سؤالات المپیاد ریاضی پایه سوم راهنمایی

 (فروردین 1386)

صفحه اول / صفحه دوم / صفحه سوم / صفحه چهارم /

صفحه پنجم / پاسخنامه

سؤالات المپیاد ریاضی پایه دوم راهنمایی

 (فروردین 1386)

صفحه اول / صفحه دوم / صفحه سوم / صفحه چهارم /

 صفحه پنجم / پاسخنامه

سؤالات المپیاد ریاضی پایه اول راهنمایی

(فروردین 1386)

صفحه اول / صفحه دوم / صفحه سوم / صفحه چهارم /

 صفحه پنجم / پاسخنامه

المپیاد ریاضی سوم راهنمایی

.:: زاویه و دایره ::.

دایره: (circle)

مجموعه نقاطی از صحفه که فاصله ی آن از یک نقطه به نام مرکز برابر باشند ، دایره نامیده می شود.

دایره ی c به مرکز o و شعاع R را با نماد نشان می دهیم .

وتر دایره :(circle  chord) پاره خطی که دو نقطه از محیط دایره را به هم وصل می کند . هر دایره بیشمار وتر دارد . مانند وتر های AB و CD در دایره ی C . 

قطر دایره:(circle axis) بزرگترین وتر در هر دایره را قطر می نامند . قطر وتر ی از دایره است که از مرکز می گذرد مانند قطر MN در دایره ی C.

کمان دایره :(circle arc) قسمتی از محیط دایره را می گویند که به دو نقطه روی محیط دایره محدود شده باشد. اگر دو نقطه ی A و B را روی دایره C در نظر بگیریم دو کمان پدید می آید ، کمان کوچکتر را به صورت و کمان بزرگتر را به صورت می خوانیم .

í نقطه و دایره : نقطه و دایره نسبت به هم 3 وضعیت دارند :1 نقطه داخل دایره است. 2 نقطه روی دایره است. 3 نقطه خارج دایره است .

í وضع یک خط و یک دایره نسبت به هم:

خط و دایره نسبت به هم سه حالت دارند:

1. خط خارج دایره است که در این صورت فاصله ی خط تا مرکز دایره از شعاع بزرگتر است.

2.خط بر دایره مماس است.که در این صورت فاصله ی خط تا مرکز دایره با شعاع مساوی است . یعنی d = R

3.خط دایره را در دو نقطه قطع می کند که در این صورت فاصله ی خط تا مرکز دایره از شعاع کو چکتر است.

یعنی: d < R

 í زاویه و دایره:

زاویه ی مرکزی:زاویه ای که رأس آن مرکز دایره باشد زاویه ی مرکزی نامیده می شود.

در شکل مقابل زاویه ی AOB یک زاویه مرکزی است و کمان AB کمان مقابل آن می باشد.

نکته: اندازه ی زاویه ی مرکزی با کمان مقابلش مساوی است.

زاویه ی محاطی: زاویه ی محاطی زاویه ای است که رأس آن روی دایره و اضلاع آن دو وتر از همان دایره باشند .

در شکل مقابل زاویه ی یک زاویه ی محاطی است و کمان BC ، کمان مقابل آن می باشد.

نکته :اندازه ی زاویه ی محاطی نصف کمان مقابل آن است.

زاویه ی ظلّی : هر زاویه ای که رأسش روی دایره و یک ضلع آن وتری از دایره و ضلع دیگرش بر دایره مماس باشد ، زاویه ی ظّلی نامیده می شود.

در شکل مقابل یک زاویه ی ظّلی و کمان AB کمان مقابل به زاویه ی ظّلی A می باشد.

نکته : اندازه ی زاویه ی ظّلی نصف کمان مقابل آن است.

í مثلث و دایره :

دایره ی محاطی مثلث :

3 نیمساز زوایای داخلی مثلث یکدیگر را در یک نقطه مانند o قطع می کنند.می دانیم فاصله ی نقطه ی o از 3 ضلع مثلث به یک فاصله است ؛ یعنی اگر عمودی ها ی OK ،OH و OE را بر اضلاع مثلث فرود آوریم ،داریم : OE=OH=OK

پس اگر دایره ای به مرکز O و شعاع OH رسم کنیم ، این دایره در K و H و E بر سه ضلع مثلث مماس خواهد بود .

این دایره ، دایره ی محاطی مثلث نام دارد . مرکز دایره ی محاطی مثلث نقطه ی تلاقی نیمساز های زوایای داخلی آن است.

محاسبه ی شعاع دایره ی محاطی مثلث:

شعاع دایره ی محاطی مثلث را با حرف r نشان می دهیم .

دایره ی محیطی مثلث:

سه عمود منصف اضلاع یک مثلث بر یک نقطه مانند O می گذرند. می دانیم فاصله ی O از سه رأس مثلث به یک فاصله است، یعنی OA=OB=OC

اگر به مرکز O و شعاع مثلأ OA دایره ای رسم کنیم این دایره بر دو رأس دیگر مثلث نیز عبور خواهد کرد . به این دایره ، دایره ی محیطی مثلث می گویند .

مرکز دایره ی محیطی مثلث نقطه ی تقاطع عمود منصف های اضلاع آن است.

محاسبه ی شعاع دایره ی محیطی مثلث:

شعاع دایره ی محیطی مثلث را با حرف R نشان می دهند . در شکل زیر به دو مثلث توجه کنید ؛ این دو مثلث با هم متشابهند .

تناسب اضلاع متناظر دو مثلث را می نویسیم:

لذا در هر مثلث حاصل ضرب دو ضلع برابر است با : قطر دایره ی محیطی در ارتفاع وارد بر ضلع سوم یعنی :

از طرفی می دانیم مساحت مثلث برابر است با : 

حالا با توجه به رابطه ی (1) و (2) می توان نوشت:

دایره و چند ضلعی های متنظم :

چند ضلعی متنظم: چند ضلعی که تمام اضلاع آن با هم و همه ی زاویه هایش نیز با هم مساوی باشند یک چند ضلعی متنظم نامیده می شود . مانند مربع که یک چهار ضلعی متنظم است.

رسم چند ضلعی متنظم:

برای رسم یک n ضلعی متنظم کافی است دایره ای را به n قسمت مساوی تقسیم کرده و نقاط تقسیم را به هم وصل کنیم .

تقسیم دایره به n قسمت مساوی به صورت زیر انجام می شود:

1. یک زاویه ی مرکزی به اندازه ی رسم کنیم .

2.وتر نظیر این زاویه مرکزی را می کشیم .

3. پرگار را به اندازه ی این وتر باز کرده و پشت سر هم کمان های متوالی می زنیم تا دایره به n قسمت مساوی تقسیم شود .

 بازی و ریاضی :

ساخت چند ضلعی های متنظم با گره زدن کاغذ

پنج ضلعی متنظم:

نوار بلند کاغذی آماده کنید که عرض یکسان داشته باشد.

برای ساخت یک پنج ضلعی متنظم با این نوار به تر تیب زیر عمل کنید:

1. دو سر نوار را بگیرید و با آن یک گره ساده بزنید

مانند شکل زیر:

2. گره را به آرامی سفت کنید و رد های کاغذ را صاف کنید.

3. نوار های اضافی را ببرید ،پنج ضلعی متنظم بوجود می آید.

4. گره را باز کنید و ذوزنقه های تشکیل شده را با هم بررسی و مقایسه کنید.

هفت ضلعی متنظم:

نوار بلند کاغذی آماده کنید که عرض یکسان داشته باشد.

برای ساخت یک هفت ضلعی متنظم با این نوار به ترتیب زیر عمل کنید:

1. دو سر نوار را بگیرید و با آن یک گره ساده بزنید. (مانند پنج ضلعی متنظم)

2. گره را سفت نکنید و وسط گره (ناحیه ی 1) را در نظر داشته باشید.

3. مجددأ یک سر نوار را به قصد زدن گره دوم زیر سر دیگر برده ،و از ناحیه 1 (وسط گره اول) عبور دهید.

4. گره را به آرامی سفت کنید و رد های کاغذ را صاف کنید.

5. نوار های اضافی را ببرید ،هفت ضلعی متنظم بوجود می آید. 

 þ تست1 :

در شکل مقابل وتر های AB و CD بر هم عمودند . اندازه ی کمان کدام است؟  

 þ تست2 :  

در اين مقاله سعي شده است بيان مختصري از بحث گسترده فركتال ارائه شود.

اگر بخواهيم از ديد كلي به بحث فركتال نگاه كنيم آن را مي توان به 3 دسته تقسيم بندي كرد :

1-     هندسه فركتال : در اين قسمت از ديد رياضي به فركتال نگاه مي شود كه بيشتر مورد توجه رياضي دان ها قرار گرفته اما پايه هاي قسمت هاي بعدي نيز مي باشد ، و تا با عناصر اصلي فركتال و چگونگي ايجاد اين فرم آشنا نشويم نمي توان فرم هاي مختلف و حجم هاي مختلف را شناسايي كرد.

2-     فرم فركتال : قسمت دوم اين مقاله است ، با توجه به اينكه ،محصول هندسه فركتال فرمي است كه دقيقاً آن مشخصه هاي هندسي مربوطه را دارد . در اين بخش فرم هايي همچون فرم هاي درخت ، فرم هاي مندلبرت ، فرمهاي موجود در طبيعت ، ايجاد فرم هاي رندوم (Random fractal) ، خود متشابهي (self similarity) ، فركتال در نقاشي ( آثار نقاشاني چون جكسون پالاك ) و … مورد بررسي قرار خواهد گرفت .

3-     حجم فركتال ( فركتال در معماري ) : نتيجه فرم هاي مختلف مي تواند به يك اثر معماري منتج شود لذا در اين بخش حجم هاي فركتالي و آثار معماري مطرح مي شود .

-------

اشكال فركتالي چنان با زندگي روزمره ما گره خورده كه بسيار جالب  است. با كمي دقت به اطراف خود، مي توان بسياري از اين اشكال را يافت. از گل فرش زير پاي شما و گل كلم درون مغازه هاي ميوه فروشي گرفته تا شكل كوه ها، ابرها، دانه برف و باران، شكل ريشه، تنه و برگ درختان و بالاخره شكل سرخس ها، سياهرگ و حتي مي توان از اين هم فراتر رفت : سطح كره ماه ، منظومه شمسي و ستارگان  .

البته در بخش فرم هاي فركتال اين موضوع  بيشتر مشهود است به طوري كه بسياري از فرمهاي خلقت داراي ساختاري فركتال هستند .  

اين روزها از فراکتالها به عنوان يکي از ابزارهاي مهم در گرافيک رايانه اي نيز نام مي برند، اما هنگام پيدايش اين مفهوم جديد بيشترين نقش را در فشرده سازي فايلهاي تصويري بازي می کنند.

 فركتال از منظر  هندسي

 هندسه فرکتالي يا هندسه فرکتال ها پديده ايست که چندي پيش پا به دنياي رياضيات گذاشت.

واژه فرکتال در سال 1976  توسط رياضيدان لهستاني به نام بنوئيت مندلبرات وارد دنياي رياضيات شد.

او در سال 1987 پرفسوري خود را در رشته رياضيات گرفت.

مندلبرات وقتي که بر روي تحقيقي پيرامون طول سواحل انگليس مطالعه مي نمود به اين نتيجه رسيد که هر گاه با مقياس بزرگ اين طول اندازه گرفته شود بيشتر از زماني است که مقياس کوچکتر باشد.

از لحاظ واژه مندلبرات انتخاب  اصطلاح فرکتال (fractal) را از واژه لاتين fractus  يا fractum (به معني شکسته ) گرفت  تا بر ماهيت قطعه قطعه شونده كه يكي از مشخصه هاي اصلي اين فرم است ،تاکيد داشته باشد .

فرهنگستان زبان هم واژه برخال را تصويب کرده و همچنين براي واژه فرکتالي واژه برخالي را تصويب کرده  است.

واژه فركتال به معناي سنگي است كه به شكل نامنظم شكسته شده باشد.

اما در هندسه :

فرکتال از ديد هندسي به شيئي گويند که داراي سه ويژگي زير باشد:

1-اول اينکه داراي خاصيت خود متشابهي باشد يا به تعبير ديگر self-similar باشد.

2-در مقياس خرد بسيار پيچيده باشد.  

3-بعد آن يك  عدد صحيح نباشد    ( مثلاً‌ 1.5 ).

 براي درک بهتر نسبت به  مشخصات بالا در فرم هندسي   ، بد نيست  نمونه اي كه شايد تا كنون با آن برخورد كرده باشيد مطرح شود :

 تصوير بالا ( يك كبوتر )  يك فرم هندسي است كه  دقيقاً با تعاريفي كه در تعريف فركتال بيان شد، منطبق است يعني هم داراي خاصيت خود متشابهي و پيچيدگي در مقياس خرد و نيز عدم داشتن بعد صحيح . تصوير بالا داراي بعدي بين عدد 2 و 3 است.

  حال به بررسي هر يك در زير پرداخته شده :

خاصيت خود متشابهي فرکتا لها

شيئي را داراي خاصيت خود متشابهي مي گوييم: هر گاه قسمت هايي از آن با يك مقياس معلوم ، يك نمونه از كل شيئي باشد.  

ساده ترين مثال براي يك شيئ خود متشابه در طبيعت گل كلم است كه هر قطعه‌ي كوچك گل كلم متشابه قطعه بزرگي از آن است .

 همين طور درخت كاج يك شيئ خود متشابه است ،چرا كه هر يك از شاخه هاي آن خيلي شبيه يك درخت كاج است ولي در مقياس بسيار كوچكتر .همچنين در مورد برگ سرخس نيز چنين خاصيتي وجود  دارد.

رشته كوه ها ، پشته هاي ابر ، مسير رودخانه ها و خطوط ساحلي نيز همگي مثال‌ها‌يي از يك ساختمان خود متشابه هستند.

در تصوير سمت راست بزرگ شده دايره تصوير سمت چپ ديده مي شود

  نمونه ای از خود متشابهي در شكل زير نیز ديده مي شود :

پيچيدگي در مقياس خرد

در اين بخش نرم افزار Fractal Explorer  ارائه مي شود كه مي توانيد آن را دانلود كنيد. در اين نرم افزار مدل هاي آماده از فرم هاي مندلبورت نيز وجود دارد كه داراي سيستم پيچيده اي در مقياس خرد است .

توضيح بيشتر اين نرم افزار  در بخش دوم ( فرمهاي فركتال) ارائه خواهد شد. در اينجا فقط اگر شما حالت هاي پيش فرض آن را امتحان كنيد اين پيچيدگي مشخص است.

برای دریافت نرم افزار Fractal Explorer   اینجا کلیک کنید

عدم بعدصحيح

 اين بخش در فركتال ها بسيار مهم است به طوري كه خيلي از فرمها با اين مشخصه ، از فرم هايي با هندسه اقليدسي جدا مي شوند.

 -         محاسبه بعد فرکتال ها:

 اگر بگوييم بعد خط  ، برابر يک باشد

و نيز بعد صفحه ، برابر دو باشد .

 همچنن بعد فضا با عدد سه معرفي شود  

اما فرکتالها بر خلاف همه ي اينها بعد صحيح ندارند. بعد فرکتالها يک عدد کسري ميباشد

 وقتي که گفته ميشود بعد يک فرکتال 1.2 مي باشد اين بدين معني است از خط پيچيده تر و از صفحه سادتر است.

محاسبه اين بعد از يك سري فرمول هاي لگاريتمي بدست مي آيد كه بررسي آن از حوصله اين بحث خارج است. در اشكال زير تنها به عدد بدست آمده اشاره مي شود .

 شکل روبه رو يکي از نمونه هاي مشهور فرکتال ها است. که به خم وان کخ شهرت دارد.

بعد بدست آمده برابر 1.261859  مي باشد

خم وان کخ با بعد 1.2

مجموعه کانتور  با بعد 0.630929

 فرکتالي با بعد  1.58496

در پايين از كار هاي لوكربوزيه كه محاسبه ابعاد حالت هاي زير(از چپ به راست ) آمده است . همانطور كه ديده مي شود شكل سمت چپ داراي بعد بيشتري نسبت به شكل سمت راست است .

D(13-26)=(log300-log104)/(log26-log13)=1.528; 
D(26-52)=(log726-log300)/(log52-log26)=1.275;
D(52-104)=(log1604-log726)/(log104-log52)=1.144

 اما در عين پيچيدگي كه فرم هاي فركتال دارند نبايد فراموش كرد كه فركتال يك هندسه است.و از انجام محاسبات هندسي بدست مي آيد . اين بخش را بانرم افزاري در ذيل اين مورد به پايان مي برم .

برای دریافت نرم افزار IFSRandom.exe اینجا کلیک کنید

در اين نرم افزار كه بسيار ساده و داراي يك محاسبه منطقي است پارامتر هاي  r,s,teta,e,f در يك ماتريسي قرار گرفته اند كه با تغيير هريك فرم خاصي را ايجاد مي كند .

شرح اين پارامتر ها از حوصلۀ بحث خارج است و تنها به نتيجه كار مي پردازيم .

براي مثال پس از دانلود نرم افزار دكمه Run را فشار دهيد سپس تغييراتي كه من در رديف T4انجام داده ام  در هر مرحله انجام دهيد.

به نتيجه جالبي مي رسيد و اينكه بسياري از فرمهارا مي توان با تغيير اين پارامتر ها رسم نمود.

فركتال‌هایی از مغز

 می‌کنید راهی برای آمیختن هنر و نمودارهای امواج مغزی وجود داشته باشد؟

«بیل اسکات» از انستیتوی روانشناسی و نورولوژی UCLA چنین راهی را پیدا کرده است او فناوری‌ای را ابداع گرده است که به کمک آن می‌توان الکتروآنسفالوگرام‌ها (EEG یا همان نوار مغزی) را به فرکتال‌های رنگی تبدیل کرد. او از این روش با موفقیت در یک روش درمانی به نام پس‌خوراند زیستی یا بیوفیدبک استفاده می‌کند.

یل اسکات از پس‌خوراند زیستی برای درمان اعتیاد و اختلالات اضطرابی استفاده می‌کند.

برخال

 

برخالی از مجموعه مندلبرو

بَرخال (فرکتال، فراکتال، fractal)، ساختاری‌ است که هر جزء از از آن با کلش متشابه است.

الگوهای رویش برخالی

ایده خود متشابه در اصل توسط لایبنیتس بسط داده شد. او حتی بسیاری از جزئیات را حل کرد. در سال ۱۸۷۲ کارل وایرشتراس مثالی از تابعی را پیدا کرد با ویژگیهای غیر بصری که در همه جا پیوسته بود ولی در هر جا مشتق پذیر نبود. گراف ‌این تابع اکنون برخال نامیده می شود. در سال ۱۹۰۴ هلگه فون کخ به همراه خلاصه‌ای از تعریف تحلیلی وایرشتراس ، تعریف هندسی‌تری از تابع متشابه ارائه داد که حالا به برفدانه کخ معروف است. در سال ۱۹۱۵ واکلو سرپینسکی مثلثش را و سال بعد فرش‌اش (برخالی) را ساخت. ‌ایده منحنیهای خود متشابه توسط پاول پیر لوی مطرح شد او در مقاله اش در سال ۱۹۳۸ با عنوان «سطح یا منحنیهای فضایی و سطوحی شامل بخش‌های متشابه نسبت به کل» منحنی برخالی جدیدی را توصیف کرد منحنی لوی c. گئورگ کانتور مثالی از زیرمجموعه‌های خط حقیقی با ویژگیهای معمول ارائه داد‌. این مجموعه‌های کانتور اکنون به‌عنوان برخال شناخته می‌شوند. اواخر قرن نوزدهم و اوایل قرن بیستم توابع تکرار شونده در سطح پیچیده توسط هانری پوانکاره، فلیکس کلاین، پیر فاتو و گاستون جولیا شناخته شده بودند. با‌این وجود بدون کمک گرافیک کامپیوتری آنها نسبت به نمایش زیبایی بسیاری از اشیایی که کشف کرده بودند، فاقد معنی بودند. در سال 1960 بنوا مندلبرو تحقیقاتی را در شناخت خود-متشابه‌ای طی مقاله‌ای با عنوان «طول ساحل بریتانیا چقدر است؟ خود متشابه‌ای آماری و بعد کسری» آغاز کرد. ‌این کارها بر اساس کارهای پیشین ریچاردسون استوار بود. در سال ۱۹۷۵ مندلبرو جهت مشخص کردن شئی که بعد ((هاوسدورف بیسکویچ)) آن بزرگ‌تر از بعد توپولوژیک است کلمه برخال را‌ایجاد کرد. او‌این تعریف ریاضی را از طریق شبیه سازی خاص کامپیوتری تشریح کرد.

مجموعه جولیا

بر خالها از نظر روش مطالعه به برخالهای ‍‌جبری و بر خالهای احتمالاتی تقسیم می شوند. از طرف دیگر برخالها یا خود متشابه اند (self similarity) یا خود الحاق (self affinity) هستند. در مورد خود متشابه‌ای شکل جز کپی دقیقی از شکل کل است و در همه جهات به نسبت ثابتی رشد می کند اما در خود الحاقی شکل جز در همه جهات به نسبت ثابتی رشد نمی کند. مثلاً در مورد رودخانه‌ها وحوضه‌های آبریز بعد برخالی طولی متفاوت از بعد برخالی عرضی است Vx = 0. 72-0. 74 و Vy = 0. 51-0. 52 (ساپوژنیکوف و فوفولو ،1993) لذا شکل حوضه آبریز کشیده‌تر از زیر حوضه‌های درون حوضه است. به خود متشابه‌ای همسانگرد ( isotropy) می‌گویند. به خود الحاقی ناهمسانگرد( anisotropy) می‌گویند.

گسترش رو به رشد رویکرد مونوفراکتالی (تک برخالی) اخیر، داده‌ها را با مجموعه فراکتالی، بجای بعد منفرد فراکتالی توصیف می‌کند. ‌این مجموعه طیف چند برخالی (multifractal spectrum) نامیده می شود و روش توصیف تغییر پذیری بر اساس طیف سنجی چند برخالی به آنالیز چند برخالی (multifractal analysis) معروف است (فریش و پاریسی، 1985). روش چند برخالی به اندازه خود متشابه‌ای آماری (statistical self-similar) دلالت دارد که می تواند به صورت ترکیبی از مجموعههای متقاطع برخالی (interwoven fractal sets) مطابق با نمای مقیاس گذاری نمایش داده شود. ترکیبی از همه مجموعه‌های برخالی طیف چند برخالیی را‌ایجاد می کند که تغییر پذیری و ناهمگنی متغیرمورد مطالعه را مشخص می‌کند. مزیت رویکرد چند برخالی‌این است که پارامترهای چند برخالی می توانند مستقل از اندازه موضوع مورد مطالعه باشند. (Cox and Wang, 1993)

 بارم بندي درس رياضي پايه(2)

فصول كتاب	نيمسالي	جبراني
فصل سوم (از صفحه 77تاپايان فصل)	1	5/1
فصل چهارم	5/7	10
فصل پنجم	5/6	5/8
جمع	15	20

از صفحه 133 ( ضرب احتمال ها، پيش آمدهاي مستقل و وابسته ) تا پايان كتاب صفحه 147 از برنامه آموزشي اين درس حذف است .

  بارم بندي درس رياضيات گسسته

شماره قسمت	نيمسالي	جبراني
اول	5/3	5/4
دوم	5/4	6
سوم	3	4
چهارم	4	5/5
جمع	15	20

  بارم بندي هندسه تحليلي و جبر خطي

فصل	نيمسالي	جبراني
اول	75/2	4
دوم	2	3
سوم	75/4	6
چهارم	5/3	5/4
پنجم	2	5/2
جمع	15	20

 بارم بندي درس حساب ديفرانسيل و انتگرال (1)  

فصل	نيمسالي	جبراني
اول	5/1	2
دوم	4	5/5
سوم	5/6	5/8
چهارم : تا سر مشتق ضمني (صفحه108)	3	4
جمع	15	20

  بارم بندي درس حساب ديفرانسيل و انتگرال (2)  

فصل	نيمسالي	جبراني
چهارم : از صفحه 108 تا پايان فصل	3	4
پنجم	5/7	10
ششم	5/4	6
جمع	15	20

  بارم بندي درس رياضي عمومي (1)    

فصل	نيمسالي	جبراني
اول	5	5/6
دوم	4	5/5
سوم	6	8
جمع	15	20

  بارم بندي رياضي عمومي (2)  

فصل	نيمسالي	جبراني
چهارم	75/2	75/3
پنجم	75/2	75/3
ششم	5	5/6
هفتم	5/4	6
جمع	15	20

در حساب دیفرانسیل و انتگرال ، از انتگرال یک تابع برای عمومیت دادن به محاسبه مساحت ، حجم ، جرم یک تابع استفاده می شود. فرایند پیدا کردن جواب انتگرال را انتگرال گیری گویند.البته تعاریف متعددی برای انتگرال گیری وجود دارد ولی در هر حال جواب مشابه ای از این تعاریف بدست می آید. انتگرال یک تابع مثبت پیوسته در بازه (a,b) در واقع پیدا کردن مساحت بین خطوط x=0 , x=10 و خم منفی F است . پس انتگرال F بین a و b در واقع مساحت زیر نمودار است. اولین بار لایب نیتس نماد استانداری برای انتگرال معرفی کرد و به عنوان مثال انتگرال f بین a و b رابه صورت نشان می دهند علامت ،انتگرال گیری از تابع f را نشان می دهند ،aو b نقاط ابتدا و انتهای بازه هستند و f تابعی انتگرال پذیر است و dx نمادی برای متغیر انتگرال گیری است.

انتگرال یک تابع مساحت زیر نمودار آن تابع است.

از لحاظ تاریخی dx یک کمیت بی نهایت کوچک را نشان می دهد. هر چند در تئوریهای جدید، انتگرال گیری بر پایه متفاوتی
پایه گذاری شده است به عنوان مثال تابع f را بین x=0 تا x=10 در نظر بگیرید ،مساحت زیر نمودار در واقع مساحت مستطیل خواهدبود که بین x=0 ،x=10 ،y=0 ،y=3 محصور شده است یعنی دارای طول 10 و عرض 3است پس مساحت آن برابر 30 خواهد بود .

اگر تابعی دارای انتگرال باشد به آن انتگرال پذیر گویند و تابعی که از انتگرال گیری از یک تابع حاصل می شود تابع اولیه گویند . اگر انتگرال گیری از تابع در یک محدوده خاص باشند به آن انتگرال معین گویند که نتیجه آن یک عدد است ولی اگر محدوده آن مشخص نباشد به آن انتگرال نامعین گویند.

محاسبه انتگرال

اکثر روش های اساسی حل انتگرال بر پایه قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال بنا نهاده شده است که بر طبق آن داریم:

1.f تابعی در بازه (a,b) در نظر می گیریم .
2.پاد مشتق f را پیدا می کنیم که تابعی است مانند f که و داریم:
3.قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال را در نظر می گیریم:



بنابراین مقدار انتگرال ما برابر خواهد بود.

به این نکته توجه کنید که انتگرال واقعاً پاد مشتق نیست (یک عدد است) اما قضیه اساسی به ما اجازه می دهد تا از پاد مشتق برای محاسبه مقدار انتگرال استفاده کنیم .
معمولاً پیدا کردن پاد مشتق تابع f کار ساده ای نیست و نیاز به استفاده از تکنیکهای انتگرالگیری دارد این تکنیکها عبارتند از :

• انتگرال گیری بوسیله تغییر متغیر
• انتگرال گیری جزء به جزء
• انتگرال گیری با تغییر متغیر مثلثاتی
• انتگرال گیری بوسیله تجزیه کسرها

روش هایی دیگر نیز وجود دارد که برای محاسبه انتگرالهای معین به کار می رود همچنین می توان بعضی از انتگرال ها با ترفند هایی حل کرد برای مثال می توانید به انتگرال گاوسی مراجعه کنید .

تقریب انتگرالهای معین

محاسبه سطح زیر نمودار بوسیله مستطیل هایی زیر نمودار. هر چه قدرعرض مستطیل ها کوچک میشوندمقدار دقیق تری از مقدار انتگرال بدست میآید.

انتگرال هایی معین ممکن است با استفاده از روش های انتگرال گیری عددی ،تخمین زده شوند.یکی از عمومی ترین روش ها ،روش مستطیلی نامیده می شود در این روش ناحیه زیر نمودار تابع به یک سری مستطیل تبدیل شده و جمع مساحت آنها نشان دهنده مقدار تقریبی انتگرال است.
از دیگر روش هایی معروف برای تخمین مقدار انتگرال روش سیمپسون و روش ذوزنقه ای است. اگر چه روش های عددی مقدار دقیق انتگرال را به ما نمی دهند ولی در بعضی از مواقع که انتگرال تابعی قابل حل نیست یا حل آن مشکل است کمک زیادی به ما می کند .

تعریف های انتگرال

از مهم ترین تعاریف در انتگرال می توان از انتگرال ریمان و انتگرال لبسکی(lebesgue) است. انتگرال ریمان بوسیله برنهارد ریمان در سال 1854 ارئه شد که تعریف دقیقی را از انتگرال ارائه می داد تعریف دیگر را هنری لبسکی ارائه داد که طبق این تعریف شرایط تعویض پذیری حد و انتگرال با شرط مساوی ماندن عبارت، ارائه می کرد.
از دیگر تعاریف ارائه شده در زمینه انتگرال میتوان به انتگرال riemann-stieltjes اشاره کرد.

مشخصات سيگنال صحبت ومدل رياضي توليد آن

سيستمهاي رمزنگاري كلاسيك

مقدمه

سيستمهاي رمزنگاري كلاسيك يعني سيستمهاي جانشيني و جابجايي بررسي مي‌شوند در اين سيستمها بيشتر قلم و كاغذ ماشينهاي مكانيكي و الكترومكانيكي به كار مي‌رود و به همين دليل مي‌توان آنها را سيستمهاي رمز متن و كاراكتر ناميد.

- رمزنگاري، طراحي سيستمهاي رمزكننده و يا به عبارت ديگر علم و مطالعه روشهاي مختلف رمزنويسي و مبادله امن اطلاعات است.

- رمز كردن روش رمزنويسي است.

- متن اصلي يا پيام اطلاعاتي است كه بايد رمز شود.

- متن رمز شده اطلاعات رمز شده‌اي است كه از يك كانال ناامن مي‌توان ارسال كرد.

- رمزگذاري، فرآيند تبديل متن اصلي به متن رمز شده است.

- رمز كننده شخصي است كه پيام را رمز مي‌كند.

- الگوريتم مجموعه روشها يا قوانيني است كه رمز كننده باري رمز كردن متن اصلي به كار مي‌برد.

- كليد عاملي است كه رمز كننده به همراه الگوريتم جهت رمز كردن متن اصلي به كار مي‌رود و گيرنده مجاز مي‌يابد براي كشف رمز به آن آگاهي داشته باشد. به طور كلي نحوه عمل الگوريتم بستگي به كليدي دارد كه رمز كننده به همراه پيام بر مي‌گزيند.

- رمزگشايي فرايند اعمال كليد براي تبديل متن رمز شده به متن اصلي و يا استخراج متن اصلي از متن رمز شده است. بنابراين كليد و متن رمز شده بايد متن اصلي را به صورتي يگانه تبديل كنند. اگر كليد به ترتيبي كه گفته شد به كار رود امنيت سيستمي كه خوب طرح شده باشد به الگوريتم بستگي نخواهد داشت و تنها به كليد وابسته خواهد بود.

- كد سيستمي است كه به كليد بستگي نداشته باشد يا به عبارت ديگر فقط امكان يك كليد داشته باشد. مانند سيستم مرس.

- رمز شكني فرايند دستيابي به پيام از متن رمز شده ببدون آگاهي از كليد است.

رمزشكن كسي است كه اجازه فهميدن پيامرا ندارد اما در پي كشف آن است. وي درعمل اغلب علاقمند به استخراج كليد و نيز پيام است.

- رمزشناسي دانش رمزنگاري و رمزشكني است.

- سيستم قابل شكست سيستمي را گوييم كه بتوان از روي متن رمز شده وي از روي متن رمز شده و متن اصلي آن به كليد دست يافت.

- حداقل زمان شكستن سيستم حداقل زمان لازم براي شكستن رمز در هر حمله قابل تصور است كه به عاملهاي زيادي بستگي دارد. با توجه به كاربردهاي متفاوت سيستمهاي رمز اين زمان نيز متغير است. مثلاً براي كابردهاي تاكتيكي حدود چندين ساعت يا حتي چند دقيقه ممكن است كافي باشد در حالي كه براي كاربردهاي استراتژيكي ممكن است به چندين سال نياز باشد.

الگوريتم پوشش دامنه

در اين الگوريتم دامنه سيگنال صحبت با يك دامنه تصادفي جمع مي‌شود. يكي از مهمترين مزاياي اين روش بالا بودن ميزان امنيت آن درحد الگوريتمهاي رقمي است. زيرا با انتخاب دامنه تصادفي مي‌توان سيگانال رمز شده را تا حد زيادي به نويز سفيد نزديك كرد. علاوه بر آن فضاي كليد در اين الگوريتم بي‌نهايت است. زيار در انتخاب دامه تصادفي مناسب هيچ‌گونه محدوديتي نداريم. در صورتيكه در اين الگوريتم از پردازش قياسي استفاده شود با محدوديتهاي عمده‌اي روبرو خواهيم بود از جمله:

1-كاهش شديد نسبت سيگنال به نويز در گيرنده از آنجايي كه مي‌بايست مقداري از انرژي فرستنده به دامنه تصادفي اختصاص داده شود نسبت سيگنال به نويز در گيرنده كم خواهد شد.

2- در طول كانال انتقال نويز به دستگاه رمز شده اضافه مي‌شود و در نتيجه دامنه تصادفي تغيير خواهد كرد. اگر در گيرنده از همسانساز دقيق براي خنثي كردن آثار كانال استفاده نشود، عمل رمزگشايي به طور كامل صورت نمي‌گيرد. در صورتيكه سيگنال رمز شده دامنه بزرگي داشته باشد. اين مسئله اهميت بيشتري خواهد داشت. زيرا عوامل ناخطي فرستنده، گيرنده و كانال انتقال باعث افت شديد كيفيت سيگنال رمزگشايي شده خواهند شد.

3- در اين الگوريتم براي بازسازي سيگنال اصلي وجود همزماني بين فرستنده و گيرنده ضروري است. اما اين همزماني پيچيدگي سيستم را افزايش مي‌دهد.

در صورتيكه پردازش رقمي به كار رود برخي از عيبهاي پيشگفته رفع خواهند شد. روش كار در اينجا به اين صورت است كه ابتدا نمونه‌هاي رقمي صحبت در محدوده (-A,A) فشرده مي‌شوند و با يك دنباله تصادفي كه به طور يكنواخت در محدوده (-A,A) توزيع شده است جمع مي‌شوند.

 در اين رابطه  نمونه سيگنال صحبت،  نمونه دنباله تصادفي و  نمونه رمز شده است. بديهي است كه  در صورتيكه  داراي توزيع يكنواخت در فاصله (-A,A) باشد، بدون توجه به چگونگي توزيع  داراي توزيع يكنواخت در فاصله (-A,A) خواهد بود. براي رمزگشايي به صورت زير عمل مي‌كنيم:

اين الگـوريتم در واقع كاربـرد الگوريتم كليد يكبـار مصـرف در رمــزنگاري صحبت است از آنجـايي در اين روش دامنه سيگنال رمز شده در محدوده (-A,A) قرار دارد انرژي فرستنده صرف توليد دنباله تصادفي نخواهد شد، همچنين آثار ناخطي فرستنده، گيرنده و كانال انتقال را به علت بزرگ بودن دامنه سيگنال رمز شده نخواهيم داشت.

در اين روش لزوم همزماني دقيق بين فرستده و گيرنده و همچنين وجود همسانسازهاي دقيق براي خنثي كردن آثار كانال باعث پيچيدگي زياد سيستم مي‌شود. كيفيت سيگنال رمزگشايي شده به ميزان زيادي به همزماني و همسان‌سازها بستگي دارد و در مجموع چندان خوب نيست علاوه بر همه مشكلات در اين الگوريتم نيز مسئله افزايش پهناي باند خواهيم داشت و در صورتيكه بخواهيم سبا فيلتر كردن از ازدياد پنهاي باند جلوگيري كينم از كيفيت سيگنال رمزگشايي شده شديداً كاسته مي‌شود.

با توجه به پيچيدگي زياد سيستم امروزه براي انتخاب يك سيستم رمزنگاري با امنيت بالا الگوريتمهاي رقمي بر اين الگوريتم برتري دارند.

الگوريتمهاي دوبعدي رمزنگاري صحبت

در صورتيكه الگوريتم عمل رمزنگاري را از طرق در هم ريختن مشخصات سيگنال صحبت هم در حوزه زمان و هم در حوزه فركانس انجام دهد. دوبعدي ناميده مي‌شود. مهمترين الگوريتمهاي دوبعدي عبارتند از: الگوريتم وارونگي فركانس/جايگشت در حوزه زمان و الگوريتم جايگشت باندهاي فركانس/جايگشت در حوزه زمان.

كدگرهاي متكي بر توليد صدا در انسان يا كدگر صحبت

چنانچه ديديم كدگرهاي صحبت براساس خطي و شبه ثابت بودن توليد صحبت در انسان طراحي مي‌شوند و اين كار با تعريف و تعيين پارامترهاي خاصي صورت مي‌گيرد. در اين مدل يك منبع توليد صدا و يك پالايه محفظه صورتي كه بر روي مشخصه صداي ايجاد شده تأثير مي‌گذارد در نظر گرفته شده است.

در اين مدل فرض مي‌شود كه منتبع توليد صدا و پالايه محفظه صوتي از نظر مشخصه مستقل از يكديگرند. مقادير مربوط به پارامترهاي فيلتر محفظه صوتي، اطلاعات مربوط به قمست صدادار و بي‌صداي صحبت، ميزان زير و بمي و همچنين بهره از طريق تحليل صحبت واقعي استخراج به مدل اعمال مي‌شوند. اصولاً طراحي كدگرهاي صحبت بستگي زيادي به چگونگي تشريح پارامترهاي سيستم صوتي دارد اين تشريح پارامترها مي‌تواند به صورتهاي مختلف انجام گيرد.

براي مثال بر مبناي مقادير دامنه طيف كوتاه مدت سيگنال صحبت در فركانسهاي مشخص نظير كدگرهاي كانال تخمين خطي ضرايب مربوط به پوش طيف سيگنال نظري كدگرهاي صحبت LPC، مقادير فركانسهايي كه تشديد در آنها اتفاق بيفتد كدگرهاي صحبت سازه‌اي نمونه‌هاي خود همبستگي، سيگنال صحبت و ... اينك ضمن معرفي انواع كدگرهاي صحبت تعدادي از آنها بررسي مي‌شوند.

برخي انواع كدگرهاي صحبت عبارتند از:

- كدگرهاي صحبت كانال

- كدگر صحبت همريخت

- كدگر صحبت سازه‌اي

- كدگر صحبت فازي

- كدگر پيشگويي خطي با تحريك مانده‌ها

- كدگر تحريك صوت

- كدگر صحبت آوايي

- كوانتيزه كردن برداري

- كدگر زوج طيفهاي خطي

- كدگر صحبت به روش همبستگي متقابل

كدگر صحبت كانال

نخستين سيستمي كه در كم كردن نرخ بيت انتقال صحبت نقش فراواني داشته كدگر صحبت كانال بوده است. اين سيستم بطور كالي شامل يك تحليل‌گر طيف فركانسي صحبت، يك آشكارساز زير و بمي و يك آشكارساز قسمت صدادار و بي صداي صحبت است.

كدگر صحبت اولين بار در دهه 1930 ساخته شده لكن نخست بدون توجه به قابليت آن در كم كردن نرخ بيت صحبت، در رمزكننده‌هاي صحبت به كار رفت. زيرا در آن سالها صحبت كانال با نرخ بيت حدود kb/s3 ساخته شده بود و تصور مي‌شد كه اين حداكثر نرخ بيت قابل ارسال از طريق خطهاي تلني استاندارد (با پهناي باند حدود سه كليوهرتز) باشد. به هر حال كاربرد نظامي رمزكننده‌هاي صحبت در جنگ جهاني دوم پيشرفت زيادي در زيمنه ساخت كدگر صحبت كانال پديد آورد. در دهه‌هاي 1950 و 1960 امكان ارسال اطلاعات با سرعت kb/s6/9 از طريق خطهاي معمولي تلفني، با استفاده از مدوله‌سازي فازي عملي شد.

در نتيجه معلوم شد كه حتي كدگر صحبت كانال اوليه نيز داراي خاصيت فشرده كردن صحبت در باند فركانسي بوده است. اما پيشرفت تكنولوژساخت كدگرهاي صحبت كانال در حدود دهه 1960 به علت قيمت و پيچيدگي زياد در تحليل صحبت رانش در اثر حرارت و گذشت زمان و نيز بالا رفتن امكان ارسال اطلاعات با سرعت زياد در خطهاي تلفني تقريباً متوقف شد. گرچه كاربرد نظامي آن همچنان محفوظ ماند.

به دلايل بالا و با توجه به اين واقعيت كه با كم كردن نرخ بين تفاوت نمونه‌هاي مجاور هم در صحبت زياد مي‌شود، تمايل بيشتري به طراحي و تحقيق در زمنيه كدگرهاي متكي به شكل موج نشان داه شد. اما بعدها با پيشرفت كامپيوتر و كاربردهاي مختلف آن در همه زمينه‌ها موضو كم كردن نرخ بيت مورد توجه خاص قرار گرفت و نيز به علت پيشرفت تكنولوژي ساخت مدارهاي يكپارچه با قابليتهاي گسترده مثل مدارهاي بسيار بزرگ مقياس، امكان ساخت پيچيده‌ترين رمزكدگرهاي صحبت در حجم و قميت نسبتاً قابل قبول به وجود آمد. در كدگرهاي صحبت كانال به جاي ارسال صحبت اصلي در محدوده فركانسي مقلا KHZ4 اطلاعات مربوط به طيف هر جزء از سگنال صحبت فرستاده مي‌شود. براي مثال باند فركانسي را مي‌توان به 16 باند فركانسي معيين تقسيم و مقدار سيگنال در هر 20 ميلي‌ثانيه را در همين فركانسهاي معين ارسال كرد.

با توجه نظريه نمونه‌برداري هر كانال فركانسي احتياج به پهناي باندي برابر  دارد. لذا كل پهناي باند لازم براي ارسال اطلاعات صحبت، برابر  خواهد شد كه برابر  پهناي باند صحبت اصلي است. نمونه بلوكي يك كدگر كانال را نشان مي‌دهد. ابتدا پالايه‌هاي سيگنال صحبت را به باندهاي كوچتر تقسيم مي‌كنند كه بطور متوالي در محدود فركانسي قرار گرفته‌اند. خروجي اين پالايه‌ها پس از يكسوسازي از يك فيلتر (پالايه) پايين گذران 20 هرتزي عبور داده مي‌شود تا مقدر مؤثر دامه صدا براي هر باند فركانسي بدست آيد.

همپايان در اينجا يك سيستم تشخيص بخش صدادار و بي‌صدا صحبت و يك آشكارساز زير و بمي قرار داده شده تا ساخت دوباره صحبت، با تقريب بهتري عمل شود.

در قسمت تركيب‌كننده، سيگنالهاي خروجي پالايه‌هاي ميانگذران براي كنترل پاسخ فركانسي پالايه‌هاي متغير در زمان (شامل مدوله سازها و فيلترها ميانگذران) به كار مي‌روند تا مقادير مربوط به هر باند فركانس را مطالبق سيگنال اوليه بسازند. علاوه بر اين اين به هر فيلتر تغير در زمان در تركيب‌كننده كنترلي از طريق بخش ديگري كه قسمت صدادار و بي‌صدار را از هم تشخيص مي‌دهد اعمال مي‌شود.

سيستمهايي با همين ساختار نيز مي‌توان طراحي كرد كه در آنها تنها پالايه‌ها در نقاط تمركز اطلاعات (نقاط سازه) قرار مي‌گيرند. چنين سيستمهايي كه بهره‌دهي بالاتري كار مي‌كنند كدگر سازه‌اي نام دارند. لكن پيچيدگي و قيمت آنها بيشتر از كدگرهاي صحبت كانال است زيرا در طراحي آنها استخراج فركانسهاي سازه نيز بايد انجام گيرد.

كدگر صحبت به روش پيشگويي خطي

اين روشن كد كردن صحبت در تعداد زيادي از كدگرهاي صحبت به كار مي‌رود و در پانزده سال گذشته تحقيقات زيادي بر روي كدگرهاي صحبت به روش پيشگويي خطي انجام گرفته است.

اساس كار اين سيستمها بر اين فرض قرار دارد كه هر نمونه از سيگنال صحبت را مي‌توان بر حسب نمونه‌هاي پيشين (در باند زمان) تخمين زد. اگر  حاصل تخمين بر اساس p نمونه پيشين از سيگنال است و ها ضرايب تخمين ناميده مي‌شوند. مقدار p را براي تخمين حدود 10 نمونه در نظر مي‌گيرند كه افزايش نمونه‌ها به بالاتر از 12 كيفيت را افزايش نمي‌دهد اما اگر كمتر از 10 باشد كاهش كيفيت محسوس است. با اين تخمين  نسبت به سيگنال اصلي e(n) نشان مي‌دهيم. پس داريم:

(6-3)

 براي نزديك كردن سيگنال تخمين به سيگنال اصلي بايد اين خطا تا حد امكان كوچك باشد. براي اين كار مقدار ميانگين مجموع مربعات سيگنال خطا در طول يك پنجره زماني تقريباً دلخواه با تعيين مناسب  به حداقل رسانده مي‌شود:

(6-4)          معين

با گرفتن تبديل z در معادله بالا مي‌توان نوشت:

يعني در تخمين خطي اين نتيجه به دست مي‌آيد كه مي‌توان سيگنال صحبت را با يك مدل تمام قطب تقريب زد. البته تحقيق و آزمايش اين نتيجه‌گيري را با تقريب خوبي تأييد مي‌كنند.

اين موضوع به ويژه در مورد قسمت صدادار صحبت كاملاً صدق مي‌كند لكن اين نتيجه بدين معني نيست كه مدل تمام قطب (فرض شده)، براي تقريب زدن سيگنال صحبت مناسب نخواهد بود. با در نظر گرفتن مدل بر اين اساس كه صحبت حاصل پيچش تابع تحريك و پالايه محفظه صوتي است. مي‌توان پيش‌بيني كرد كه معادله (6-3) فقط در حالتي كه سيگنال تحري وجود ندارد داراي مقدار كوچكي است. از اينجا نتيجه مي‌شودكه سيگنال خطا، سيگنال وابسته به سيگنال تحريك يا زير و بمي است.

در بيشتر روشها براي استخراج ضريبهاي تخمين  در تركيب كننده‌ها مجموعه ديگري را در نظر مي‌گيرند كه با ضريبهاي تخمين رابطه مشخصي دارند و ضريبهاي انعكاس ناميده مي‌شوند علت اين كار كاهش حساسيت ها در كوانتيدن است. يك سيستم تركيب كننده PLC را با استفاده از ضرايب انعكاس نشان مي‌دهد.

البته بايد توجه كرد كه اين ضريبها به ازاي هر نمونه خروجي صحبت به تعداد p2 عمل ضرب نياز دارند. شكل (6-25) نيز استفاده از ضريبهاي اصلي تخمين يعني  را براي تركيب صحبت نمايش مي‌دهد كه فقط به p عمل ضرب احتياج دارد. بنابراين اگر پردازشگر از نظر سرعت داراي محدوديت باشد.

روش كد كردن تخمين خطي (lpc) نيز بر مبناي همان مدل توليد صحبت در ساير كدگرهاي صحبت استوار است. شكل (6-26) اين مدل را نشان مي‌دهد. اختلاف اساسي بين lpc و ديگر كدگرهاي صحبت نحوه مدل كردن پالايه محفظه صوتي و محاسبه بهره است. در اين روش پالايه محفظه صوتي به عنوان پالايه‌هاي تمام قطب (يعني پالايه بدون صفر) مدل مي‌شود. با اعمال بهره (G) با پالايه مي‌توان H(Z) را چنين نوشت:

كه در آن  ضريبهاي تخمين و p مرتبه مدل (درجه پالايه يا تعداد طبقات تأخير در تخمين نمونه) است و بايد در حدي باشد كه سيگنال در آن فاصله ايستا شود. لذا براي مقادير بالاي p خاصيت ايستايي از بين مي‌رود و نه تنها كيفيت افزايش نمي‌يابد بلكه به طور ناخطي كاهش نيز پيدا مي‌كند.

معادله بالا در حوزه زمان به صورت زير نوشته مي‌شود:

به عبارت ديگر هر نمونه از سيگنال خروجي مدل (s(n)) با استفاده از سيگنال تحريك (u(n)) و تركيب خطي نمونه‌هاي پيشين به دست مي‌آيد.

در شكل 6-27 20 ميلي‌ثانيه از يك صحبت صدادار در حوزه زمان و فركانس نشان داده شده است. چنانچه اين شكل نشان مي‌دهد به راحتي مي‌توان به چگونگي تقريب LPC كه منجر به بازسازي قله‌ها يا سازه‌هاي سيگنال صحبت مي‌شود پي برد.

چنانكه پيشتر گفته شد در پالايه‌هاي رقمي تمام قطب تركيب‌كننده LPC قطبها بيانگر فركانسهاي سازه‌اند. بدين ترتيب در هر لحظه زماني پالايه رقمي مي‌تواند تقريباً همان پاسخ فركانسي مشابه محفظه صوتي انسان را دارا باشد به عبارت ديگر با قرار دادن مقادير مختلف قطبها در پالايه رقمي شكل تغييرپذير پاسخ فركانس يك تركيب‌كننده LPC رسم شده است. در اثر تغيير شكل محفظه صوتي شكل و محل سازه‌ها نيز در منحني تغيير مي‌يابند.

2- خداوند دايم به كار هندسه مشغول است . "افلاطون"

3- كسي كه هندسه نمي داند از اين در وارد نشود ." كتيبه سردر اكادمي افلاطون"

4-اگر ميخواهيد شناياد بگيريد با شجاعت وارد اب شويد واگر ميخواهيد مسئله ها راياد بگيريد انها را حل نماييد.   "جورج پوليا"

5- اگرمزه ي لذت رابچشيد به اساني ان رافراموش نخواهيد كرد."جورج پوليا"

6- من مي انديشم پس هستم . "دكارت"

7- من هستم پس مي انديشم . "هشترودي"

8- جهان رانمي توان فهميد مگرزبانش رابياموزيم وباحروفي كه نگاشته شده است اشنا شويم واين همان زبان رياضيات است . "گاليله"

9- امروزه شهرت رياضي شبيه شهرت خودروي سواري در 50 سال پيش است در ان موقع تصور عمومي بر ان بود كه خودروها گران قيمت وخطرناكند وهيچ كس به جز يك مرد ثروتمند توانايي داشتن يك خودرو راندارد ياهيچ كس به جزيك راننده حرفه اي نمي تواند رانندگي كند به همين ترتيب هنوز باور عمومي ان است كه رياضي براي افراد استثنايي ،براي اجتماع نخبگان وبراي تعداد اندكي است.الان زمان ان رسيده است كه كسي براي رياضي همان كاررا بكند كه فورد با ساختن مدل ت براي خودروهاي سواري انجام داد وانها رابه توليد انبوه رساند . "ويليام دبليو ساير"

در چه روزي از هفته متولد شده ايد؟

اگر مي خواهيد بدانيد در چه روزي از هفته متولد شده ايد، همچنين اگر مي خواهيد بدانيد در چه روز و ماه و سال ميلادي متولد شده ايد، تاريخ تولد خود را در قسمت زير وارد كنيد:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31	فروردين ارديبهشت خرداد تير مرداد شهريور مهر آبان آذر دي بهمن اسفند	1387 1386 1385 1384 1383 1382 1381 1380 1379 1378 1377 1376 1375 1374 1373 1372 1371 1370 1369 1368 1367 1366 1365 1364 1363 1362 1361 1360 1359 1358 1357 1356 1355 1354 1353 1352 1351 1350 1349 1348 1347 1346 1345 1344 1343 1342 1341 1340 1339 1338 1337 1336 1335 1334 1333 1332 1331 1330 1329 1328 1327 1326 1325 1324 1323 1322 1321 1320 1319 1318 1317 1316 1315 1314 1313 1312 1311 1310 1309 1308 1307 1306 1305 1304 1303 1302 1301 1300

آزمون تحليل كلامي

اين آزمون روش هايي را مورد توجه قرار داده است كه از طريق آن ، شما قادر به نمايش منطقي نتايج حاصل از يك سري اطلاعات خواهيد بود. در هر سوال اطلاعات كافي براي رسيدن به پاسخ صحيح به شما داده مي شود، اما بايد توجه داشته باشيد كه هرگز از اطلاعات و تجارب قبلي خود در زمينه هاي مورد سوال استفاده نكنيد.

 * مثال اول : شهر چالوس در غرب نوشهر قرار گرفته است، اما چالوس غربي تر از رامسر نيست. حال كدام يك از اين سه شهر شرقي تر است؟

الف ) چالوس

ب) رامسر

ج ) نوشهر

جواب الف  نيست، چرا كه چالوس در غرب نوشهر قرار گرفته ، جواب (ب ) صحيح نيست، زيرا رامسر از چالوس هم غربي تر است. بنابراين تنها نوشهر است كه در شرق دو شهر ديگر قرار گرفته و پاسخ صحيح است.

 * مثال 2 : حسن، احمد ، و داوود هر كدام داراي دو خودروي متفاوت هستند. يكي از آن سه فنر ماشين فورد ندارد. احمد تنها كسي است كه پيكان دارد. داوود ماشين فورد دارد و حسن و احمد هر دو ماشين بيوك دارند.  كدام يك از اين سه نفر داراي ماشين رنو است؟‌

الف) حسن

ب)احمد

ج) داوود

جواب (ج) صحيح است. الف نمي تواند درست باشد زيرا حسن داراي ماشين هاي فورد و بيوك است. احمد نيز ماشين پيكان و بيوك دارد. پس تنها داوود مي تواند ماشين رنو داشته باشد. از آن جايي كه در سوالات اين آزمون ، با اطلاعات متعددي سرو كار داريد، پيشنهاد مي شود با استفاده از كاغذ، نموداري شبيه نمودار ترسيم كرده و اطلاعات ارائه شده را در آن وارد كنيد تا در يافتن پاسخ به شما كمك كند:‌

ماشين ها	حسن	احمد	داوود
پيكان	-	*	-
بيوك	*	*	-
فورد	*	-	*
رنو

شروع

  الف) سرعت متوسط چقدر است؟

 آقای اسدی این گونه می گوید:

یکی از ورزشهای مورد علاقه ی من دوچرخه سواری است. جاده ی شیبدار و بلندی که از کنار خانه ی ما میگذرد و به شهر بعدی میرود دارای شانه هایی است که برای دوچرخه سواری خط کشی شده اند و جای بسیار مناسب و مطمئنی است برای رکاب زدن.

من وقتیکه در طول این جاده دوچرخه سواری میکنم رفت و برگشتم چیزی در حدود سه چهار ساعت میشود و مسافتی را که میپیمایم بستگی به شرایط بدنی ام دارد: روزهایی که بدنم در شکل بهتری است دورتر میروم و اگر بدنم آمادگی زیادی نداشته باشد زودتر به خانه برمیگردم اما چیزی که همیشه ثابت است و تغییر نمیکند سرعت من است: سرعت سنج دوچرخه ام نشان میدهد که من در رفت(سربالایی( با سرعت 7 کیلومتر در ساعت و در بازگشت(سرازیری) با سرعت 42 کیلومتر در ساعت میرانم. متوسط سرعت من کدام یک از گزینه های زیر است؟

1) 17.5  کیلومتر در ساعت

2) 24.5  کیلومتر در ساعت

3) 12     کیلومتر در ساعت

4) 10     کیلومتر در ساعت

5) هیچکدام

جواب تان حتی وقتی هم که درست باشد باید همراه توضیح باشد تا پذیرفته شود.   

دو مورچه ای را که در شکل زیر میبینید دلداده ی هم و بیچاره ها ایرانی اند! قراری گذاشته اند تا یکدیگر را ملاقات کنند، دور از چشم اغیار، جایی که " کسی دهان شان را بو نکند مبادا به هم گفته باشند دوستت دارم!"

ببینید می توانید کوتاه ترین راه و جای امنی را به این دو دلداده نشان دهید و دست شان را در دست هم بگذارید؟ اجرتان با خدا!

مسير حركت ذرات در فضا

ناظر مي‌تواند از نقط مختلف در فضا مسير حركت ذرات را مشاهده كند

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

گهواره‌ي نيوتن

توپ‌هاي نيوتن

تقويت‌كننده‌ي شهود!

--------------------------------------------------------------------------------

به انيميشن ذيل دقت كنيد

با نزديك بردن شمايل ماوس به روبان قرمز، روبان سعي مي‌كند از شمايل دور شود و اين موضوع موجب ايجاد «حركت‌هاي موجي» در ساير نقاط روبان مي‌گردد.

در مورد انتگرال

اگر تاكنون فكر مي‌كرده‌ايد انتگرال موضوعي پيچيده و دشوار است، اميدوارم با تماشاي اين انيميشن نظرتان تغيير يابد.

دوگانگي موج و ذره

حركت پرتابي

بردار مكان و بردار جابجايي

«سرعت ثابت» و رابطه‌ي آن با «شتاب»

به نظر من كه خيلي جالبه مخصوصاً براي آن دسته از بچه هايي كه با مفهوم شتاب صفر و يا منفي مشكل دارند يا كلاً فرق شتاب و سرعت را راحت درك نكردن.