1. فرض کنید G یک گروه و N زیرگروهی نرمال از آن باشد به طوریکه . اگر تمام زیرگروههای N در G نرمال باشند، ثابت کنید  آبلی است.
   منبع: مجله فرهنگ و اندیشه ریاضی مساله ۵۲
   
   حل مساله:
   
   فرض کنید  و . بنابر فرض و لذا   و   برای یک . در نتیجه می توان نوشت:
    
                    

   
   
   باز هم می توان نوشت:
   
   
   
   
   و لذا  . پس ، یعنی  آبلی است.

   ---

   
   
2. فرض کنید G گروهی حلپذیر باشد که شرطهای زنجیر فزاینده و کاهنده در مورد زیرگروههایش صادق است. ثابت کنید که G باید گروهی متناهی باشد.
   
   منبع: مجله فرهنگ و اندیشه ریاضی مساله 1
   
   حل مساله:
   
   فرض کنیم a عضوی دلخواه از G باشد. واضح است که  و چون G در شرط زنجیرهای نزولی صدق می کند، پس لزوماً n ای طبیعی موجود است که  و لذا به ازای یک t ی صحیح،  یا ، پس مرتبه a متناهی است. چون a دلخواه بود، تمام اعضای G دارای مرتبه متناهی هستند و لذا G گروهی تابدار است.  حال نشان می دهیم که G متناهی مولد است. برای این کار یک عضو a₁ از G انتخاب می کنیم. اگر ، کار تمام است. در غیر اینصورت یک عضو   انتخاب می کنیم، پس . اگر کار تمام است و در غیر این صورت یک عضو  انتخاب می کنیم و لذا . چون G در شرط زنجیرهای صعودی صدق می کند پس از تعداد متناهی مرحله لزوماً  . پس G گروهی حلپذیر، متناهی مولد و تابدار است و در نتیجه متناهی است.

   ---

3. فرض کنید G گروهی متناهی باشد و اشتراک تمام زیرگروههای p-سیلوی آن زیرگروه همانی و یکی از p-سیلوهای آن آبلی باشد. ثابت کنید
   
   (الف) فرض کنید P₁ و P₂ و ...و P_n تمام زیرگروههای p-سیلوی G باشند که
   
   
   
   آنگاه  شامل تمام زیرگروههای p-سیلوی G نیست.
   
   (ب) دو زیرگروه p-سیلو مانند R و Q وجود دارند که .
   
   حل مساله:
   
   (الف) چون اشتراک همه زیرگروههای p-سیلوی G مساوی {e} است پس زیرگروه p-سیلویی مانند P  وجود دارد که به ازای هر i که ، . حال اگر  شامل تمام زیرگروههای p-سیلوی G باشد، آنگاه . در نتیجه PH  یک p-زیرگروه از G شامل P و لذا P شامل H است و این تناقض با تعریف H دارد.
   
   

   ---

   
   
4. فرض کنید G یک گروه متناهی نابدیهی است و یک p-گروه است. ثابت کنید q-زیرگروه سیلویی مانند Q از G وجود دارد که به ازای هر ، (p و q اعداد اول هستند. )
   
   منبع: مجله فرهنگ و اندیشه ریاضی مساله 8
   
   حل مساله:
   
   ابتدا فرض می کنیم  . در این صورت یک عدد اول q که  موجود است که  و لذا G دارای یک زیرگروه q-سیلو می باشد.  را مجموعه q-زیرگروههای سیلوی G در نظر بگیرید. بنابر قضیه سوم سیلو  و . گروه P به روش معمول روی  عمل می کند و مرتبه هر مدار  از این عمل باید  را عاد کند و لذا توانی از p خواهد بود. اگر رابطه که ، برای هر مدار  برقرار باشد، آنگاه زیرا  اجتماعی از مدارهاست و در نتیجه p مرتبه G را عاد می کند که تناقض است. لذا حداقل یک مدار به طول 1 موجود است؛ یعنی یک زیر گروه q-سیلوی پایدار تحت عمل P موجود است.
   حال فرض می کنیم که p مرتبه G را عاد کند. لذا G دارای یک زیرگروه p -سیلو خواهد بود.  در این حالت  را مجموعه p-زیرگروههای سیلوی G در نظر بگیرید. بنابر این و. پس مانند بالا که تناقض است. پس ثابت شد که در هر صورت حداقل یک زیرگروه p -سیلو تحت عمل P پایاست.
   
   

   ---

5. فرض کنید H و K دو زیر گروه از گروه جمعی باشند و . آیا می توان نتیجه گرفت که ؟
   
   منبع: مجله فرهنگ و اندیشه ریاضی مساله 13
   
   حل مساله:
   
   می دانیم که گروه جمعی بخش پذیر است و لذا بنابرقضیه رده بندی این گروهها از آنجا که  دارای عضو نابدیهی از مرتبه متناهی نیست،  با جمع مستقیم تعداد نامتناهی یکریخت است؛ یعنی . حال اگر  و داریم ؛  اما و که دیده می شود .
   
   

   ---

6. اگر G گروهی متناهی، غیربدیهی و حلپذیر باشد، ثابت کنید حداکثر یک عدد اول p وجود دارد به طوریکه برای p-زیرگروه سیلوی P ،
   
   منبع: مجله فرهنگ و اندیشه ریاضی مساله 24
   
   حل مساله:
   
   فرض کنید   سری ترکیبی G باشد. همچنین فرض کنید اعداد اول متمایز p و q از مقسوم علیه های |G| چنان وجود دارند که اگر P یک p-زیرگروه سیلو یا یک q-زیرگروه سیلو از G باشد، آنگاه . چون G حلپذیر و عوامل ترکیب در سری فوق گروههای ساده اند لذا i چنان وجود دارد که و لذا شامل q-زیرگروه سیلوی Q از G است. پس  و بنابر بحث فراتینی
   
   که تناقضی آشکار است.
   
   

   ---

7.  فرض کنید G گروهی کامل باشد( یعنی مشتق گروه برابر خود گروه باشد). ثابت کنید هر زیرگروه نرمال دوری G زیر مجموعه ای از مرکز G است.
   
   
   فرض کنید H زیر گروه نرمال دوری G باشد. می دانیم که زیر گروهی مانند K از اتومورفیسم های H چنان موجود است که
   
   
   
   
   چون H در G نرمال است، لذا
   
   
   
   
   بنابرفرض H دوری است، لذا گروه اتومورفیسم های H آبلی و در نتیجه K نیز آبلی است. بنابر این
   
   
   
   
   که نتیجه می دهد H زیرگروهی از مرکز G است.

1. برای عدد گویای x فرض کنید  که a و b کوچکترین اعداد ممکن باشند. فرض کنید . ثابت کنید  . به طور کلی تر، یک دنباله نامتناهی از توانهای گویای متمایز s چنان ارائه کنید که گویا باشد.  حل مساله

   ---

2. فرض کنید  و دنباله  در اندازه به f میل کند. نشان دهید
   .
   
   منبع: مجله فرهنگ و اندیشه ریاضی مساله 6
   
   حل مساله:
   
   چون به ازای هر n، ، پس . فرض کنید و فرض کنید زیر دنباله ای از  باشد که . چون  در اندازه به f میل می کند پس  نیز دز اندازه به f میل می کند؛ در نتیجه یک زیر دنباله  از  موجود است که تقریباً همه جا به f میل می کند. حال ؛ پس بنابر لم فاتو می توان گفت:

   

   اما داریم:
   
   

   

    که مطلب خواسته شده را نتیجه می دهد.
   
   

   ---

   
   
3.  فرض کنید E یک فضای خطی نرمدار و F زیر فضایی از E باشد. اگر E-F ناهمبند باشد، ثابت کنید F بسته است.
   
   منبع: مجله فرهنگ و اندیشه ریاضی مساله 7
   
   
   حل مساله:
   
   از آنجا که برای هر ،  همبند است، و با توجه به فرض ناهمبندی E-F، نتیجه می گیریم که به ازای هر x از E-F، (در واقع  یک بعدی است). عضو e از E-F را ثابت در نظر بگیرید و تابع را با ضابطه تعریف کنید . قرار دهید و . می توان نشان داد A و B همبند کمانی هستند. حال اگر F بسته نباشد، دنباله ای مانند از اعضای F به e همگرا خواهد بود؛ پس  به همگراست. در واقع B نقطه حدی در A  پیدا می کند و این نشان می دهد که مجموعه  همبند است که متناقض با فرض ناهمبندی است؛ پس F لزوما بسته است.
   
   

   ---

4. فرض کنید  و  . ثابت کنید اگر به ازای هر زیر مجموعه باز U از ، . ثابت کنید تقریبا همه جا f=0.
   
   منبع: مجله فرهنگ و اندیشه ریاضی مساله 10
   
   
   حل مساله:
   
   ابتدا نشان می دهیم که به ازای هر یک زیرمجموعه باز V از موجود است که
   
   

   

   برای این کار اعداد گویا را به صورت دنباله در نظر می گیریم. به ازای هر n از اعداد طبیعی قرار می دهیم:
   
   

   

   در این صورت یک زیر مجموعه باز است و به آسانی دیده می شود که  . همچنین . حال فرض کنید به ازای هر باز U از ،
   
   

   

   به ازای هر عدد را چنان انتخاب می کنیم که به ازای هر  که ، . پس  و
   
   

   

   چون  دلخواه بود بنابراین و چون  لذا تقریبا همه جا f=0.

   ---

1. فرض کنید {x_i} دنباله ای از اعداد حقیقی ناصفر باشد که رابطه زیر، بین آنها برقرار است:
   

   

   شرط لازم و کافی برای x₁ و x₂ چنان بیابید که به ازای تعدادی نامتناهی از مقدارهای x_n، n عددی صحیح باشد.
   
   منبع: کتاب حل مساله از طریق مساله - ترجمه علی ساوجی
   
   حل مساله: 
   
   با محاسبه x₃ و x₄ و x₅ می توان رابطه زیر را حدس زد که البته با استقراء ثابت می شود:
   
   

   

   اگر x₁ و x₂ متمایز باشند، بعد از چند مرحله بالاخره اندازه مخرج از صورت بیشتر می شود و در نتیجه x_n  عددی صحیح نخواهد بود. پس شرط لازم و کافی خواسته شده این است که x₁ = x₂.
   
   

   ---

   
   

1. چون d ≥ b و d ≥ c  پس می توان نوشت:
   
   
2. 
3. و در نتیجه
   
   
4. 
5. چون b + c)² ≥ 4bc)، رابطه (۱)  به دست می آید.
   
   
6. فرض کنید x عددی ناصفر باشد و . عبارات زیر را بر حسب a به دست آورید:
   

7. 

   
   
   حل مساله:
   
   تنها کافیست برای هر k ی طبیعی و با استقراء ثابت کنید که:
   

   

    

   ---

8. ثابت کنید اگر ۵ نقطه در درون یا روی مربعی به ضلع ۱ واقع باشند، در میان این نقطه ها، حداقل دو نقطه وجود دارد که فاصله آنها کمتر یا مساوی  است.
   منبع: پانصد مساله پیکارجو - ترجمه مهران اخباریفر
   
   حل مساله:
   
   مربع را به چهار مربع مساوی تقسیم کنید. بنابر اصل لانه کبوتری یکی از این چهار مربع، دست کم شامل دو نقطه از این ۵ نقطه است و فاصله این دو نقطه بیشتر از قطر این مربع یعنی  نیست.
   
   

   ---

9. ثابت کنید از بین هفت عدد طبیعی متمایز که از ۱۲۷ کمتر هستند، می توان دو عدد یافت که در نابرابریهای  صدق می کنند.
   منبع: پانصد مساله پیکارجو - ترجمه مهران اخباریفر
   
   حل مساله:
   
   اعداد ۱ تا ۱۲۶ را به شش مجموعه طوری تقسیم کنید که در هر مجموعه بزرگترین عدد، دو برابر کوچکترین عدد آن باشد. لذا مجموعه های زیر را داریم:
   
   {1,2}، {3،4،5،6}، {14،...،7}، {30،...،15}، {62،...،31}، {126،...،63}. 
   
   حال اصل لانه کبوتری نتیجه را به دست می دهد.
   
   
   

   ---

10.  فرض کنید 1=x+y+z که y، x و z اعداد حقیقی نامنفی هستند. ثابت کنید:
    
    

    

    
    منبع: المپیاد بین المللی ریاضی سال 1983
    
    حل مساله:
    
    براي ديدن حل کامل مساله به لينك زير مراجعه كنيد:
    
    http://mahdymofidyahmedy.googlepages.com/w15.gif
    
    

    ---

11.   فرض کنید:
    
    
    
    
    با استفاده از نامساوی زیر
    
    
    
    
    و به وسیله استقراء ثابت کنید:
    
    

    

    حل مساله:
    
     اگر n=1 مطلب بدیهی است. حال با استفاده از فرض استقراء و نیز نامساوی ذکر شده می توان نوشت:
    
    

    

    
    
    
    

    ---

12.  فرض کنید:
    
    

    

    
    ثابت کنید:
    
    

    

    ---

13. فرض کنید:
    
    

    

    
    ثابت کنید:
    
    

    

    
     حل مساله:
    
    از دوست عزیزم آقای حسین پوران که در اتاق ریاضیات مساله را به روش زیبایی حل کردند، متشکرم. بنده راه حل دیگری براساس نامساوی هندسی-حسابی در نظر داشتم؛ اما روش ایشان زیباتر و کوتاه تر است. برای دیدن راه حل ایشان به لینک زیر مراجعه کنید:
    
    http://img2.freeimagehosting.net/image.php?1e9cb2fbdc.jpg
    
    

    ---

14. مجموعه ی دلخواه 10 عضوی از اعداد طبیعی کوچکتر از 100 را در نظر بگیرید. ثابت کنید که می توان دو زیر مجموعه ی ناتهی مجزا ( یعنی با اشتراک تهی) از این مجموعه چنان یافت که مجموع اعضای یکی با مجموع اعضای دیگری برابر باشد.
    
    حل مساله:
    
    از mir@ که در اتاق ریاضیات مساله را حل کردند، تشکر می کنم. برای دیدن راه حل ایشان به اینجا مراجعه فرمایید.
    
    

    ---

15.  فرض کنید b ،a و c اعداد حقیقی نامنفی باشند که کمتر یا مساوی 1 نیز هستند. ثابت کنید:
    
    

    

    حل مساله:
    
    از silentcloud که در اتاق ریاضیات مساله را حل کردند، تشکر می کنم. توجه کنید که اگر c=1 ، نامساوی واضح است. حال فرض کنید عدد c مخالف 1 باشد. ادامه راه حل را در لینک زیر مطالعه فرمایید که آنرا silentcloud ارسال کرده اند:
    
    http://mahdymofidyahmedy.googlepages.com/s5.gif
    
    

    ---

16. A را مجموعه اعداد طبیعی 1 تا 1000 فرض کنید. اگر n عضوی از A باشد، ثابت کنید که لگاریتم n در پایه 10عددی گویاست اگر و فقط اگر n یکی از اعداد 1، 10، 100 و 1000 باشد.
    
    حل مساله:
    
     مجموعه A را به سه قسمت افراز کنید:
    
    الف) اعداد 1، 10، 100 و 1000؛
    
    ب) اعدادی که در تجزیه آنها فقط 2 یا 5 یا هر دو ظاهر می شود اما 10، 100 و 1000 نیستند،
    
    ج) اعدادی که بر یک عدد اول فرد غیر از 5 بخشپذیرند.
    
    با کمی دقت و با کمک برهان خلف می توان ثابت کرد که لگاریتم اعداد قسمت (ب) و قسمت (ج) ، گویا نیستند که با این کار، حل مساله کامل می شود.
    

1. فرض کنید n عددی طبیعی بزرگتر یا مساوی 2 باشد. ثابت کنید که  اصم است.
   
   
   حل مساله:
   
   به برهان خلف فرض کنید که این عدد گویا باشد. توجه کنید که این عدد یک عدد طبیعی نیست زیرا بین 2 و 3 است. در استدلال زیر می توان فرض کرد که a و b دو عدد طبیعی نسبت به هم اولند.
   

   

   که یک تناقض است زیرا نتیجه می دهد که این عدد یک عدد طبیعی است.
   
   
    

   ---

2. فرض کنید m و n اعداد طبیعی باشند. نامساوی زیر را ثابت کنید:
   
   

   

   منبع: مسابقه پاتنام آمریکا-سال۲۰۰۴
    
   حل مساله:
   
    می توان دید

   حال اگر جمله سمت راست نامساوی آخر را بوسیله بسط دو جمله ای نیوتن بسط دهید، عبارت سمت چپش، یکی از جملات آن است.

   ---

3. اگر  که ، ثابت کنید  عددی صحیح است.
   منبع: کتاب المپیاد ریاضی در ایران-تالیف دکتر عبادالله محمودیان
   
   حل مساله:
   
   مساله را به استقراء روی n حل می کنیم. برای n=1 حکم واضح است. برای اعداد کمتر یا مساوی n حکم را می پذیریم و برای n+1 ثابت می کنیم.
   

   

   بنابر فرض  ،  و  اعداد صحیح هستند که نتیجه را ثابت می کند.
   
   

   ---

4. به ازای عدد صحیح و مثبت n تعداد چهارتاییهای  از اعداد صحیح را بیابید به طوری که .
   
   منبع: کتاب حل مساله از طریق مساله-ترجمه علی ساوجی 
   
   حل مساله:
   
   ایده کلیدی که موجب روشن شدن حل مساله می شود توجه به این نکته است که تناظری یک به یک بین چهارتاییهای مجموعه مورد نظر ما و زیر مجموعه های چهارتایی مجموعه  وجود دارد. به ویژه فرض کنید  که در آن ، با زیر مجموعه  نظیر شود. به سادگی دیده می شود که این، تناظری یک به یک است. به عبارت دیگر هر عضو مجموعه مورد نظر ما، دقیقاً با یکی از زیر مجموعه های چهارتایی  متناظر است و به عکس. در نتیجه عدد خواسته شده است.

   ---

5. ثابت کنید حاصلجمع هیچ k عدد طبیعی متوالی(k>1) را نمی توان به صورت توانی از عدد 2 نوشت.
   
   منبع: کتاب المپیاد ریاضی در ایران-تالیف دکتر عبادالله محمودیان
   
   حل مساله:
   
    فرض کنید حاصلجمع k عدد طبیعی متوالی که از n شروع شده باشند به صورت توانی از عدد 2 نوشته شده باشد. می توان نوشت:
   
   

   

   بنابر این k باید زوج باشد که در این صورت عبارت داخل پرانتز آخر، فرد خواهد شد که تناقض با طرف راست دارد زیرا طرف راست، توانی از 2 است.
   
   

   ---

6. تعیین کنید به ازای چه مقادیری از عدد طبیعی n عبارت زیر مجذور کامل است:
   

   

   منبع: کتاب المپیاد ریاضی در ایران-تالیف دکتر عبادالله محمودیان
   
   حل مساله:
   
   اگر برای n=1 و n=4 مجذور کامل داریم. اگر :
   

   

   ولی هیچ مجذوری به پیمانه 5 همنهشت با 3 نیست. پس تنها n=1 و n=4 جواب مساله هستند.
   
   

   ---

7.  کوچکترین عدد طبیعی n را بیابید که اگر آخرین رقم سمت راست آنرا به سمت چپ انتقال دهیم، عدد حاصل «سه دوم» عدد n شود.
   
   منبع: کتاب المپیاد ریاضی در ایران-تالیف دکتر عبادالله محمودیان
   
   حل مساله:
   
    با نمایش اعداد طبیعی در مبنای 10 و با توجه به فرض مساله می نویسیم:
   
   
   
   
   فرض کنید:
   
   
   
   
   
   (قبل از ادامه حل مساله به این دو مثال توجه کنید: 31+2*2^10=231 و 2+568*10=5682)
   
   حال می توان نوشت:
   
   
   
   
   
   کمترین مقدار k که در این رابطه صدق می کند عبارت است از 5 و کوچکترین مقدار n به وسیله کوچکترین مقدار k و a0 به دست می آید. حال با توجه به رابطه (1) :
   
   
   
   
   
   
   

   ---

8. سه گروه از دانشمندان ریاضی از سه کشور مختلف در یک کنفرانس گرد آمده اند. می خواهیم جلسات سه نفری از این دانشمندان تشکیل دهیم به طوری که از هر گروه فقط یک نفر شرکت داشته باشد و هر دو نفر دقیقاً در یک جلسه با هم شرکت کرده باشند.
   
   الف) اگر این کار امکان پذیر باشد نشان دهید تعداد افراد هر سه گروه مساویند.
   
   ب) در حالتی که تعداد افراد هر گروه ، سه باشد نشان دهید این عمل امکان پذیر است.
   
   حل مساله:
   
    فرض کنید دانشمندان مجموعه های
   
   
   
   
   باشند. برای هر یک از اعضای مجموعه ها نقطه ای روی صفحه متناظر می کنیم (شکل زیر برای حالت 3=m=n=p نشان داده شده است).
   
   
   
   
   اگر یک دانشمند مثلا a_i با یک دانشمند مثلا b_j در یک جلسه شرکت داشته باشد یک خط بین این دو رسم می کنیم. تمام نقاط A را به هر یک از نقاط B و C و همین طور هر یک از نقاط B را به هر یک از نقاط C وصل می کنیم. منظور مساله، افراز خطوط حاصل به مثلثهایی است که سه راس آنها یکی در A ، یکی در B و یکی در C است.
   
   الف) مثلثهای مذکور از هر قسمت {A,B}، {B,C} و {A,C} دقیقاً یک خط در بر دارد؛ پس باید تعدادخطوط بین این قسمتها با هم مساوی باشند. در نتیجه mp=mn و np=mn و لذا m=n=p.
   
   ب) مثلثها می توانند به صورت زیر باشند:
   
   
   
   
   جدول زیر بیانگر حل این حالت از مساله است(a_i و b_j با c_k که از جدول به دست می آید، یک جلسه تشکیل خواهند داد و c_k در ستون a_i و سطر b_j قرار دارد.)
   
   
   
   
   (توضیح بیشتر: در حالت کلی نیز کافیست از جدولی همانند جدول بالا استفاده کنیم. ماتریسی که در داخل جدول بالا مشاهده می کنید به ماتریس دوری معروف است.)
   
   

   ---

9. همه اعداد طبیعی مانند n را پیدا کنید که برای آنها اعداد طبیعی n_k ، ...، n_2 ، n_1 همگی بزرگتر از 3 وجود داشته باشند به طوریکه:
   
   
   
   
   حل مساله:
   
   فرض کنید عدد n در شرایط مساله صدق کند. می توان دید که اگر عدد n+1 توانی از عدد 2 باشد و این توان کمتر از 10 باشد، تنها توان مورد قبول بنابر شرایط مساله عبارت است از 3؛ یعنی عدد 7 یکی از اعداد مورد نظر است. حال فرض کنید m ، بزرگتر یا مساوی 10 باشد و
   
   
   
   
   اگر عدد l حداقل 10 باشد آنگاه
   
   
   
   
   لذا بنابر استقراء
   
   
   
   
   بنابر این
   
   
   
   
   حال چون همه n_i ها فرد و بزرگتر از 3 هستند، لذا
   
   
   
   
   و در نتیجه
   
   
   
   
   که تناقض است. بنابر این تنها عدد قابل قبول، همان 7 است.
   
    

   ---

10. فرض کنید Pn،...،P1 زیر مجموعه های دو عضوی متمایز از مجموعه {a1,...,an} باشند به طوریکه اگر اشتراک Pi و Pj ناتهی باشد، آنگاه مجموعه {ai , aj} یکی از P هاست. نشان دهید که هر a دقیقاً در یک جفت از P ها ظاهر می شود.
    
    حل مساله:
    
     برای مشاهده حل این مساله به لینک زیر مراجعه فرمایید.
    
    http://mahdymofidyahmedy.googlepages.com/w20.jpg
    
    (منبع: کتاب المپیادهای ریاضی بین المللی، ترجمه محمد قاسم وحیدی اصل)
    
    
    

    ---

11.  فرض کنید y، x و z سه عدد فرد طبیعی باشند. حداقل با دو روش متفاوت ثابت کنید:
    
    
    
    
    حل مساله:
    
    در لینک زیر سه روش برای حل این مساله زیبا ارائه شده است:
    
    http://mahdymofidyahmedy.googlepages.com/w19.jpg
    
     

    ---

12.  ثابت کنید در میان اعداد روبرو، عدد اولی وجود ندارد: 10001, 100010001, 1000100010001,...
    
    حل مساله:
    
     اگر قرار دهید x=10 دنباله ی مطرح شده، به صورت زیر در می آید:
    
    
    
    
    اگر n عددی فرد باشد، مثلاً n=2m+1 ، خواهیم داشت:
    
    
    
    
    که نشان می دهد این عدد اول نیست .( توجه کنید که در این حالت m=0 یا m>0).
    
    اگر n عددی زوج باشد، مثلاً n=2m، آنگاه:
    
    
    
    
    که باز نشان می دهد عدد بالا مرکب است.
    
     

    ---

13. سکه ای را n بار پرتاب می کنیم. ثابت کنید که اگر n>2 ، احتمال آنکه در بین پرتابها دوبار متوالی پشت بیاید، برابر است با
    
    
    
    
    که F_n جمله ی n-ام دنباله فیبوناتچی است. 
    
    حل مساله:
    
    فرض کنید احتمال آنکه در n پرتاب، هیچگاه دو پشت متوالی ظاهر نشود، P_n باشد. لذا P_1 و P_2 به ترتیب یک و سه چهارم است. حال فرض کنید n>2. اگر اولین پرتاب رو بیاید، واضح است که احتمال تعریف شده {P_{n-1 است. اگر اولین پرتاب پشت بیاید، باید دومین پرتاب رو باشد و لذا احتمال اینکه در n-2 پرتاب بعدی دو پشت متوالی رخ ندهد برابر است با {P_{n-2 . قرار دهید:
    
    
    
    
    لذا
    
    
    
    
    تساوی آخر همان دنباله فیبوناتچی است که {S_n=F_{n+2. بنابر این احتمال مورد نظر برابر است با
    
    

    

     

● ویژگی های ریاضیات
▪ اولین ویژگی ریاضیات دقت است، کم و زیاد شدن یک صفر ، مثبت یا منفی در نظر گرفتن یک رقم ، پس و پیش کردن یک نماد ، اضافه کردن یک کلمه و … هر کدام می‌تواند مساله‌ای را به جوابی دیگر رساند یا صورت مساله را عوض کند.
▪ دومین ویژگی ریاضیات ، خلاصه گویی و استفاده از مطالب ، قضیه‌ها و مساله‌های اثبات شده به عنوان ابزارهایی برای حل مساله‌های جدید است و این که همواره به دنبال داده‌های صحیح و کوتاه باشیم.
● جنبه‌های مختلف ریاضیات
▪ ریاضیات به عنوان یک ابزار
یعنی وسیله‌ای برای توصیف و تجزیه و تحلیل و انتقال آن ، به دلیل گنگ و نامفهوم بودن زبانهای معمولی.
▪ ریاضیات به عنوان یک موضوع
ریاضیات علاقه می‌آفریند و لذت می‌بخشد و ارزش مطالعه محض و مستقل از کاربرد دارد که خود جنبه آزادی اندیشه را از قید زمان و مکان می‌طلبد چرا که در بسیاری از موارد مطالعات در خارج از فضای سه بعدی و در فضاهای آفریده شده توسط ریاضیدان صورت می‌گیرد. بطوری که بیشتر مفاهیم مهم ریاضی به واسطه همین ، امروز کاربرد زیادی پیدا کرده‌اند. همان طور که در ساختن بدن سالم نیاز به ورزش مکرر فیزیکی داریم.
▪ ریاضیات به عنوان یک علم
یعنی از دیدگاه کاربردی که نقش و ارزش آن در جوامع کنونی بشری روز به روز مورد توجه قرار گرفته است و کاملا محسوس می‌باشد.
▪ ریاضیات به عنوان یک مساله تربیتی
برای پرورش ونظم فکری و بالابردن قدرت اندیشه و استدلال منطقی همچنین رشد قوه خلاقیت ذهنی که شاید این جنبه از ریاضیات مهمترین هدف از تدریس آن می‌باشد.
● ریاضیات از دیدگاه دانشمندان
▪ گالیله می‌گوید: اصول ریاضیات الفبای زبانی است که خداوند جهان را با آن نوشته است و بدون کمک آنها درک یک کلمه هم غیر ممکن است. و انسان بیهوده در راهروهای تاریک و پر پیچ و خم سرگردان است.
▪ لیوناردو داوینچی معتقد است که: هیچ دانشی را نمی‌توان دانش واقعی دانست مگر این که به صورت ریاضیات متجلی شود.
▪ واجر بیکن معتقد است که: ریاضیات دروازه علوم است غفلت از ریاضیات به همه دانشها لطمه می‌زند زیرا کسی که علوم دیگر را نمی‌تواند درک کند و اشیای دیگر جهان را نمی‌شناسد. و بدتر از آن کسانی که نادانند نمی‌توانند جهالت خود را درک کنند.
▪ کانت می‌گوید: در هر بخش از علوم فیزیکی به معنای عام آن قدر از علم واقعی است که در آن ریاضیات وجود دارد یعنی علوم منهای ریاضیات یعنی هیچ.
● فرجام سخن
بنابراین اگرفردی به هر دلیل در رسیدن به هدف از ریاضی کمک نگیرد، وظیفه خود را انجام نداده است و همچنین اگر شخصی توانایی را در این مورد بدست نیاورد نه تنها توفیقی به دست نمی‌آورد، بلکه در زندگی اجتماعی نیز از طریق راههای سالم پیروزی چشمگیر نخواهد داشت. می‌توان نتیجه گرفت که ریاضیات غذای مغز است. که باید بطور حساب شده به مغز برسد. همچنین ریاضیات مانند غلتکی است که جاده ناهموار و سنگلاخ علم را صاف و ناهموار می‌سازد تا دیگر علوم در گذر زمان سرعت بیشتری بگیرند.

۱) معمای تابلو های بین دو ده

۲) معمای مسافر و راننده ی تاکسی

مسافر از لحظه ای که سوار تاکسی شد و روی صندلی عقب قرار گرفت یکریز برای راننده حرف میزد. از آن آدمهایی بود که حتی وقتی از  آنها نخواسته اند نیز، راجع به همه چیز و همه جا از سیر تا پیاز حرف میزنند. از سیاست گفت، از اقتصاد خراب گفت، از بیکاری و گرانی و تورم و خلاصه هر چه درد اجتماعی بود برای راننده گفت. راننده هم گاهگاهی نگاهی به آینه ی بالای سرش می انداخت و مسافر را در حال پرچانگی میدید. چند مرتبه هم نگاههای آنها با هم در روی آینه تلاقی کرد.

راننده که سخت کلافه شده بود و در عین حال نمیخواست بی نزاکتی کند و مسافر را برنجاند از همان حقه ی قدیمی که رانندگان تاکسی در اینگونه موارد بکار میبرند استفاده کرد و گفت: "آقای عزیز، من از چند سال پیش که شنوائی ام کم شده و سمعکی شده ام حتی وقتیکه سمعکهایم هم توی گوشهایم باشند خیلی خوب نمیشنوم چه رسد به امروز که اصلا" فراموش کرده ام آنها را از خانه بیاورم. خیلی متاسفم که حرفهای شما را ابدا" نمیشنوم". به این ترتیب مسافر خاموش شد ولی یک حسی در او میگفت که راننده میشنود ولی برای ساکت کردن او این حرف را زده است. به همین دلیل راننده را زیر چشمی ولی با دقت زیر نظر گرفته بود تا مچش را بگیرد. گاهی سرفه ای میکرد یا نفس بلندی میکشید و "آه ای روزگار"ی میگفت ببیند آیا عکس العملی در راننده پیدا میشود یا نه. ابدا" چیزی به نظرش نرسید.

حتی یکبار که یک عابر پیاده و بی احتیاط که پیدا بود از آن آدمهای خودخواهی است که حتی وقتی خودشان اشتباهی میکنند آنرا به گردن این و آن می اندازند، خودش را توی خیابان انداخت تا از عرض آن بگذرد، کم مانده بود که زیر تاکسی برود و اگر راننده بموقع ترمز محکمی نکرده بود حتما" اتفاق بدی می افتاد. عابر پیاده بعوض آنکه معذرت خواهی کند چند ناسزای ناحق نثار راننده بیچاره کرد بطوریکه مسافر هم شنید. راننده هیچ عکس العملی نشان نداد جز آنکه زیر لب گفت: "خدا رحم کرد که بموقع دیدمش!" هر کس دیگری جای راننده میبود غیر ممکن بود در مقابل آن دشنامها ساکت بماند و چیزی به عابر نگوید ولی راننده با آرامش به راه خود ادامه داد.

وقتیکه به مقصد رسیدند مسافر پیاده شد و کرایه خود را پرداخت و در حالیکه دستش را برای راننده تکان میداد از او خدا حافظی کرد. راننده هم با نگاه شیطنت آمیزی لبخندی زد و متقابلا" خدا حافظی کرد و براه افتاد. وقتیکه تاکسی چند متری دور شده بود مسافر برای آخرین بار از شیشه ی پشت نگاهی به داخل تاکسی انداخت که دوباره با نگاه راننده در روی آینه تلاقی نمود. مسافر آهسته گفت: "خودمانیم ولی تو کر نبودی، خودت را زدی به کری که من ساکت شوم".

به نظر شما آیا مسافر دلیل قانع کننده ای داشت که فکر میکرد راننده کر نبود؟ آیا ممکن است مسافر اشتباه کرده و تصورش باطل باشد و راننده واقعا" کر بوده باشد؟

باسلام

از اینکه چند روزی نبودم و نتوانستم مطالب را به روز کنم

عذرخواهم