوي دوبعدي (داخل ديسك)‌ را پوشش مي‌دهند كل كمان‌ها به‌طور كامل دايره را پر نمي‌كنند.

 

شكل 13 – وجوه چندوجهي‌ها در پوشش سه‌بعدي هذلولوي كه در برابر كره‌ي محيطي فشرده شده است.

شكل 14 – پوشش كره‌ي رسم شده بر روي صفحه.

مجموعه‌ي نقاط حذف شده داراي ويژگي‌هاي جالب‌توجهي هستند به‌عنوان مثال: يك «فراكتال» (Fractal) محسوب مي‌شوند. اين مثالي است از آن‌چه به‌بيان رياضي يك «مجموعه‌ي كانتور» (Cantor Set) يا به‌طور محاوره‌اي «شن فراكتال» (Fractal Dust) ناميده مي‌شود.

اگر شما داراي زندگي دوبعدي در همان صفحه به‌عنوان ديسك بوده اما خارج از آن قرار داشته باشيد آن‌چه را از هر «چندضلعي هذلولوي» مي‌بينيد «كماني مدور» خواهد بود كه با دايره‌ي مرزي برخورد خواهد داشت. در سه‌بعد، شباهت يك چندضلعي با اضلاع به‌تعداد محدود يك چندوجهي با وجوه به‌تعداد محدود است. ناظران بيروني اين وجوه را سايه‌هايي خواهند يافت كه در آن، چندوجهي به كره برخورد خواهد كرد.

شكل 13 نشان‌دهنده‌ي كره‌اي با چهارضلعي‌هايي است كه داخل آن را پوشش داده‌اند. چهارضلعي‌ها با الگويي قابل‌‌ملاحظه (Remarkable) در حدمرزي كره همانند بيني‌هايي - كه در مقابل يك جام شيشه‌اي فشرده شده مشاهده مي‌شوند - افزايش مي‌يابند.

شكل 14 نشان‌دهنده‌ي الگوهايي در يك كره بر روي صفحه اين‌بار با روشي متفاوت در رنگ كردن است.

الگوهايي نظير آن توسط رياضيدان آلماني «فليكس كلاين» (Felix Klein) مطالعه شد. در دهه‌ي 1360 (1980 ميلادي)، «ديويد مامفورد» (David Mumford) فهميد فراكتال‌ها هدف طبيعي اكتشاف كامپيوتر محسوب مي‌شوند. وي به‌همراه «ديويد رايت» (David Wright) به يك پژوهش براي طبقه‌بندي (Systematic) دست زد كه نهايتاً نه‌تنها منجر به رياضيات جديد و اميدبخشي شد بلكه منجر به تأليف كتابي با عنوان «مرواريدهاي خدايي» (Indra's Pearls) گرديد.

اين كتاب الگوهاي قابل‌ملاحظه‌اي (Remarkable) را نشان مي‌دهد كه با رشد (arise) در بي‌نهايت به جام شيشه‌اي مي‌رسند. هم‌چنين اين الگوها با حداقل اطلاعات پيش‌زمينه‌اي در رياضيات (همراه با حداقل اطلاعات لازم رياضي همراه با ذكر جزويات كافي و تصاوير مربوط) در اين كتاب نشان داده شده است.

شكل 15 – پوشش اقليدسي دوباره از شكل 3.





بررسي رياضي
براي ايجاد پوشش دوبعدي خواه اقليدسي نظير شكل 3 باشد يا هذلولوي، نياز به راهي براي ايجاد تصوير‌هاي معادل از پوشش اوليه و قرار دادن آن‌ها در كنار يكديگر است.

از لحاظ رياضي اين كار بايد با «انعكاس» (Reflection)، «دوران» (Rotation) و «برگردان» (Translation) انجام شود: مي‌توان هر پوششي را با روش‌هايي نظير ذيل به‌دست آورد:

- برگردان (Translation)
شيفت دادن پوشش اوليه به مسير داده شده با فاصله‌ي مفروض.

- انعكاس (Rotation)
«انعكاس» آن بر روي يك محور.

- دوران (Reflection)
«دوران» آن با يك زاويه‌ي داده شده حول يك نقطه‌ي ثابت.

- تركيبي از هر سه نوع حركت مذكور.

«دوران‌ها»، «انعكاس‌ها» و «برگردان‌ها» و حركت‌هايي كه پشت سر هم انجام مي‌شوند مجموعاً «حركت‌هاي صلب» (Rigid Motions) يا «تقارن‌هاي صلب» (Rigid Symmetries) ناميده مي‌شوند. علت اين‌كه از كلمه‌ي «صلب» (Rigid) استفاده مي‌شود آن است كه فواصل، زوايا يا تقارن‌هاي آن دستخوش تغيير نمي‌گردد به‌خاطر اين‌كه مي‌توان اشكال متقارن را بدون تغيير رها كرد.

براي توصيف يك پوشش، همه‌ي آن‌چه مورد نياز است عبارت است از: توصيف تكه‌ي اوليه همراه با فهرستي از تقارن‌هايي كه پوشش را ايجاد مي‌كند. اگرچه تكه‌هاي بسيار نامحدودي وجود دارند فهرست تقارن‌ها ممكن است محدود باشد. به‌خاطر آن‌كه ممكن است بارها و بارها به همه‌ي تكه‌ها با اجراي تقارن‌هاي يكسان دست يافت.

اين امر در فضاي اقليدسي سه‌بعدي هم صحيح است. براي پوشش با چندجهي‌ها (به‌عنوان مثال: مكعب‌ها) بايد از يك چندوجهي مركزي شروع كرده و به‌طور تكراري تعدادي از تقارن‌ها را اعمال نماييم. تنها در اين صورت است كه نسبت به «انعكاس‌ها»، «برگردان‌ها» و «دوران‌هاي» سه‌بعدي اجازه مي‌يابيم.

پوشش فضاي «هذلولوي سه‌بعدي» نيز به‌همان صورت است: با يك چندوجهي هذلولوي آغاز مي‌كنيم و تعدادي از تقارن‌هاي هذلولوي را تكرار مي‌كنيم تا اين‌كه به تمام جهان افزايش يابد؛ بدون اين‌كه به‌سختي درباره‌ي آن‌چيزي فكر كنيم كه تقارن‌هاي هذلولوي شباهت دارند. به‌ياد مي‌آوريم كه علاقه‌مند به آن‌چيزي هستيم كه در درون «كره» اتفاق مي‌افتد؛ كره‌اي كه جهان هذلولوي ما را احاطه مي‌كند.

اين بدين‌معنا است كه نيازمند به شروع با يك وجه از چندوجهي هستيم كه در مقابل كره‌ي محيطي فشرده شده به‌طور تكرارپذيري تعدادي حركت را اعمال مي‌كند. اين در حالي است كه نظاره‌گر تكرار تصويرهاي آن وجه و افزايش آن در كره‌ي محيطي هستيم (شكل 15).

شكل 16 – تجسم استرئوگرافيكي - رسم خطي از قطب شمال از يك نقطه‌ي داده شده در كره. سايه‌ي نقطه‌ي مذكور جايي است كه خط به صفحه‌ي زيرين آن برخورد مي‌كند.





اما چگونه مي‌توانيم اين حركت‌ها را توصيف كنيم؟
به‌ياد داشته باشيم كه در تقارن‌هاي‌مان، «فاصله‌ي هذلولوي» ثابت باقي مي‌ماند. اما ما در حال كار در يك كره‌ي محيطي در «بي‌نهايت» هستيم؛ جايي كه بيش از اين نمي‌توانيم فاصله را با همان روش اندازه بگيريم. در واقع در «جام شيشه‌اي» (Window Pane) در «بي‌نهايت» ممكن نيست راهي براي اندازه‌گيري فاصله‌اي يافت كه بايد ثابت باقي بماند. اما همه‌چيز گم نمي‌شود: اتفاق مي‌افتد كه وقوع تبديل‌‌هاي مورد انتظار ما منجر به آن شود كه چيزي دست‌نخورده رها شود.

آن‌ها «دايره» را به «دايره‌اي» با تغييرهاي شعاع مجاز تبديل مي‌كنند. چنين تبديل‌‌هايي به‌خاطر رياضيدان آلماني «آگوست موبيوس» (August Mobius)، «تبديل‌‌هاي موبيوس» (Mobius Transformation) ناميده مي‌شوند.

زماني كه از اعداد «مختلط» (Complex Number) استفاده مي‌كنيم فرمول‌هاي «تبديل‌هاي موبيوس» (Mobius Transformation) به‌اصطلاح شسته و رفته‌ترين محسوب مي‌شوند. اگر فكر كنيم به هر نقطه‌ي  از صفحه عدد «مختلط»  نسبت دهيم پس «تبديل‌هاي موبيوس» (Mobius Transformation) صفحه را با حركت نقطه‌ي  به نقطه‌ي ذيل تبديل مي‌كند:




كه در آن ، ،  و  اعداد «مختلط» ثابت هستند.

 

شكل 17 - .





افزايش (Pilling up)
آن‌چه مي‌خواهيم به‌طور واقعي مطالعه كنيم آن است كه چگونه تكه‌ها در شكل 15 (يا با دقت بيش‌تر تصاوير ترسيم شده در صفحه) –در حالي كه حول «تبديل‌هاي موبيوس» (Mobius Transformation) حركت مي‌كنند - در صفحه افزايش مي‌يابند.

به‌عنوان مثال:

مي‌توانيم با دو تبديل آغاز كنيم:




و





سپس يك شكل اساسي مثلاً: آدم موج‌سوار را انتخاب مي‌كنيم و هر دوي اين تبديل‌ها را بارها و بارها در شكل مذكور اعمال مي‌كنيم. همان‌طور كه در شكل 17 مي‌بينيد با افزايش سطح (Level) تكرار، تصاوير كوچك شده و دچار اعوجاج مي‌شود. اگر تبديل‌‌ها در شروع را هوشيارانه انتخاب كنيم زماني كه تصوير افزايش مي‌يابد الگوي به‌دست‌ آمده به‌طور متحيركننده‌اي زيبا خواهد شد.

شكل 18 – مجموعه‌ي كراندار (Limit Set).

براي مشاهده‌ي دقيق‌تر آن‌چيزي كه در ادامه اتفاق مي‌افتد اغلب، شكل اوليه را رسم مي‌كنيم و تنها نظاره‌گر منطقه‌اي مي‌شويم كه تصاوير كوچك و كوچك‌تر آن افزايش مي‌يابند. اصطلاح «مجموعه‌ي كراندار يا تصادفي» (Limit or Chaotic Set) در اين موارد به‌كار مي‌رود به‌خاطر اين‌كه در اين بخش‌ها، تقارن به‌صورت تصادفي اعمال مي‌شود.

با انتخاب تقارن‌هاي اوليه همراه با مراقبت‌ كافي مي‌توانيم «مجموعه‌هاي كرانداري» (Limit Set) ايجاد كنيم كه داراي الگوهاي پيچيده‌اي از دايره‌هاي مماس برهم باشد. دو تبديل نوشته شده در فوق، «كلاه كاسكت آپولوني» (Apollonian Gasket) مشهور را ايجاد مي‌كند كه در ابتداي اين زنگ تفريح از آن صحبت كرديم.

شكل 19 – مثالي از «مجموعه‌ي كراندار» (Limit Set).

به‌عنوان مثالي ديگر مي‌توان به مارپيچ دايره‌هاي مماس بر هم در الگويي زيبا اشاره كرد.

 

شكل 20 – مثالي ديگر از مجموعه‌ي كراندار.

يك الگوي مارپيچي مشابه در شكل 20 نشان داده شده است.





«بي‌نهايت» (Infinite)
در ديدگاه غرب، «بي‌نهايت» (Infinite) به‌عنوان شمارش بدون انتها تعريف مي‌شود. همانند گله‌ي گوسفندي كه همواره از معبري در حال عبور هستند: يك، دو، سه، ...، يكصد، دويست و ...

اما راه‌هاي ديگري براي رسيدن به «بي‌نهايت» وجود دارد. ترافيك شديد در «بزرگراه همت»! در واقع ترافيك به‌صورت تواني با تعداد سطوح (Levels) افزايش مي‌يابد و ....

شكل 21 – دنياهايي درون دنياها.

چنين افزايش تواني به ما پوشش‌هاي هذلولوي را خاطرنشان مي‌كند به‌خصوص زماني كه با فرايند تكرارپذير و مشابه ايجاد شود. در شكل 21 با شش دايره‌ي مجزا آغاز مي‌كنيم. براي هر دايره‌ي  ممكن است تبديلي بيابيم كه جايگزين درون و بيرون دايره‌ي  شده و هر نقطه در دايره‌ي  را ثابت گرفته و از جابه‌جايي آن صرف‌نظر كنيم. چنين «تبديل‌‌هايي» «وارونگي» (Inversion) ناميده مي‌شوند.

«وارونه كردن» در نقطه‌ي  ياداور «انعكاس» (Reflection) است كه تنها نسبت به يك «خط راست» منعكس نمي‌شود بلكه ممكن است نسبت به «دايره» نيز انجام گردد. به‌استثناي اين حقيقت كه همانند «انعكاس» چرخش از عقب به جلو انجام مي‌شود «وارونگي» نوع به‌‌خصوصي از «تبديل‌‌هاي موبيوس» (Mobius Transformation) محسوب مي‌گردد.

زماني كه اين انعكاس را نسبت به نقطه‌ي  اعمال مي‌كنيم پنج دايره‌ي ديگري - كه بيرون دايره‌ي  قرار دارند - به پنج دايره‌ي كوچك‌تر داخل آن منعكس مي‌شوند. اگر اين كار را براي هريك از شش دايره اعمال كنيم با هركدام از آن‌ها به پنج دايره‌ي كوچك‌تر در سطح (Level) دوم منتهي خواهيم شد. تكرار اين فرايند به پنج دايره‌ي كوچك‌تر داخل هريك از اين دايره‌ها در سطح (Level) دوم منتهي خواهد شد. در سطح بعدي،  دايره‌ي بسيار كوچك به‌دست خواهيم آورد و ...

نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 10:52 قبل از ظهر |  لینک ثابت   • 

جمعه 10 خرداد1387

اهميت و فايده وسايلي كمك آموزشي

عدم استفاده از وسايلي كمك آموزشي يك از علل افت در درس رياضي مي باشد .

براي آگاهي از چگونگي تأثير اي نعلت در افت درسي بچه ها ، ابتدا بايد  با مفهوم وسايل كمك آموزشي ، اهميت و فايده وسايلي كمك آموزشي ، آشنا شويم .

مفهوم وسايل كمك آموزشي :

هر چه كه بتواند كيفيت تدريس ويادگيري را افزايش دهد وسيله اي براي كمك به آموزش ايت . رسانه هاي نوشتاري از اولين رسانه هايي بودند كه در مار تعليم و تربيت از آنها استفاده مي شده است ، و سپس رسانه هاي ديگري از قبيل تصاوير ، نقشه ها ، اسلايد ، فيلم ، تلويزيون  و بسياري از رسانه هاي ديگري كه وارد جريان تعليم وتربيت شده اند  .

اهميت وسايل كمك آموزشي :

تحقيقاتي كه تا به حال به عمل آمده است نشان مي دهد كه از طريق تدريس معمولي تنها  % 30 مطالب از مطالب مورد تدريس ياد گرفته مي شود در حالي كه اگر يادگيري
با استفاده صحيح از وسايل ارتباطي به عمل آيد ميزان يادگيري افراد را تا % 75 بالا مي برد .

درس رياضيات از جمله دروسي است كه داراي وسايل كمك آموزشي زيادي چه دست ساز و چه آماده بوده و عدم استفاده از آنها نقش بسياري بر افت تحصيلي اين درس خواهد داشت .

فوايد استفاده ازوسايل كمك آموزشي :

1- وسايل كمك آموزشي بازده آموزشي را از لحاظ كمي و كيفي افزايش مي دهد .

2- وسايل كمك آموزشي مي تواند يادگيري را انفرادي كند .

3- وسايل كمك آموزشي آموزش را با قدرت بيشتري عملي مي سازد .

4- وسايل كمك آموزشي دسترسي به فرهنگ و آموزش را به طور يكسان براي همه ميسر مي سازد .

5- وسايل كمك آموزشي اساس قابل لمس را براي تفكر و ساختن مفاهيم فراهم مي سازد . و در نتيجه از ميزان عكس العمل گفتاري دانش آموز مي كاهد .

6- مورد علاقه زياد و فراون شاگردان هستند و توجه به آنها را به موضوع اصلي معطوف مي سازد .

7- اساس لازم را براي يادگيري تدريجي و تكميلي آماده مي سازد و در نتيجه يادگيري  را دائمي مي كند .

8- تجارب واقعي و حقيقي را در اختيار شاگردان قرار مي دهد و در نتيجه موجب فعاليت ايشان مي شود .

9- پيوستگي افكار را موجب مي گردد  .

10- در توسعه و رشد معني در ذهن شاگرد مؤثر هستند .

11- مهارتي را به طور كامل و مؤثر به دانش آموزان مي آموزد .

12- تجاربي را در اختيار شاگردان قرار مي دهد كه از راههاي ديگر امكان ندارد .

استفاده از وسايل آموزشي موجب مي شود كه دانش آموزان از همه حواس خود جهت يادگيري مطالب استفاده كنند . از آنجا كه % 75  از يادگيري مطالب توسط چشم و بينايي ياد گرفته مي شود ، اين موضوع باعث شد كه معلمان بيشتري به استفاده از وسايل كمك آموزشي و وسايل بصري روي آوردند .

يكي از عللي كه تعدادي از معلمان از وسايل كمك آموزشي استفاده نمي كنند اين است كه فكر مي كنند كه منظور از وسايل كمك آموزشي همان وسايلي است كه فقط به منظور آموزش دانش آموزان و با هدف وسيله كمك آموزشي از قبل ساخته شده مي باشد .

ولي اين فكر اشتباهي مي باشد ، زيرا با وسايل دور ريختني و مازاد نيز مي توان يك وسيله كمك آموزشي ساخت كه به اهداف مورد نظر درس برسيم .

اگر بخواهيم نتيجه تحقيقات پياژه و ساير محققين ارزشمند را در مورد تدريس رياضيات به كودكان ، در يك جمله خلاصه كنيم بايد بگوئيم : وسايل كمك آموزشي را به مدارس ببريم . هيچ معلمي نبايد در تدريس رياضيات بويژه در سالهاي اوليه دبستان ، بدون وسيله كمك آموزشي باشد . البته بيدرنگ بايد تذكر دهيم كه منظور ما اين نيست كه معلم نمي تواند بدون داشتن وسايل از پيش ساخته و تعيين شده  رياضيات را تدريس كند ، بلكه يك معلم در صورتي كه مفاهيم را به درستي درك كند و روش تدريس صحيح داشته باشد، مي تواندحتي از نخودولوبيا و چوب كبريت نيز در تدريس رياضيات استفاده كند .

افت در دروس ديگر و تأثير آن بر رياضيات :

دانش آموزاي كه در درس فارسي ( خواندن ) مشكل دارد ، مسلما" در درس املاء و نگارش مشكل خواهدداشت ، چون كسي كه نتواند به درستي كلمه يا جمله اي را بخواند هيچ موقع نخواهد توانست درستي آن را درك كند و بنويسد .

تحقيقات نشان مي دهد كه بيشتر دانش آموزاني كه در درس رياضيات ضعيف هستند در درس املاء و فارسي نيز مشكل دارند و يا بر عكس . كه البته عكس اين قضيه بيشتر صارق است . يعني دانش آموزاني كه در درس املاء فارسي ضعيف هستند هم مشكل دارند .

دانش آموزي كه نتواند سؤال ( پرسش ) به درستي بخواند ، نخواهد توانست درك كند و در نتيجه نخواهد توانست آن را تحليل نمايد و در نهايت از حل مسئله عاجزخواهدبود .

كه گفته اند فهم و درك سؤال ( مسئله ) نصف حل آن است . يعني وقتي كه مسئله را فهميدي به راحتي مي تواني جواب آن را هم بدهي  .

از طرفي ديگر دانش آموز كه از يك درس غير از رياضي ضعيف باشد به دلايل مختلف مثل يأس ، ناميدي و ...... ممكن است نظر او نسبت به ساير دروس برگردد و باعث شكست او در ساير دروس شود . كه در اينجا معلم دلسوز و فداكار او مي تواند با گرفتن نقاط قوت او باعث تشويق وي شود . و با شناسايي و رفع ضعفهاي او باعث پيشرفت او گردد .

 

فراموشي و عدم توجه كافي در هنگام نوشتن و حل تمرينها

الف- فراموشي :

كودكان از نظر نيروي يادآوري و حفظ مطالب با يكديگر فرق دارند .

كودك هر چه با هوش تر باشد حفظ كردن مواد درسي برايش آسان تر است .

اما هوش تنها عامل نيست بلكه روش تدريس نقش مهمي دارد .

انواع فراموشي :

الف- فراموشي با علم به اينكه مطالب را آنقدر نمي دانيم كه بتوانيم آن را به خاطر آوريم .

ب- فراموشي با اطلاع به اينكه موضوع را خوب مي دانيم ولي به عللي نمي دانيم در حال حاضر آن را به ياد آوريم .

ج- فراموشي همراه با ميلي ناخودآگاه براي فراموش كردن

علل فراموشي :

1- تداخل : پيش از آنكه بخواهيم مطلبي را اضافه بر مطالب ديگري كه قبلا" آموخته ايم ، فراگيريم لازم است آن اندازه به مطلب نخست مهلت بدهيم تا در ذهن جايگزين شود .

2- كاستي : حافظه در اثر زمان دچار كاستي يا ضعف مي شود . كاستي در صورتي پديد مي آيد كه به مطلب آموخته شده كم مراجعه مي شود . هر چه آموخته هاي گذشته را كمتر به كار بريم  زودتر آنها را فراموش مي كنيم .

3- كمبود وقت براي يادآوري : براي يادآوري يك مطلب به زمان لازم و زمينه مناسب نياز است در غير اين صورت آموخته ها ممكن ايت از ذهن دور شوند و به راحتي نتوانيم آن مطلب را ياد آوريم .

4- ترس هنگام يادآوري و سركوبي : هرگاه تجربه گذشته در ما احساس شديد اضطراب يا گناه به وجود آورده باشد ، مي خواهيم خاطره آن تجربه را از ضمير خود دور سازيم و آن را فراموش كنيم .

اعتماد به حافظه كمك مي كند - مثلا" ترس از امتحان به سبب ناتواني فرد و بي اعتمادي به خود پديد مي آيد . هر چه بتوانيم اعتماد يادگيرنده را بيشتر جلب كنيم
امكان دارد ترس او كمتر شود .

كودكان از نظر نيروي يادآوري و حفظ مطالب با يكديگر فرق دارند .

كودك هر چه با هوش تر باشد حفظ كردن مواد درسي برايش آسان تر است .

اما هوش تنها عامل نيست بلكه روش تدريس نقش مهمي دارد .

تشكيل صورتهاي ذهني :

هر يك از حواس ما داراي صورت ذهني خاص خود است . مثلا" وقتي تصوير شيئي را كه در زمان گذشته ديده ايم در فكرمان مجسم مي كنيم ، ادراك ما يك تصوير بصري است . يا وقتي صدايي را به خاطر مي آوريم كه در گذشته آنرا شنيده ايم ، تجربه ما يك تصوير سمعي است . هنگامي كه احساس شيئي را در خاطر زنده كنيم كه در گذشته هم آن را لمس كرده ايم يك تصويري لامسه اي را در ذهن مجسم مي كنيم .

بويي را كه در گذشته استشمام كرده ايم اگر دوباره به ذهن برگردانيم يك تصوير بوياي است .  و به خاطر آوردن مزه خوراكي كه قبلا" آن را خورده ايم يك تصوير چشايي است . اگر احساس عضلاني را در ذهن مجسم كنيم تجربه ما يك صورت ذهني از جنبش ماهيچه اي است .

هنگام درس شاگردان را وادار كنيم تا حد امكان حواس مختلف خود را بكار ببرند .

حافظه به تداعي بستگي دارد :

حافظه به تداعي يا همخواني مربوط است . براي به يادآوردن مطالب يك موضوع خاص به نيروي پيوندهايي كه هنگام آموختن به وجود آمده است بستگي دارد . هر چه اين همخوانيها نيرومندتر باشد ، مطالب زودتر و آسان تر به يادآورده مي شوند .

تداعي در موارد زير به وجود مي آيد :

1- مجاورت : يكي از راههاي كمك به كودكان براي ايجاد بيان مطالب آن است كه اين مطالب را با هم بياوريم و نشان دهيم . در نتيجه شنيدن و ديدن واژه ها و يا اعداد كه با يكديگر نشان داده شده اند ، كودكان پيوندي بين اين دو مطالب بوجود مي آورند .

مثال :     5  =  3  : 15            15  = 5  +  3 

2- مشابهت : به خاطر سپردن و به ياد آوردن واژه name  در زبان انگليسي از آن جهت براي كودك ايراني آسان است كه با واژه (( نام )) در زبان فارسي شباهت دارد . هر چه بيشتر بتوانيم راههايي را نشان دهيم كه مطالب تازه بيشتر مطالبي باشد كه كودكان قبلا" با آن آشنايي داشته اند . 

3- تضاد : هرگاه مطالب تازه متضاد با چيزهايي باشد كه كودك به آنها آشنايي داشته است  ، مي توان از اين راه به حافظه و يادگيري او كمك كرد .

اثر علاقه : هر چه كودك به رياضي علاقه داشته باشد به آن توجه بيشتري مي كنيد و آن را بهتر به خاطر مي سپارد . پس بايد زمينه علاقمند شدن دانش آموزان را بهدرس رياضيات فراهم آوريم .

تازگي و تكرار : كودك درسي را كه ديروز آموخته است ممكن است درس شش هفته پيش خود بهتر به خاطر داشته باشد ولي اگر درس شش هفته پيش نيز به حد كافي دوره شود ، شاگر اگر از درس روز گذشته بيشتر به خاطر نداشته باشد ، كمتر به ياد نخواهد داشت بنابراين معلم درس رياضيات بايد وقت فراواني را به دوره اختصاص دهد .

اهميت ياد آوري : بايد دانش آموزان را وادار كنيم تا مطالبي را كه آموخته اند بياد آورند . بياد آوردن بيشتر از گوش دادن كوشش و فعاليت لازم دارد و هرچه شاگردان در اين باره بيشتر كوشش كنند معلومات دريافتي را بهتر به ذهن مي سپارند و كمتر فراموش مي كنند .

ب- عدم توجه :

تعدادي از دانش آموزان با اينكه عمليات مربوط به رياضي را به خوبي مي دانند ، اما به علت عدم توجه كافي دچار اشتباهاتي مي شودند كه نمره آنها را در درس رياضي كاهش مي دهد . مثالهاي زير نمونه هائي از اين اشتباهات هستند :

1- عدم توجه به علامتها :

                                                     97  ×                         97   -

                                                     4                              79    

                                                    101                           176 

2- عدم دقت به ستونها :

                                                   97                             97  

                                                79   +                             79  -

                                               1049                             707  

3- عدم توجه به نوشتن كامل اعداد :

                                                         97 

                                                        79  +

                                                      76

4- جا انداختن اعداد :

                                          97                         97 

                                         79  -                      79  +

                                         88                         106 

5- محاسبه نكردن يك عدد :

                                                                  97 

                                                                  3     ×

                                                                  921

6- به كار بردن نادرست عضو خنثي :

                                                                  91 

                                                                  13  + 

                                                                  93 

7- اشتباه در اثر مجاورت نويسي :

                                                       14 

                                                 36+ 15  +

                                                 43 9  2

                                                 979 

اين قبيل دانش آموزان در واقع عمليات مربوط به رياضي را مي دانند ، اما توجه و دقت كافي ندارند . و معلم بايد در اينگونه دانش آموزان دقت آنان را پرورش دهد . و آگاه باشد كه تمرين بيشتر و تدريس دوباره درس براي آنان بي فايده و حتي مضر خواهد بود .

 

نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 10:43 قبل از ظهر |  لینک ثابت   • 

جمعه 10 خرداد1387

اثرات مثبت و منفی تكليف شب رياضي

مسأله ديگري كه در شكست درس رياضيات سهم عمده اي دارد ، تعيين تكليف زياد ، كسل كننده اغلب نامربوط است . تعيين تكليف زياده از حد اصولا" پديده بعد از جنگ جهاني دوم است . معلمان شهر و مناطق حومه هر دو از والدين شكايت مي كنند كه معلم خوب را معلمي ميدانند كه تكليف زيادتري بدهد . زيرا آنها معتقدند ميزان يادگيري به طور مستقيم وابسته به مقدار تكليفي است

 كه توسط معلم تعيين مي شود و دانش آموز انجام مي دهد . برخي والدين به اجبار درخواست تمرين بيشتر براي كودك خود دارند . درحالي كه كودك از درك و انجام آن عاجز است . بچه هايي كه تلاش مي كنند تكليف خود را انجام دهند اغلب يك اشتباه در انجام تكليف دارند و گاهي ممكن است كه يك جمله يا كلمه و يا عدد را غلط بنويسند و تكرار اين نوشته ، در ذهنشان ملكه شود كه تغيير آن در آينده مشكل خواهد بود .

وقتي دانش آموزان كلاسهاي اول و دوم و سوم در خانه تمرين نمي كنند ، با
عدم رضايت والدين ( اعتراض ) روبرو مي شوند . و يا گاهي كه قصد انجام كار خود را دارند ، والدين دخالت مي نمايند و اغلب تكاليف بچه ها را خود انجام مي دهند تا نشان دهند به معلم كه فرزندشان چقدر باهوش است . اين باعث مي شود كه كودك اولا" خسته شود واز تكليف و مدرسه بيزار شود و ثانيا" عادت كند كه با طرفندهاي مختلف پدر و مادرش را به كمك براي تكاليف وا دارد . و خود از زير بار در رود .

علاوه بر اين معلمان تكاليف را متعادل نمي كنند . لذا ممكن است شاگردان يك شب غرق كار شوند و شب بعدي هيچ كاري نداشته باشند . عدم بازنگري و بازديد معلم از تكاليف بچه ها به دليل عدم وقت و زمان كافي نيز باعث مي شود كه بچه ها تكاليف خود راطوطي وار
و هر طور كه شد بنويسند و گاهي از مواقع جملات و كلماتي را از نوشته جا اندازند .

معلمان مي دانند كه دانش آموزان ضعيف به ندرت تكليف انجام مي دهند پس ميزان تكاليف را بر اساس تفاوتهاي فردي بچه ها تعيين مي كنند . اگر به همه بچه ها به يك اندازه تكليف داده شود ، فاصله دانش آموزان ضعيف از قوي خيلي بيشتر خواهد شد زيرا تكليف بيشتر باعث افت بيشتر دانش آموزان ضعيف مي شود و از طرفي باعث پيشرفت دانش آموز قوي خواهد شود .

يك مشكل جداگانه در مورد تكاليف خانه اين است كه محصلان احتمالا" در يك خانه
 شلوغ با سـروصداي دائمي راديـو ، تلويزيون و رفت و آمد مكرر افراد زندگي مي كنند ، توقع داشتن

 ازمحصلان براي غلبه بر اين مشكلات در 200 شب سال توقع بسيار زيادي است . نتيجه اينكه والدين بايد از چانه زدن به معلمان براي دادن تكاليف زيادتر خودداري كنند .
چرا كه به اعتقاد اكثر معلمان با داشتن آزادي در كاهش اساسي تكاليف منزل خيلي بهتر و مؤثرتر مي توانند تدريس كنند . بنابراين در تعيين تكاليف رياضي به كودكان ودانش آموزان بايد به نكاتي به شرح زير نيز توجه داشته باشيم :

1- تكليف بايد به اندازه باشد ، نه كم و نه خيلي زياد باشد .

2- در دادن تكليف بايد تفاوتهاي فردي را در نظر گرفت .

3- تكاليف بايد هدفدار باشد .

4- بايد هر روز توسط معلم به دقت بررسي شود و نقايص گوشزد شود .

5- از انجام و تعيين تكاليف تكراري بايد بپرهيزيم .

6- در كلاسهاي پايين تر بهتر است كه تكاليف در حضور معلم و در كلاس انجام شود .

 

اثرات مثبت يك تكليف شب ايده آل رياضي :

 

1- پيشرفت و يادگيري سريع رياضيات

1- بخاطر سپردن بهتر دانش و اطلاعات رياضي

2- درك بيشتر رياضي

3- تفكر انتقادي بهتر ، تشكيل مفاهيم رياضي

4- تقويت و غني سازي

2- اثرات تحصيلي
بلند مـدت

1- اشتياق به يادگيري در اوقات فراغت

2- بهبود طرز فكر نسبت به مدرسه و درس رياضيات

3- عادت به مطالعه و مهارت آموزي

3- اثرات غير تحصيلي 

1- خود راهبري بيشتر             

2- خود انضباطي بيشتر

3- تنظيم بهتر وقت                

4- كنجكاوي بيشتر

5- استقلال بيشتر

6- قدرداني بيشتر اوليا از مدرسه و شركت در فعاليتهاي مدرسه

                   جدول  شماره (( 1 ))

اثرات منفي يك تكليف شب نا مناسب رياضي :

 

1- بيزار شدن

1- از دست دادن علاقه به مطالب درسي

2- خستگي جسمي و روحي ( عاطفي )

3- محروم شدن از اوقات فراغت و فعاليتهاي اجتماعي

2- دخالت اوليا

1- فشار والدين براي انجام تكاليف و عملكرد خوب

2- اغتشاش و گيجي در خصوص تضاد بين روشهاي معلمان و والدين

3- تقلب

1- رونويسي تكاليف از ساير دانش آموزان

2- واگذاري تكاليف به ساير افراد

3- جا انداختن برخي از كلمات و جملات

4- افزايش فاصله بين دانش آموزان ضعيف و دانش آموزان ممتاز

                                جدول شماره  (( 2  ))

به توصيه (( كوپر )) در تمام پايه ها و كلاسهاي درسي بايد تكليف اجباري و به شرح ذيل داده شود .

 پــايــه

مقدار تكليف در هفته

زمان انجام هر تكليف

اول     تا     سوم

چهارم  تا    ششم

 

هفتم   تا     نهم

دهم   تا   دوازدهم

1        تا         3   تكليف

2        تا          4  تكليف

 

3       تا          5   تكليف

4       تا          5  تكليف

15 دقيقه

15   تا    45   دقيقه

 

45   تا     75   دقيقه

75   تا   120   دقيقه

 

در پايان كوپر چنين نتيجه مي گيرد كه مطالعه من نشان داد كه تكليف شب به عنوان يك ابزار آموزشي مقرون به صرفه است و بايد اهداف مختلفي را در پايه ها و كلاسهاي مختلف تحقق بخشد و انتظار ما در خصوص كارآيي آن بويژه در كوتاه مدت و در مقطع ابتدايي نبايد افزون از حد باشد .

ضمنا" بايد توجه داشته باشيم كه تكاليف شب براي ثبات يادگيري است
نه يك روش يادگيري  .

 

نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 10:41 قبل از ظهر |  لینک ثابت   • 

جمعه 10 خرداد1387

مسئله

مسئله به موقعيتي اطلاق مي شود كه در آن فرد چيزي را طلب مي كند ، ولي نمي داند كه چگونه به طور مستقيم به آن دست يابد . براي كسب مهارت در حل مسئله ، فرد بايد تمرينهاي زيادي انجام دهد . كودكان انتظار دارند كه حل كردن مسئله را صرفا" با حل كردن و بدون هيچ راهنمايي و يا بحث در اين زمينه ياد بگيرند .

مسايل در درجه اول موجب تكرار و تمرين مطالب تدريس شده مي گردند ، به كمك رياضيات مي توان كم و بيش (( جهان واقعي )) را در ذهن به نظم آورد .

چگونه مي توان حل مسئله را به شيوه مؤثري آموزش داد ؟

از آنجا كه آموزش و همينطور يادگيري حل مسئله كار دشواري است ، محققان در سالهاي اخير توجه بسياري به آن معطوف داشته اند . بر مبناي اين تحقيق مي توان چندين زمينه قابل تعميم را مشخص كرد .

راهبردهاي حل مسئله را مي توان صراحتا" آموزش داد .

زمان :

دانش آموزان بايد براي (( هضم كردن )) و تفكر كافي در مورد مسئله ، يعني زمان براي درك موضوع ، زمان براي كشف مسير حل و زمان براي فكر كردن به جواب كاملا" وقت داشته باشند . بعلاوه معلمان بايد دانش آموزان را تشويق كنند كه در صورت تمايل بيش از
رها كردن مسئله ، زمان بيشتري را براي كاركردن روي آن صرف كنند .

طرح درس :

فعاليتهاي آموزش در زمان بايد از طريق برنامه ريزي هماهنگ شوند تا دانش آموزان فرصت پرداختن به مسايل متعدد را داشته باشند .

 

راهبردهاي حل مسائل :

1- مسئله را درك كنيد .

2- نقشه اي براي حل آن طرح كنيد .

3- نقشه را اجرا كنيد .

4- براي امتحان كردن جواب به دست آمده به عقب برگرديد .

اين مدل مبنايي براي حل مسئله تشكيل مي دهد كه در بيشتر كتابهاي رياضي مدارس ابتدايي مورد استفاده قرار مي گيرد . بنابراين دانش آموزان ، ديدن ، طرح نقشه ، عمل ، وارسي را مي آموزند .

 براي حل مسايل بايد به اين شعار توجه داشت : همان طور كه مسئله را
 مي خوانيد سعي كنيد آن را حل كنيد .

1- اقدام كردن                2- يك طرح يا دياگرام بكشيد .           

3- به دنبال الگو بگرديد .         4-  جدول رسم كنيد . 

5- همه امكانها را به طور اصولي برشماريد .          6- حدس بزنيد و امتحان كنيد .

7- خواسته ها ، مفروضات و اطلاعات مورد نياز را مشخص كنيد .

8- يك جمله باز بنويسيد .   

9- مسئله اي حل كنيد كه از مسئله اصلي ساده تر يا با آن هم ارز باشد .

10- ديدگاه خود را نسبت به مسئله تغيير دهيد .

 

استفاده از مواد آموزشي دست ساز :

تحقيقات نشان داده است كه در دروسي كه در آنها از مواد آموزشي دست ساز استفاده
 مي شود نسبت به دروسي كه فاقد اين مواد آموزشي هستند از احتمال بيشتري براي ارائه فعاليتهاي رياضي برخوردارند . وقتي كه بچه ها مواد آموزشي دست ساز را به كار مي برند ، رياضيات را بهتر درك مي كنند .

ارزشيابي :

ارزشيابي بايد بخش مكملي در آموزش رياضيات باشد . بايد مشخص شود كه آيا آنچه كه ما فكر مي كنيم هر كودك بايد ياد بگيرد . امتحانات معياريابي يا مهارت به شما كمك مي كند كه كودك را بر حسب توانايي فردي او مورد ارزشيابي قرار دهيد .

نظر سنجي از والدين ، كه در فرمهاي پرشده يا جلسات اوليا و مربيان عنوان مي شود ، راهنماييهاي مفيدي در زمينه آنچه كه كودكان آموخته اند ، در اختيار مي گذارند .

تشخيص :

براي پرداختن به نيازهاي كودكان جهت يادگيري رياضيات ، نخست بايد نقاط قوت و ضعف آنها را مشخص كرده از جمله خط مشيهاي تشخيص در رياضيات ، مي توان به موارد زير اشاره كرد :

1- مطمئن شويد كه ضعف رياضي يك كودك ضعفي واقعي است .

2- به خاطر داشته باشيد كه هر كودك پيش از آن كه از نظر اداراكي به رشد نهايي برسد . از مراحل متعدد رشد عبور مي كند .

3- قوه تشخيص خود را با استفاده بدون تعصب از مواد آموزشي دست ساز تقويت كنيد .

4- در تشخيص خود ، جنبه هايي را كه براي دانش آموزان مهيج هستند ، فراموش نكنيد .

5- براي جفت و جور كردن تصاوير ذهني درست كودك انعطاف پذير و شكيباباشيد .

6- نگرش مثبتي داشته باشيد .

7- بين خطاهايي كه به طور اتفاقي رخ مي دهد و خطاهايي كه دايما" تكرار مي شود ، فرق بگذاريد .

 

درمان (( جبران عقب ماندگي )) :

درمان مناسب با تشخيص مناسب شروع مي شود . اگر تصوير روشني از نيازهاي كودك داشته باشيد مي توانيد چنان برنامه اي تنظيم كنيد كه به كمك آن پيش نيازهاي ضروري كودك برطرف گردد . شما بايد شاگردان خود را چنان گروه بندي كنيد كه كساني كه تنها به يك اشاره خاص نياز دارند و كساني كه بايد به طور فردي با آنها كار شود مشخص گردند . تحقيقات نشان داده است كه برخي از روشهاي مؤثر درمان به شرح زير مي باشد :

1- كودك را در برنامه درمان خود دخالت دهيد .

2- طرح آموزش جبراني بايد با آموزشهاي قبلي متفاوت باشد .

3- زمينه تجاري را فراهم آوريد كه به استفاده از چند حس از حواس پنجگانه
دانش آموزان نياز داشته باشد .

4- به كمك ابزارهاي واقعي ، كودك را به سوي درك شهودي از انديشه هاي رياضيات راهبري كنيد تا بتواند از اين طريق ، ادراكات خود را به صورت شفاهي و نهادين بيان كند .

5- كودك را تشويق كنيد تا جوابها را پيش از حل مسايل برآورد كند .

6- از كودك بخواهيد كه از ماشين حساب استفاده كند .

 

استفاده از فرصتهاي حساس :

معلمان بايد علاوه بر تدوين يك برنامه جديد  ، لحظه به لحظه بينديشند .

هدف نهايي آن است كه در كودكان نه تنها جمع ، تفريق ، ضرب و تقسيم را بياموزند ، بلكه مهمتر از آن اين است كه بدانند چه وقت بايد هر يك از اين اعمال را در شرايط حل مسئله به كار گيرند .

هدف از آموزش رياضي پرورش استعداد ، تقويت توانائيها ، اطلاع و آگاهي از دانش رياضي جهت درك و فهم ساير دروس و ....... است .

نقش اجتماعي رياضيات :

آيا مي توانيم براي آموزش رياضيات در دنيايي كه در آن تكنولوژي نقش عمده را بازي
مي كند نقش اجتماعي جديد پيدا كنيم ؟

دليل 1 -  رياضيات بي طرف است و در شرايطي دور از مسايل متنازع اجتماعي بهتر آموخته مي شود .

 

پيامدها : 1- آموزگاران ، همچنان سخت درون مرزهاي تخصص گرايي موضوعي خود خواهند غنود .

2- همه حكومتهايي كه رياضيات را به عنوان ابزاري كارساز براي پيشرفتهاي تكنولوژيكي و اقتصادي  مي بينند ، همچنان بيشترين اولويتها را به تدريس آن اختصاص خواهند داد .

3- رياضيات در چشم اكثر مردم عامي ، همچنان هاله جادويي و تنزه خود را ، بر فراز وابستگيهاي معمولي آدميان ، دارا خواهدبود .

4- آموزش رياضيات كمك مستقيمي به مسايل فوري اجتماعي نسل كنوني نخواهد كرد .

دليل 2 - از آنجا كه رياضيات ، هم تكنولوژي در همه شكلهاي گوناگونش ، هم سياست تعيين چگونگي كاربردش را پي ريزي مي كند ، تدريس آن بايد آگاهانه به اين مسايل مربوط باشد .

پيامدها : 1- اين كار دشواري است . به علاوه بسياري از آموزگاران رياضي ، اگر نه همه شان وظيفه خود نمي دانند كه مسايل اجتماعي و متنازع را لمس كنند .

2 - انتظار مي رود حكومتها واكنش مخالف نشان دهند . اين در برخي از كشورها كه تلاشهايي براي گنجاندن يك بخش (( مسئوليت اجتماعي )) در تدريس فيزيك ، يا براي
وارد كردن (( مطالعات صلح )) در مدارس انجام شده رخ داده است .

3- انتظار مي رود انگيزش دانش آموزان افزايش يابد .

4- آموزشگران رياضي شايد سهم حرفه اي مستقيمي در حل برخي از مسايل رودرروي جامعه انساني پيدا كنند .

5- جامعه همچنان مملو از كساني خواهد بود كه بر خوردشان با رياضيات بيشتر مطيع احساس از شكست است . كساني كه يادگيري بيشتر رياضيات را ، اگر معلوم شود كه در آينده بكارشان مي آيد . ناممكن مي پندارند .

 

در حد يك كلاس درس ، آموزگار خوب خود پيشاپيش تا حدي دست به تفكيك برنامه درسي
مي زند ، وي براي دانش آموزان پر استعدادتر مسايل پيچيده تري طرح مي كند تا پيشرفت بيشتر آنان را برانگيزد و براي كم استعدادتران مسايل ساده تر تا در آنان اعتماد به خويش و ايستاري مثبت تر نسبت به يادگيري رياضيات بيافريند .

گونه ديگر تفكيك ، بر اساس سرعت ترقي در يك برنامه درسي مشترك است كه به وضوح بدان معناست كه شاگردان ضعيفتر هنگامي كه مدرسه را ترك مي كنند مقدار كمتري از برنامه را گذرانده اند  . در برخي از كشورها اين گونه تفكيك با نگه داشتن شاگرد در يك كلاس تا هنگامي كه در جه آموختگي قابل قبولي بدست آورد انجام مي شود .

امكان بهتر كار كردن براي آموزگار :

آموزگاري كه بايد روزي 5  يا  6  كلاس داشته باشد ، وقت چنداني براي انديشيدن خويش ، فراهم آوردن مواد آموختن وي ، وارسي گونه هاي مختلف رويكردهاي بديل ، يا كار با همكاران خود براي توسعه و نوسازي يك برنامه منسجم ندارد .

از آموزگاري كه فاقد جا براي كار ، تجهيزات ، بودجه براي خريد مواد يا سفر ، وقت اختياري براي كار با همكاران يا دانش آموزان است نمي توان انتظار داشت همچون يك
(( كارورز انديشه گر )) پيشرفت زيادي داشته باشد .

آموزگار همچون (( قرباني )) :

افزودن باري بر دوش آموزگاران مثلا" از طريق ارجاع مسئوليت بيشتر در طرح برنامه درسي انتخاب روشهاي آموزشي ، و ارزيابي دانش آموزان ، بسيار ساده است .

روشن است كه همه اينها از حيث آموزش مطلوبند اگر پشت آموزگاران قوت كافي براي تحمل چنين باري را داشته باشد . نقش خدماتي رياضيات اهميت مردم فزاينده اي دارد . اين چيزي

 

 سواي نقش صافي مانند اين درس است ، چرا كه بسياري از مشاغلي كه ورود به آنها مستلزم ارائه مدارك از دانش رياضي خواسته در مرحله ورود آن را به كار نمي گيرند .

رياضيات و دشواري :

رويهمرفته مردم رياضيات را به عنوان يك درس نخست مي شناسند . براي خيلي ها رياضيات با يك احساس قوي از شكست همراه است . و خاطره آنها از رياضيات مدرسه خاطره آزمايشها ، امتحانها ، سرخوردگي و ترس از (( غلط در آوردن جواب )) است .

دختران و رياضيات :

براي دختران و پسران تمايزي قائل نشويم ، چرا كه از نظر ما تفاوت اساسي اي وجود ندارد . با وجود اين شكي نيست كه در خيلي از كشورها تفاوتهاي جنسيتي زيادي از حيث چشمداشت و دستاورد در كار هست . 

نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 10:39 قبل از ظهر |  لینک ثابت   • 

جمعه 10 خرداد1387

تاثير روش تدريس رياضي بر پيشرفت تحصيلي دانش آموز

  اثر روش تدريس رياضي معلم بر پيشرفت تحصيلي دانش آموزان مورد تأييد قرار گرفت. نتيجه اين پژوهش با تمامي پژوهشهايي كه محقق با آنها برخورد داشته، همسو مي باشد.  نبوي فرد (1373) طي تحقيق بيان مي دارد كه به نظر 86% دانش آموزان ممتاز، عامل مهم موفقيت دانش آموزان، نحوه روش تدريس دبيران آنها مي باشد شنائي، علاقبند، پاشا شريفي و هومن (1374) در تحقيقي تحت عنوان عوامل مؤثر در شكست تحصيلي دانش آموزان دوره هاي مختلف تحصيلي متناسب روش تدريس معلم با محتواي كتاب را در موفقيت مدارس مهم دانسته‌اند. كرامتي (1370) طي تحقيقي نامناسب بودن روشهاي آموزشي را در افت تحصيلي دانش آموزان در درس رياضي مؤثر دانسته است. رحيمي زاده (1381) در پژوهش خود وجود رابطه بين دانش و مهارت معلمان در دروس رياضي با افت تحصيلي را تائيد نموده است. نادري (1379) طي تحقيقي بدين نتيجه دست يافته است كه يكي از مهترين عوامل افت رياضي در استان مركزي روش تدريس ناكارآمد و سنتي معلمان است و مباني نظري چون پياژه و آزوبل و پژوهشهايي چون كيامنش (1371)، عالي (1368)، بخشي (1369) نيز بر اين يافته ها اتفاق نظر دارند و بدين ترتيب روش تدريس معلم در پيشرفت تحصيلي نقش به سزايي دارد.

نتيجه فرضيه فرعي اول: اثر ويژگيهاي عمومي تدريس در پيشرفت تحصيلي رياضي دانش آموزان مورد تأئيد قرار نگرفت.

  در نتيجه علاقه و تسلط دبير، استفاده از شيوه هاي مختلف تدريس به تناسب هر درس، استفاده از وسايل كمك آموزشي، استفاده از منابع متعدد، مهارتهاي حرفه اي معلم كه برخي از شاخص هاي ويژگيهاي عمومي تدريس در تحقيق حاضر محسوب مي شوند، در پيشرفت تحصيلي دانش آموزان مؤثر شناخته نشده‌اند. اين نتايج با يافته هاي تابان( 1377)، ثمره رضايي (1377)، عارفي (1369) در تأثير استفاده از وسايل كمك آموزشي در پيشرفت تحصيلي، و يا يافته هاي اللهياري (1380)، كرامتي (1370)، عارفي
 (1369)، كلامي (1375)، شنائي و ديگران (1374) و رحيمي زاده (1381) در تأثير و تسلط علاقه معلم به تدريس، و با توجه به نظر شعباني (1374) و شالگردي (1380) كه معلمان مي بايست از مهارتهاي حرفه اي (گفتاري، پرسش كردن، مهارتهاي ايجاد جو عاطفي) در كلاس برخوردار باشند و همچنين مطالعات IEA نيز در سال (1986) و يافته هاي سومين مطالعه رياضيات و علوم در ايران كه نشان از رابطه مثبت سوابق حرفه اي معلمان با پيشرفت تحصيلي دانش آموزان دارد. (ميرزا رضايي، 1379) همسو نمي باشد. به نظر پژوهشگر نتيجه اين فرضيه كه حاكي از عدم تفاوت دو مدرسه در اين ويژگي مي باشد، نشان
مي دهد كه در هر دو مدرسه به يك ميزان فاكتورهاي مورد نظر رعايت مي شوند.

نتيجه فرضيه فرعي دوم: اثر شيوه تدريس تمرين و تكرار معلمان رياضي در پيشرفت دانش آموزان تأئيد شد.

  نوعي از فن تمرين كه به تمرين استنباطي شناخته شده است، با علاقه، تفكر، استدلال، مباحثه و كاربرد مفاهيم و موقعيتهاي تازه توأم است. تمرينهايي كه در رابطه با قضاياي هندسي انجام مي شود و
مسئله هايي كه پس ازفهميدن اين قضيه ها و برهانها توسط دانش آموزان حل مي گردد، از اين قبيل‌اند. (صفوي، 1376، ص128)و در تمامي دروس رياضي از تمرين استنباطي كمك گرفته مي شود دانش آموزان با استفاده از مطالب آموخته شده با حل تمرينات متنوع از قوه ابتكار و تفكر خود استفاده
مي نمايند. لذا به نظر پژوهشگر يكي از شيوه هاي مهم تدريس در درس رياضي استفاده از روش تمرين و تكرار مي باشد.

نتيجه فرضيه فرعي سوم: اثر شيوه تدريس سخنراني معلمين رياضي در پيشرفت تحصيلي دانش آموزان در درس رياضي تأئيد نشد.

  نتيجه اين فرضيه يا پژوهش شنايي، علاقبند، پاشا شريفي و هومن (1374) كه بين معلمان مدارس موفق و ناموفق دوره هاي مختلف تحصيلي انجام داده اند، همسو مي باشد. آنها بيان كردند كه بين اين دو نوع از مدارس از لحاظ روشهاي تدريس سخنراني تفاوتي مشاهده نشده است. از آنجا كه روش سخنراني جزء اولين روش در شيوه هاي نوين تدريس به حساب مي آيد لذا اكثر معلمان از آن استفاده كرده اند كمااينكه هنوز بعضي از معلمان تنها از اين روش استفاده مي كنند، اما در كلاسهايي كه معلمين علاوه بر اين روش از روشهاي متنوع ديگر استفاده مي كنند، به مراتب نتايج بهتري مي گيرند.

نتيجه فرضيه فرعي چهارم: اثر شيوه تدريس پرسش و پاسخ معلمين رياضي در پيشرفت تحصيلي دانش آموزان مورد تأييد قرار گرفت.

  اين يافته با نتيجه پژوهش شنائي، علاقبند، پاشا شريفي و هومن (1374) تحت عنوان عوامل مؤثر در شكست تحصيلي دانش آموزان دوره هاي مختلف تحصيلي همسو نمي باشد. آنها بيان كرده‌اند كه بين معلمان مدارس موفق و ناموفق از لحاظ روش تدريس پرسش و پاسخ تفاوتي ديده نشده است. اين اختلاف در نتايج شايد به دليل موضوع مورد پژوهش باشد آنان در تمامي مقاطع و در تمامي دروس اين روش را سنجيده‌اند در حالي كه در پژوهش حاضر درس رياضي مورد نظر است و با توجه به مباني نظري (صفوي، 1376) پرسش و پاسخ فني است كه مي تواند در كليه روشهاي تدريس و فعاليتهاي آموزشي بكار ‌رود و توسط آن معلم، دانش آموزان را به تفكر درباره مفهومي جديد و يا بيان مطلبي كه آموخته شده تشويق مي كند و موجبات تمركز حواس و تفكر زيادتر در مورد مسئله را فراهم مي‌سازد تا شاگردان به تدريج به سطوح بالاتر يادگيري ارتقاء يابند. و به نظر محقق شيوه پرسش و پاسخ بسيار ضروري و مفيد به نظر مي‌آيد.

نتيجه فرضيه فرعي پنجم: اثر شيوه تدريس مباحثه اي معلمين رياضي در پيشرفت تحصيلي
دانش آموزان در درس رياضي تأئيد نشد.

  با توجه به مباني نظري (صفوي، 1376) بحث گروهي را در تمام درسها و موضوعها نمي توان بكار برد اين روش در مواقعي استفاده مي شود كه شركت كنندگان درباره آن اطلاعاتي داشته باشند و يا بتوانند از طريق بحث به اطلاعاتي دست يابند، اين روش در زمينه هايي كه جنبه اجتماعي دارد و تمام افراد علاقه مشترك دارند استفاده مي شود. و در ضمن در بحث گروهي معمولاً افراد شركت كننده بايد بين 6 تا20 نفر باشند. به نظر پژوهشگر نيز اين روش در تدريس رياضي كارآيي ندارد مگر در حل تمرينات رياضي پس از آن كه معلم اطلاعات لازم جهت حل تمرينات را به دانش آموزان ارائه كرده باشد.

 

با توجه به نتايج پژوهش پيشنهاد مي شود كه:

1-    با توجه به نتايج فرضي فرعي اول به نظر مي رسد كه مي بايست با برگزاري همايش و سمينارها، معلمان رياضي با مهارتهاي حرفه اي و فنون كلاسداري بيشتر آشنا شوند.

2-    براساس نتايج فرضيه فرعي دوم و چهارم به نظر مي آيد كه معلمين رياضي در تدريس خود
 مي بايست از شيوه هاي تمرين و تكرار و پرسش و پاسخ بيشتر استفاده نمايند تا بدين ترتيب موضوعات تمركز و حواس و تفكر زيادتر دانش آموزان و رسيدن به سطوح بالاتر يادگيري را فراهم نمايند و با استفاده از تمرين و تكرار جايگزيني مطالب را در ذهن دانش آموزان آسانتر سازند.

3-    با گذاشتن دوره هاي ضمن خدمت و نمايشگاهها، معلمان رياضي با وسايل كمك آموزشي رياضي و چگونگي ساخت آنها آشنا گردند.

4-    اين پژوهش در دو ناحيه 1و3، در دبيرستانهاي غير انتفاعي در دو رشته رياضي وتجربي انجام شود تا بدين ترتيب مقايسه‌اي بين مدارس دولتي و غير انتفاعي صورت گيرد.

5-    اين پژوهش در دو ناحيه 1و3، در دبيرستانها و هنرستانهاي فني و كاردانش (در تمامي رشته ها) صورت گيرد.


منابع:

1- اللهياري، صحبت ا.... (1380). بررسي مشكلات آموزش رياضي دوره متوسط شهرستان بيجار، كردستان، كميته پژوهشي اداره كل آموزش و پرورش استان كردستان.

2- بخشي، علي. (1369). افت تحصيلي، علل و چگونگي جلوگيري از آن و ايجاد انگيزش تحصيلي، چهارمين دوره مقاله نويسي علمي، دانشگاه اصفهان، اصفهان.

3- ثمره رضايي، علي. (1377). بررسي عملكرد معلمان مقطع ابتدايي (شهري و روستايي) شهرستان بم در بكارگيري روشهاي تدريس و وسايل كمك آموزشي، پايان نامه كارشناسي ارشد چاپ نشده، دانشگاه فردوسي، مشهد.

4- خير، محمد. (1367). مقايسه گرايشهاي درسي و شغلي در دو گروه از دانش آموزان موفق و ناموفق در دوره ابتدايي، مجله علوم اجتماعي و انساني، شماره اول و دوم.

5- رحيمي زاده، يدا... (1381). بررسي علل افت تحصيلي دانش آموزان در درس رياضي دوره متوسطه استان سمنان، پايان نامه كارشناسي ارشد چاپ نشده، سمنان.

6- شعباني، حسن. (1372). مهارتهاي آموزش و پرورش، چاپ پنجم، سمت، تهران.

7- شالگردي، داوود. (1380). رياضيات و زندگي، آموزش رياضي، شماره 61.

8- شنائي، باقر و ديگران (1374). عوامل مؤثر در شكست تحصيل دانش آموزان دوره هاي مختلف تحصيلي، پژوهشهاي تربيتي، شماره 3و4.

9- صفوي، امان ا... (1376). كليات روشها و فنون تدريس، معاصر، تهران.

10- عارفي، محبوبه. (1369). بررسي عوامل مؤثر در افت تحصيلي (مردودي) دانش آموزان مقطع متوسطه نظري شهركرمان از ديدگاه دبيران و دانش آموزان، پايان نامه كارشناسي ارشد چاپ نشده، دانشگاه اصفهان.

11- كرامتي، محمدرضا. (1370). بررسي و تجزيه و تحليل عوامل درون سازماني و برون سازماني مؤثر بر افت تحصيلي دانش آموزان رشته رياضي در استان اصفهان. رساله دكتري چاپ نشده، دانشگاه اصفهان.

12- كلامي، صلاح الدين. (1375). بررسي مشكلات دروس رياضي نظام جديد آموزشي متوسط استان كردستان، پايان نامه كارشناسي ارشد چاپ نشده، كردستان.

13- كيامنش، عليرضا. (1371).  ارزشيابي دروس رياضي و هندسه نظام جديد آموزشي متوسطه، فصلنامه تعليم و تربيت، شماره 3و4.

14- لين، استور. (1368). آموزشي رياضي براي دنياي فردا، ترجمه ميرزاجليلي، آموزش رياضي، شماره 24.

15- ماسن، هنري و همكاران (1368). رشد شخصيت كودك، ترجمه مهشيد ياسايي، انتشارات مركز.

16- ماشيني، جميله. (1370). عوامل مؤثر بر پيشرفت تحصيلي، فصلنامه تعليم و تربيت، شماره يك.

17- ميرزا رضايي، زهرا. (1377). شناسايي و تبيين عوامل مؤثر بر پيشرفت تحصيلي دانش آموزان سال سوم ابتدايي شركت كننده در سومين مطالعه بين المللي رياضيات و علوم، در درس علوم.


 

ABSTRACT

 

The effect of  teaching  methods of mathematics on the educational achievement of the students of the districts of 1 and 3 of mashad public high schools.

 

The general goal of this research is to investigate the affects of teaching methods on the educational method of the students . The research method is causal-comparative and the statistical population is the students of public high school. T-test and Mann- whitney tests were used For analysing the data which were obtained by research guestionnairs the results of the research show that the teaching methods "guestion and answer" and "Practice and repeat" were effective in the student’s educational achievement but the lecturing and discussion method and the general characteristics of teaching were not effective in the student’s achievement.

 

 Key words: educational achievement, teaching method, general characteristics of teaching, lecturing; practice and repeat; guestion and answer; discussion teaching methods
نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 10:37 قبل از ظهر |  لینک ثابت   • 

چهارشنبه 8 خرداد1387

نمونه سوالات امتحانی

ریاضی(3)الکترونیک
سوال جواب
سوال با فرمت pdf سوال با فرمت zip جواب با فرمت pdf جواب با فرمت zip

 

 

ریاضی(3)الکتروتکنیک
سوال جواب
سوال با فرمت pdf سوال با فرمت zip جواب با فرمت pdf جواب با فرمت zip

 

ریاضی(3)الکترونیک و مخابرات دریایی
سوال جواب
سوال با فرمت pdf سوال با فرمت zip جواب با فرمت pdf جواب با فرمت zip

 

ریاضی(3)مکانیک موتورهای دریایی
سوال جواب
سوال با فرمت pdf سوال با فرمت zip جواب با فرمت pdf جواب با فرمت zip

 

ریاضی(3)ناوبری
سوال جواب
سوال با فرمت pdf سوال با فرمت zip جواب با فرمت pdf جواب با فرمت zip

 

ریاضی(3)ساختمان
سوال جواب
سوال با فرمت pdf سوال با فرمت zip جواب با فرمت pdf جواب با فرمت zip

 

ریاضی(3)نقشه برداری
سوال جواب
سوال با فرمت pdf سوال با فرمت zip جواب با فرمت pdf جواب با فرمت zip

 

ریاضی(3)چاپ
سوال جواب
سوال با فرمت pdf سوال با فرمت zip جواب با فرمت pdf جواب با فرمت zip

 

ریاضی(3)تاسیسات
سوال جواب
سوال با فرمت pdf سوال با فرمت zip جواب با فرمت pdf جواب با فرمت zip

 

ریاضی(3)صنایع چوب و کاغذ
سوال جواب
سوال با فرمت pdf سوال با فرمت zip جواب با فرمت pdf جواب با فرمت zip

 

ریاضی(3)مکانیک خودرو
سوال جواب
سوال با فرمت pdf سوال با فرمت zip جواب با فرمت pdf جواب با فرمت zip

 

ریاضی(3)ساخت و تولید
سوال جواب
سوال با فرمت pdf سوال با فرمت zip جواب با فرمت pdf جواب با فرمت zip

 

ریاضی(3)نقشه کشی عمومی
سوال جواب
سوال با فرمت pdf سوال با فرمت zip جواب با فرمت pdf جواب با فرمت zip

 

ریاضی(3)صنایع فلزی
سوال جواب
سوال با فرمت pdf سوال با فرمت zip جواب با فرمت pdf جواب با فرمت zip

 

ریاضی(3)سرامیک
سوال جواب
سوال با فرمت pdf سوال با فرمت zip جواب با فرمت pdf جواب با فرمت zip

 

ریاضی(3)متالورژی
سوال جواب
سوال با فرمت pdf سوال با فرمت zip جواب با فرمت pdf جواب با فرمت zip

 

ریاضی(3)صنایع نساجی
سوال جواب
سوال با فرمت pdf سوال با فرمت zip جواب با فرمت pdf جواب با فرمت zip

 

ریاضی(3)صنایع شیمیایی
سوال جواب
سوال با فرمت pdf سوال با فرمت zip جواب با فرمت pdf جواب با فرمت zip

 

ریاضی(3)معدن
سوال جواب
سوال با فرمت pdf سوال با فرمت zip جواب با فرمت pdf جواب با فرمت zip

 

 

نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 1:36 بعد از ظهر |  لینک ثابت   • 

چهارشنبه 8 خرداد1387

سؤالات و پاسخنامه‌ی امتحانات نهایی سال سوم متوسطه - خرداد 1385

ریاضی(3)
سوال جواب
سوال با فرمت pdf سوال با فرمت zip جواب با فرمت pdf جواب با فرمت zip
نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 1:18 بعد از ظهر |  لینک ثابت   • 

چهارشنبه 8 خرداد1387

سؤالات و پاسخنامه‌ی امتحانات نهایی سال سوم متوسطه - خرداد 1385

حسابان
سوال جواب
سوال با فرمت pdf سوال با فرمت zip جواب با فرمت pdf جواب با فرمت zip
نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 1:18 بعد از ظهر |  لینک ثابت   • 

چهارشنبه 8 خرداد1387

سؤالات و پاسخنامه‌ی امتحانات نهایی سال سوم متوسطه - خرداد 1385

هندسه(2)
سوال جواب
سوال با فرمت pdf سوال با فرمت zip جواب با فرمت pdf جواب با فرمت zip
نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 1:17 بعد از ظهر |  لینک ثابت   • 

چهارشنبه 8 خرداد1387

سؤالات و پاسخنامه‌ی امتحانات نهایی سال سوم متوسطه - خرداد 1386

جبر و احتمال
سوال جواب
سوال با فرمت pdf سوال با فرمت zip جواب با فرمت pdf جواب با فرمت zip
نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 1:14 بعد از ظهر |  لینک ثابت   • 

چهارشنبه 8 خرداد1387

سؤالات و پاسخنامه‌ی امتحانات نهایی سال سوم متوسطه - خرداد 1386

ریاضی(3)
سوال جواب
سوال با فرمت pdf سوال با فرمت zip جواب با فرمت pdf جواب با فرمت zip
نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 1:13 بعد از ظهر |  لینک ثابت   • 

چهارشنبه 8 خرداد1387

سؤالات و پاسخنامه‌ی امتحانات نهایی سال سوم متوسطه خرداد 1386

هندسه(2)
سوال جواب
سوال با فرمت pdf سوال با فرمت zip جواب با فرمت pdf جواب با فرمت zip
نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 1:12 بعد از ظهر |  لینک ثابت   • 

چهارشنبه 8 خرداد1387

سؤالات و پاسخنامه‌ی امتحانات نهایی سال سوم متوسطه - خرداد 1386

حسابان
سوال جواب
سوال با فرمت pdf سوال با فرمت zip جواب با فرمت pdf جواب با فرمت zip
نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 1:9 بعد از ظهر |  لینک ثابت   • 

چهارشنبه 8 خرداد1387

ریاضی نوبت اول کلاس سوم

نام ونام خانوادگی=                 بسمه تعالی             مدت: 70  دقیقه            تاریخ:

                      امتحان: ریاضیات نوبت اول         پایه:سوم ابتدایی       دبستان :

 

بارم

1) عدد های زیر را به رقم وحروف بنویسید ؟

 سیصد وهفتاد (           )                       459 = (......................................)

 

 

1

2) کوچک ترین عدد سه رقمی (.............) وبزرک ترین عدد چها رقمی (.........) است

1

3) از 1038 تا 1048 به ترتیب بنویسید ؟

1

4) 3کیلو متر و400 متر چند متر است ؟ ........................

1

5) 4700متر ..............کیلو مترو................متر است ؟

1

6) با رقم های( 3- 8- 4-9) بزرگ ترین وکوچک ترین عدد چهار رقمی را بنویسید  ؟

1

7) یک کیلو گرم چند گرم است ؟................... و یک متر چند سانتی متر است ؟......

1                                             

8)  4 کیلو گرم و300گرم روی هم چند گرم است ؟...............

1

9) کدام یک از شکل های زیر چهار ضلع هم اندازه دارد ؟  زیر آن خط بکشید .

      مربع                 مستطیل                  مثلث

 

1                       

 

 

10) ضرب وتقسیم زیر را انجام دهید ؟

                                           

                 = ۷×۹                            = ۲۴ ÷۳

1

 

 

11) جمع زیر را روی محور نشان دهید  ؟                                           =  ۸+۶

               

                                                                                                                                                                                                         <---!---!---!---!---!---!---!---!---!---!---!---!---!---!---!---!---!---!---!---!---!---!

                                    18     17      16  15     14  13     12    11 10      9     8       7       6     5      4      3      2       1      0

 

 

1

 

 

 

12) اندازه ی ضلع مربعی 10 سانتی متر است ، محیط این مربع راحساب کنید ؟

                                                                                                                

1

 

13 ) هرمثلث که دو ضلع هم انذازه داشته باشد ، مثلث ................. می گوییم .

1

14) هرمثلث که سه ضلع هم اندازه داشته باشد ، مثلث ..................می گوییم .

1

15 ) هر دست لیوان 6 عدد لیوان است . 5 دست لیوان چندتا است ؟

2

16 ) درنماز جماعت مسجد یک روستا 63 نفرشرکت می کنند ، درهر ردیف 9 نفر

       می ایستند .حساب کنید نمازگزاران چند صف تشکیل می دهند ؟

 

2 

 

 

 

17) جمع وتفریق کنید                                                                                             ۳۴۷۴                                    ۴۷۱۴

                                       ۲۳۹۷ +                                ۲۳۸۶  ___

                                ___________________                            __________

نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 1:50 قبل از ظهر |  لینک ثابت   • 

چهارشنبه 8 خرداد1387

نمونه روش تدريس رياضي (( نمايشي))

در اينجا به عنوان نمونه دو تا از نمايشهايي را كه در آنها مفاهيم رياضي گنجانده شده و
مي تواند مورد استفاده معلمين و اولياي محترم قرار گيرد ، ذكر مي گردد .

1ـ نمايش تفريقهاي با انتقال :

مانند :                             235 

                                     157 -

مردي وارد كلاس مي شود : سلام ، بچه ها اسم من يكي است ، من يك خونه در جدول
( مكاني ) دارم ، آن خونه ، خونه يكي ها ست ، بچه ها من هميشه يك رقم هستم . اگر يه وقتي تعداد من زياد بشه كه به  10  برسم  يا  از  10  بيشتر  بشم .

در اين موقع مرد دوم وارد مي شود . سلام بچه ها ، آنوقت ديگر من مي آيم ، اسم من ده تايي است ، من در همسايگي يكي هستم  . اين همسايه من پسر من نيز هست ، بچه ها پسرم راست ميگه ، وقتيكه تعدادش آنقدر بشه كه به  10   يا بيشتر از  10   بشه اونوقت ديگه نمي تونه در خونه خودش جابگيرد . من ميام و كمكش مي كنم و آنچه را كه نمي تونه نگه داره با خودم به خونه خودم ميارم . خوب بچه ها من يك فرقي با پسرم دارم و اون اينكه پسرم يكي يكي زياد مي شه ولي من ده تا  ده تا زياد مي شوم . از طرفي شبيه به اون هم هستم اگر تعداد من به  ده يا بيشتر از  ده  برسد در اينصورت .

مرد سوم وارد مي شود : سلام بچه ها ،  اونوقت من مي آيم ، بچه ها اسم من صدتايي است . من در همسايگي ده تايي و يكي هستم ، ده تايي پسرم است ويكي نوه ام ، در اين خانواده كه شما مي بينيد دو پدرند و دو پسر ، اما سه نفريم .

خوب بچه ها پسرم راست ميگه ، وقتيكه تعدادش آنقدر بشه كه به ده برسد يا بيشتر از ده بشه ديگه در خونه خودش جا نمي گيره ، من مي آيم و كمكش مي كنم و آنچه
نمي تونه نگه داره با خودم به خونه ام مي آرم . راستي بچه ها تا يادم نرفته يه داستاني برايتان تعريف كنم ، يكي از روزهايي گرم تابستان ما سه نفري تصميم گرفتيم به مسافرت برويم ، هوا خيلي گرم بود ، وقتي با هم مشورت كرديم قرار شد تا به كنار دريا برويم ، رفتيم بليط يگيريم ، آقاي بليط فروش گفت : قيمت بليط براي شما سه نفري  157 ريال مي شه اول قرار شد كه هر كدام از ما همان پولي را كه مربوط به خونه ما مي شه پرداخت كنيم ، لذا هر كدام از ما پولهاي جيبمان را بيرون آورديم :

يكي مي گويد :                                   من  5 ريالي داشتم .

ده تايي مي گويد                                  من   30 ريالي داشتم .

صدتايي مي گويد :                                من  200  ريالي داشتم .

وقتي كنار هم گذاشتيم :                235 

آنوقت پول بليط را زير آن نوشتيم :     157  -

يكي : من نمي تونم 7 ريال رو بدم  چون 5  ريال دارم .

ده تايي : ولي پسر جان غصه نخور ، من كمكت مي كنم يك ده تايي به شما مي دهم ، بيا ده ريال و حالا من هم نمي تونم  50 ريال رو بدم چون بيست ريال دارم .

صدتايي : غصه نخور پسرم ، من كمكت مي كنم يك صدتايي به شما مي دهم ، بيا اين 100 ريال خوب بچه ها ما با اين كمكهايي به هم كرديم تونستيم پول بليط رو بديم و يك ساعت بعد هم به مسافرت برويم .

معلم : سعي مي كند با طرح سؤالهاي مناسب مثلا"اينكه سه نفري چقدر پول داشتند ؟
قيمت بليط چقدر بود ؟ چقدر ديگر كم داشتند تا پول بليط بدست آيد ؟ چگونه پول بليط را جور كردند ؟  تدريس را ادامه مي دهد و كلاس را جذاب مي نمايد .

2ـ ( نمونه تدريس ) ((فعّال))

نمايش جمع و تفريق متناظر :

عدد  5 = 7 - 12               12 =  7 +  5 

بچه مرشد :  مرشد (( با صداي بلند ))

مرشد : جان مرشد ، چيه بچه مرشد (( با صداي بلند ))

بچه مرشد : بيا كه جمع جَمعه  و همه حاضرند  و از اين بهتر نمي شه .

مرشد : صبر كن با هم برويم (( با تق تق وارد كلاس مي شوند ))

بچه مرشد : مرشد جان اگر اجازه بدهي بساط و پهن كنم و تو هم يك نمايش براي بچه ها بدهي

مرشد : خوب گفتي آفرين به هوشت . خوب گوش كن . نمايش بي دسلاف نمي شه اول از بچه ها بخواه تا ما را خبر كنند .  بعد شروع كنيم .

بچه مرشد : خوب بچه ها شنيديد . حالا هر كس به قدر همتش اين مرشد و
بچه مرشد رو كمك كنه .

دانش آموزان نشسته : چندتن حركت مي كنند و تعدادي سكه در داخل كشكول مرشد
 مي اندازند كه جمع تعداد سكه ها 12  تاست و سكه هاي زرد  7  تا و سكه هاي  سفيد5  تا خواهد بود .

مرشد : خوب بچه  مرشد مثل اينكه كافيه برويم سر اصل موضوع . (( با نگاه در داخل كشكول مي گويد )) . بچه مرشد من داخل كشكول را كه نگاه كردم تعدادي از سكه ها سفيد و تعدادي زرد بودند . همه را كه شمردم از تعداد انگشتان دو دست تو ، دو سكه بيشتر بود .هفت تا از سكه ها زرد هستند ، مي خواهم ببينم مي تواني بگوئي سكه هاي سفيد چند تا هستند .

بچه مرشد : فهميدم (( در حاليكه نگاه به انگشتان دو دست و سپس نگاه به انگشتان يك دست خود ميكند )) ميگويد فهميدم اما اگر اجازه بدهي من يك شعر براي بچه ها
مي خوانم اگر اونا خوب گوش كنند مي توانند از روي تعداد طوطي هايي كه من در باغ پسته ديدم به جمع سكه ها و از اتفاقاتي كه افتاده به تعداد بقيه سؤال شما پي ببرند .

مرشد : آفرين بچه مرشد  مي دونستم آبروي مرشد را حفظ مي كني . بخوان بچه مرشد  .
(( با صداي بلند ))

رفتم به باغ پسته                                        ديدم 12 طوطي       

روي درخت نشسته                                       با عجله دويدم      

وقتي نزديك رسيدم                                       ديدم  7  تا پريدند

 پرسيدم از طوطيا                                        بقيه ها چي شدند

گفتند وقتي دويدي                                       آنها خيلي ترسيدند      

                             پشت درخت پريدند

معلم : در اين موقع از يكي از بچه ها مي خواهد تا پاي تابلو بيايد و تفريق مربوط به شعر را پاي تخته بنويسد .                            5 =  7  -  12 

و سپس روبه مرشد مي كند و مي گويد : خوب آقا مرشد ، از شما ممنونيم  ، اما از شما مي خواهيم تا براي بچه هاي كلاس ، يك شعر بخوانيد اما اين شعر يك شرط دارد آنهم اينكه بايد شعري را بخواني كه شكل آن جمع باشد كه نظير تفريق بچه مرشد بشود .

مرشد : ما هم از شما كه ما را در جمع كلاس پذيرفتيد تشكر مي كنيم و چشم :

5  تـا  گنجشـك  خـستـه                            روي درخـت نـشـسته