تبليغاتX

JavaScript Codes ریاضی زیباست = زندگی زیباست

پنجشنبه 29 فروردین1387

خداکند که بیایی

نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 4:0 بعد از ظهر |  لینک ثابت   • 

پنجشنبه 29 فروردین1387

سوالات آزمون ورودی کارشناسی ارشد رشته های حسابداری

نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 3:57 بعد از ظهر |  لینک ثابت   • 

پنجشنبه 29 فروردین1387

ریاضی عمومی

نكته : تفاوت بين رابطه ي پادمتقارن و نامتقارن اين است كه رابطه ي پادمتقارن مي تواند عضوي مانند را در بر داشته باشد ( در رابطه ي پادمتقارن ، هر عضو مي تواند با خودش رابطه داشته باشد) ، در حالي كه در رابطه ي نامتقارن، اين امكان پذير نيست و رابطه ي نامتقارن هيچ عضوي به صورت ندارد. همچنين به راحتي مي توان ديد كه هر رابطه ي نامتقارن يك رابطه ي پادمتقارن است ولي عكس آن درست نيست.

تعريف رابطه ي متعدي ( تراگذري ، ترايايي ) :

گوييم رابطه ي R روي مجموعه اي مانند A « متعدي » است اگر و تنها اگر براي هر a و b و c از A ، اگر و در R باشند، آنگاه نيز در R باشد. يعني :

روي A متعدي است

روي A متعدي است

مثال 6 : هر يك از رابطه هاي زير يك رابطه ي متعدي روي مجموعه ي A ( معرفي شده در مثال 1 ) مي باشند :

تعريف رابطه ي هم ارزي :

گوييم رابطه ي R يك « رابطه ي هم ارزي » روي مجموعه ي A است اگر و تنها اگر داراي 3 ويژگي انعكاسي ، متقارن و متعدي باشد.

مثال 7 : رابطه ي زير يك رابطه ي هم ارزي روي مجموعه ي A ( معرفي شده در مثال 1 ) مي باشد :

چون هر سه ويژگي انعكاسي ، تقارني و تعدي را داراست.

مثال 8 : رابطه ي همنهشتي به پيمانه ي m ، روي مجموعه ي اعداد صحيح ، يك رابطه ي هم ارزي است. زيرا :

انعكاسي است چون :

متقارن است چون :

متعدي است چون :

تعريف رابطه ي ترتيب جزئي :

گوييم رابطه ي R يك « رابطه ي ترتيب جزئي » روي مجموعه ي A است اگر و تنها اگر داراي 3 ويژگي انعكاسي ، پادمتقارن و متعدي باشد.

مثال 9 : هركدام از رابطه هاي زير يك رابطه ي ترتيب جزئي روي مجموعه ي A ( معرفي شده در مثال 1 ) هستند.

تعريف رابطه ي ترتيب كلي :

گوييم رابطه ي R يك « رابطه ي ترتيب كلي » روي مجموعه ي A است اگر وتنها اگر R يك رابطه ي ترتيب جزئي با اين ويژگي باشد كه به ازاي هر a و b ي مجزا از A ، يا a با b ‌رابطه داشته باشد يا b با a . يعني :

مثال 10 : هريك از رابطه هاي زير يك رابطه ي ترتيب كلي روي مجموعه ي A ( معرفي شده در مثال 1 ) مي باشند.

نكته 2 : هر رابطه ي ترتيب كلي يك رابطه ي ترتيب جزئي است اما عكس آن درست نيست.

مثال 11 : اگر رابطه ي R ، رابطه ي كوچكتر يا مساوي بودن « » روي مجموعه ي A باشد، يعني R مجموعه ي تمام دوتايي هاي مرتب از باشد به طوري كه مؤلفه ي اول آن ها كوچكتر يا مساوي با مؤلفه ي دوم باشد، آنگاه R يك رابطه ي ترتيب كلي روي A است.


ادامه مطلب
نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 3:51 بعد از ظهر |  لینک ثابت   • 

پنجشنبه 29 فروردین1387

ریاضی عمومی

نكته : تفاوت بين رابطه ي پادمتقارن و نامتقارن اين است كه رابطه ي پادمتقارن مي تواند عضوي مانند را در بر داشته باشد ( در رابطه ي پادمتقارن ، هر عضو مي تواند با خودش رابطه داشته باشد) ، در حالي كه در رابطه ي نامتقارن، اين امكان پذير نيست و رابطه ي نامتقارن هيچ عضوي به صورت ندارد. همچنين به راحتي مي توان ديد كه هر رابطه ي نامتقارن يك رابطه ي پادمتقارن است ولي عكس آن درست نيست.

تعريف رابطه ي متعدي ( تراگذري ، ترايايي ) :

گوييم رابطه ي R روي مجموعه اي مانند A « متعدي » است اگر و تنها اگر براي هر a و b و c از A ، اگر و در R باشند، آنگاه نيز در R باشد. يعني :

روي A متعدي است

روي A متعدي است

مثال 6 : هر يك از رابطه هاي زير يك رابطه ي متعدي روي مجموعه ي A ( معرفي شده در مثال 1 ) مي باشند :

تعريف رابطه ي هم ارزي :

گوييم رابطه ي R يك « رابطه ي هم ارزي » روي مجموعه ي A است اگر و تنها اگر داراي 3 ويژگي انعكاسي ، متقارن و متعدي باشد.

مثال 7 : رابطه ي زير يك رابطه ي هم ارزي روي مجموعه ي A ( معرفي شده در مثال 1 ) مي باشد :

چون هر سه ويژگي انعكاسي ، تقارني و تعدي را داراست.

مثال 8 : رابطه ي همنهشتي به پيمانه ي m ، روي مجموعه ي اعداد صحيح ، يك رابطه ي هم ارزي است. زيرا :

انعكاسي است چون :

متقارن است چون :

متعدي است چون :

تعريف رابطه ي ترتيب جزئي :

گوييم رابطه ي R يك « رابطه ي ترتيب جزئي » روي مجموعه ي A است اگر و تنها اگر داراي 3 ويژگي انعكاسي ، پادمتقارن و متعدي باشد.

مثال 9 : هركدام از رابطه هاي زير يك رابطه ي ترتيب جزئي روي مجموعه ي A ( معرفي شده در مثال 1 ) هستند.

تعريف رابطه ي ترتيب كلي :

گوييم رابطه ي R يك « رابطه ي ترتيب كلي » روي مجموعه ي A است اگر وتنها اگر R يك رابطه ي ترتيب جزئي با اين ويژگي باشد كه به ازاي هر a و b ي مجزا از A ، يا a با b ‌رابطه داشته باشد يا b با a . يعني :

مثال 10 : هريك از رابطه هاي زير يك رابطه ي ترتيب كلي روي مجموعه ي A ( معرفي شده در مثال 1 ) مي باشند.

نكته 2 : هر رابطه ي ترتيب كلي يك رابطه ي ترتيب جزئي است اما عكس آن درست نيست.

مثال 11 : اگر رابطه ي R ، رابطه ي كوچكتر يا مساوي بودن « » روي مجموعه ي A باشد، يعني R مجموعه ي تمام دوتايي هاي مرتب از باشد به طوري كه مؤلفه ي اول آن ها كوچكتر يا مساوي با مؤلفه ي دوم باشد، آنگاه R يك رابطه ي ترتيب كلي روي A است.


ادامه مطلب
نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 3:50 بعد از ظهر |  لینک ثابت   • 

پنجشنبه 29 فروردین1387

اعداد افسانه ای فیبوناچی

اعداد و دنباله فیبوناچی چه طور اعدادی هستند و از کجا آمده اند؟

موضوعاتی که مانند ِ « اعداد فیبوناچی » در ریاضیا نفوذ کرده باشند، زیاد نیستند. اعداد فیبوناچی از یکی از کتاب های مهم ِ غربی به ما رسیده اند. نام این کتاب « Liber abaci » است که در سال 1202 توسط « لئوناردو - Leonardo » از Pisa نوشته شده است. لئوناردو در میان عوام مردم به « فیبوناچی – Fibonacci , 1180-1250 » یا « پسر بوناچی » مشهور است. کتاب فیبوناچی ، اولین کتاب انتشار یافته در اروپا است که از اعداد عربی – هندی استفاده کرده است. اعداد هندی -عربی اعداد 0 تا 10 هستند که مبنای سیستم دهدهی هستند. این کتاب همچنین موارد و مسائلی در مورد تولد خرگوش دارد. که اعداد فیبوناچی از همین مسائل آمده اند.

به یکی از مسائل این کتاب توجه کنید :

... « در پایان یک سال چند جفت خرگوش خواهیم داشت اگر : در ابتدای سال یک جفت خرگوش ِ بالغ داشته باشیم و هر جفت خرگوش ِ بالغ در هر ماه ، یک جفت نوزاد تولید کند که نوزادان از ماه دوم توانایی تولید نوزاد دارند. ؟ » ...

« دنباله فیبوناچی » از همین مسأله تولد خرگوش به دست می آید.

برای حل این مسأله ، جفت خرگوش های بالغ را A می نامیم . این جفت ها در پایان هر ماهه یک جفت نوزاد، که آن ها را B می نامیم، تولید می کنند. نوزادان بعد از یک ماه بالغ می شوند و یک جفت خرگوش A می شوند که پس از آن توانایی تولید مثل دارند. به این ترتیب به الگوی زیر دست می یابیم :

تعداد جفت های بالغ در ابتدای هر ماه از « دنباله ی فیبوناچی » پیروی می کند :

1 ، 1 ، 2 ، 3 ، 5 ، 8 ، 13 ، 21 ، 34 ، 55 ، 89 ، 144 ، 233

اگر فرض کنیم ، n مین جمله از« دنباله فیبوناچی » باشد آنگاه این دنباله به صورت زیر تعریف می شود :

به زبان ساده دنباله اعداد فیبوناچی این گونه است :

دو جمله ی اول این دنباله برابر با 1 است و از جمله ی سوم به بعد ، هر جمله با مجموع دو جمله ی قبل از خودش برابر است.

شاید بپرسید دنباله ی فیبوناچی جه ویژگی هایی دارد که این قدر مهم جلوه می کند ؟

یکی از ویژگی های دنباله فیبوناچی ، رابطه ی آن با « نسبت طلایی » است. برای پی بردن به این مطلب ، نسبت ِ یک جمله از دنباله فیبوناچی را به جمله ی قبل از آن تشکیل می دهیم. این کسر ها به « نسبت طلایی » میل می کنند :

نسبت طلایی را در فصل چهارم از شگفتی ها و زیبایی های ریاضی بررسی خواهیم کرد، اما خوب است بدانید نسبت طلایی را با نمایش می دهیم و رابطه ی زیر نیز بین دنباله ی اعداد فیبوناچی و توان های نسبت طلایی برقرار است :

اگر به ضرایب ِ نسبت طلایی در سمت راست تساوی ها دقت کنیم متوجه می شویم که این ضرایب هملن اعداد ِ دنباله فیبوناچی هستند و ثابت ها ی جمعی نیز اعداد فیبوناچی هستند که یک جمله دیرتر آمده اند !!!

باور نکردنی است که دو چیز کاملا ً (به ظاهر ) متفاوت ، این گونه رابطه ی تنگاتنگی با هم داشته باشند. در این موارد است که ریاضیات شگفت انگیز می شود !!!.

نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 3:33 بعد از ظهر |  لینک ثابت   • 

پنجشنبه 29 فروردین1387

عدد مهار نشدنی

آنچه در این جلسه بیان می کنیم نیرنگ و فریب نیست . این یکی از مواردی است که سال هاست ریاضی دانان را از پیشرفت باز داشته است و تا کنون کسی نمی داند چه اتفاقی می افتد.

از این جا شروع می کنیم که شما یک عدد دلخواه انتخاب کنبد و دو کار زیر را دنبال کنید :

« اگر عدد فرد است ، آن را در 3 ضرب کنید و یکی به آن بیافزایید و

اگر عدد زوج است ، آن را بر دو تقسیم کنید. »

بدون توجه به عددی که شما انتخاب ب کنید ، اگر این کار ها را تکرار کنید، پس از چند تکرار ، همیشه به عدد پایانی 1 خواهید رسید.

اجازه دهید برای اینکه با روش کار آشنا شوید ، عدد دلخواهی مانند 12 را انتخاب کنیم :

12 زوج است پس با تقسیم آن بر 2 ، به عدد 6 می رسیم؛

6 نیز زوج است پس با تقسیم آن بر 2 ، به عدد 3 می رسیم؛

3 فرد است پس آن را در 3 ضرب می کنیم و با 1 جمع می کینم، به عدد 16 می رسیم؛

16 زوج است پس با تقسیم آن بر 2 ، به عدد 8 می رسیم؛

8 زوج است پس با تقسیم آن بر 2 ، به عدد 4 می رسیم؛

4 زوج است پس با تقسیم آن بر 2 ، به عدد 2 می رسیم؛

2 زوج است پس با تقسیم آن بر 2 ، به عدد 1 می رسیم؛

باور این است : مهم نیست با چه عددی شروع کنیم ( در این جا با 12 شروع کردیم ) !!!!

به راستی که شگفت انگیز است!!!!

با چند عدد دیگر تلاش کنید و خودتان را قانع کنید که واقعا ً درست کار می شود. مثلا ً اگر با عدد 17 شروع کنیم ، پس از 12 گام به 1 می رسیم و اگر با عدد 43 شروع کنیم ، 29 گام لازم است تا به یک برسیم.

آیا واقعا ً این روش برای همه ی اعداد درست است ؟

این سؤالی است که از سال 1930 ریاضی دانان را نگران کرده است و با وجود پاداش های مالی ِ پیشنهاد شده برای اثبات این حدس ، هنوز هیچ پاسخی نیافته است.

این مسأله در ادبیات ریاضی دانان ، به مسأله ی  معروف است . امروزه با استفاده از کامپیوتر ها ، نشان  داده شده است که این مسأله برای اعداد ِ تا    درست است.

برای اینکه بهتر با این شگفتی عددی آشنا شوید، الگوی زیر را به شما پیشنهاد می کنیم که دنباله ی اعداد آغازی بین 1 تا 20 را نشان می دهد :

توجه دارید که همیشه به دور پایانی ِ   می رسیم. یعنی اگر به 4 برسیم، حتما ً به 1 می رسیم و وقتی به 1 رسیدیم اگر همچنان ادامه دهیم، همواره به 1 باز می گردیم زیرا 1 فرد است و آن را در 3 ضرب می کنیم و با یک جمع کنیم حاصل 4 است که باز در دور   قرار می گیریم.

اصلا ً دوست نداریم مانع تلاش شما برای اثبات این حدس شویم ؛ اما به شما هشدار می دهیم که اگر در راه اثبات اینکه برای تمام اعداد درست است بی نتیجه ماندید، اصلا ً دلسرد نشوید . چرا که بهترین ذهن های ریاضی در سده ی گذشته قادر به انجام آن نشده اند !!!

البته این گونه نیست که هر آنچه ما در ریاضیات می دانیم یا باور داریم که درست است ، حتما ً اثبات شده باشد. « حقایق ِ » بسیاری وجود دارند که ما بدون اثبات آن ها را می پذیریم اما این نکته را نیز می دانیم که روزی خواهد رسید که این حقایق برای همه ی موارد اثبات شوند و یا حتی پس از آنکه ما درستی آن را پذیرفته باشیم ؛ مثال هایی برای نادرستی ِ برخی از آن حقایق یافت شوند.

نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 3:31 بعد از ظهر |  لینک ثابت   • 

پنجشنبه 29 فروردین1387

اعداد خود برعکس ( متقارن )

بسیاری از واژه ها ، عبارات و جملات وجود دارند که اگر آن ها را از ابتدا به انتها بخوانیم و یا از انتها به ابتدا بخوانیم ، یکسان اند. به این گونه واژها ، عبارات و جملات ؛ واژها ، عبارات و جملات ِ خود برعکس یا متقارن می گوییم.

به واژه ها و عبارت زیر توجه کنید :

کمک

کتک

شوش

توت

داماد

شاباش

شکربترازوی وزارت برکش

به واژگان انگلیسی زیر نیز توجه کنید :

RADAR

ROTATOR

MADAM I'M ADAM

NO LEMONS, NO MELON

در تاریخ ها نیز ، روز هایی وجود دارند که خود برعکس اند ، مثلا ً بیست و یکم خرداد ِ 1230 :  

 یا بیست و یکم بهمن 1211 :

حتی می توانیم ساعات را در این زیبایی شریک کنیم ، مثلا ً ساعت ِ نه و سی و سه دقیقه و دوازده ثانیه ی شب :

، یا ساعت پنج و پنجاه ثانیه ی صبح :

یا حتی یک روز مشخص از سال ، زمان مشخصی مثلا ً روز یازدهم مرداد 1363 ، ساعت پانزده و سی و شش دقیقه و سی و یک ثانیه :

و اگر ماه ها را نیز دو رقمی بنویسیم ، تاریخ زیر خود برعکس است :

شما نیز می توانید چنین روزهایی را بیابید ، شاید روز تولد شما چنین روزی باشد !!!

اکنون به اعداد خود برعکس می پردازیم :

به چهار توان ِ اول ِ عدد 11 توجه کنید :

یک عدد خودبرعکس می تواند عددی اول یا مرکب باشد. مثلا ً 151 یک عدد ِ اول ِ خودبرعکس است و 171 یک عدد مرکب خودبرعکس است ولی نکته جالب توجه این است که به جز عدد ِ 11 ، دیگر اعداد اول خودبرعکس ، تعداد ارقام فرد دارند.

چگونه می توان یک عدد خودبرعکس ساخت ؟

این کار بسیار ساده است و از هر عددی می توان عدد ِ خودبرعکس ساخت. عدد دلخواهی را انتخاب کنید و آن را با برعکسش جمع کنید. اگر حاصل جمع، عددی خودبرعکس بود کار تمام است وگرنه حاصل را نیز با برعکسش جمع کنید. با ادامه ی این روند ، سرانجام به عدد خودبرعکس خواهید رسید. بعضی اعداد خودبرعکس پس از یک مرحله به دست می آیند و برخی بیشتر. برای نمونه اگر عدد 23 را انتخاب کنیم پس از یک مرحله ، عدد خود برعکس به دست می آید : 23 + 32 = 55 .

با انتخاب عدد 75 ، پس از دو مرحله به عدد خودبرعکس می رسیم :

و با انتخاب 86 ، پس از 3 مرحله به عدد خودبرعکس می رسیم :

اگر 97 را انتخاب کنیم ، در 6 مرحله به عدد خودبرعکس می رسیم و برای عدد 98 ، 24 مرحله تا رسیدن فاصله است. اگر عدد 196 را انتخاب کنید ، با صبر و حوصله سرانجام به عدد خودبرعکس می رسید !!!!

نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 3:29 بعد از ظهر |  لینک ثابت   • 

پنجشنبه 29 فروردین1387

اعداد کامل

در گفتار های نظریه اعداد، « عدد کامل » عددی تعریف می شود که با مجموع ِ مقسوم علیه های سره اش برابر باشد.

کوچترین عدد کامل 6 است زیرا 6=1+2+3 .

همچنین 6 تنها عددی است که مجموع و حاصلضرب ِ مقسوم علیه های سره اش است :

و همچنین و جالب است بدانید که .

عدد کامل بعدی 28 است و پس از ان عدد 496 است :

28=1+2+4+6+7+14

496=1+2+4+8+16+31+62+124+248

یونانیا ن باستان چهار عدد ِ کامل نخست را می شناختند. این اعداد 6 و 28 و 496 و 8128 هستند.

« اقلیدس » فرمولی برای یافتن اعداد کامل ارائه کرده است. اقلیدس می گوید : « اگر یک عدد اول باشد، آنگاه یک عدد کامل است . »

یعنی اگر مقداری از k را بیابیم که به ازای آن مقدار، عدد   ، اول باشد ، آنگاه می توانیم یک عدد اول بسازیم.

دقت کنید که رابطه ی اقلیدس را نمی توانیم برای همه ی مقادیر طبیعی k ، داشته باشیم زیرا اگر k یک عدد مرکب مانند pq باشد ، آنگاه 

 

بنابراین  تنها وقتی می تواند یک عدد اول باشد که k اول باشد. اما هیچ ضمانتی وجود ندارد که اگر k اول باشد ،  نیز اول باشد. به چند مقدار ِ k در جدول زیر توجه کنید :

13 11 7 5 3 2 k
8191 2047 127 31 7 3

که  عدد اول نیست در حالی که k = 11 اول است.

اگر روش اقلیدس را برای ساختن اعداد کامل به کار بریم به اعداد کامل جدول زیر می رسیم :

جدول اعداد کامل با استفاده از فرمول اقلیدس
مقدار k

مقدار  وقتی که  اول باشد

2 6
3 28
5 496
7 8128
13 33550336
17 8589869059
19 137438691328

اگربه جدول توجه کنیم گویی تمام اعداد ِ کامل یا به 6 ختم می شوند یا به 28. همچنین به نظر می رسد اعداد کامل « اعداد مثلثی » هستند که برابرند با مجموع تعدادی از اعداد طبیعی پشت سر هم که از 1 شروع می شوند. مثلا"

31+30+29+28+....+4+3+2+1=496

که در بخش های آینده به این گونه اعداد خواهیم پرداخت.

اگر یک گام جلو تر برویم باید بگوییم که هر عدد کامل بعد از 6 ، یک مجموع جزئی از سری زیر است :

مثلا ً   و  . شما باید تعدادی از این مجموع های جزئی متناظر با اعداد کامل را بیابید.

ما نمی دانیم که آیا عدد ِ کامل ِ فردی وجود دارد یا خیر!!! اما هنوز چنین عددی یافت نشده است. با استفاده از کامپیوتر ها به آسانی می توانیم اعداد کامل ِ بزرگتر را بیابیم .

منبع : سایت ستارگان ریاضی

نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 3:27 بعد از ظهر |  لینک ثابت   • 

سه شنبه 27 فروردین1387

دایرة المعارف ریاضی

نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 7:9 بعد از ظهر |  لینک ثابت   • 

سه شنبه 27 فروردین1387

آزمون دوره دکتری ریاضی-آنالیز عددی پیشرفته

از سوالات زیر به پنج سوال پاسخ دهید.

۱. با استفاده از روش کلاسیک رنگ کوتا ۴ مقدار (y(0.9 را در مساله زیر به دست آورید. (h=0.3)

0455

2. اگر 0456،نشان دهید 0457.

۳. فرض کنید 0458. 0459 را مجموعه توابعی مانند0461 روی 0460 تعریف کنید به طوریکه:

الف) 0461 در هر بازه 0462یک چند جمله ای از درجه کوچکتر یا مساوی k باشد.

ب) 0461 دارای مشتق مرتبه k-1 ام پیوسته روی 0460 باشد.

مطلوبست بعد 0459 و یک پایه برای فضای برداری 0459.

۴.  مطلوب است محاسبه بهترین تقریب تابع 0464در فاصله  0465  با نرمهای 0466 و  0467 با کثیرالجمله حداکثر از درجه سوم.

۵. با استفاده از روش خطوط مشخصه برای حل معادلات دیفرانسیل هذلولوی، معادله

0468

را مابین x=0.3 و x=0.2 با شرط

0469

روی خط y=0 به دست آورید.

۶. ثابت کنید روش تفاضل محدود کرانک نیکلسون برای معادله زیر پایدار است: 

که 0471.

مرکز تحصیلات تکمیلی در علوم پایه زنجان-سال 82 -

نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 6:54 بعد از ظهر |  لینک ثابت   • 

سه شنبه 27 فروردین1387

مسائل ریاضی 1 و 2 دبیرستان



  1.  مقدار کسینوس 36 درجه را حساب کنید (تمام جزئیات روش خود را توضیح دهید).

    حل مساله:

     برای سادگی فرض کنید (x=cos(36. بنابراین x مثبت است. حال می توان نوشت:


  2. بنابر مساله ی قبل 0022.  ثابت کنید:
     
    0023
    حل مساله:

     قرار دهید 0024ثابت می کنیم:

    0025

    داریم:
    0026

    حال اگر به جای آلفا، 18 قرار دهید، x به دست آمده ، مساله حل می شود.
  3. فرض کنید . در این صورت مقدار  را به دست آورید.

    حل مساله:

     از اتحاد زیر استفاده می کنیم:
    0019


    اگر طرفین  را به توان 2 برسانیم خواهیم داشت:

    0020

    حال اگر a=sinx و b=cosx با جایگذاری در اتحاد بالا به جواب زیر می رسیم:

    0021
  4. همه مقادیر ممکن برای عدد طبیعی b را پیدا کنید به طوری که کسر 0128 مساوی یک عدد صحیح باشد.

    منبع: کتاب ریاضی 1 استعدادهای درخشان آموزش و پرورش

    حل مساله:

    اگر کسر بالا را مساوی عدد طبیعی k  فرض کنید، خواهیم داشت 0129. حال با توجه به اینکه k  نمی تواند مساوی 1 باشد، طرف سمت چپ، منفی است و لذا k  برابر است با 2 یا 3. با بررسی مختصر می توان دید که باید b=2.
  5. ثابت کنید کسر 0147 برای همه مقادیر صحیح 0148 یک کسر ساده نشدنی است، یعنی برزگترین مقسوم علیه مشترک صورت و مخرج، ۱ است.

    منبع: کتاب ریاضی 1 استعدادهای درخشان آموزش و پرورش

    حل مساله:

    فرض کنید صورت و مخرج مضرب یک عدد طبیعی مانند n باشند. لذا برای یک k  از اعداد صحیح باید b+kn+1 نیز مضربی از n باشد. در نتیجه b+1 نیز مضربی از n است. چون b+2 مضربی از n است، لذا باید 1 نیز مضربی از n باشد. پس n=1.


  6.  اتحادهای زیر را در نظر بگیرید و به وسیله آنها سه مساله زیر را حل کنید (معمولا به اولین اتحاد، اتحاد اویلر می گویند):

    0160
      

    (الف)  ثابت کنید شرط لازم و کافی برای آنکه 0161 آن است که 0162 یا 0163.

    (ب) عبارت 0164 را به عوامل ضرب تجزیه کنید.

    (ج) اگر a و b و c سه عدد مثبت باشند و 0165، مقدار عبارت زیر را به دست آورید:
    0166

    منبع: کتاب ریاضی 1 استعدادهای درخشان آموزش و پرورش
            مسابقات ریاضی کشوری- فروردین 1365 

    حل مساله:

    (الف) با توجه به اتحاد اول، اگر 0161 آنگاه سمت چپ اتحاد اول، صفر خواهد شد و در نتیجه در سمت راست یا پرانتز اول صفر است یا پرانتز دوم. حال با توجه به اتحاد دوم، مساله الف حل می شود.

    (ب)  توجه کنید که مجموع عبارات داخل پرانتز ها صفر است. حال از مساله الف و نیز اتحاد مزدوج استفاده کنید تا به عبارت زیر که جواب مساله است، برسید:

    0167

    (ج)  با توجه به اتحاد دوم نتیجه می شود 0163. بنابراین 0168جواب مساله است.
  7. n نقطه روی یک دایره انتخاب و وترهای بین هر جفت از این نقطه ها رسم شده اند. با فرض اینکه هیچ سه وتری (مگر در نقطه های انتهایی) همرس نباشند، چند نقطه تقاطع وجود دارد؟

    منبع: کتاب حل مساله از طریق مساله-ترجمه علی ساوجی

    حل مساله:

    در شکل زیر حالت مربوط به n=5 رسم شده است. توجه کنید که هر نقطه تقاطع (داخلی) چهار نقطه را مشخص می کند و خود به وسیله چهار نقطه واقع بر دایره مشخص می شود (این چهار نقطه به شکل منحصر به فردی دو وتر را مشخص می کنند که در داخل دایره یکدیگر را قطع می کنند). پس تعداد نقطه های تقاطع 0275است.

    circle-graph

  8. می توان عدد ۵ را با در نظر گرفتن ترتیب عاملهای جمع، به ۶ طریق به صورت مجموعی از ۳ عدد طبیعی نوشت:

    0303

    فرض کنید m و n  اعداد طبیعی باشند که 0304. با در نظر گرفتن ترتیب عاملهای جمع، به چند طریق می توان عدد n را به شکل مجموعی از m عدد طبیعی نوشت؟

    منبع: کتاب حل مساله از طریق مساله-ترجمه علی ساوجی

    حل مساله:

    n  را به شکل مجموعی از n تا 1 می نویسیم. عددی که به دنبالش هستیم مساوی است با تعداد انتخابهای m-1 علامت از میان n-1 علامت جمع؛ یعنی 0305.

  9. طول ضلعهای مثلثی قائم الزاویه، سه جمله متوالی تصاعد حسابی هستند. ثابت کنید که نسبت طول ضلعهای این مثلث  ۳:۴:۵  است. 

    منبع: کتاب پانصد مساله ریاضی پیکارجو - ترجمه مهران اخباریفر

    حل مساله:

    سه طول مورد نظر به شکل  a-d ، a و a+d  هستند و لذا 0376. پس 0377. بنابر این طول ضلعهای مثلث 4d، 3d و 5d است.

  10. نشان دهید که به ازای هر عدد صحیح n، 0398 یک عدد اول نیست.

    منبع: کتاب حل مساله از طریق مساله-ترجمه علی ساوجی

    حل مساله:

    می توان نوشت:
    0399

    از طرف دیگر با حل معادلات ساده درجه 2 می توان نشان داد که

    0400
    بنابر این، 0398 همواره مرکب است و عدد اولی نیست.

  11.  مقدار عبارت زیر را - بدون استفاده از ماشین حساب - به دست آورید:

    حل مساله:

     برای دیدن حل این مساله به لینک زیر مراجعه فرمایید:

    http://mahdymofidyahmedy.googlepages.com/w16.gif

    این مساله در المپیاد ریاضی کشور در سال 1367 مطرح شده بود. (کتاب المپیاد ریاضی در ایران - تالیف دکتر عبادالله محمودیان)

  12. معادله ی زیر را حل کنید:

    La1


نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 6:52 بعد از ظهر |  لینک ثابت   • 

سه شنبه 27 فروردین1387

مسائل هندسه 1 و 2 دبیرستان




  1. مثلث زیر را در نظر بگیرید. زوایای PBC و PCA و PAB همگی مساوی و برابر با 30 درجه اند. ثابت کنید این مثلث متساوی الاضلاع است. توجه کنید که هیچ اطلاعی درباره مکان نقطه P نداریم.




    حل مساله:

     به شکل زیر توجه کنید:




    فرض کنید
    0027

    بنابر قضیه سینوسها در مثلث داریم:

    0028

    لذا می توان نوشت:

    0029

    به همین ترتیب می توان ثابت کرد که:

    0030

    باضرب اینها درهم خواهیم داشت:

    0031

    و بنابراین

    0032

    درنتیجه:

    0033

    حال فرض کنید

    0034

    می توان دید که اگر x>0 آنگاه 0035 لذا


    0036

    که نتیجه می دهد:

    0038

    بد نیست بدانیم که این مساله قابل تعمیم به چند ضلعی های محدب است. به طور مثال یک چهار ضلعی محدب را با نقطه ای در درون آن در نظر بگیرید. از این نقطه به چهار راس چهار ضلعی وصل کنید به گونه ای که همانند مساله بالا یک در میان زاویه های مساوی اما در اینجا 45 درجه ایجاد شود. در اینصورت این چهار ضلعی باید یک مربع باشد. این مطلب برای چند ضلعی های بالاتر نیز برقرار است. حالت کلی مساله را به طور ساده می توان به صورت زیر بیان کرد:
    در داخل یک n-ضلعی محدب، نقطه P را در نظر بگیرید و آنرا به همه رئوس وصل کنید. یکی از n مثلث به وجود آمده و یکی از زوایای غیر هم راس با P را انتخاب کنید. این زاویه را آلفا بنامید. حال در جهت مثلثاتی حرکت کنید و همه زوایای مثلثهای دیگر را هم که از لحاظ مکانی مشابه با این زاویه هستند (به شکل زیر توجه کنید) آلفا بنامید. ثابت کنید اگر همه این زوایا با هم برابر باشند و داشته باشیم:


    آنگاه این n-ضلعی، منتظم است.




    البته حل این مساله چندان آسان نیست. اگر به راه حل خوبی از این مساله کلی تر دسترسی پیدا کردید، خوانندگان را بی نصیب نگذارید. متشکریم.


  2. برای i=1,2 فرض کنید Ti مثلثی با اضلاع به طولهای bi , ai و ci و مساحت Ai باشد. فرض کنید که 0240 و T2 مثلثی با زوایای حاده باشد. آیا می توان نتیجه گرفت که 0241؟

    منبع: مسابقه پاتنام آمریکا سال 2004

    حل مساله:

    بله. برای i=1,2 فرض کنید 0242، 0243و 0244به ترتیب زوایای روبه رو به اضلاع bi , ai و ci باشند. چون 0246، بنابر این حداقل یکی از نامساویهای زیر برقرار است:

    0247

    بدون از دست دادن کلیت می توان فرض کرد که 0248. اما 0249 و اینکه sinx در 0250صعودی است. لذا 0251.
  3.  فرض کنید:
    0335
    ثابت کنید:
    0334

    منبع: المپیاد ریاضی مجارستان سال 1897

    حل مساله:

     فرض کنیم R شعاع دایره محیطی و r شعاع دایره محاطی مثلثی باشد که زوایای آن آلفا، بتا و گاما هستند. بنابر یک قضیه معروف داریم:

    0368

    چون r از R کوچکتر است نامساوی مورد نظر ثابت می شود.

  4. در مثلث دلخواه زیر، M وسط BC و I وسط AM است. BI را ادامه دهید تا AC را در D قطع کند. ثابت کنید مساحت مثلث ABC ، دوازده برابر مساحت مثلث AID است.



    منبع: المپیاد ریاضی در ایران، تالیف دکتر عبادلله محمودیان 

    حل مساله:

    به شکل زیر توجه کنید. چون میانه، مثلث را به دو قسمت هم مساحت تقسیم می کند بنابر این مساحت مثلث ABC چهار برابر AIC است. چون دو مثلث AIC و َAID دارای ارتفاع مشترک CH هستند کافیست ثابت کنیم AC سه برابر AD است. از I خطی موازی BC رسم می کنیم تا AC را در 'I قطع کند. چون I وسط AM است پس MC دو برابر I'I و لذا BC چهار برابر I'I است. از تشابه دو مثلث DI'I و DBC داریم:

    0371.1

    از D خطی موازی AM رسم می کنیم تا BC را در "D قطع کند. از تشابه دو مثلث AMC و D"DC داریم:

    0372.1

    اما دو مثلث BD"D و BIM نیز متشابهند، لذا

    0373


    triangle1
     
  5. مستطیلی را مطابق شکل زیر تقسیم کرده ایم که اندازه بعضی از قسمتها در شکل نشان داده شده است. اگر قطعه های مستطیل را طوری مرتب کنیم که مربعی تشکیل دهند، محیط این مربع چه خواهد بود؟

    rectangle1

    منبع: پانصد مساله ریاضی پیکار جو-ترجمه مهران اخباریفر

    حل مساله:

    طول ضلعهای مستطیل ۹ و ۱۶ است. بنابر این مساحت مربع باید ۱۴۴ باشد. پس طول ضلع مربع ۱۲ و محیط آن ۴۸ است.

  6.  به شکل زیر توجه کنید. فرض کنید ABC مثلثی دلخواه با سه زاویه حاده باشد. سه ارتفاع AD و BE و CF را امتداد دهید تا دایره محیطی را به ترتیب در سه نقطه P و Q و R قطع کنند.اگر h طول بزرگترین ارتفاع و s طول کوچکترین پاره خط از بین پاره خطهای AP و BQ و CR باشد ثابت کنید عدد 4h-۳s نامنفی است.

    حل مساله:

    می دانیم که قرینه نقطه H نسبت به هر یک از اضلاع روی دایره محیطی است. حال با توجه به خواص مقدماتی مثلث و نیز نامساوی هندسی - حسابی می توان نوشت:


  7. یک مثلث قائم الزاویه با اضلاع صحیح در نظر بگیرید. رئوس آن را به مرکز ثقل مثلث وصل کنید تا سه مثلث کوچکتر به دست آید. ثابت کنید مساحتهای این سه مثلث، اعداد صحیح زوج هستند.

     حل مساله:

     به شکل زیر توجه فرمایید:

    با استفاده از خاصیت نقطه همرسی میانه ها می توان ثا بت کرد که z=y=x  که y، x و z مساحتهای سه مثلث داخلی است و اینکه x ، یک سوم مساحت مثلث ABC است. حال با فرض اینکه زاویه C قائمه است و با توجه به سه تاییهای ف