انگيزه‌ي نوشتن اين مقاله، اهميّتي است كه نامساوي‌ها در تمام شاخه‌هاي رياضيات دارند تا جايي كه گاهي از تساوي‌ها نيز مهم‌ترند. چون احكام نامساوي‌هاي هندسي را به آساني مي‌توان فهميد از اين رو جذابيّت خاصّي دارند در عين حال مقدّمه‌اي بسيار خوب براي آشنايي با رياضيات جديد و انديشه‌ي خلّاق رياضي هستند. در اين جا شما را با چند نامساوي مهم هندسي و روش به دست آوردن آن‌ها آشنا مي‌كنيم.

1- نامساوي ميانگين‌هاي حسابي- هندسي:
تعريف: براي اعداد حقيقي  ؛ ميانگين حسابي را به صورت زير تعريف مي‌كنيم:

آيا تا به حال به اين مطلب فكر كرده‌ايد كه فقط با چندين بار تا كردن يك كاغذ، مي‌توان مقاطع مخروطي را رسم كرد؟

قرارداد:در اين مقاله،تا كردن كاغذ در امتداد يك خط راست انجام مي شود.

كاغذي برداريد و يك لبه ي آن را l بناميد ، نقطه اي روي كاغذ در نظر گرفته و آن را S بناميد. كاغذ را چنان تا كنيد كه لبه ي l از S بگذرد.نقطه‌اي روي لبه ي l كه Sبر آن منطبق مي شود را P بناميد.در واقع،خط تاي كاغذ،عمود منصف SP است. حال به تا زدن ها ادامه مي‌دهيم. دوباره كاغذ را طوري تا ‌كنيد كه لبه ي l در نقطه‌اي به غير از P، ازS بگذرد. اين كار را براي چندين نقطه ي متمايز از لبه ي lانجام دهيد. حال كاغذ را باز كنيد. خواهيد ديد كه خط‌ هاي تا بر منحني جالبي مماس هستند. بر يك سهمي.در واقع با چندين بار تا زدن كاغذ توانستيم خط ‌هاي مماس بر يك سهمي را به دست آوريم. هم اكنون مي‌توانيم سهمي را با دقت خوبي رسم كنيم(شكل زير):

نقطه ي S كانون سهمي ، l خط هادي و خط m از راس سهمي مي گذرد و از S و l به يك فاصله است.
كار را براي رسم يك مقطع مخروطي ديگر آغاز مي‌كنيم. اين بار دايره ي c (به مركز O)را در نظر گرفته و نقطه ي S (نقطه اي غير از O)را درون آن در نظر بگيريد.سپس كاغذ را طوري تا كنيد كه نقطه‌ي P از دايره ي c بر S منطبق شود. براي چندين نقطه ي متمايز روي دايره اين كار را تكرار كنيد. خواهيد ديد كه تاهاي كاغذ،مماس هايي بر يك بيضي به وجود مي‌آورند كه نقطه ي S يكي از دو كانون آن است.(كانون ديگر كجاست؟)حال با استفاده از اين مماس ها با دقت خوبي مي‌توانيد بيضي را رسم كنيد.

بالاخره مي‌‌خواهيم شيوه ي رسم يكي ديگر از مقاطع مخروطي را به وسيله ي تا زدن كاغذ براي شما توضيح دهيم. اين بار يك دايره(به مركز C) و نقطه ي F را بيرون آن در نظر بگيريد.سپس كاغذ را طوري تا كنيد كه نقطه ا‌ي از دايره بر F منطبق شود. براي چندين نقطه ي متمايز روي دايره اين كار را تكرار كنيد. خواهيد ديد كه تاهاي كاغذ،مماس هايي بر يك هذلولي به وجود مي‌آورند كه نقطه ي F يكي از دو كانون آن است.(كانون ديگر كجاست؟).براي تعيين مجانب هاي هذلولي،كافي است دو مماسي كه از F بر دايره رسم مي شوند را در نظر گرفته،اگر M,N نقاط تماس باشند،عمود منصف هاي MF,NF(با قرار دادن نقاط M,N بر F و تا كردن كاغذ به دست مي آيند.)،مجانب هاي هذلولي هستند. 

مشاهده مي‌كنيد كه با چندين بار تا كردن كاغذ توانستيم مماس هاي بر مقاطع مخروطي را يافته و با داشتن اين مماس ها،مقاطع را با دقت خوبي رسم كنيم.

نش‌پژوهان ایتالیایی ، لوکا پاچولی(۱۵۱۴-۱۴۴۵) ، نیکولا تارتاگلیا(۱۵۵۷-۱۴۹۹) ، جرولامو کاردانو(۱۵۷۶-۱۵۰۱)  و به خصوص گالیلو گالیله‌ای(۱۶۴۲-۱۵۶۴) از جمله پیشکسوتان دانش ریاضی هستند که احتمالهای مربوط به بسیاری از بازیهای تصادفی را محاسبه کرده‌اند.علاوه بر این آنها کوشش کرده‌اند تا مبنایی ریاضی برای احتمال فراهم آورند.کاردانو حتی درباره قمار بازی کتابی نوشت که شامل بخشهایی درباره روشهای نیرنگ است.
به هر حال پیشرفت واقعی در فرانسه از سال ۱۶۵۴ وقتی بلز پاسکال(۱۶۶۲-۱۶۲۳) و پیردو فرما(۱۶۶۵-۱۶۰۱) دو ریاضیدان نامی نامه‌هایی به یکدیگر ردوبدل کردند آغاز شد ، که در این نامه‌ها از روشهای کلی محاسبه احتمال‌ها بحث کرده‌اند ، اما نمی‌توان گفت که فرما و پاسکال بنیانگذاران نظریه احتمالات بودند.

سؤال‌های ویژه‌ای که ریاضیدانان بزرگ را به اندیشیدن در این باره واداشت از درخواست‌های نجیب زادگانی نشأت می‌گرفت که با ورق یا تاس قمار می‌کردند ، به قول پواسون:مسأله‌ای مربوط به بازی‌های تصادفی که از سوی "مرد این جهانی به ریاضت کشی یانسنی(؟)" پیشنهاد شد ، سرچشمه حساب احتمالات است.این"مرداین جهانی" شوالیه دومره نجیب زاده‌ای بسیار با فرهنگ بود که با مسأله مربوط به مسأله نقطه‌ها به پاسکال مراجعه کرد.پاسکال باب مکاتبه را با فرما بر این مسأله و مسائل دیگر گشود و هر دو برخی از بنیادهای نظریه احتمال را پی‌ریزی کردند(۱۶۵۴).
در سال ۱۶۵۵دانشمند معروف هلندی کریستین هویگنس به آنها پیوست و این همکاری بسیار پرثمر بود. در سال ۱۶۵۷هویگنس اولین کتاب درباره احتمال را تحت عنوان "درباره محاسبات بازیهای شانسی"نوشت. این کتاب به منزله تولد واقعی احتمال محسوب می‌شود.دانشمندانی که این کتاب را خواندند متوجه شدند که با نظریه‌ای عمیق سروکار دارند.بحث درباره مسائل حل شده و حل نشده و بسیاری از ایده‌های جدید خوانندگان آن زمان این کتاب ، زمینه ساز مباحث نو شد.

خبر ظاهرا‌ً موثقي در دست است كه فرما در بومون دولماني نزديك تولوز در۱۷ اوت ۱۶۰۱ بدنيا آمد.ميدانيم كه اودر كاستر يا در تولوز در ۱۲ ژانويهء۱۶۶۵ درگذشت.سنگ قبر او كه بدواً در كليساي آگوستين در تولوز بود و بعداً به موزهءملي منتقل شد،تاريخ مرگ فوق و سن فرما را در بدو مرگ ۵۷ سال ميدهد.به دليل اينكه اطلاعات متناقض تاريخ تاريخ تولد و مرگ فرما معمولاً به صورت ۱۶۶۵-۱۶۰۱ ثبت ميشود.در واقع به دلايل متعدد تاريخ ولادت فرما به صورتي كه نويسندگان مختلف داده اند از ۱۵۹۰ تا ۱۶۰۸ تغيير ميكند.
فرما پسر يك تاجر چرم بود و تحصيلات مقدماتي را در زادگاه خود انجام داد.در ۳۰ سالگي به عضويت پارلمان محلي در تولوز در آمد و وظايف خود را در آنجا با دقت زياد انجام داد.
وي كه حقوقداني متواضع و گوشه گير بود قسمت اعظم ساعات فراغت خود را وقف مطالعهء رياضيات كرد.
گرچه در دوران حيات خود مطالب كمي را منتشر كرد ولي با رياضيدانان برجستهء زيادي كه با او همزمان بودند مكاتبهء علمي داشت و از راه همين مكاتبات تا حد زيادي معاصران خود را تحت تاثير قرار داد.
شاخه هاي رياضي كه وي موجب غناي آنها به قدري متعددند و سهم وي در آنها به قدري اهميت دارد كه بزرگ ترين رياضيدان قرن هفدهم فرانسه ناميده شده است.
قبلاً خاطر نشان كرديم كه مكاتبات بين پاسكال و فرما اساس علم احتمال را پيريزي كرد.متذكر ميشويم كه به اصطلاح ‌"مسئلهء امتيازها" بود كه آغازگر اين مطلب گرديد:"نحوهء تقسيم جايزه در بازي نيمه تمام مانده اي بين دو بازيكن به فرض داشتن مهارت يكسان با معلوم بودن امتياز هاي دو بازيكن در موقع قطع بازي و تعداد امتيازات لازم براي برنده شدن را تعيين كنيد."
فرما به بحث در حالتي پرداخت كهA،يكي از بازيكن ها براي برنده شدن ۲ امتياز و Bبازيكن ديگر ۳ امتياز ميخواست.در اينجا جواب فرما براي حالتي اينچنين مي آوريم.
چون آشكار است كه چهار بازي ديگر نتيجه را معين خواهد كرد اگر aمعرف بازي اي باشد كه در آن Aبرنده ميشود و bمعرف بازي اي كه در آن Bبرنده ميشود و ۱۶ تبدبل دو حرف aوbرا ۴ به ۴ در نظر بگيريم:
aaaa,aaab,abba,bbab

baaa,bbaa,abab,babb

abaa,baba,aabb,abbb

aaba,baab,bbba,bbbb

حالت هايي كه در آن aدو بار يا بيشتر ظاهر ميشود،مساعد براي Aست.۱۱ تا از اين حالتها وجود  دارند.حالتهايي كه در آن bسه بار يا بيشتر ظاهر ميشود مساعد براي Bست.تعداد آنها ۵ است.بنابر اين بايد به نسبت ۱۱:۵تقسيم شود.در حالت كلي كه براي برنده شدن Aبهmامتياز و Bبه n امتياز نياز دارند،۲^m+n-۱
        جايگشت  ممكن دو حرف aوbرا m+n-۱ بهm+n-۱ مينويسيم:در اين صورت عدد aتعداد حالتهايي را كهa،mبار يا بيشتر و عددbتعداد حالتهايي كه در آن b،nبار يا بيشتر ظاهر ميشود به دست مي آوريم بنابراين بايد جايزه به نسبت a:bتقسيم كرد.پاسكال مسئلهء امتيازها را با استفاده از مثلث معروف خود حل كرد.

برای مشاهده مقاله اینجا کلیک کنید  

جدول كاكرو(Kakuro):جدول كاكرو جدولي عددي متقاطع است كه در حل آن بايستي نكات زير را رعايت نمود:

1)در هر مربع خالي،يكي از اعداد 1 تا 9 را قرار دهيد.

2)مجموع اعداد هر رديف(ستون) بايستي برابر عددي كه در سمت چپ رديف(در بالاي ستون)قرار دارد،شود.

3)در هيچ رديف(ستون)عدد تكراري نباشد.

در اين جا توجه شما را به يك جدول كاكرو به همراه حل آن جلب مي كنيم:

اكنون سعي كنيد جدول كاكروي زير را حل كنيد.حل اين جدول تا پايان هفته از نظر شما خواهد گذشت:

روزي آقاي خطيري نژاد يکي از دوستان قديمي اش که چندين سال از او بي خبر بود را به طور تصادفي در خيابان مي بيند و پس از تعارفات معمول،او را به منزلش دعوت مي کند.در راه، دوست از او مي پرسد که آيا ازدواج کرده است وفرزندي دارد ؟
او پاسخ مي گويد: " بله سه دختر دارم" . دوست مي پرسد:" چند سال دارند؟" او مي گويد که ضرب سن آن ها برابر 72 وجمع سن آن ها برابر شماره ي پلاک منزلم است . دوست در راه يک سري محاسبات انجام مي دهد و وقتي به منزل مي رسند،با ديدن پلاک به او مي گويد که بايد يک فرض ديگر در اختيارم بگذاري . او مي گويد:"دختر بزرگم خوب پيانو مي نوازد" و دوست بلافاصله جواب را مي گويد .
اما چه طور؟

1،2،3،4،6،8،9،12،18،24،36،72

پس سن دختران را بايد دربين اين اعداد جستجو کرد. حال تمام امکانات را بررسي مي کنيم.
سن دختران بايد يکي از اين سري اعداد باشد: {توجه کنيدکه ضرب اعداد هر سري برابر 72 است .}

2،2،18(ز        1،1،72(الف
2،3،12(ح         1،2،36 (ب
2،4،9(ط        1،3،24 (ج
2،6،6 (ي         1،4،18 (د
3،3،8 (ک         1،6،12 (ه
3،4،6 (ل            1،8،9 (و

به عنوان مثال ج) به ما مي گويد که دختران 1،3،24 ساله اند.
حال مجموع اعداد هر سري را محاسبه مي کنيم :

22=18+2+ 2 (ز       74=72+1+1 (الف

17=12+3+2 (ح      39=36+2+ 1 ( ب

15=9+4+2 (ط       28= 24+ 3 +1(ج

14=6+6+2 (ي        23=18+4+ 1 (د

14=8+3+3 (ک         19=12+6+1( ه

13=6+4+3 ( ل           18=9+8+1 (و

فرض كنيد سه ظرف به گنجايش هاي 12، 9 ، 5 ليتر داريم. ظرف 12 ليتري پر از آب است و دو ظرف ديگر خالي هستند . مي خواهيم محتواي ظرف 12ليتري را به كمك دو ظرف ديگر به دو قسمت مساوي تقسيم كنيم اما چه طور؟
روشن است كه براي حل مساله لازم نيست از ظرف هاي واقعي استفاده كنيم بلكه كافي است جابه جايي آب را به شكل زير انجام دهيم:

در هر ستون،مقدار آب داخل هر ظرف،بعد از تغيير نوشته شده است.
در ستون اول :ظرف 5 ليتري را پر مي كنيم ،ظرف 9 ليتري خالي مي ماند (0) و در ظرف 12 ليتري ، 7 ليتر باقي مي ماند .
در ستون دوم :از ظرف 12 ليتري ،7 ليتر را در ظرف 9 ليتري ريخته ايم و غيره.
كوشش كنيد با تغيير نوع عمل ها ، راه حل ديگري براي اين مساله به دست آوريد.
در مورد اين مساله ي جالب ،بايد مطلب زير روشن شود:
آيا مي توان به كمك دو ظرف خالي ،از ظرف سومي كه پر از آب است هر مقدار دلخواه آب برداشت ،مثلا" از ظرف 12 ليتري و به كمك ظرف هاي 9 و 5 ليتري ،يك ليتر ،دو ليتر ،سه ليتر ،چهار ليتر .... تا 11 ليتر بر داريم ؟
تمام بحث انجام شده در بالا را مي توان به كمك توپ باهوش ،البته به شرطي كه ميز بيلياردي مخصوص آن طراحي شده باشد ، مورد بررسي قرار داد.

روي يك ورق كاغذ ، خط هاي موازي و مايلي چنان رسم كنيد كه خانه هاي شطرنجي به شكل لوزي با زاويه ي 60 درجه به وجود آيد سپس شكلOBCDA را طبق شكل زير بسازيد :

اين همان ميز بيليارد است . اگر توپ بيليارد را در طول OA حركت دهيم ،پس از برخورد به كناره ي AD ، طبق قانون، زاويه تابش برابر زاويه بازتابش است پس زاويه تابش= زاويه بازتابش ،توپ در امتداد  حركت مي كند . بعد از برخورد در  روي امتداد  به حركت در مي آيد و بعدبا تكرار اين روش به ترتيب روي خط هاي  حركت خواهد نمود .
در شكل فوق ضلع OA شامل 9 خانه (گنجايش پيمانه ي بزرگ تر)،OB شامل 5 خانه(گنجايش پيمانه ي كوچك تر) ، AD شامل 3 خانه(اختلاف حجم ظرف پر از آب وپيمانه ي بزرگ تر, 3=9-12) و بالاخره BC شامل 7 خانه (اختلاف حجم ظرف پر از آب وپيمانه ي كوچك تر, 7=5-12)مي باشد.
متذكر مي شويم كه هر نقطه واقع بر ضلع هاي ميز ، با تعداد خانه هاي معيني از OB و OA جدا شده است .مثلا" فاصله ي نقطه ي  تا OB ،چهار خانه و تا OA پنج خانه است ،از نقطه ي  تا OB چهار خانه و تا OA صفر خانه است. بنابراين هر نقطه از ضلع هاي ميز ، كه توپ بيليارد به آن جا مي رسد به وسيله ي دو عدد مشخص مي شود. اولين عدد ،يعني تعداد خانه هايي كه نقطه را از OB جدا مي كند، نماينده ي مقدار آب در ظرف 9 ليتري و دومين عدد ،يعني تعداد خانه هايي كه نقطه را از OA جدا مي كند ، نماينده ي مقدار آب در ظرف 5 ليتري مي باشد، البته بقيه ي آب در ظرف 12 ليتري خواهد بود.
اكنون توپ بيليارد را در امتداد OA حركت دهيد و ضمن اين كه متوجه نقطه های برخورد آن با كناره ها ي ميز هستيد ،حركت آن را تا تعقيب نمائيد . چند نقطه ي برخورد را براي نمونه مي نويسيم :اولين نقطه ي برخورد (0و9)A .دومين نقطه ي برخورد (5و4) .سومين نقطه ي برخورد (0و4) .نقطه ي چهارم (4و0) . نقطه ي پنجم (4و8) :[در اين لحظه توپ راهنمايي مي كند كه 8 ليتر آب را در ظرف خالي 9 ليتري بريزيم] .و....
اگر اجازه دهيد كه توپ حركت خود را ادامه دهد از تمام راس هاي لوزي ها ،خواهد گذشت.و سپس به نقطه ي اوليه ي O بر خواهد گشت.اين حركت به معناي آن است كه از ظرف 12ليتري مي توان ازيك تا نه ليتر (بايد مقدار برحسب ليتر و با عدد صحيح بيان شده باشد.) در ظرف 9 ليتري و از يك تا پنج ليتر در ظرف 5 ليتري ريخت .
اگر كمي دقت كنيم مي بينيم كه توپ مي تواند راه حل كوتاه تري به ما بدهد، براي اين منظور توپ را در امتداد كناره ي OBحركت مي دهيم و در اين حالت روي هم 8 برخورد تا رسيدن به  انجام مي گيرد.
نكته :مساله اي از اين نوع ممكن است اصلا" جوابي نداشته باشد .اما توپ چگونه اين امر را نشان مي دهد ؟
خيلي ساده : در اين حالت ، توپ به نقطه ي O برمي گردد بدون اين كه از نقطه ي مورد نظر عبور كرده باشد .
تمرين : با رسم ميز بيليارد،نشان دهيد كه نمي توان به كمك ظرف هاي 7 ليتري و 9 ليتري ،آب ظرف 12 ليتري را به دو قسمت مساوي 6 ليتري تقسيم كرد.

ابوریحان محمد ابن احمد بیرونی در ذي الحجه 362هجری قمري در شهر كاث در حوالي خوارزم چشم به جهان گشود.در زمان جوانی اش دست کم چهار قدرت درخوارزم و پیرامون آن باهم درستیز بودند ، درنتیجه بیرونی از اوایل سنین بیست سالگي ، بخش اعظم عمرش را یا درخفا گذراند یا از نزد پادشاهی به نزد پادشاه دیگر می گریخت تا از او پناه جوید . از سن 17 سالگی به انجام فعالیت های علمی مهم و ویژه ای پرداخت ، در سال 379 هجری قمري  عرض جغرافیایی شهر کاث را اندازه گرفت و در یکی ازآثارش  به بررسی نقشه های جغرافیایی پرداخته است .
در اواخر قرن چهارم در عالم اسلام شورش عظیمی برپا شد و سلسله ي غزنویان روی کارآمد . این حکومت نقش بسیارمهمی درزندگی ابوریحان داشت. او درسال 389 هجری قمري کتاب " آثار الباقیه " راکه در آن به هفت کتاب قبلی اش اشاره کرده است ، تالیف کرد .او معروف ترین اثرش" ماللهند" را زمانی نوشت که در کشور هند بود و همان زمان عرض جغرافیایی یازده شهر هند را تعیین کرد . دراین کتاب بیرونی به شرح وتوصیف دین وفلسفه ي هند ، نظام طبقاتی و آداب ورسوم ازدواج درهند پرداخته است .
معروف است که وی درباره ي ماهیت نور با جوان اعجوبه ای از اهالی بخارا به نام ابوعلی سینا درگیر مباحثه ي شدیدی شده بود . در بازگشت به غزنین و در سال 423 هجری قمری، بیرونی تالیف کتاب قانون مسعودی را به اتمام رساند و به سلطان مسعود تقدیم کرد. ارزش این کتاب به قدري بود که آن را تا حد مقایسه با المجسطی بطلمیوس بالا برد. این کتاب دایرة المعارف کاملی در نجوم به شمار می رفت، همان طور که قانون طب شیخ الرئیس ابوعلی سینا دایرة المعارف پزشکی بود. علاوه بر آن، ابوریحان بر تالیف التفهیم در نجوم و نیز الجماهر در شناخت گوهرها و کانی شناسی همت گماشت.
ابوریحان در محاسبات خویش از نوعی ترازوی ویژه استفاده می کرد که پدربزرگ ماشین حساب های امروزی محسوب می شود. ايده هاي او در ریاضیات الگوئي براي حکیم عمر خیام نیشابوری شد و در قرن هفتم از این دو به خواجه نصیرالدین طوسی انتقال یافت. ابوریحان عدد پی را محاسبه کرد، محیط زمین را اندازه گیری نمود، موقعیت ستارگان را با اسطرلاب به دست آورد و کره ي جغرافیایی ساخت.
او شیوه ی جديدي براي اندازه گیری فاصله های روی زمين معرفی نمود و شعاع زمین را به طور دقيق به دست آورد که این اندازه تا قرن دهم درکشورهای غربی به دست آورده نشده بود ، کتاب قانون مسعودی وی شامل جدولی است که مختصات ششصد مکان را ارائه می دهد .

«اصيل ترين خلاقيت هاى اين عصر (پايان سده ي يازدهم ميلادى) در زمينه ي رياضيات صورت گرفت و از اصيل ترين نابغه هايى كه اين خلاقيت ها را به ايشان مديونيم، عمرخيام ايرانى است. از اين رو شايسته است اين عصر را عصر خيام بناميم. او به طبقه بندى بسيار شايسته اى از معادلات دست زد. از جمله ۱۳ صورت مختلف از معادله هاى درجه سوم تشكيل داد، كوشيد همه ي آن ها را حل كند و براى تعدادى از آن ها راه حل هندسى ارائه داد. به خواست سلطان جلال الدين سلجوقى، گاه شمار تازه اى بنيان گذاشت كه دقت بى اندازه اى داشت، شايد كمى بيش تر از گاه شمارى ما...»
جورج سارتن:هنوز هم، همه، تقويم جلالى را با نام خيام مى شناسند.
تا مدت ها اروپايي ها ايران را با نام خيام مى شناختند. غياث الدين ابوالفتح عمربن ابراهيم خيام (خيامى) در سال ۴۳۹ هجرى (۱۰۴۸ ميلادى) در نيشابور متولد شد. او در زمينه ي رياضيات، فلسفه و نجوم تخصص داشت به طورى كه او را در حكمت، تالى ابوعلى سينا مى خوانند و در رياضيات سرآمد فضلا و در احكام نجوم ،همه قول او رامسلم مى دانستند.
كارهاى خيام در رياضيات، بكر و شگفت انگيز است. او براى نخستين بار در تاريخ رياضى اعلام كرد: معادله هاى درجه سوم را نمى توان تنها با يارى خط كش و پرگار حل كرد.
خيام با تقسيم بندى معادله هاى درجه سوم، اغلب آن ها را به كمك مقاطع مخروطى حل مى كند و امكان وجود دو جواب را براى معادله هاى درجه سوم در بررسى خود قرار مى دهد. البته خيام به جواب هاى منفى معادله توجه نمى كند.در ضمن به سادگى از كنار امكان وجود سه جواب براى معادله هاى درجه سوم رد مى شود.
خيام در فن جبر و مقابله، معلومات تازه اى به دست آورده بود. كتابى در اين باره نوشته كه اثر مهم او در علم همان است. از جمله كارهاى ديگر وى وضع هندسه ي تحليلى است كه برخلاف حقيقت، آن را منسوب به دكارت دانسته اند.

در ظهر روز آخر خرداد ماه پرتو خورشيد در شهر سين به طور عمود به داخل چاهي مي‌تابد و در همين لحظه در شهر اسكندريه كه 520 مايل با شهر سين فاصله دارد،پرتو خورشيد با تكه چوب 10 فوتي كه به طور قائم در زمين فرو رفته، زاويه ي 5/7 درجه ‌تشكيل مي‌دهد.

اراتستن با اندكي تفكر با استفاده از اين موضوع و هم‌چنين با پاره‌اي محاسبه، اعلام كرد كه توانسته محيط زمين را حتي بدون دانستن قطر يا شعاع آن به‌دست آورد.
او اين گونه استدلال كرد كه با توجه به آن‌چه در شكل (1)‌ مي‌بينيد. چون پرتوهاي خورشيد به طور موازي به سطح كره‌ي زمين مي‌رسند و بر آن عمودند،پس دو زاويه ي BED , ACB برابرند.

در يك عمليات نظامي، فرماندهان نيروي هوايي تصميم گرفتند كه يكي از انبارهاي مهمات دشمن را بمباران كنند.اما در اين عمليات،مسافتي كه هواپيما بايد طي مي‌كرد تا مي‌توانست انبار را بمباران كند،تقريبا" سه برابر شعاع عمل هواپيما بود.(مسافتي كه هواپيما با توجه به ميزان سوخت محدود خود مي تواند طي كند را شعاع عمل هواپيما گويند و با R نشان مي‌دهند.)

در ذوذنقه  ABCD  دو قطر بر هم عمود اند. ارتفاع و طول یکی از قطرها داده شده است. مساحت ذوذنقه را بدست آورید

این مسئله اگرچه ظاهری ساده دارد ولی باطن اش کمی "شیطنت آمیز" است! (به تعبیر من زیباست).  نکته ی بسیار ظریفی در آن نهفته است که در بدو امر درست به نظر نمی آید. خیلی دقت لازم است تا شخص متوجه آن نکته شود، ولی وقتیکه هم آن نکته معلوم گشت، مسئله فقط در "نیم سطر" حل میشود.

من با آنکه چند ماه پیش آنرا از دو راه مختلف حل کرده بودم ولی تا همین هفته ی گذشته که داشتم شکلش را میکشیدم و آنرا آماده میکردم تا پستش کنم متوجه آن نکته ی زیبا نشده بودم، ولی وقتیکه متوجه آن شدم علاقه ام برای اعلام مسئله دوچندان شد. شما هم لطفا" حوصله داشته باشید و به مسئله فکر کنید و بخصوص به شکل خیلی دقت نمایید. امیدوارم موفق به حل آن بشوید. راستش برای حل کردن این مسئله به معلوماتی بیش از معلومات کلاس هشت و نه هم احتیاجی نیست. این را گفتم تا مبادا شما تسلیم شوید و دست از سر مسئله بردارید. این مسئله را من از یکی از المپیاد های ریاضی اوکرایین گرفته ام.

معمای فیل های شگفت آباد

 فیل های شگفت آباد هم مثل همه ی چیزهای آن دیار یک جوری عجیب اند: فیل های نر در تابستان ها ده در صد افزایش وزن پیدا میکنند و در زمستان ها ده در صد کاهش وزن. فیل های ماده درست برعکس، در تابستان ها ده در صد کاهش وزن پیدا میکنند و در زمستان ها ده در صد افزایش وزن.

راجا و ماجا همزمان با هم در اول فروردین دوازده سال پیش به دنیا آمدند. در اول فروردین امسال هر یک از آنها دقیقا" سه تن وزن داشت. سوال ما اینک از شما اینست:  آنها روزیکه به دنیا آمدند هر کدام چقدر وزن داشتند و اختلاف وزن شان چه اندازه بود؟ (جواب بر حسب کیلوگرم باشد)

معمای گل های گلدان دوست.

به خانه ی دوستی رفته بودم. گفت میخواهد مرا به گلخانه اش ببرد و گلدان پر از گل زیبایی را که خود آرایش کرده تا در روی میز پذیرایی بگذارد به من نشان دهد ولی گفت که دوست دارد من از قبل حدس بزنم که چند شاخه گل در آن گلدان است. گفتم تصدقت شوم صاحب کرامات که نیستم که از غیب خبر داشته باشم! چیزی بگو، حرفی بزن، یک راهی بنما تا بتوانم حدس معقولی بزنم. 

او که با طبع من آشنا بود و میخواست جوابم را مطابق طبعم بدهد گفت همه ی آنها بجز هفت تا، گل نرگس اند، همه ی آنها بجز هشت تا، گل لاله اند و همه ی آنها بجز نه تا، گل سرخ اند. دوست من چند شاخه گل در کار داشت؟!

 مسئله ی سکه ی محاط شده.

سه سکه به شعاع های 6  و  7  و  8  میلیمتر بر روی یک میز و در کنار هم طوری قرار گرفته اند که با هم مماس خارج اند. شعاع دقیق بزرگترین سکه ای را که میتوان در فضای خالی بین آنها قرار داد چقدر است؟  

راهنمایی. اگر پس از مدتی تفکر و تلاش توفیقی در حل مسئله پیدا نکردید شاید مایل باشید که نخست مسئله ای مشابه ولی ساده تر را حل کنید و پس از گرم شدن باز به سراغ مسئله اصلی بروید. در اینصورت شعاعها را به جای ۶ و ۷ و ۸ میلیمتر، ۱ و ۲ و ۳ میلیمتر انتخاب نمایید، ببینید چه میکنید!

شاید در این فکر هستید که چطور ممکن است این مسئله آسانتر از قبلی باشد. اینکه فقط اعدادش عوض شده اند چیز دیگری تغییر نکرده است. ظاهرا" هم همین است، اما به واقع اینطور نیست.  ۱ و ۲ و ۳ یک رابطه ای با هم دارند که ۶ و ۷  و ۸ ندارند، باور بفرمایید! 

(در هر حال جواب برای شعاعهای ۱ و ۲ و ۳ این است:  r=6/23 mm )

تاکید، بیشتر بر روی راه حل های ریاضی است ولی راه حل هایی که با استفاده از ماشین حسابهای ترسیمی و یا با کامپیوتر هم بدست آیند مورد تقدیر است.

روی هر تصویر کلیک کنید

بازی سودوکو

بازی انیمیشن دستگاه مختصات

بازی خط های موازی محور های مختصات