- پدری از دو پسر تیزهوش خود می خواهد که هر کدام یک عدد انتخاب نمایند و بدون آنکه دیگری متوجه شود، عدد خود را به او بگویند. پدر بعد از شنیدن اعداد میگوید: حاصلضرب دو عددی که آنها انتخاب کرده اند، 8 یا 16 می باشد. سپس از پسر بزرگتر سئوال می کند: " آیا میدانی عددی که برادرت انتخاب کرده است چند می باشد؟"
پسر بزرگ: " نمی دانم! "
پدر از پسر کوچکتر همین سئوال را می پرسد.
پسرکوچک : " نمی دانم! "
پدر از پسر بزرگ مجددا همین سئوال را می پرسد.
پسر بزرگ: " نمی دانم! "
پدر از پسر کوچک مجددا همین سئوال را می پرسد.
پسرکوچک : " نمی دانم! "
پدر از پسر بزرگ بازهم همین سئوال را می پرسد.
پسر بزرگ: " می دانم! "
شما مي دانيد عددی که پسر کوچک انتخاب نموده است چند است؟

-> جواب : بزرگه میگه نمیدونم، پس عدد وی 16 نیست چون اگر 16 بود با توجه به حاصلضرب اعلام شده فقط عدد 1 برای پسر کوچک باقی می ماند و در آن صورت می توانست به راحتی عدد پسر کوچک را بگوید. .....
B- کوچیکه میگه نمیدونم، پس عدد وی 1 و 16 نیست. چون اگر 1 بود فقط عدد 8 ، و اگر 16 بود فقط عدد 1 برای بزرگه باقی می ماند. .....
C- بزرگه میگه نمیدونم، پس عدد وی 1 و 8 نیست. .....
D- کوچیکه میگه نمیدونم، پس عدد وی 2 و 8 نیست. .....
در این لحظه که از بزرگه سوال میشود ، او تنها عدد باقی مانده برادرش را که 4 می باشد، میتواند اعلام کند!


- به دنبال ایجاد سوء تفاهمی بین پادشاه و وزیر زیرک ، شاه دستور می دهد وزیر را در طول هفته آینده " در روزی که او نمی داند وی را در آن روز می کشند !" ، به قتل برسانند. وزیر پس از شنیدن این دستور ، کمی فکر می کند و سپس میگوید: شما هیچ روزی نمی توانید مرا بکشید!!! پادشاه از او میخواهد که شرح دهد طبق چه استدلالی جلادان نمیتوانند او را بکشند؟ اگر شما جای وزیر باهوش باشید چه پاسخی می دهید؟!!!

-> جواب: چون وزير اين استدلال را کرده بنابراين اطمينان دارد که در هيچ روزی کشته نمی شود. پس پادشاه هرروزی که بخواهد می تواند او را بکشد چون وزير مطمئن است طبق استدلال قبل که کشته نمی شود!
با فرض اين که شنبه اول هفته باشد؛ روز جمعه نمی‌تواند روز قتل وزير باشد. چرا که در اين صورت وزير روز قبل از آن (پنجشنبه)مي‌داند که فردا کشته خواهد شد و اين خلاف قول شاه است. با حذف روز جمعه اگر روز قتل پنجشنبه باشد وزير روز قبل يعنی چهار‌شنبه می‌داند که فردا کشته خواهد شد و اين خلاف قول شاه است. به اين ترتيب روز پنجشنبه هم حذف می‌شود. با استدلال مشابه روزهای ديگر هفته هم نمی‌تواند روز قتل وزير باشد. بنابراين در هيچ روزی پادشاه نمی‌تواند قول خود را عملی کند. احتمالا اين استدلال پادشاه است. ولی مشخص است که اين استدلال برخلاف ظاهر صحيح ان نمی‌تواند صحيح باشد و مثلا پادشاه می‌تواند روز دوشنبه سروقت وزير رفته و او را به قتل برساند بدون آنکه وزير از قتل خود خبر داشته باشد.

مطمئناً همه‌ي شما با اعداد گويا آشنا هستيد و درباره‌ي جبر آن‌ها مطالب زيادي شنيده‌ايد، از جمله اين كه جمع هر عدد گويا با خودش، عددي گويا و يا ضرب هر عدد گويا در خودش، عددي گويا است. امّا تا به حال از خود پرسيده‌ايد كه آيا هر عدد گويا به توان خودش لزوماً عددي گويا مي‌شود؟ يقيناً اگر عدد گوياي صحيح داشته باشيم اين حكم درست است امّا اگر عدد گوياي ما غير صحيح باشد چه طور؟ براي اين منظور حكم شگفت انگيز زير را دنبال كنيد:

حالت الف) 1عدد گوياي غير صحيحي باشد.]

چون 1 نوشت كه در آن 1

عدداوّل و هستند.چون 1=(a,b) پس و در نتيجه 1=(p,a) و لذا . با توجه به(*) چون پس (1).

چون1 [تجزيه به عوامل اوّل]و در نتيجه و با توجه به (1)، موجود است كه .چون 1=(c,d) پس   .توان p در تجزيه ي اعداد به عوامل اوّل به ترتيب عبارت هستند از: . پس توان p در تجزيه ي اعداد  به عوامل اوّل به ترتيب عبارت هستند از: . با توجه به(*) و اين كه تجزيه به عوامل اوّل يكتاست، نتيجه مي‌شود كه: بنابراين:                  

از طرفي با توجه به اين كه نتيجه مي‌شود كه . از دو رابطه ي اخير نتيجه مي‌شود: . (2)
اكنون توجه شما را به لم زير جلب مي‌كنيم:
لم: اگر p عددي اوّل و  دلخواه باشد آن‌گاه  .
اثبات لم: با استقراء‌ بر m . [جزئيات به عهده‌ي خواننده].

چون رابطه ي (2) و لم فوق با هم در تناقض هستند پس حالت الف) اتفاق نمي‌افتد.

حالت ب) 1=d .با مروري بر قسمت قبل، مي‌توان دريافت كه اين حالت نيز اتفاق نمي‌افتد.[به (*) توجه كنيد ].

اين بحث نشان مي‌دهد كه گنگ است و به اين ترتيب اين حكم شگفت انگيز اثبات مي‌شود.

منبع: سایت ریاضیدانان جوان (مورد توجه بعضی ها!)

a^2+3(b-c)^2 + √b^2+3(c-a)^2≥√3c^2+(a-b)^2√

برهان:مطابق فرض a,b.cاضلاع يك مثلث هستند در نتيجه طبق نا مساوي مثلث:

a+b>c   ,   b+c>a  ,  c+a>b

قرار دهيد:

x=a+b-c/2    ,     y=a+c-b/2    ,    z=c+b-a/2

x,y,zاعداد حقيقي مثبتي هستند كه در معادلات زير صدق مي كنند:

a=x+y  ,  b=x+z   ,  c=y+z

عبارات فوق را در نامساوي اصلي به جاي a,b,c جايگزين مي كنيم و مساله  تبديل ميشود به حل نامساوي زير:

√(x+y)^2+3(x-y)^2 +√(x+z)^2+3(x-z)^2≥√3(y+z)^2+(y-z)^2 

يا:

√x^2+y^2-xy+√x^2+z^2-xz≥√y^2+z^2+yz

دو روش براي حل اين نامساوي ارايه مي كنيم:

روش نخست يك روش جبري است بدين ترتيب كه;طرفين نامساوي را به توان 2 ميرسانيم وپس از ساده كردن نا مساوي زير به دست مي آيد:

2√x^2+y^2-xy √x^2+z^2-xz ≥ xy+yz+xz-2x^2

اگر طرف راست اين نا مساوي منفي باشد ،حكم صحيح است ولي اگر مثبت باشد،يكبار ديگر طرفين نامساوي را به توان دو مي رسانيم و پس از ساده كردن و تجزيه ي عبارات به دست آمده به نا مساوي زير مي رسيم:

3(xy+xz-yz)^2≥0

كه همواره صحيح است .

روش دوم براي اثبات اين نامساوي روش هندسي است. مطابق شكل سه پاره OA,OB,OCبه طولهاي x,y,zرا به گونه اي كنار هم قرار دهيد كه زاويه ي BOCو زاويه ي AOC هر دو برابر 60 درجه باشند.

مطابق قانون كسينوس ها مي توان اضلاعAB وAC را محاسبه كرد :

AB^2=x^2+y^2-2xy Cos 60˚=x^2+y^2-xy

AC^2=x^2+z^2-2xz Cos 60˚=x^2+z^2-xz

همچنين زاويه يBOC ،120 درجه است.پس:

BC^2=y^2+z^2-2yz Cos 120˚=y^2+z^2+yz

در مثلث ABCطبق نا مساوي مثلث:

AB+AC≥BC

و با توجه به مقادير به دست آمده براي اضلاع مثلث ABC،به دست مي آيد:

√x^2+y^2-xy +√x^2+z^2-xz≥√y^2 +z^2+yz

از آنجا كه اين سه نقطه A,B,Cممكن است روي يك خط راست واقع گردند، حالت تساوي نيز ممكن است روي دهد. در حالت تساوي ،OAنيمساز زاويه ي BOCخواهد شد  و طبق فرمول نيمساز:

OA=2OB.OC.Cos(60˚)/OB+OC=OB.OC/OB+OC

يا x=yz/y+z،كه معادل است با xy+xz=yz.

مي بينيد كه ار حل جبري نا مساوي نيز به همين نتيجه رسيديم.

(ما هر کاری می کنیم نمی تونیم شکلشو اینجا بذاریم،ولی شکلش تقریبا مشخصه ! با این حال اگه کسی خواست بهمون ایمیل بزنه واسش می فرستیم)

شيوه اي كه براي حل اين نا مساوي به كار برديم ،شيوه ي تغيير پارامتر نام دارد.

بطور كلي هر نا مساوي مربوط به اضلاع مثلث را مي توان با اين شيوه ي كلي تبديل به يك نا مساوي بر روي اعداد حقيقي مثبت كرد. بدين ترتيب كه اگر a,b,cاضلاع يك مثلث باشند بجاي a,b,cقرار دهيم x +y,x+z,x+y. كه x,y,zاعداد حقيقي مثبت هستند.

تست هوش

معرفي نرم افزارهاي آموزشي مرتبط با گروه آموزشي رياضي

نمونه سوالات : پایان ترم توابع مختلط

نام استاد : دکتر صبورملکی

تاريخ برگزاري : 20/10/86

دانشگاه : فردوسی مشهد

دانشكده : علوم ریاضی

رشته : ریاضی

1. اگر و مرز D باشد نشان دهید

2. به ازای هر z روی دایره واحد ، به کمک نظریه کوشی را حساب کنید.

3. قضیه اساسی جبر را بیان کنید .

4. طبق اصل ماکزیمم مدول بیشترین مقدار را روی ناحیه محاسبه کنید.

5. الف : سری لوران تابع   را در حوزه به دست آورید.

ب : مانده f در z=1 را بیابید.

پ : انتگرال را حساب کنید.

6. تبدیل موبیوسی را به دست آورید که را به 1- و i را به 0 و -i را به می برد. تصویر ناحیه را تحت تبدیل مشخص کنید.

7. انتگرال حقیقی را محاسبه و از آن تساوی زیر را نتیجه بگیرید .

منبع : سایت ستارگان ریاضی

نمونه سوالات : پایان ترم توابع مختلط

نام استاد : دکتر نارنجانی

تاریخ برگزاری : 30/3/1386

دانشگاه : فردوسی مشهد

دانشکده : علوم ریاضی

رشته : ریاضی

1. آ . تعریف را که در آن دنباله ای از اعداد مختلط و w عدد مختلطی است بنویسید.

ب . ثابت کنید که اگر و w = a + ib ، شرط لازم و کافی برای آنکه آن است که و .

2. قضیه ی انتگرال کوشی را بیان و اثبات کنید و نتیجه بگیرید که اگر باشد آنگاه

3. آ . بسط تیلور در z = 0 را برای sin z و cos z و sin 2z را دقیقاً با بیان جمله ی n ام بنویسید.

ب : قضیه ی یکتایی بسط تیلور را بیان و ثابت کنید .

ج : با توجه به رابطه ی و قسمت ب نتیجه بگیرید که

4. با استفاده از مانده ها و مسیر

نشان دهید که

5. آ . فرض کنیم توابع p و q در نقطه ی تحلیلی باشند و . در این صورت ثابت کنید که .

ب : مطلوب است محاسبه ی .

6. نمایش سری لوران را در طوق به دست آورید. مطلوب است که .

7. نشان دهید که اگر C مسیر ساده ی بسته ای حول مبدأ باشد آنگاه

منبع : سایت ستارگان ریاضی

منبع : سایت ستارگان ریاضی

نمونه سوالات رياضي پايه چهارم
نمونه سوالات پايه چهارم ابتدايي -    درس رياضي

عدد شش رقمي بنويسيد كه رقم صدگان آن ۵ ، صدگان هزا رآن  ۷  ودهگان آن ۳ ويكان هزا رش ۶  باشد . ...................                  

    بزرگترين وكوچكترين عدد پنج رقمي كه با ارقا م ۲،۴، ۸ ،  ۵،  ۹مي توان نوشت بنويسيد وا ختلا ف اين د و عد د رابد ست آوريد.

بارقم وبا حروف بنويسيد.                         چهل ويك هزار و پنج .................

                                                           شش هزا رو شش....................                                                       ۴۸۷۳۱۰..............................................                                    ۱۰۳۵۸ ................................................                         

                        براي  اعدا د زير يك  مسا له    بسا زيد و آن را حل كنيد .

= (۱۵۲+۸۴)-۲۸۹   

يك  شكل بكشيد وزاويه راست ، زاويه باز را مشخص  كنيد.                                                                                  

پا ره خطي به طول ۴ سا نتيمتررسم كنيد وعمود منصف آن را رسم كنيد .                          

ذوزنقه اي رسم كنيد كه طول دو خط موا زي آ ن ۳ و۲ سا نتيمتر با شد .                        

جملا ت زير را كامل كنيد.

الف- نيم خطي كه زا ويه را به دو قسمت مسا وي تقسيم  كند........................ مي گو ييم .

ب-د و خط كه زا ويه بين آنها راست با شد دو خط .......................مي گو ييم .

حا صل عمليا ت زير را بد ست آوريد .

          ۳۶۹۴۱

۲۴۸۵۲ +

   ................... 
 

            ۸۲۶۷

            ۲۴*

          .................... 
 

                    ۹۶۸۶۷

                    ۱۲۵۹۵ -

...................

يك ماشين در هر سا عت  ۶۰۰     ورق بزرگ كه هر ورق    ۱۵    صفحه كتا ب ا ست چا پ مي كند . اين ما شين د ر ۱۰   سا عت چند صفحه كتا ب چا پ مي كند.

ریاضیات پنجم