یک رشته پلکان مارپیچ دو بار یک مخزن بزرگ نفت به شکل استوانه را دور میزند تا به پشت بام مخزن میرسد. همانطوریکه در شکل نشان داده شده است دو انتهای پلکان( انتهای پائینی بر روی زمین و انتهای بالایی بر پشت بام )دقیقا" در یک راستای قائم قرار دارند. شیب پلکان هم در تمام طول مسیر ثابت است. ابعاد مخزن، بیست متر در بیست متر است، یعنی بلندی مخزن بیست متر و قطر قاعده ی آن نیز بیست متر میباشد. طول پلکان چند متر است؟

 توضیح : یک روش(استراتژی) موثر و کارآمد در حل مسائل ریاضی ساده کردن آنهاست. وقتیکه شکل ساده تر شده ی مسئله حل شد، همان راه حل(تاکتیک)را میتوان برای مسئله ی اصلی هم بکار برد.

مثلا" در این مورد ممکن است شما ابتدا فرض کنید که اگر پلکان فقط یکبار به دور مخزن دور زده بود چه راه حلی میتوانستیم برای پیدا کردن طول آن به دست آوریم. اگر توانستید این راه حل را پیدا کنید بعد آنرا  تعمیم دهید به دو دور و حتی بیشتر.

اصلا" مسئله را در حالت کلی در نظر بگیریم : اگر پلکان N بار به دور مخزن دور بزند تا به پشت بام آن برسد، طول پلکان( L ) را بر حسب N و بلندی مخزن( H )وقطر آن( D )به دست آورید.

   توضیحات: با کلیک بر عبارت بالا وارد سایتی خواهید شد که در آن مقالات کوتاه متعددی درباره حل
                   معادلات درجه اول تا چهارم و معادلات خطی دیگر گنجانده شده است. مقالات در قالب
                   pdf هستند.

    توضیحات: با کلیک بر پیوند بالا وارد صفحه ای خواهید شد که شامل ۱۲ مقاله با قالب pdf  پیرامون
                   «عدد پی» است. مطالعه بعضی از این مقالات به معلوماتی از آنالیز ریاضی نیازمند
                   است. موضوعات این مقاله ها عبارتند از:

                 - محاسبه عدد پی به روش ارشمیدس
                 - ارتباط بیضی، منحنی حلزونی ارشمیدس و سیکلوئید با عدد پی
                 - منحنی هایی با طول ثابت
                 - فرمولهای «ویت Viete» و «والیس Wallis»
                 - چند سری نامتناهی برای عدد پی
                 - استفاده از تابع آرکتانژانت برای محاسبه عدد پی
                 - فرمولی شگفت انگیز از اویلر
                 - پی و سری فوریه
                 - عدد پی و عدد e                  
                 - اصم بودن عدد پی
                 - فرمولهای گاوس، رامانوجان و  بیلی-بوروین-پلوف برای محاسبه سریعتر عدد پی
                 - پی در نظریه احتمال و نظریه اعداد

     توضیحات: در این نکته، فرمولهای جالبی برای  به دست می آید.

    توضیحات: در این نکته، سریهای همگرایی را که به وسیله آنها عدد پی محاسبه می شود، ملاحظه
                   خواهید کرد. البته در این مقاله، فرمولهای دیگری نیز در همین رابطه وجود دارد.

       
     توضیحات: در این نکته، برهان مشهور "ایوان نیو ِن" را در اثبات اصم بودن عدد پی    
                      مشاهده می فرمایید.
                      ( مقاله اصلی را می توانید با مراجعه به اینجا دانلود کنید. چند اثبات دیگر را در سه 
                      منبع  ۱ ، ۲  و ۳  مطالعه فرمایید. با تایپ عبارت "PI is Irrational" در گوگل به مطالب
                      دیگری نیز دست خواهید یافت.)

موضوع: تابع و مفاهیم مقدماتی مربوط به آن، ضابطه ی توابع حقیقی

توضیح:

در میان نکات زیر، گاهی از شما خواسته می شود فعالیتی را انجام دهید، مطلبی را تعریف کنید یا به سوالی جواب دهید. سعی کنید جواب را در متن کتاب بیابید. اگر در متن کتاب جواب سوال صراحتاً بیان نشده بود، سعی کنید خودتان به سوال مطرح شده پاسخ دهید و اگر نتوانستید از معلمتان بپرسید. 

توجه:

دانش آموزان عزیز توجه کنید که مفاهیم فصل اول کتاب (فصل توابع) برای درک مطالب فصول بعد بسیار مهم هستند. در واقع مفهوم تابع اساسی ترین مفهوم حسابان است. برای یادگیری و تسلط بر مفاهیم مربوط به تابع باید وقت کافی گذاشت و تا حد امکان روی مسائل آن کار کرد.

در اين مقاله،پيش از هر چيز مفهوم پارادوكس(Paradox)را يادآوري مي كنيم.

پارادوكس (متناقض نما): عبارتي ظاهراً درست است كه به نتايجي تناقض‌آميز منجر شده و وضعيتي به وجود مي‌آيد كه با شهود ما ناسازگار است.
يكي از مهم‌ترين پارادوكس‌هاي رياضي عبارت است از پارادوكس راسل.

برتراند راسل     

  برتراند راسل(Bertrand Russell) در 18 مي 1872 در ولز متولد شد و شهرتش به خاطر كارهاي بنيادي او در زمينه هاي مختلفي هم چون منطق رياضي،فلسفه ي تحليلي و ادبيات مي باشد.وي برنده ي جايزه ي نوبل ادبي 1950 و از فعالان ضد جنگ بود.مشهورترين اثر وي كتاب Principia Mathematica مي باشد كه در زمينه ي مباني رياضي و با همكاري آلفرد وايتهد(Alfred N.Whitehead) نوشت.وي در 2 فوريه ي 1970 در ولز درگذشت.
در پارادوكس راسل عنوان مي‌شود كه: «مجموعه‌ي همه‌ي مجموعه‌ها وجود ندارد.»اگر C چنين مجموعه اي باشد , مجموعه ي A را به صورت  تعريف مي كنيم , اگر  چون  در نتيجه   كه تناقض است.اگر  چون  در نتيجه  كه تناقض است.

براي اين پارادوكس به روش‌هاي مختلفي صورت‌هاي عاميانه‌اي ارائه شد.يكي از مشهورترين آن‌ها توسط خود راسل مطرح شد:
آرايشگري در يك دهكده اعلام مي‌دارد كه فقط و فقط صورت افرادي را اصلاح مي‌كند كه خودشان صورت خود را اصلاح نمي‌كنند. پارادوكس از اين‌جا ناشي مي‌شود كه بخواهيم به اين سؤال پاسخ دهيم:

 آيا آرايشگر صورت خود را اصلاح مي‌كند؟

با توجه به شكل فوق ، توپ تا لحظه ي سكون كامل چه مسافتي را طي مي كند؟

در اين مقاله ، شما را با تابع درخت كريسمس و خاصيت جالب آن آشنا مي كنيم ...

سطح متوسطه-

حسابان

يكي از مباحث اساسي در رياضيات ، بررسي نقطه هاي پيوستگي وناپيوستگي توابع مي باشد. به عنوان مثال مجموعه ي نقطه هاي ناپيوستگي تابع براي عبارت است از مجموعه ي اعداد صحيح ( Z ) . و يا تابع f كه با ضابطه ي زير تعريف مي شود :

در هيچ نقطه اي پيوسته نيست و لذا مجموعه ي نقطه هاي ناپيوستگي آن ، R است . اين تابع به تابع ديريكله مشهور است .
مطلبي كه در اين مقاله در پي آن هستيم ، معرفي تابعي است كه مجموعه ي نقطه هاي ناپيوستگي و پيوستگي آن به ترتيب :  اعداد گويا و گنگ بازه ي  باشند .

تابع f را بر با ضابطه ي در نظر بگيريد . ادعا مي كنيم كه اين ، همان تابع مطلوب است.

اگر عدد گوياي دلخواهي در باشد ،عدد حقيقي را طوري مي گيريم كه باشد . اكنون براي دلخواه ، اگر y عدد گنگ دلخواهي در باشد ، آن گاه اما ، پس اين تابع در هيچ نقطه ي گويائي از پيوسته نيست .

با روشي مشابه اين تابع در 0=x ناپيوسته است . پس در تمام نقطه هاي گوياي    ناپيوسته است .

حال اگر x عدد گنگ دلخواهي در و عدد حقيقي دلخواه باشد ، چون مجموعه ي متناهي است [چرا؟]پس براي مجموعه ي m هاي طبيعي كه متناهي است .اكنون قرار مي دهيم :

  ،به دليل گنگ بودن x  داريم : .

حال اگر عدد گوياي دلخواهي باشد ، آن گاه  [به تعريف اخير توجه كنيد]. و لذا .

 اگر گنگ باشد آن گاه .

اين بحث نشان مي دهد كه مجموعه ي نقطه هاي ناپيوستگي و پيوستگي تابع مورد نظر به ترتيب عبارت اند از : اعداد گويا و اعداد گنگ بازه ي  .

اكنون نمودار اين تابع را در زير مي آوريم :

کاربردهای ریاضی - راهنمایی

روزي پسركي با پدرش براي خريد از خانه خارج شدند. در مسير به چند ماشين حامل ميوه برخوردند كه هندوانه و خربزه مي‌فروختند، پدر به طرف ميوه‌فروش‌ها رفت و در خصوص قيمت هندوانه‌ها پرسيد و بعد دو هندوانه برداشت و به فروشنده داد، فروشنده قيمت هندوانه‌ي بزرگ را 5/1 برابر هندوانه‌ي كوچك اعلام كرد.(هندوانه ها به شكل كره هستند .)
پدر هندوانه‌ي كوچك را برداشت. پسرك كه با دقت آن دو را نگاه مي كرد و از طرفي بسيار به هندسه علاقمند بود، نزديك رفت و از پدرش خواهش كرد كه دو هندوانه را لحظه‌اي به او بدهد. بعد در ميان وسائل فروشنده دو تكه طناب پيدا كرد. آن ها را برداشت و به دور هندوانه ها گرفت ،نتيجه چنين بود :اختلاف طول دو طناب به اندازه‌ي  طول طناب كوچك تر بود.پس شعاع هندوانه ي بزرگ برابر شعاع هندوانه ي كوچك است(چرا؟) و چون حجم كره با مكعب شعاع آن نسبت مستقيم دارد لذا حجم هندوانه ي بزرگ برابر حجم هندوانه ي كوچك است يعني تقريباً دو برابر حجم هندوانه‌ي كوچك، در حالي كه قيمت آن 5/1 برابر آن است.
بعد نزد پدر كه هنوز داشت بر سر قيمت هندوانه چانه مي زد، رفت و گفت: ما هندوانه‌ي بزرگ را مي‌بريم، چون صرفه در خريدن هندوانه‌ي بزرگ است. بعد تمام استدلالش را براي پدر توضيح داد. بعد از خريد هندوانه به طرف ايستگاه اتوبوس رفتند. در فاصله‌ي زماني كه در ايستگاه بودند، پسر مدام از سردي هوا شكايت مي‌كرد، پدر با تعجب به او نگاه كرد و گفت: من هم دقيقاً مثل تو لباس پوشيده‌ام ولي اصلاً احساس سرما نمي‌كنم.
پسرك لبخندي زد و گفت: پدر به نظر شما اگر دو كتري پر از آب جوشيده داشته باشيم كه دقيقاً از يك جنس ساخته شده‌اند ولي يكي از ديگري بزرگ‌تر است، كدام‌يك زودتر خنك خواهد شد؟
پدر كه از سؤال او تعجب كرده بود اندكي فكر كرد و گفت: دليلش را نمي‌دانم ولي به تجربه مي‌دانم كه كتري كوچك‌تر زودتر خنك خواهد شد.
پسرك گفت: كاملاً درست است، ولي اجازه دهيد دليلش را من برايتان بگويم، اين هم يك تعبير هندسي دارد:
«جسمي زودتر سرد مي‌شود كه به هر واحد حجم آن، سطح بيش‌تري تعلق گيرد.»
اگر ابعاد يكي از كتري‌ها n برابر ديگري باشد، سطح آن طبعاً  برابر و حجم آن برابر كتري ديگر خواهد شد. بنابراين ميزان سطحي كه به هر واحد حجم كتري بزرگ تعلق مي گيرد  ميزان سطحي است كه به هر واحد حجم كتري كوچك تعلق مي گيرد لذا طبق آن چه گفتم كتري كوچك‌تر زودتر سرد خواهد شد.
خب اكنون با توجه به مثالي كه در اين جا آوردم بايد متوجه شده باشيد كه چرا من احساس سرما مي كنم ولي شما سردتان نيست. 
حالا پدر به نظر شما چرا شاخه‌ي نازكي كه از يك كنده‌ي هيزم جدا شده است، ‌زودتر از خود كنده مي‌سوزد؟

اریگامی هنر خلاق

سرگرمی های ریاضی

 سرگرمی های ریاضی 

حتماْ از این بازهای فکری ریاضی استفاده بکنید و خودتان را امتحان کنید

 بازی ریاضی ۱

 بازی و ریاضی۲

 بازی و ریاضی۳

 بازی و ریاضی ۴

 بازی و سرگرمی

 بازی و سرگرمی های فکری

 بازی و سرگرمی هوش

 بازی هوش و سرعت

ریاضی دروازه علوم است

بازی و ریاضی بسیاری از موضوعات و بخش های جذاب و متنوع علم ریاضی را در بر می گیرد که توسط یک محقق و ریاضیدان آمریکایی به نام مارتین گاردنر به جهانیان عرضه شد.
گاردنر با نشان نبوغ و خلاقیتش در به کار گیری ریاضی در بازی و سرگرمی، دیگر دانشمندان و ریاضیدانان را به تهیج واداشت.
در این مسیر یعنی به کار گیری ریاضی در جهان امروز داگلاس هافستادر نیز همانند گاردنر سهم بسزایی داشت.
در مجموع محبوب ترین و معروف ترین ریاضیدانان که در سال های اخیر کمک شایانی به این امر داشته اند عبارتند از:

1. جان کاندی
2. مارتین گاردنر
3. داگلاس هافستادلر

همچنین کسانی که با تلاش های بی شائبه خود تحقیقات وسیعی را در نشر و گسترش علم ریاضی در بین عموم جامعه انجام داده اند عبارتند از:

1. هنری دُدنی
2. پیت هین
3. سم لوید

ابزارهای ریاضی

چرتکه

چُرتکه ابزاری برای محاسبه چهار عمل اصلی و وسیله محاسبه‌ای قدیمی است که هنوز در بسیاری از کشورهای آسیایی مورد استفاده قرار می‌گیرد. واژه چرتکه در فارسی احتمالاً از روسی گرفته شده است. گونه روسی چرتکه، چوتی (tschoty) یا شوتی (schoty) نام دارد.

ساختار چرتکه

یک چرتکه استاندارد برای انجام چهار عمل اصلی ریاضی مورد استفاده قرار می‌گیرد و می‌توان از آن برای محاسبه ریشه دوم و سوم اعداد نیز استفاده کرد. چرتکه از یک قاب اصلی تشکیل شده است که چندین میله عمودی در آن جاسازی شده و در هر یک از این میله‌ها تعدادی مهره چوبی وجود دارند که به بالا و پایین حرکت می‌کنند. یک میله افقی فضای داخل قاب را به دو قسمت تقسیم می‌کند که به نام ردیف بالا و ردیف پایین شناخته می‌شوند.

اجزا وشیوه ی محاسبه

چرتکه را برای استفاده بر روی سطح صافی مانند میز یا روی پا قرار می‌دهند و تمام مهره‌های بالا و پایین را به سمت مخالف میله افقی حرکت می‌دهند.

ارزش مهره‌ها: ارزش عددی هر مهره در ردیف بالا ۵ و در ردیف پایینی معادل ۱ است. هنگامی که مهره‌ها به سمت میله افقی حرکت داده شوند در واقع شمرده شده‌اند.

شمارش: هنگامی که ۵ مهره در ردیف پایینی شمرده شود، نتیجه به ردیف بالا منتقل می‌شود. هنگامی که تمام مهره‌های بالا و پایین یک ستون شمرده شدند، نتیجه آن یعنی (۱۰) به نزدیکترین ستون سمت چپ آن منتقل می‌شود.

آخرین ستون سمت راست، ستون یکان است، ستون بعدی دهگان، بعدی صدگان و الی آخر. محاسبات اعشاری به این ترتیب انجام می‌شود که فاصله بین دو ستون به عنوان ممیز تعیین می‌شود و تمام ستونهای سمت راست این فاصله اعداد اعشار و ستونهای سمت چپ اعداد صحیح را نشان می‌دهند.

چرتکه در زمان ما

امروزه مغازه داران آسیایی همچنان از چرتکه برای محاسبات خود استفاده می‌کنند و استفاده از چرتکه در بسیاری از مدارس خاور دور تدریس می‌شود. برای آموزش محاسبات ریاضی به کودکان نابینا هم از چرتکه استفاده می‌شود و این بهترین وسیله جایگزین برای کاغذ و مداد است. علاوه بر آن در بسیاری از مدارس عادی نیز به جای ماشین حساب و یا انجام محاسبات روی کاغذ، از چرتکه استفاده می‌کنند و روش استفاده آنرا به دانش آموزان تعلیم میدهند.

 J.Bertrand

سطح متوسطه-

جبرواحتمال-

مساله:وتر، پاره خطی است که نقطه های انتهایش، دو نقطه از دایره باشند.در دایره ای به شعاع1 ,احتمال این که طول وتری بیش از  باشد، چقدر است؟

چنین مساله ي ساده ای می تواند بسیار شگفت انگیز باشد، به این علت که می توان چندین راه حل به ظاهر منطقی برای آن ارائه داد که هر یک به پاسخی متفاوت می انجامد.

راه حل اول:
وتری مانند AB را در نظر بگیرید که در نقطه ی M بر دایره ي به شعاع و مرکز دایره ي نخست ، مماس باشد.( شکل1 )

از آن جا که AB بر این دایره مماس است ، بر شعاع MC عمود خواهد بود.پس بنا بر قضیه ی فیثاغورث داریم:

به طریق مشابه داریم: =AM.پس طول وتر AB برابر  است.

برای وتر دلخواه EF ،اگر پای عمودی که ازمرکز دایره بر این وتر اخراج می شود،درون دایره ی داخلي بیفتد، آن گاه :

 طول AB < EF طول و در غیر این صورت :

   طول AB  EF طول .