نمونه فعاليت هاي خارج از كلاس درس رياضيات دوره ي راهنمايي

      -       چرا بايد رياضيات خواند ؟

-       تهيه وسايل كمك آموزشي پيرامون دروس رياضي .

-       طرح سئوالات ، معما و جدول هاي مختلف پيرامون موضوعات رياضي .

-       تهيه نشريه ديواري درباره ي مسائل رياضي .

-       انجام مطالعات و تحقيقات جنبي در زمينه درس رياضي .

-       بناي محله وقتي كف اتاقها را سنگ فرش مي كند دچار يك مشكل است او در خيلي از مواقع بناچار براي تكميل كار مجبور مي شود سنگها را نصف و با نسبتي تغيير اندازه دهد ، براي رفع مشكل او چه پيشنهادهايي داريد؟

-       حدس خود درمورد طول اشياء را درجدولي مطابق شكل نوشته و با وسايل اندازه گيري ، اندازه حقيقي اشياء را محاسبه  و درستون مقدار حقيقي درج كنيد ، اين دو مقدار را مقايسه و سعي كنيد مهارت تخمين زدن خود را افزايش دهيد.

توان عملگری در ریاضی است که به صورت aⁿ نوشته می‌شود، به a پایه، و به n هم توان یا نما یا قوه می‌گویند. وقتی n عددی صحیح باشد، پایه n بار در خود ضرب می‌شود:

.

همانطور که ضرب عملی است که عدد را n بار با خودش جمع می‌کند:

توان را به صورت a به توان n یا a به توان nام می‌خوانند، و همچنین می‌توان آن را برای اعداد به توان غیرصحیح هم تعریف کرد.

توانی با چندین پایه: قرمز به توان e, سبز به توان ده و بنفش به توان 1.7. توجه داشته باشید که همه آنها از (0, 1) می‌گذرند. هر نشانه در محورها یک واحد است.

توان معمولاً به صورت بالانویس در سمت راست پایه نشان داده می‌شود. توان عملی در ریاضیات است که در بسیاری علوم دیگر از جمله اقتصاد، زیست‌شناسی، شیمی، فیزیک و علم رایانه، در قسمت‌هایی مانند بهره مرکب، رشد جمعیت، سینتیک، موج و رمزنگاری استفاده می‌شود.

 توان با نماهای صحیح

عمل توان با نماهای صحیح تنها نیازمند جبر پایه‌است.

 نماهای صحیح مثبت

ساده ترین نوع توان، با نماهای صحیح مثبت است. نما بیانگر این است که پایه چند بار باید در خود ضرب شود. برای مثال 3⁵ = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 243. در اینجا 3 پایه و 5 نما است، و 243 باب است با 3 به توان 5. عدد 3، 5 بار در عمل ضرب نشان داده می‌شود چون نما برابر 5 است.

به طور قراردادی، a² = a×a را مربع، a³ = a×a×a را مکعب می‌نامیم. 3² «مربع سه» و 3³ «مکعب سه» خوانده می‌شوند.

اولین توان را می‌توانیم به صورت a⁰ = 1 و سایر توان‌ها را به صورت aⁿ⁺¹ = a·aⁿ بنویسیم.

 نماهای صفر و یک

3⁵ را می‌توان به صورت 1 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 هم نوشت، عدد یک را می‌توان چندین بار در عبارت مورد نظر ضرب کرد، زیرا در همل ضری عدد یک تفاوتی در جواب ایجاد نمی‌کند و همان جواب گذشته را می‌دهد. با این تعریف، می‌توانیم آن را در توان صفر و یک هم استفاده کنیم:

• هر عدد به توان یک برابر خودش است.

a¹ = a

• هر عدد به توان صفر برابر یک است.

a⁰ = 1

(برخی نویسندگان 0⁰ را تعریف نشده می‌خوانند.) برای مثال: a^{0= a2-2= a2/a2 = 1 (در صورتی که a ≠ 0)}

^{نماهای صحیح منفی}

^{اگر عددی غیرمنفی را به توان -1 برسانیم، حاصل برابر معکوس آن عدد است.}

^{a−1 = 1/a}

در نتیجه:

a⁻ⁿ = (aⁿ)⁻¹ = 1/aⁿ

اگر صفر را به توان عددی منفی برسانیم، حاصل در مخرج صفر دارد و تعریف نشده‌است. توان منفی را می‌توان به صورت تقسیم مکرر پایه هم نشان داد. یعنی 3⁻⁵ = 1 ÷ 3 ÷ 3 ÷ 3 ÷ 3 ÷ 3 = 1/243 = 1/3⁵.

 خواص

مهمترین خاصیت توان با نماهای صحیح عبارتست از:

که از آن می‌توان عبارات زیر را نتیجه گرفت:

از آنجایی که جمع و ضرب خاصیت جابجایی دارند (برای مثال 2+3 = 5 = 3+2 و 2×3 = 6 = 3×2) توان دارای خاصیت جابجایی نیست: 2³ = 8 است در حالی که 3² = 9. همچنین جمع و ضرب دارای خاصیت انجمنی هستند (برای مثال (2+3)+4 = 9 = 2+(3+4) و (2×3)×4 = 24 = 2×(3×4)) توان باز هم دارای این خاصیت نیست: 2³ به توان چهار برابر است با 8⁴ یا 4096، در حالی که 2 به توان 3⁴ برابر است با 2⁸¹ یا 2,417,851,639,229,258,349,412,352.

 توان‌های ده

در سیستم مبنای ده، محاسبه توان‌های ده بسیار راحت است: برای مثال 10⁶ برابر است با یک میلیون، که با قرار دادن 6 صفر در جلوی یک به دست می‌آید. توان با نمای ده بیشتر در علم فیزیک برای نشان دادن اعداد بسیار بزرگ یا بسیار کوچک به صورت نماد علمی کاربرد دارد؛ برای مثال 299792458 (سرعت نور با یکای مترمکعب بر ثانیه) را می‌توان به صورت 2.99792458 × 10⁸ نوشت و به صورت تخمینی به شکل 2.998 × 10⁸. پیشوندهای سیستم متریک هم برای نشان دادن اعداد بزرگ و کوچک استفاده می‌شوند و اصل این‌ها هم بر توان 10 استوار است. برای مثال پیشوند کیلو یعنی 10³ = 1000، پس یک کیلومتر برابر 1000 متر است.

توان‌های عدد دو

توان‌های عدد دو نقش بسیار مهمی در علم رایانه دارند زیر در کامپیوتر مقادیر 2ⁿ را می‌توان برای یک متغیر n بیتی درنظر گرفت.

توان‌های منفی دو هم استفاده می‌شوند، و به دو توان اول نصف و ربع می‌گویند.

 توان‌های عدد صفر

اگر توان صفر مثبت باشد، حاصل عبارت برابر خود صفر است: 0ⁿ = 0.

اگر توان صفر منفی باشد، حاصل عبارت 0⁻ⁿ تعریف نشده‌است، زیرا تقسیم بر صفر وجود ندارد.

اگر توان صفر عدد یک باشد، حاصل عبارت برابر یک است: 0⁰ = 1.

(بعضی از نویسندگان می‌گویند که 0⁰ تعریف نشده‌است.)

 توان‌های منفی یک

توان منفی یک بیشتر در دنباله‌های تناوبی کاربرد دارد.

اگر نمای منفی یک فرد باشد، حاصل آن برابر خودش است: (−1)²ⁿ⁺¹ = −1

اگر نمای منفی یک زوج باشد، حاصل آن برابر یک است: (−1)²ⁿ⁺² = 1

توان‌های i

توان‌های i در دنباله‌های با دوره 4 کاربرد دارند.

i⁴ⁿ⁺¹ = i i⁴ⁿ⁺² = −1 i⁴ⁿ⁺³ = −i i⁴ⁿ⁺⁴ = 1

توان‌های e

عدد e حد دنباله‌ای با توان صحیح است:

.

و تقریباً داریم:

.

یک توان صحیح غیر صفر e برابر است با:

x می‌تواند عددی مانند صفر، کسر، عدد مرکب، یا یک ماتریس مربع باشد.

 توان‌های اعداد حقیقی مثبت

به توان رساندن عددی حقیقی مثبت به توان یک عدد غیرصحیح را می‌توان به چند صورت به دست آورد:

• عددی کسری تعریف کنیم و ریشه nام را به دست بیاوریم. این روشی است که در مدرسه‌ها از آن استفاده می‌کنند.
• لگاریتم طبیعی تعریف کنیم و سطح زیر نمودار 1/x را به دست بیاوریم.

توان‌های کسری

از بالا به پائین: x^1/8, x^1/4, x^1/2, x¹, x², x⁴, x⁸.

در یک توان، با معکوس کردن نما ریشه آن بدست می‌آید. اگر عدد حقیقی مثبت و n عددی صحیح مثبتی باشد، داریم:

و ریشه nام a نامیده می‌شود:

برای مثال: 8^1/3 = 2. حالا می‌توانیم توان m / n را به صورت زیر تعریف کنیم:

برای مثال: 8^2/3 = 4.

توان‌های مرکب اعداد مرکب

خلاصه

توان‌های صحیح اعداد مرکب به صورت بازگستی تعریف می‌شود:

z⁰ = 1 zⁿ⁺¹ = z·zⁿ z⁻ⁿ = 1/zⁿ (برای z ≠ 0)

توان‌های مرکب عدد e به صورت زیر تعریف می‌شود:

و توان مرکب یک عدد مرکب برابر است با:

a^z = e^bz

اگر:

a = e^b

 مثلثات

توان‌های مبهم یک تابع مثلثاتی سینوس و کسینوس برابر است با:

مانند:

 معادله لگاریتم

عدد حقیقی مثبت π وجود دارد که با استفاده از آن می‌توان معادله e^z = 1 را به صورت z = 2πi·n حل نمود.

حالت قطبی

هر عدد مرکب به شکل a + ib را می‌توان به این صورت نوشت:

برای یک مقدار حقیقی مثبت r و یک کمان می‌توانیم از فرمول اویلر برای استفاده کنیم:

حال می‌توانیم یک بار دیگر از فرمول اویلر استفاده کنیم، در این صورت به جای e می‌نویسیم: e^id = cosd + isind. در نتیجه داریم:

حال اگر از استفاده کنیم می‌توانیم بنویسیم:

 مثال

این مقدار اصلی iⁱ اما می‌توانیم برای هر عدد صحیح n آن را به صورت بنویسیم، که نتیجه به صورت زیر است:

 آيا رياضيات شيرين است؟  

اغراق آمیز نیست اگر ادعا کنیم نظام آموزش ریاضیات در کشور ما و یا حتی در سطح جهان، نظامی نخبه‌پرور و یا به بیان بهتر نخبه‌محور بوده است.

بیانیه معروف یونسکو به نام «ریاضیات برای همه» (1984) مُهر تأيیدی بر این ادعاست. بنا بر اظهارات موجود در این بیانیه ، برنامه درسی ریاضیات از ابتدا برای دانش آموزان خاص و ممتاز طراحی شده است که قصد ادامه تحصیل در مؤسسات خاصی را داشته‌اند، ولی شرکت هر چه بیشتر و روزافزون دانش‌آموزان در برنامه‌های مدارس ، با پیش زمینه‌ها، توقعات و توانایی‌های مختلف ، سبب شده است که قشر عظیمی از آنها برنامه‌های ریاضیات مدرسه‌ای را انتزاعی، بی فایده و نامرتبط با زندگی خود بدانند.

 

مفاهيم- طبق اعلام نظر كوستا و لایبمن در سال 1995‌، محتوای دانش هر پنج سال یك بار دو برابر می‌شود و این میزان تا سال 2020 میلادی به 73 روز تقلیل خواهد یافت

چگونه می‌توان از میان انبوه اطلاعات و دانش تولید شده مناسب‌ترین، بیشترین و مورد نیازترین محتوا را انتخاب نموده و آموزش داد؟ و چگونه می‌توان انتظار داشت یادگیرندگان بهترین بهره را از آن ببرند؟

آیا نظام‌های آموزشی و دیسیپلین‌های گسسته كنونی، دیگر پاسخگوی چنین رشد پرشتابی در علم خواهند بود؟

در دنیای پرشتاب علم‌، آنچه از یك فرد پس از اتمام تحصیلات مدرسه‌ای یا دانشگاهی انتظار می‌رود، داشتن یك بانك اطلاعاتی غنی در ذهن نیست، بلكه تشخیص نیازها، مهارت انتخاب اطلاعات و داده‌ها در راستای هدفی معلوم، نحوه  به‌كارگیری اطلاعات و برقراری ارتباط بین معلومات، دانش و مسائل جهان واقعی است. به نظر می‌رسد، در آینده و هم‌اكنون جوامع، نیازمند نظام‌ها و برنامه‌های آموزشی باشند كه بر مبنای كاوش و پژوهش، دیسیپلین یكپارچه و كشف و گسترش روابط بین بخش‌های مختلف دانش بنا شده است.

چگونه رياضيات را به دانشي دلچسب تبديل كنيم؟  

طي بيست و شش سال اخير كه مستقيم و غيرمستقيم با رياضيات سر و كار داشته ام، چه در دوران مدرسه و دانشگاه و چه به عنوان دبير رياضيات در مدارس، يك پرسش بي جواب چون سايه همه جا مرا دنبال كرده است: «رياضياتي كه مي خوانيم به چه دردمان مي خورد؟»

در دبيرستان يك درد بزرگ داشتيم: «كنكور»! و البته رياضيات با ضريب بالايي كه داشت درمان مناسبي براي كاهش اين درد بود، ولي خود رياضيات هم درد كمي  نبود. در دانشگاه فني مهندسي، جايگاه والاي رياضيات، صد البته نيازي به يادآوري نداشت. رياضيات مهندسي، محاسبات عددي، تبديلات لاپلاس و فوريه، معادلات پواسن و دهها عنوان و موضوع پرطمطراق ديگر.

ظاهراً انیشتین مسئله ای طرح کرده است که درباره آن می گویند : " 98% افرادی که به حل آن اقدام می کنند به جواب نمی رسند " ، ولی من از درستی این سخن خبری ندارم شما هم امتحان کنید ، حتماً موفق خواهید شد .

صورت سؤال : پنج خانه با رنگ های مختلف ، صاحب هایی با ملیت های مختلف که هر کدام یک نوع مجله می خوانند ، یک نوع نوشیدنی می نوشند و یک نوع حیوان نگه داری می کنند ، وجود دارد . شما باید مشخصات خانه ها را به دست آورید . سؤال را با توجه به راهنمایی های زیر حل کنید .

1. مرد انگلیسی در خانه قرمز زندگی می کند .

2. مرد سوئدی یک سگ دارد .

3. مرد دانمارکی چای می نوشد .

4. خانه ی سبز در سمت چپ خانه ی سفید قرار دارد .

5. صاحب خانه سبز قهوه می نوشد .

6. شخصی که نیویورک تایمز می خواند پرنده پرورش می دهد .

7. صاحب خانه ی زرد مجله ی فیلم کامنت می خواند .

8. مردی که در خانه وسطی زندگی می کند شیر می نوشد .

9. مرد نروژی در اولین خانه زندگی می کند .

10. مردی که واشنگتن تایمز می خواند در کنار مردی که گربه دارد زندگی می کند .

11. مردی که اسب نگهداری می کند کنار مردی که مجله ی فیلم کامنت می خواند زندگی می کند .

12. مردی که لوس آنجلس تایمز میخواند شیرقهوه می نوشد .

13. مرد آلمانی اشپیگل می خواند .

14. مرد نروژی کنار خانه ی آبی زندگی می کند .

15. مردی که واشنگتن تایمز می خواند ، همسایه ای دارد که آب می نوشد .

16. یکی از ساکنین به حشرات علاقه مند است .

در ریاضیات، یک معادله از یک یا چندین متغیر تشکیل شده است که میتواند یک یا چندین جواب داشته باشد.در یک معادله دو عبارت در دو سوی یک = قرار دارند.و مقادیری که به ازای آنها دو عبارت موجود،مقداری مساوی دارند را جواب معادله گویند.

تاریخچه

معادلات همراه با اعداد، از اولین دستاوردهای ریاضی بشرند. آنها در قدیمی ترین اسناد ریاضی، مکتوب، فی المثل، در متون میخی بابلیهای باستان، که به هزاره قبل از میلاد بر می گردند، و پاپیروسهای مصری باستان، که به امپراطوری میانه در حدود 1800 ق.م. بازگشت دارند، آمده اند.
بنا به ساختار جامعه بابلی مسائل مربوط به تقسیم ارث از اهمیت بسیاری برخوردار بودند. اولین پسر همواره بیشترین سهم را دریافت می کرد، دومی بیشتر از سومی، و به همین ترتیب.

در حالی که مسائل مطرح در بابل ،مجهول نسبتاً واضح توصیف شده است، در پاپیروس های مصری با علامت "h" نمایش داده شده است، که توده یا گردایه را نشان می دهد. چنین محاسباتی نسبتاً زیاد رخ می دهند و متناظر با معادلات خطی ما هستند. مقایسه ای بین متنی مصری از پاپیروس مسکو و نماد نویسی جدید این نکته را روشن می سازند.

پیش از این که زبان نمادین جبری مطرح شود، معادلات را بالاجبار با کلمات می نوشتند حتی فرانسواویت که معمولاً به ویتا موسوم است که شایستگی های بسیاری در زمینه جبر دارد از کلمه لاتین برای برابر بودن استفاده می کرد.

 علامت برابری = که امروزه متداول است توسط روبرت رکورد پزشک دربار سلطنتی مطرح شد، اما زمان قابل ملاحظه ای طول کشید تا این علامت مقبولیت عام یافت.

وی این طرح را در کتاب درسی جبری که به صورت گفتگو نوشته شده بود و عنوانش "the whetstone of witte" بود مطرح و انگیزه انتخاب ان را با گفتن مطالب زیر بیان کرد «در این مورد همان گونه که قالباً در عمل انجام می دهم یک جفت خط توامان می گذارند این چنین = = =, زیرا هیچ دو شیی نمی توانند برابر محض باشند.

با نوشته شدن کتاب جبر و مقابله توسط خوارزمی در سده های سوم و چهارم هجری ،جبر وارد ریاضیات شد، و به حل معادله ها پرداخته شد.خود واژه جبر به معنای جبران کردن و مقابله به معنای روبه رو قرار دادن دو سوی برابری است.

مجموعه جواب

کار با مجموعه معینی از اعداد، موسوم به حوزه اصلی و مجموعه مشخصی از متغیرها که عناصری از حوزه اصلی با زیر مجموعه ای، موسوم به حوزه تغییرپذیری را می توان به جای آنها قرارداد، آغاز می شود.

در مشخص کردن حوزه اصلی و حوزه تغییر پذیری،N  به جای مجموعه اعداد طبیعی، Z  به جای مجموعه اعداد صحیح،Q  به جای مجموعه اعداد گویا،R  به جای مجموعه اعداد حقیقی و C به جای اعداد مختلط قرار می گیرد

مجموعة اجسام منتظم از مشهورترين مجموعة چند وجهي ها در زمان باستان است. تائتتوس رياضيدان يوناني(369-415 ق.م ) اولين كسي است كه با آنها رياضي گونه برخورد كرد.افلاطون(347-427 ق. م ) دوست تائتتوس ،چند وجهي هاي منظم را با كيهان شناسي خود در آميخت.تيمائوس(كتاب افلاطون) در گفت گوي خود روي چهار عنصركه همه چيز از آنها تشكيل شده است،بحث مي كند. اجزاي زمين به شكل مكعب هستند و به حالتي استوار روي قاعده شان قرار دارند. اجزاي هوا كه هشت وجهي هاي منتظم هستند، و اگر روي رئوس مخالف قرار گيرند، به آزادي مي چرخند. اجزاي آتش ، چهاروجهي هاي منتظم هستند. اجزاي آب بيست وجهي و تقريبا" كروي هستند. و مانند مايعات مي توانند بغلتند. اجزاي تشكيل دهنده اتر 12 وجهي و بسيارسبك هستند. در قديم تصور مي شد تمام اجرام سماوي از مادة سبكي به نام اتر تشكيل شده اند كه خاصيت چرخندگي دارند.

در دوره رنسانس، زمانيكه نوشته هاي كلاسيك روم و يونان باستان با پشت سر گذاشتن سال هاي تاريك اروپادر دسترس قرار گرفت ، خداشناسان ، فلاسفه و دانشمندان كارهاي افلاطون و اقليدس را مورد مطالعه قرار دادند،و اين مطالعه ها علاقة آنها به چند وجهي ها بر انگيخت.

يوهانس كپلر آلماني(1630-1571 )آرزوي بزرگش در زندگي اين بود كه بتواند تئوري خورشيد مركزي را تكميل كند. او سادگي و هماهنگي اين تئوري را به صورت لذتي باورنكردني مي نگريست. براي كپلر چنان الگوهايي از انتظام هندسي و رابطه هاي عددي سر رشته اي بود براي شناخت انديشه خداوند او درصدد بود تا از راه تئوري خورشيد مركزي اين الگو ها را بيشتر نمايان كند .در نخستين اثر بزرگ خود كوشيد تا ترتيب و فاصله مدارهاي سيارات را چنان كه كپرنيك محاسبه كرده بود به نحوي از طريق اشكال هندسي توجيه كند كپلر به دنبال دلايلي مي گشت تا دريابد چرا فقط شش سياره قابل رويت وجود دارد و چرا با چنين ترتيبي قرارگرفته اند اينها مسائل ارزشمندي است كه حتي امروزه پاسخ دادن به آنها بسيار دشوار است.

 كپلر فكر مي كردكه كليد حل اين مسائل در هندسه است.او به جستجويي ميان شش سيارة شناخته شده پنج چند وجهي منتظم برآمد. او با استفاده از روش آزمايش خطا راهي براي آرايش چند وجهي ها به دست آورد.كپلر چند وجهي هاي منتظم را به دستگاه كوپر نيك و سيارات وارد ساخت و از آنها براي توجيه ترتيب و اندازة مدار سيارات استفاده كرد. طرح او مانند شكل پشت جلد است. زحل در كرة خارجي حركت مي كند كه شامل يك مكعب است و يك كره در آن قرار دارد كه مشتري روي آن حركت ميكند وخود شامل يك چهار وجهي منتظم است كه كرة مريخ در آن قرار دارد.به همين ترتيب كرة مريخ شامل يك دوازده وجهي منتظم است،پس كرة زمين شامل يك بيست وجهي،كرة زهره شامل يك هشت وجهي و در نهايت كرة عطارد است. كپلركشف خود را اتحاد ميان عناصر زميني و آسمان ها ميدانست. او چنان از طرح خود به وجد آمده بودكه  از دوستش دوك خواست كه مدلي طلايي از چند وجهي هاي تودرتووكره ها براي نشان دادن طرح او به دنيا و توضيح جهان مرموز ساخته شود.كپلر مي نويسد من ابعاد مدارهاي سياره اي را براساس اخترشناسي كوپرنيكي در نظر گرفتم كه بر طبق آن خورشيد در مركز عالم ثابت است. و زمين هم به دور محور خود و هم به دور محور خورشيد مي چرخد، و نشان دادم كه اختلاف هاي مدار هاي آنها با پنج شكل منظم فيثاغورثي تطبيق مي كند.

ما امروزه مي دانيم كه اين آرايش كاملا تصادفي بوده است. براي كپلر اين الگو هم فاصلة سيارات
و هم شش عدد بودنشان را توضيح مي داد و همچنين آن يگانگي را كه كپلر در ميان مشاهده هاي هندسي و علم جستجو مي كرد در برداشت.

نتيجه هاي كار كپلر كه  در سال1597 منتشر شد،تخيل و توانايي رياضي او را نشان مي دهد. 

 متن زير خلاصه مقاله پروفسور« سر مارتين ريس » يكي از پيشگامان كيهان شناسي در جهان است. وي استاد تحقيقات انجمن سلطنتي در دانشگاه كمبريج و داراي عنوان اخترشناس سلطنتي است. در عين حال وي عضو انجمن سلطنتي، آكادمي ملي علوم ايالات متحده و آكادمي علوم روسيه است. وي ضمن مشاركت با چندين همكار بين المللي ايده هاي بسيار مهمي در مورد سياهچاله ها، تشكيل كهكشان ها و اخترفيزيك انرژي بالا داشته است.

شش عدد بر كل جهان حاكم است كه از زمان انفجار بزرگ شكل گرفته اند. اگر هر كدام از اين اعداد با مقدار فعلي آن كمي فرق داشت، هيچ ستاره، سياره يا انساني در جهان وجود نداشت. قوانين رياضي عامل تحكيم ساختار جهان است. اين قاعده فقط شامل اتم ها نمي شود، بلكه كهكشان ها، ستاره ها و انسان ها را نيز در برمي گيرد. خواص اتم ها ـ از جمله اندازه و جرمشان، انواع مختلفي كه از آنها وجود دارد و نيروهايي كه آنها را به يكديگر متصل مي كند ـ عامل تعيين كننده ماهيت شيميايي جهاني است كه در آن به سر مي بريم. تعداد بسيار اتم ها به نيروها و ذرات داخل آنها بستگي دارد. اجرامي را كه اخترشناسان مورد بررسي قرار مي دهند ـ سيارات، ستارگان و كهكشان ها ـ توسط نيروي گرانش كنترل مي شوند. و همه اين موارد در جهان در حال گسترشي روي مي دهد كه خواصش در لحظه انفجار بزرگ اوليه در آن تثبيت شده است. علم با تشخيص نظم و الگوهاي موجود در طبيعت پيشرفت مي كند، بنابراين پديده هاي هر چه بيشتري را مي توان در دسته ها و قوانين عام گنجاند. نظريه پردازان در تلاشند اساس قوانين فيزيكي را در مجموعه هاي منظمي از روابط و چند عدد خلاصه كنند. هنوز هم تا پايان كار راه زيادي باقيمانده است، اما پيشرفت هاي به دست آمده نيز چشمگيرند.

مناسب برای ارائه در سال سوم راهنمایی ( در پایان چند ضلعی های منتظم)

یادآوری فعالیت های قبلی:

1-     ماشین تابع ( ورودی و خروجی – مقدار عددی عبارت های جبری )

2-     مجموع زوایای داخلی یک چند ضلعی ( سال دوم راهنمایی)

نمونه ای از ماشین تابع

در ابتدا فرمول n/ [180*(n-2)]  برای محاسبه هر زاویه چند ضلعی منتظم را به کمک اطلاعات قبلی دانش آموزان به دست می آوریم و از آن ها می خواهیم جدول زیر را با محاسبه ی  مقدار عددی عبارت جبری به کمک ماشین حساب کامل کنند. (فردی یا گروهی)

نمونه ای از جدول کامل شده توسط دانش آموزان

نتایج به دست آمده و شور و شوق دانش آموزان برای الگو یابی و حدس های هندسی که زاویه از 180 درجه نباید بیشتر شود و ... خیلی جالب است.

اهداف مهارتی مورد نظر:

1-   مهارت الگویابی

2-   مهارت استفاده از ابزار و تکنولوژی

3-   مهارت استدلال

4-   ...

نتایج نهفته و غیر آشکار این فعالیت:

1-    مفهوم تابع

2-    دامنه و برد تابع

3-    مفهوم حد تابع و تجربه ای عملی برای محاسبه ی  حد

4-     ...

 در پایان بحث حد تابع که برای خودمان جالب می باشد.

(حداقل برای خودم که اولین تجربه عملی برای محاسبه حد یک تابع داشتم.)

در چند سال گذشته روشي در ميان آموزگاران و به توصيه پژوهشكده تعليم و تربيت آموزش و پرورش رايج شده است كه از آن با نام «تحقيق در عمل» نام مي‌برند.
بر اساس اين روش، كه نوع خاصي از پژوهش ميداني به شيوه مطالعه موردي است، معلمان، با مشاهده يك مشكل، طي مراحل سامان يافته، به بررسي مشكل و سعي در ارائه راه‌حلي براي آن برمي‌آيند. در آستانه شروع سال تحصيلي جديد، گزارش خلاصه شده‌اي از نمونه‌اي از يك تحقيق در عمل را كه توسط يكي از آموزگاران منطقه 3 به اجرا درآمده است، در پي مي‌آوريم.
سرآغاز
سالها بود كه در اين انديشه بودم كه اساسي‌ترين كار در آموزش و پرورش، ياددهي درس رياضي به صورت مفهوم يابي و اشراف داشتن فرزندان اين مرز و بوم در امر يادگيري و استفاده صحيح از آموخته‌ها در زندگي روزمره است، در نتيجه ضعف آموزگار و دانش‌آموز در اين عرصه، نقش بسيار مهمي را ايفا مي‌كند.
وقتي كه حس كردم شاگردانم در درس رياضي و خواندن عددهاي چهار رقمي اشكال دارند و به خوبي نمي‌توانند آنها را بخوانند و بنويسند، به فكر راهبردهايي افتادم كه عددهاي چهار رقمي را با استفاده از بازي و ساختن يك وسيله كمك آموزشي جديد تدريس كنم تا بتوانم قدمي هر چند كوچك در راه رساندن ايده و افكارم داشته باشم.

بيان مسئله
وقتي در كلاس رياضي احساس كردم شاگردانم ضعفي در اين درس دارند، با مطالعه منابع و گفت‌وگو با همكاران هم‌پايه، بر آن شدم كه وسيله كمك‌ آموزشي جديدي را درست كنم تا به كمك آن بتوانم هم‌ با بچه‌ها بازي كنم و هم رياضي(عددهاي چهار رقمي) را آموزش بدهم.
با همكار گرامي خودم خانم زاهدي‌فر نيز چندين بار تماس برقرار كردم تا بتوانم اين مشكل را تا حدودي از ميان بردارم. با خود انديشيدم كه بايد بتوانم ذهن و فكر دانش‌آموز را آن طور كه دلم مي‌خواهد، آماده گرفتن مطالب كنم. لذا مشكلات را چنين يافتم:
* همراه ساختن آموزش با بازي و ايجاد تنوع در يادگيري .
* جا گرفتن همه رقم‌ها در ستون مربوط به خود .
* تكرار و تمرين‌ در ساعت‌هاي اضافي در كلاس.
راه‌ حل‌هاي پيشنهادي
با كاربرد وسايل كمك‌آموزشي و عيني بودن تدريس رياضي، يادگيري دانش‌آموزان تسهيل مي‌شود. بدين ترتيب پيشنهاد مي‌شود: با ايجاد تنوع در تدريس و استفاده از انرژي سرشار خود دانش‌آموز، مشكل را برطرف كرد.
ابزار اندازه‌گيري
* درست كردن وسايل كمك آموزشي.
* مشخص كردن جايگاه همه رقم‌ها در ستون مربوط به خود.
* آوردن يك كيسه كه داخل آن مقداري نخود و لوبيا وجود دارد.
شيوه اجرا
دانش‌آموزان چون در پايه دوم با عددهاي سه رقمي آشنا شده‌اند و امسال مي‌خواهند عددهاي چهار رقمي و بالاتر را ياد بگيرند، با آوردن اين وسايل كمك آموزشي(تصوير ضميمه)، سر كلاس از بچه‌ها مي‌خواهيم همه آنها نيز مانند نمونه در منزل درست كنند و به مدرسه بياورند. پس از آماده شدن اين وسايل كمك‌آموزشي، سر كلاس از بچه‌ها مي‌خواهيم مقدار كمي از اين نخودها را روي كارت بريزند و سپس هر كدام را اول جدا جدا بخوانند و سپس با هم بخوانند. در ميان بچه‌ها شور و شعف خاصي ايجاد مي‌شود و چون بچه‌ها با هم مشورت مي‌كنند، در آنها ايجاد انگيزه مي‌شود و بعد از خواندن، آن را در دفتر خود يادداشت مي‌كنند. بدين ترتيب آنها مي‌توانند با تمرين و تكرار و بازي اين عددها را به خوبي بخوانند. در ضمن يادآوري مي‌شود كه مرتبه هر كدام از اعداد را نيز بچه‌ها به خوبي ياد مي‌گيرند.
نتيجه‌گيري
سالي كه گذشت اين شيوه يادگيري را به اجرا گذاشتم و فكر مي‌كنم كه بازدهي خوبي هم برجاي گذاشته باشد. ان‌شاءا... بتوانيم در سال‌هاي بعد نيز اين كار را ادامه بدهم.
ارزيابي
در سال جديد نيز اين شيوه را با كمي تنوع دنبال خواهم كرد و از دوستان هم پايه خود نيز كه همگي استاد من هستند، مي‌خواهم كه در تدريس خود ضمن ايجاد تنوع، وسايل جديد آموزشي هم همراه داشته باشند تا بتوانيم ان‌شاءا... بهره خوبي از كلاس ببريم و از خود خاطره خوشي در ميان بچه‌ها باقي بگذاريم

بدون استفاده از هر گونه ماشین حسابی، دستگاه زیر را حل کنید:

حل را در ادامه مطلب ببینید

در شگفت آباد میزهای بیلیارد به شکل مثلث اند! تصویر زیر یکی از این میز ها را که ۵گز در ۷گز در ۸گز است نشان میدهد:

تصویر زیر نیز نمای فوقانی میز را نشان میدهد(تصویر ها هیچکدام به مقیاس کشیده نشده اند):

شگفتعلی خان از جوانان شگفت آباد است که به بازی بیلیارد سخت علاقه دارد و روزی نیست که چند ساعتی از وقت خود را به این بازی نگذراند. اگر چه او اهل هندسه و ریاضیات نیست ولی به تجربه فهمیده است که در روی هر یک از اضلاع میز یک نقطه ی منحصر به فرد وجود دارد که اگر او گلوله اش را در آنجا قرار دهد و تحت زاویه معینی هم به آن ضربه بزند، گلوله پس از برخورد به دو ضلع دیگر و انعکاس روی آنها دوباره به محل اول خود برمیگردد.

شگفتعلی خان هر وقت میخواهد سر به سر همبازیهایش بگذارد و آنها را مدتی معطل کند گلوله اش را در یکی از آن سه نقطه میگذارد و با زاویه ی معینی که فقط خودش میداند آنرا میزند. همانطور که گفته شد گلوله پس از اصابت به دو ضلع دیگر و انعکاس روی آنها باز به محل اول خود بر میگردد و چون در شگفت آباد  اصطکاک وجود ندارد! و همه چیز هم کاملا" الاستیک است! گلوله باز همان مسیر مثلثی شکل را طی میکند و این چرخش تا ابد بر روی این مدار ادامه مییابد(جالب نیست؟) مگر آنکه شگفتعلی خان اراده کند و گلوله را متوقف سازد!

زحمتی که اینک ما برای شما داریم اینستکه محل آن سه نقطه ی منحصر به فرد و زوایایی که باید گلوله فقط تحت آنها زده شود تا باز به جای اول خویش برگردد را برای ما معلوم کنید( مثلا" برای ضلع BC  که طولش پنج گز است، x و زاویه ی e  را بدست آورید)

توضیح:

در میان نکات زیر، گاهی از شما خواسته می شود فعالیتی را انجام دهید، مطلبی را تعریف کنید یا به سوالی جواب دهید. سعی کنید جواب را در متن کتاب بیابید. اگر در متن کتاب جواب سوال صراحتاً بیان نشده بود، سعی کنید خودتان به سوال مطرح شده پاسخ دهید و اگر نتوانستید از معلمتان بپرسید.

 
تعریف دامنه و توضیحات مهم در این زمینه:

اگر دامنه ی تابع حقیقی f به طور صریح داده نشده باشد و تنها ضابطه ی آن در دست باشد، منظور ما از جمله ی «دامنه ی تابع f را بیابید»، عبارت است از

«یافتن بزرگترین زیر مجمو عه ی R که برای هر x از آن مجموعه، (f(x عددی حقیقی باشد»، یعنی

1. چند جمله ایها: