اینهم مسئله ی زیبای دیگری برای آنهایی که زیبایی را نه فقط با چشم سر که با چشم دل نیز میبینند.

مسئله ی مربع نا خوانده

شکل زیر را با دقت نگاه کنید. همانگونه که میبینید، شکل به چهار قسمت نامتساوی با رنگهای نارنجی، آبی، قرمز و سبز تقسیم شده است. مساحت هر قسمت هم بر حسب واحد مربع معلوم است: مثلث سبز(۱۲ واحد)، مثلث نارنجی(۵ واحد)، قسمت آبی(۷ واحد) و قسمت قرمز( ۸ واحد)میباشد

حالا این چهار قسمت را با یک قیچی بریده و آنها را به ترتیبی دیگر که در شکل زیر میبینید در کنار هم قرار میدهیم. چیز عجیبی اتفاق میافتد: یک مربع اضافی پیدا میشود( مربع سفید ). با توجه به اینکه مساحت هیچ یک از قطعات تغییری نکرده است، چطور ممکن است چنین چیزی اتفاق بیفتد؟ این مربع ناخوانده از کجا آمده است؟

برای آنکه مسئله را بهتر لمس کنید خوب است شکل اول را با همان ابعاد داده شده بر روی کاغذ شطرنجی بکشید و با بریدن و جابجا کردن قطعات آن، شکل دوم را بوجود آورید تا به چشم خود ببینید که یک مربع، اضافه می آید. شاید باین طریق نکته ی ظریفی را که در مسئله نهفته است کشف کنید و این خود در حل مسئله به شما کمک نماید

شما می توانید در آدرس زیر پاسخ

 اصل پایستگی مساحت

 را به شکل متحرک(انیمیشن) ببینید

http://www.milaadesign.com/triangle.html

برای پی بردن به جواب یک مسئله هیچ چیزی آسان تر از این نیست که روی جواب مسئله کلیک کنید !

پنـــــد: اما این کار را فقط وقتی بکنید که به اندازه کافی به مسئله فکر کرده و همه راههایی را که

به نظرتان میرسد به کار بســـته اید. در غیر این صورت هر گز آن گوهر زیبایی را که در ریاضــــیات نهفته

است نخواهیــــــــد دید و آن طعم شــــــیرینی را که حل یک مســــئله نصیب میکند، نخواهیـــــد چشید.

اگر یکساعت به مسئله ای فکر کنید و بالاخره هم نتوانید آنرا حل نمایید، یقین بدانید که بیش از آن بهره

میبرید که پس از یکدقیقه تفکر، تسلیم مسئله شوید و به حل آن نگاه کنید.

دو دایره به مراکز P  و  Q  در نقطه ی M  مماس داخل اند و چنانکه در شکل زیر ملاحظه میفرمایید حلقه(یا طوق)زیبایی را بوجود آورده اند. فقط طولهای  a  و  b  بر ما معلوم اند. آیا با داشتن این مقادیر میتوانید اندازه ی دقیق مساحت حلقه را بدست آورید ( یعنی مساحت قسمت طلایی رنگ را) ؟

اگر توانستید مسئله را با این داده ها حل کنید، آنگاه کوشش کنید که آنرا در حالت کلی هم حل نمایید، یعنی فرمولی بدست آورید که با آن بتوان مساحت حلقه، A ، را بر حسب a  و  b محاسبه نمود.

نظر یادتون نره

از نامگذارى «مثلثات» مى توان حدس زد كه اين شاخه از رياضيات دست كم در آغاز پيدايش خود به نحوى با «مثلث» و مسئله  هاى مربوط به مثلث بستگى داشته است. در واقع پيدايش و پيشرفت مثلثات را بايد نتيجه اى از تلاش هاى رياضيدانان براى رفع دشوارى هاى مربوط به محاسبه هايى دانست كه در هندسه روبه روى دانشمندان بوده است. در ضمن دشوارى هاى هندسى، خود ناشى از مسئله  هايى بوده است كه در اخترشناسى با آن روبه رو مى شده اند و بيشتر جنبه محاسبه اى داشته اند. در اخترشناسى اغلب به مسئله   هايى بر مى خوريم كه براى حل آنها به مثلثات و دستورهاى آن نيازمنديم. ساده ترين اين مسئله  ها، پيدا كردن يك كمان دايره (بر حسب درجه) است، وقتى كه شعاع دايره و طول وتر اين كمان معلوم باشد يا برعكس، پيدا كردن طول وترى كه طول شعاع دايره و اندازه كمان معلوم باشد. مى دانيد سينوس يك كمان از لحاظ قدر مطلق برابر با نصف طول وتر دو برابر آن كمان است. همين تعريف ساده اساس رابطه بين كمان ها و وترها را در دايره تشكيل مى دهد و مثلثات هم از همين جا شروع شد.

چکیده

این طرح درس با استفاده از به تصویر کشیدن یک سری نامتناهی از اعداد کسری، کمک می کند تا دانش آموزان مفهوم چنین سری اعدادی را مستقیماً درک کنند و به چشم خود ببینند که یک تصاعد با تعداد جمله های نامحدود، می تواند به یک پاسخ متناهی و یک حاصل جمع مشخص ختم شود. ضمن اینکه بین اشکال هندسی و سری های اعداد رابطه برقرار خواهند کرد. علاوه بر اینها، تصویر کردن کسرهای تواندار را نیز تجربه خواهند کرد.

توضیح اولیه

این طرح درس با استفاده از به تصویر کشیدن یک سری نامتناهی از اعداد کسری، کمک می‌کند تا دانش آموزان مفهوم چنین سری اعدادی را مستقیماً درک کنند و مشاهده كنند که یک سری نامتناهی، می‌تواند به یک پاسخ متناهی و یک حاصل جمع مشخص ختم شود. دانش‌آموزان با تكیه بر آموخته‌های خود در این درس می‌توانند بین اشکال هندسی و سری‌های اعداد ارتباط برقرار كنند. افزون بر این‌ها، تصویر کردن کسرهای توان‌دار را نیز تجربه خواهند کرد.

با فاصله از هم جدا کنید.   

اهداف

• در پایان این جلسه دانش آموزان می‌توانند
• مفهوم تصاعد هندسی نامتناهی را به کمک تصویر درک كنند.
• امكان وجود حاصل‌جمع متناهی و مشخص برای مجموعه‌ا‌ی نامتناهی از اعداد را بپذیرند.
• برای تصاعد‌های هندسی، تجسم تصویری پیدا كنند.
• روابط بین تصاعد‌ها و سری‌های مختلف را بررسی كنند و با این بررسی‌ها حاصل‌جمع بعضی از سری‌های ناآشنا را پیش بینی كنند.

وسایل لازم

•  برگه ی فعالیت A (با تصاویر رنگ نشده)، دو برگ کاغذ شطرنجی و مدادرنگی (برای جلسه‌ی اول).
• کاغذ شطرنجی، مدادرنگی و ماشین حساب (برای جلسه‌ی دوم) .

جلسه‌ی اول

پیش از شروع درس، مطمئن شوید که دانش آموزان مفهوم "‌نامتناهی‌"را از پیش می‌دانند. در صورتی که تشخیص دادید لازم است، با مثال‌هایی مفهوم بی‌نهایت را به آنان یادآوری کنید. مثلاً می‌توانید از تکرار شدن تصویر به تعداد نا‌محدود در دو آینه‌ی روبروی هم استفاده کنید و عملاً به آن‌ها نشان دهید که تصویرها تا بی‌نهایت ادامه دارند. سپس برگه ی فعالیت A را به آنان بدهید و از آن‌ها بخواهید تا قسمت سمت چپ از تصویر اول را رنگ‌آمیزی کنند. از آن‌ها بخواهید تا کسر مربوط به قسمت رنگ شده را در کنار شکل بنویسند.

در گام بعد قسمت سمت چپ از ذوزنقه‌ی کوچکتر در تصویر دوم را نیز رنگ بزنند و کسر مربوط به آن را بنویسند. احتمال دارد در نوشتن این کسر احتیاج به راهنمایی داشته باشند. یاد‌آوری کنید که ذوزنقه‌ی اصلی باید به عنوان واحد و برابر با یک در نظر گرفته شود و ذوزنقه‌ی کوچک   از ذوزنقه‌ی اصلی است. پس  از  کل رنگ شده است. یعنی ²( ) که به  قبل اضافه شده است. این کار را برای تصویر سوم نیز تکرار کنید و ³( ) + را در کنار شکل بنویسید. از آنان بخواهید كه فرض كنند در تصویر چهارم، n بار تقسیم کردن ذوزنقه به 4 قسمت و رنگ کردن یک قسمت از آن تکرار شده است. پس کسر مربوط به آخرین قسمت ⁿ( ) خواهد بود، که به کسرهای قبل اضافه می‌شود. حالا مجموع همه‌ی کسرهای به دست آمده را به این شکل روی تخته‌ی کلاس بنویسید:

توضیح دهید که:

مجموع این جملات، در واقع مقدار رنگ شده از ذوزنقه‌ی اصلی را در شکل چهارم نشان می‌دهد. از آن‌ها بخواهید تا تصور کنند این کار را بی شمار بار تکرار کنیم و به تقسیم کردن ذوزنقه‌ها تا بی‌نهایت ادامه دهیم. در این صورت باید سری بالا را به این شکل کامل کنیم:

حالا از دانش آموزان بخواهید تا حاصل جمع نهایی را حدس بزنند. یادآوری کنید که با دقت کردن در تصویر به جواب خواهند رسید. در نهایت (پس از آن‌که دانش‌آموزان پاسخ دادند) پاسخ  را در طرف دوم تساوی قرار داده و برای آن‌ها توضیح دهید كه «شاید فکر کنید اگر به حد کافی به اضافه کردن جمله‌های این تصاعد ادامه دهیم، مقدار نهایی آن نیز بدون هیچ محدودیتی افزایش خواهد یافت و به بی‌نهایت خواهد رسید. اما در تصویر می‌بینیم که قسمت رنگ شده هیچ‌گاه از ذوزنقه‌ی اول بیرون نخواهد رفت و همواره به  شکل هندسی محدود خواهد بود. پس پاسخ این حاصل‌جمع، عددی متناهی است».

حالا مرحله ی بعد را اجرا کنید. به هر دانش آموز یک برگ کاغذ شطرنجی بدهید و از آنان بخواهید که یک مربع به ضلع 32 خانه در آن رسم کنند. سپس یک قطر مربع را رسم کنند و آن را به دو نیمه‌ی مساوی تقسیم نمایند، نیمه ی سمت چپ را رنگ کنند و مثلث رنگ نشده را نیز با یک خط به دو مثلث مساوی تقسیم کنند و باز هم مثلث سمت چپ را رنگ کنند. این تقسیم‌ها و رنگ کردن یک نیمه را تا آنجا که می‌شود ادامه دهند و سعی کنند برای هر مرحله کسر مربوط را بنویسند و آن‌ها را با هم جمع کنند. فرض کنند این تقسیمات را به تعداد نامحدود ادامه دهیم. پس سری مربوط به آن، به این صورت در خواهد آمد:

حالا توجه آنها را به این موضوع جلب کنید که هیچ گاه پیش نمی‌آید که ما ناحیه‌ای خارج از مربع را رنگ آمیزی کنیم. پس باز هم پاسخ این مجموع، یک عدد متناهی خواهد بود؛ اما «چه عددی؟». از دانش آموزان بخواهید تا با نگاه کردن به تصویر، حاصل جمع را حدس بزنند و رابطه را به صورت زیر کامل کنند:

شما نیز رابطه‌ی دوم را درست در زیر رابطه‌ی اول، روی تخته‌ی کلاس بنویسید و بعد این سری جدید را اضافه کنید:

از دانش‌آموزان بپرسید كه آیا می‌توانند پاسخ این یکی را پیش بینی کنند؟ بخواهید تا الگویی با توجه به دو تساوی قبل پیدا کنند و  در نهایت پاسخ را حدس بزنند؛ در غیر این صورت خود شما به عنوان یک حدس، عدد را اعلام کنید و از آنان بخواهید تا برای اثبات آن دست به کار شوند. روی کاغذ شطرنجی یک مربع به ضلع 27 خانه رسم کنند و آن را به سه ردیف مساوی (هرکدام به مساحت 27*9 خانه) تقسیم کنند و ردیف پایینی را رنگ بزنند. «این چه کسری است؟». پاسخ  را در زیر تصویر ثبت کنید. سپس از آن‌ها بخواهید ردیف وسطی را به سه ستون مساوی (9*9) تقسیم کنند و قسمت سمت راست را رنگ کنند. «حالا چه کسری به کسر قبل اضافه شده؟»؛  از  یا ²(). این عدد را به  اضافه کنید و از دانش‌اموزان بخواهید كه قسمت وسط را باز هم به سه قسمت مساوی تقسیم کنند و ردیف پایینی را رنگ بزنند. حالا ²() به مجموع قبل اضافه شده است. دانش آموزان باید در مرحله‌ی بعد هم ردیف وسطی را به سه ستون تقسیم کنند و قسمت سمت راست را رنگ بزنند؛ به همین ترتیب این روش را ادامه بدهند و در هر مرحله نیز جمله‌ی جدیدی به تصاعد اضافه کنند:

حالا با توجه به شکل می‌توانند پاسخ مجموع جمله‌ها را در صورتی که کار تقسیم تا بی‌نهایت ادامه پیدا کند، حدس بزنند و تساوی را کامل کنند.

(در صورت نیاز از بچه‌ها بخواهید قطر مربع را رسم کنند تا متوجه شوند که هر قسمت خالی در نیمه‌ی راست مربع، مساوی با یك قسمت رنگ شده از نیمه‌ی سمت چپ آن است).

حالا در مرحله‌ی آخر ..........

  1 )کدام جمله نادرست است ؟

   الف ) صفر از تمام اعداد مثبت کوچکتر است.        

     ب ) مجموعه اعداد صحیح مثبت عبارتند از : { . . . و 3و 2و 1 } A=

      ج )  6-  > 9-                    

    د ) مجموعه اعداد صحیح منفی عبارتند از :  { . . . و 3- و 2- و 1- و 0 }A=   

 2 ) دمای هوای مشهد 3 درجه زیر صفر است، درهمان روز بیرجند 5 درجه سردتراست ، دمای هوای بیرجند برابر است با :

     الف ) 8 درجه زیر صفر      ب ) 2 درجه زیر صفر       ج ) صفر     د ) 2 درجه بالای صفر

3 ) در تساوی  3¹⁵  =  3³ × ^x 81      مقدار  x  کدام است ؟

         الف )   5              ب ) 9                          ج ) 3                    د ) 12

 4) کدامیک از موارد زیر درست است ؟

    الف )   ₆ ( 12345)       ب ) ₃( 23001 )        ج ) ₅ ( 316 )         د ) ₂(  213 )

 5 ) عدد  ₂ ( 10101 ) در مبنای  10 کدام است ؟

     الف ) 20              ب ) 21              ج )  15                 د )   16

  6 ) مجموعه اعداد طبیعی بین 3- تا5 +چند عضو دارد ؟

     الف )  7        ب )  4             ج ) 9                 د ) 5

7 ) مساحت مربعی28 /1 سانتی متر مربع است.طول ضلع آن تقریبأ چند سانتی متر است ؟

        الف ) 41/0      ب ) 114 /0        ج ) 14 /1       د ) 24 / 1

8 )  حاصل عبارت (15- 10 – 1- )   کدام است ؟

        الف ) 24         ب )6-         ج ) 26-            د )  هیچکدام

9 ) عدد 547  چند مقسوم علیه اول دارد ؟

     الف ) 2        ب ) 3            ج )1          د ) 5

10 ) در یک کلاس 20  نفری معدل  کلاس 14 است و در یک کلاس 30 نفری معدل کلاس 12 است . میانگین دو کلاس کدامست ؟

        الف )13           ب ) 8/12          ج )2/ 13             د ) 5/12

راهکارهای   زیر جهت کاستن  از حجم کار معلم ریاضی و افزودن فعالیت دانش آموزان و در عین حال بالا بردن بهره وری و کا ر آمدی ساعات کلاس  ارائه می شود .امید است مفید و موثر واقع شود . 

1-آیا لازم است تمام مطالب کتاب به صورت کلمه به کلمه و حرف به حرف توسط معلم مربوطه و طولانی برای دانش آموزان  تدریس شود .

2- آیابسنده کردن به اهم سر فصل ها و به اصطلاح لب مطالب توسط معلم و واگذار کردن مطالب حاشیه ای و دارای  اهمیت با درجه ی کمتر به دانش آموزان حجم کار معلم رادر کلاس  کاهش  نمی دهد .

3- آیا رده بندی مسائل و تمرینات هنگام تدریس از ساده به مشکل موجب افزایش و سادگی  یادگیری نمی گردد .

4- آیا اگر مثال هایی را که معلم هنگام تدریس روی تابلو می نویسد از تمرینات پایان درس باشد حجم کار معلم را در جلسه ی بعدی  کاهش نمی دهد .

5- آیا اصولا لازم است که تمامی تمرینات و سئوالات کتاب عینا توسط معلم در کلاس حل شود ؟ اینجا نباید پرسید سهم دانش آموزان چیست ؟ یا تفاوت معلم با کتابهای پاسخ دار چیست ؟

 6- آیا قبل از هر امتحانی دوره کردن اهم  مطالب  در قالب نمونه سئوال که روی تابلو توسط یک دانش آموز نوشته  و حل شود و سایرین یادداشت برداری نمایند . موجب باز آفرینی مطالب از یاد رفته نمی گردد ؟

 معلم محترم شما آیا بهتر نیست روی صندلی خود بنشینید سئوالات را بگویید بچه ها روی تابلو  و دفترشان بنویسند و با مختصر توضیحی بچه ها را به سوی جواب راهنمایی کنید ؟

7- آیا سئوالات امتحانی را ساده طرح کنیم تا دانش آموزان خودشان نمره بیاورند بهتر از این نیست که به آنها نمره دهیم .

نقش اجتماعي رياضيات

آيا مي توانيم براي آموزش رياضيات در دنيايي كه در آن تكنولوژي نقش عمده را بازي
مي كند نقش اجتماعي جديد پيدا كنيم ؟

دليل 1 - رياضيات بي طرف است و در شرايطي دور از مسايل متنازع اجتماعي بهتر آموخته مي شود .

پيامدها : 1- آموزگاران ، همچنان سخت درون مرزهاي تخصص گرايي موضوعي خود خواهند غنود .

2- همه حكومتهايي كه رياضيات را به عنوان ابزاري كارساز براي پيشرفتهاي تكنولوژيكي و اقتصادي مي بينند ، همچنان بيشترين اولويتها را به تدريس آن اختصاص خواهند داد .

3- رياضيات در چشم اكثر مردم عامي ، همچنان هاله جادويي و تنزه خود را ، بر فراز وابستگيهاي معمولي آدميان ، دارا خواهدبود .

4- آموزش رياضيات كمك مستقيمي به مسايل فوري اجتماعي نسل كنوني نخواهد كرد .

دليل 2 - از آنجا كه رياضيات ، هم تكنولوژي در همه شكلهاي گوناگونش ، هم سياست تعيين چگونگي كاربردش را پي ريزي مي كند ، تدريس آن بايد آگاهانه به اين مسايل مربوط باشد .

پيامدها : 1- اين كار دشواري است . به علاوه بسياري از آموزگاران رياضي ، اگر نه همه شان وظيفه خود نمي دانند كه مسايل اجتماعي و متنازع را لمس كنند .

2 - انتظار مي رود حكومتها واكنش مخالف نشان دهند . اين در برخي از كشورها كه تلاشهايي براي گنجاندن يك بخش (( مسئوليت اجتماعي )) در تدريس فيزيك ، يا براي
وارد كردن (( مطالعات صلح )) در مدارس انجام شده رخ داده است .

3- انتظار مي رود انگيزش دانش آموزان افزايش يابد .

4- آموزشگران رياضي شايد سهم حرفه اي مستقيمي در حل برخي از مسايل رودرروي جامعه انساني پيدا كنند .

5- جامعه همچنان مملو از كساني خواهد بود كه بر خوردشان با رياضيات بيشتر مطيع احساس از شكست است . كساني كه يادگيري بيشتر رياضيات را ، اگر معلوم شود كه در آينده بكارشان مي آيد . ناممكن مي پندارند .

در حد يك كلاس درس ، آموزگار خوب خود پيشاپيش تا حدي دست به تفكيك برنامه درسي
مي زند ، وي براي دانش آموزان پر استعدادتر مسايل پيچيده تري طرح مي كند تا پيشرفت بيشتر آنان را برانگيزد و براي كم استعدادتران مسايل ساده تر تا در آنان اعتماد به خويش و ايستاري مثبت تر نسبت به يادگيري رياضيات بيافريند .

گونه ديگر تفكيك ، بر اساس سرعت ترقي در يك برنامه درسي مشترك است كه به وضوح بدان معناست كه شاگردان ضعيفتر هنگامي كه مدرسه را ترك مي كنند مقدار كمتري از برنامه را گذرانده اند . در برخي از كشورها اين گونه تفكيك با نگه داشتن شاگرد در يك كلاس تا هنگامي كه در جه آموختگي قابل قبولي بدست آورد انجام مي شود .

امكان بهتر كار كردن  :

معلمی كه بايد روزي 5 يا 6 كلاس داشته باشد ، وقت چنداني براي انديشيدن خويش ، فراهم آوردن مواد آموختن وي ، وارسي گونه هاي مختلف رويكردهاي بديل ، يا كار با همكاران خود براي توسعه و نوسازي يك برنامه منسجم ندارد .

از آموزگاري كه فاقد جا براي كار ، تجهيزات ، بودجه براي خريد مواد يا سفر ، وقت اختياري براي كار با همكاران يا دانش آموزان است نمي توان انتظار داشت همچون يك
(( كارورز انديشه گر )) پيشرفت زيادي داشته باشد .

معلم همچون (( قرباني )) :

افزودن باري بر دوش آموزگاران مثلا" از طريق ارجاع مسئوليت بيشتر در طرح برنامه درسي انتخاب روشهاي آموزشي ، و ارزيابي دانش آموزان ، بسيار ساده است .

روشن است كه همه اينها از حيث آموزش مطلوبند اگر پشت آموزگاران قوت كافي براي تحمل چنين باري را داشته باشد . نقش خدماتي رياضيات اهميت مردم فزاينده اي دارد . اين چيزي

 سواي نقش صافي مانند اين درس است ، چرا كه بسياري از مشاغلي كه ورود به آنها مستلزم ارائه مدارك از دانش رياضي خواسته در مرحله ورود آن را به كار نمي گيرند .

رياضيات و دشواري :

رويهمرفته مردم رياضيات را به عنوان يك درس نخست مي شناسند . براي خيلي ها رياضيات با يك احساس قوي از شكست همراه است . و خاطره آنها از رياضيات مدرسه خاطره آزمايشها ، امتحانها ، سرخوردگي و ترس از (( غلط در آوردن جواب )) است .

دختران و رياضيات :

براي دختران و پسران تمايزي قائل نشويم ، چرا كه از نظر ما تفاوت اساسي اي وجود ندارد . با وجود اين شكي نيست كه در خيلي از كشورها تفاوتهاي جنسيتي زيادي از حيث چشمداشت و دستاورد در كار هست

يكي ديگر از عوامل مهم در پيشرفت تحصيلي دانش آموزان عوامل خانوادگي است . خانواده اولين مكاني است كه كودك در آن زندگي مي كند و تربيت مي يابد . بسياري از روانشناسان معتقدند كه : شخصيت كودك در شش سال اول زندگي شكل مي گيرد .

عمده ترين عوامل خانوادگي مؤثر در پيشرفت تحصيلي عبارتند از :

1- شرايط عاطفي و امنيت محيط خانواده

2- شرايط اجتماعي و اقتصادي

3- تحصيلات و سطح فرهنگ خانواده

4- تعداد اعضاي خانواده

5- اشتغال كوكان

6- اشتغال مادران

7- ارتباط بين اوليا و معلمان

8- اثرات تلويزيون

9- حاكميت ارزشهاي مادي

اكنون از بين عوامل فوق به توضيح اهم آنها مي پردازيم :

1- شرايط عاطفي و امنيت محيط خانواده :

خانواده اولين كانون تربيتي كودكان به حساب مي آيد و كودك مقدار قابل توجهي از وقت خود را در آن مي گذراند بهرام زاده ( 1372 ) به فقل از شاروك ( 1967 )
 مي گويد : (( محيط خانوادگي بيش از بهره هوشي كودكان در موفقيت تحصيلي آنها مؤثر است . )) شايد بتوان گفت مهم ترين عامل مؤثر در شكل گيري نگرش دانش آموز نسبت به تحصيل ، خانواده است .

چنانچه نگرش خانواده ، نسبت به مدرسه ، معلمان و درس ، منفي باشد و يا بين آنچه مي گويند آنچه عمل مي كنند تفاوت وجود داشته باشد طبيعي است كه به تدريج فرزند آنها نيز نگرش منفي به درس و تحصيل پيدا خواهد كرد . پدران و مادراني كه درس را كاري بيهوده و اتلاف وقت تلقي مي كنند همين نگرش را به فرزندان خود منتقل ساخته و براي پيشرفت درس آنها هيچ گونه كوششي انجام نمي دهند .

گاهي ممكن است يك خانواده از نظر مالي و اقتصادي در حد مطلوبي باشد اما فرزندان آن خانواده به دليل اختلاف و كشمكش هاي خانوادگي بين پدر ومادر و يا بين هر يك از اعضاي خانه كه محيط خانه را به محيط نا امن تبديل مي كنند ، دچار افت تحصيلي مي شوند .

دانش آموزي كه در خانواده باپدر ومادر درگير است ، براي نشان دادن مخالفت خود با آنها ناخودآگاه سعي مي كند برخلاف ميل آنها رفتار كند . از اين رو چون تمايل و حساسيت پدر و مادر به تحصيلي را مش شناسد ، در درس خواندن كوتاهي مي كند . نوجوانان در سن بلوغ به علت تغيرات جسمي و روحي ، به مسائلي غير از درس و مدرسه توجه مي كنند . ممكن است شديدا" به ورزش روي آورند يا بيشتر به فكر تفريح و گردش باشند . پسر نوجواني عقيده داشت كه : درس خواندن مال دخترها است . اين نوع فكر مي تواند اثر نامطلوب بگذارد ( معتمدي ، 1373 )

خيّر ( 1365 ) در تحقيقي تحت عنوان(( رابطه شكست تحصيلي با زمينه ها و شرايط خانوادگي )) درصدد يافتن برخي از عوامل يا ويژگي هاي خانوادگي گروهي از
شكست خوردگان تحصيلي بوده است . نتايج نشان مي دهد كه عواملي چون شغل پدر ، ميزان تحصيلات والدين ، حضور يا نبود يكي از والدين در خانه ، وضعيت اقتصادي واندازه خانواده از جمله عواملي هستند كه با موفقيت و يا شكست تحصيلي دانش آموزان رابطه دارند .

2- شرايط اجتماعي و اقتصادي :

درصد قابل توجهي از دانش آموزاني كه به طور جدي دچار افت تحصيلي شده بعضا" ناگزير در مدارس استثنايي مشغول به تحصيل مي شوند واز (( عقب ماندگان فرهنگي )) به شمار مي آيند .كودكاني متعلق به خانواده هايي هستند كه از تبار اقتصادي و اجتماعي
فوق العاده ، پايين بوده تواما" با فقر اقتصادي و فرهنگي مواجه اند ، از انگيزه تحصيلي بسيار پاييني برخوردارند .

از سوي ديگر در كنار فقر فرهنگي و محروميت هاي محيطي ، شرايط اقتصادي اجتماعي حاكم بر جامعه نيز در چگونگي تبلور انگيزه هاي رشد و پيشرفت يا افت تحصيلي دانش آموزان نقش بسزايي دارند ( افروز ، 1375 )

دانش آموزاني هستند كه از نظر بهره هوشي و جسماني هيچ گونه ناراحتي و عقب ماندگي ندارند ، اما بر اثر فقر خانوادگي ، تحمل گرسنگي و كمبود ها و نداشتن وسايل نمي توانند به طور مرتب در مدرسه حضور يابند و درس هاي خود را فرا گيرند ، در نتيجه دچار عقب ماندگي مي شودن . در واقع فقر به سلامت و آسايش كودك لطمه مي زند .

وضعيت اقتصادي تعيين كننده محل سكونت است و اگر دانش آموزان به دليل فقر مالي نتوانند محل مناسبي داشته باشند ، براي انجام تكاليف و مطالعه دروس با مشكل روبرو خواهند بود . از يك طرف محل سكونت تعيين كننده نوع مدرسه اي است كه كودك در آن درس مي خواند . وقتي محل سكونت دانش آموز در يك محل فقير باشد ، چه از نظر امكانات آموزشي و چه از لحاظ معلمان ، با كمبودهايي روبرو مي شودن ، كه مستقيما" بر پيشرفت تحصيلي او اثر مي گذارند . فقر مالي سبب مي شود كه دانش آموز از غذاي كافي و استراحت لازم محروم بماند و يا براي جبران كمبودهاي خود و خانواده ساعاتي از روز را به كار مشغول شود در نتيجه فرصت كافي براي انجام تكاليف رياضي و تمرين بيشتر نداشته باشد .

همچنين سطح آرزوهاي دانش آموزان خانواده ثروتمند و مرفه متفاوت از خانواده هاي فقير و كم درآمد است و همين تفاوتهاي كمي و كيفي ، بالا بودن شكست هاي تحصيلي در طبقات اجتماعي كم درآمد را به رغم وجود سطح توانايي هاي برابر ، توجيه مي كند ( لوگال ، ترجمه شجاع ، 1374 )

علت افت تحصيلي و يا ترك تحصيلي در كشورهاي مختلف متفاذوت است . طبق گزارش گروه مشاوران يونسكو ( 1369 ، ترجمه مشايخ ) در هندوستان دانش آموزان بيشتر به علت كمبود لباس و عدم امكانات و شهريه ، ترك تحصيل مي كنند . همچنين آمار نشان مي دهد كه 30 درصد ترك تحصيل كنند گان زن بر اثر عدم علاقه والدين به تحصيل بوده است . در فيليپين خانواده هاي متعددي وجود دارند كه اغلب هزينه ناچيز تحصيل كودكان براي آنها مبلغ مهمي تلقي مي شود .

در بعضي خانواده ها دختران بايد در خانه بمانند و به كار كمك كنند و يا از بچه هاي كوچك نگهداري كنند . در پاكستان 60 درصد از ترك تحصيل كنندگان فقر را عامل آن ذكر كرده اند .

3- تحصيلات و سطح فرهنگ خانواده :

سطح تحصيلات و فرهنگ خانواده همانند ساير عوامل مؤثر در پيشرفت تحصيلي به اشكال مختلف در پيشرفت تحصيلي و يا افت تحصيلي تأثير مي گذارد .

1-3- پايين بودن سطح تحصيلات و فرهنگ خانواده در درجه اول سبب مي شود كه خانواده نتواند كمكهاي درسي لازم را به دانش آموز ارائه دهد .

2-3- پايين بودن سطح تحصيلات خانواده سبب مي شود كه والدين در خانه از روزنامه، مجلات و ديگر رسانه ها كمتر استفاده كنندودانش آموزان از اين لحاظ محروم باشند .

3-3- به دليل فقر فكري نمي توانند نگرشهاي لازم را به فرزندان خود براي ادامه تحصيلات بدهند .

4-3- والدين كم سواد و بي سواد معمولا" كمتر به مسأله پيشرفت تحصيلي فرزندان خود فكر مي كنند .

5-3- از روابط و همكاري نزديك با اولياي مدرسه آگاهي كافي ندارند و كمتر به مدرسه مي روند و كمتر جوياي وضعيت درس فرزندان خود مي شوند .

نكته قابل ذكر در اين زمينه اين است كه گر چه نظارت و كمك غير مستقيم والدين در امور مربوط به درس و تحصيل فرزندان در پيشرفت و موفقيت دانش آموزان بسيار مؤثر است ، اما اين كمك اگر به طور مستقيم باشد ، يعني والدين تكاليف فرزندان را به جاي آنها انجام دهند ، نه تنها عامل موفقيت نبوده بلكه باعث افت و شكست آنها نيز خواهد شد .

4- تعداد اعضاي خانواده :

امروز در كليه جوامع بشري افزايش جمعيت يكي از مشكلات اساسي مي باشد و ازدياد روز افزون آن جامعه را تهديد مي كند . و در نتيجه توجه اصلي پژوهشگران و
صاحب نظران علوم تربيتي و اجتماعي را به خود جلب كرده است .

ازدياد بي رويه جمعيت خانواده ها باعث مي شود كه كودكان به خوبي رشد نكنند و تربيت درستي بروي آنها انجام نگيرد .

جنوبي ( 1976 ) : خانواده هايي كه تعدادشان زياد است ، به مراتب ، احتمال به انحراف كشيدن كودكانشان بيشتر است .

نيكو كار ( 1372 ) (( گچساران )) : معدل درسي دانش آموزاني كه در خانواده هايي سه تا چهار نفري و يا كمتر زندگي مي كنند به مراتب بيشتر از دانش آموزاني است كه در خانواده هاي بيش از پنج نفر زندگي مي كنند .

بهرام زاده ( 1372 ) : ميزان بهره هوشي در ميان خانواده هاي كم جمعيت به مراتب بيش از بهره هوشي ديگران ( پرجمعيت ) است .

5- اشتغال كودكان :

يكي از عوامل خانوادگي كه همواره منشأ انحراف توجه كودك از تحصيل مي گردد جابجايي وظايف (( والدين و فرزندي )) است . از جمله اين جابجايي ها كه ارتباط قابل توجهي با افت تحصيلي دارد اشتغال كودكان و نوجوانان است . به اين ترتيب كه كودكان در سني به كار و اشتغال مي پردازند كه معمولا" از آنها انتظار مي رود در آن مقطع بيشتر به نقش هاي مورد انتظار از جمله تحصيل بپردازند .

عدم تأمين نيازهاي مالي خانواده و نياز به نيروي كار كودك از دلايل عمده اشتغال كودكان در سنين پايين است .

اشتغال دانش آموزان باعث تقليل انرژي جسمي و رواني آنان شده ، آمادگي جسمي و ذهني شان را براي يادگيري دروس كاهش مي هد . مسأله اشتغال كودكان و نقش آن در افت تحصيلي ( خصوصا" در درس رياضيات ) در خانواده هاي طبقه پايين اجتماعي - اقتصادي از اهميت خاصي برخوردار است . ( ليامي و همكاران ، 1373 )

6- ارتباط بين اوليا ومربيان :

از جمله عوامل مهم ديگر در پيشرفت تحصيلي دانش آموزان وجود رابطه هماهنگي بين اوليا و معلمان و مربيان مدرسه است . هر ميزان كه پدران و مادران نسبت به مسئوليتهاي خود و نقش هاي خود در مقابل يكديگر كودكان ، اوليا ، معلمان ، مربيان و مديران مدارس نيز نسبت به نقش ها و مسوليتهاي خود در مقابل همديگر ، آگاهي بيشتري داشته باشند در كار خود عملا" موفق تر خواهند بود . به طور كلي پيشرفت تحصيلي دانش آموزان قبل از هر چيز مستلزم برخورداري آنان از يك فضاي متعادل و هماهنگ در خانه و مدرسه است .

وظايف خانه و مدرسه نسبت به رشد و تربيت دانش آموزان متقابل و مكمل است . از يك طرف خانواده بايد نيازها و ضرورتهاي محيط مدرسه را به خوبي درك كند و كمك و همراه مدرسه باشد . و از سرف ديگر مدرسه بايد دعوت هاي مستمر از والدين و ارتباط دايم با آنان ، امكانات مدرسه و مهمتر از آن خود خانواده ها را براي ارائه آموزشهاي لازم به آنان بسيج كند . تحقيقات نشان مي دهد كه اگر خانواده در گير و علاقه مند به مسائل تحصيلي فرزندان خود گردد ، كودكان نيز با ذوق و شوق بيشتري تحصيل خواهند كرد .

فضاي كلاس و تسهيلات مدرسه :

دماي مناسب يكي از ضروريات يك كلاس درس است و در غير اين صورت مي تواند به عنوان يك متغير مزاحم مانع توجه دانش آموزان به معلم و درس شود . بنابراين يك كلاس درس بايد از دماي مناسب در فصول سال بهره مند باشد . اگر فضاي كلاس براي نشستن و راه رفتن مناسب نباشد ، همچنين اگر فضاي كلاس نور كافي نداشته باشد و يا تابلوي كلاس طوري نصب شده باشد كه همه به راحتي نتوانند از آن استفاده كنند منجر به افت آموزشي خواهد شد . در مورد نقش تراكم كلاس ( تعداد دانش آموزان كلاس ) مطالعات نشان مي هدهد كه در كلاس هاي كم تراكم ، موفقيت دانش آموزان بيشتر نيست ، مگر آنكه كلاس كمتر از 15 نفر باشد كه در اين صورت امكان آموزش انفرادي فراهم مي شود . همچنين مي توان اظهار داشت كه ميزان پيشرفت تحصيلي دانش آموزان در كشورهاي صنعتي در كلاس هاي بيشتر از 45 نفر و در كشورهاي در حال توسعه در كلاس هاي بيش از 55 نفر كاهش مي يابد . جالب توجه است كه در مقايسه تطبيقي انجام شده بين دانش آموزان پايه ينجم 15 كشور ، كره با تراكم 60 نفر در كلاس و ژاپن با 42 دانش آموز در كلاس ، رتبه اول را به دست آورده اند . بنابراين آنچه در پيشرفت دانش آموزان نقش مهمي ايفا مي كند ، تراكم كلاس نيست بلكه چيزي است كه در كلاس اتفاق مي افتد . در مورد كلاس هاي با تراكم بيش از 60 دانش آموز هيچ مطالعه اي در دسترس نيست و به نظر مي رسد كه عدد 60 را بتوان به عنوان تراكم حداكثر به حساب آورد ، مشروط برآنكه اتاق درس به اندازه كافي باشد و معلم قبلا" با شيوه تدريس در اين گونه شرايط آشنا شده باشد . ( ماشيني ، 1370 )

10 - انتظارات مدرسه از دانش آموزان :

بخشي از شكستهاي تحصيلي درس رياضيات و دروي ديگر به ناسازگاري كودكان با توقعات و انتظارات مدرسه ارتباط دارد . در شكستهايي هم كه شخصيت دانش آموز منشأ اصلي نيست ، نقش علت معين را به خود مي گيرد . به بيان ديگر انتظارات مدرسه تاكنون نتوانسته است با برخي از شخصيتهاي كودكان سازگار شود . سازگاري مدرسه با شخصيتهاي كودكان يا نوجوانان بايد از را ملاقات دانش آموز و معلم و با برداشتن گامهايي از سوي طرفين به جانب ديگر ، صورت گيرد و در اين راه (( همسويي )) ابتكار عمل را در مدرسه در دست گيرد . ( لوگال ، ترجه شجاع ، 1374 ص 8 )

گاهي علت افت تحصيلي دانش آموز انتظار عدم موفقيت و پيش داوري هاي غلطي است كه معلم از دانش آموز دارد ، معلم در اولين برخورد با دانش آموزان خود سعي مي كند با پيش داوري هاي خود ، آينده تحصيلي آنها را پيش بيني كند .

مطالعات نشان داده است كه اين پيش داوريها بر ميزان پيشرفت و يا شكست درسي دانش آموزان مؤثر است . به اين صورت كه اگر يك دانش آموز را كه نمرات متوسطي از درس رياضيات دارد ، به يك معلم مصرفي كنيم و به او بگوئيم تيزهوشان است و نمرات درختاني خواهد آورد ، خود اين دادن نگرش در ارتباط و رابطه معلم با دانش آموز تأثير خواهد گذاشت و باعث پيشرفت درسي وي خواهد شد . نتيجه اينكه معلمان بايد از پيش داوري منفي در مورد يك فرد جدا بپرهيزند . زيرا خود اين پيش داوري شايد منجر به شكست او بيانجامد .  ( بيابانگرد ، 1378 ص 223 )

11- تعويض مكرر معلمان :

تعلويض مكرر معلمان در طول سال تحصيلي و ناتواني بعضي از دانش آموزان به منظور سازگاري با روش تدريس و خصوصيات معلم ممكن است   منجر به افت تحصيلي شود .

۱۲- دوري راه مدرسه :

مسافت بسيار زياد بين خانه و مدرسه دانش آموزان و يا طولاني بودن ساعات آموزشي در طول روز باعث مي شود كه آنها خستگي بسيار زياد را روزانه تجربه نمايند و اين خستگي به مرور موجب بي علاقگي و دلزدگي آنها به درس و مدرسه مي شود . لذا توصيه مي شود كه حتي الامكان نزديكترين مدرسه براي تحصيل دانش آموزان انتخاب شود كه برخي بزرگان امروزي گفته اند : نزديكترين مدرسه بهترين مدرسه براي دانش آموز .

عدد هفت عددی است که شاید مثل همه ی عدد های دیگر در نظر ما عادی جلوه کند اما نگرش ما وقتی متبلور می شود که خواص عدد هفت را بدانیم و ببینیم چه «هفت» هایی در زندگی ما وجود دارند و ما در گیر و دار زندگی ماشینی و با بی تفاوتی از کنار آن ها رد می شویم مثلا شاید جالب باشد که بدانیم، رنگین کمان دارای هفت رنگ است .عجایب جهان، هفت تا هستند.(که به عجایب هفت گانه معروفند ) یا در یونان باستان، اسطوره ای با نام هفت خدای، در ذهن مردم نقش بسته است، ویا شهر عشق، که دراشعار عطار آمده است، هفت شهر می باشد، سوره ی مبارکه حمد، که اوّلین سوره ی قرآن کریم است، هفت آیه دارد. آسمان دارای هفت طبقه است. بهشت وجهنم هر کدام دارای هفت طبقه و درجه هستند و طواف خانه خدا هفت دور است، موسیقی ایران و یونان هفت دستگاه داد، هفت نوع ساز بادی وجود دارد و علاوه بر این هفت نت موسیقی وجود دارد(دو، ر، می، فا، سل، لا، سی) و…

ب) تاریخچه:

در سال ۱۸۸۹ میلادی کتابی ار یک جهان گرد منتشر شد که، از جمله روش شمردن را در میان قبیله ای از تورس شرح داده است. اینها برای شمردن تنها از دو واژه استفاده می کردند: یک و دو. برای عدد سه می گفتند «دو و یک » برای چهار «دو و دو»، برای پنج «دو و دو یک » و برای شش «دو و دو و دو» ولی برای عددهای بزرگ تر از ۶، هر قدر بود، می گفتند «خیلی ». گرچه این آگاهی مربوط به پایان سده ی نوزدهم است ولی می تواند گواهی بر شیوه ی شمردن در آغاز شکل گیری مفهوم عدد در میان انسان های نخستین باشد. بعد ها که برای عددهای بزرگتر هم نامی در نظر گرفتند به احتمالی برای عدد «هفت» از همان واژه ی قبلی «خیلی» یا «بسیار» استفاده کردند. عدد هفت که سده های متوالی برای آنها نا شناخته بود، اندک اندک به صورت عددی مقدس در آمد. وقتی که مصری ها، بابلی ها و دیگر امت ها توانستند پنج سیاره ی نزدیک تر به خورشید را بشناسند، با اضافه کردن ماه و خورشید، به عدد هفت رسیدند و این بر تقدس عدد ۷ افزود وقتی در قصه های کهن تر، که تا زمان ما هم ادامه پیدا کرده است، صحبت از شهری می شود که هفت برج و هفت بارو داشت، به معنای آن است که این شهر برج و باروهای بسیار داشت. هفت آسمان و هفت دریا و هفت کشور، به معنای آسمان ها و کشور ها و دریاهای بزرگ است نه هفت آسمان و هفت دریا (نه کم و نه زیاد ). هنوز در زبان فارسی اندرز می دهند « هفت بار گز کن یک بار پارچه کن ». این جمله به معنای آن نیست که برای دقت کار و کم کردن اشتباه در اندازه گیری یا هر کار دیگری باید درست ۷ بار آزمایش کرد، نه شش یا هشت بار. در اینجا هم هفت به معنی «بسیار» است. عدد۱۳ هم چنین سرنوشتی دارد….

ب) هفت و…

نزد بسیاری از اقوام عهد باستان «هفت» عدد ویژه ای بود. در فلسفه و نجوم مصریان و بابلی ها، عدد هفت به عنوان مجموع هر دو زندگی، سه و چهار، جایگاه ویژه ای داشت.(پدر و مادر و فرزند؛ یعنی سه انسان، پایه و اساس زندگی هستند و عدد چهار مجموع چهار جهت آسمان و باد است.)
ایرانیان قدیم در آیین زرتشت، اهورامزدا را مظهر پاکی میدانستند و برای او هفت صفت را بر می شمردند و در مقابل او اهریمن را پدید آورنده ی پلیدیها می دانستند و می گفتند در پیرامون اهورامزدا فرشتگانی هستند که مظاهر صفات حسنه هستند و برای احترام به آن ها که اول هرکدامشان سین بود هنگام سال تحویل سفره می گستراندند و هفت قسم خوراکی که نام هریک با سین شروع می شود: سیر، سرکه، سیب، سماق، سمنو، سنجد، سکه، و سبزی را سر سفره می گذاردند که به سفره ی هفت سین معروف بود.
برای فیلسوف و ریاضیدان یونانی«فیثاغورث» نیز عدد هفت، مفهموم ویژه ی خود را داشت که از مجموع دو عدد سه و چهار تشکیل می شود: مثلث و مربع نزد ریاضیدانان عهد باستان اشکال هندسی کامل محسوب می شدند، از این رو عدد هفت به عنوان مجموع سه و چهار برای آن ها عدد مقدسی بود. علاوه بر این در یونان هر هفت سیاره را خدایی میدانستند : سلن، هیلیوس،آرس،هرمس، زئوس، آفرودیت و کرونوس.
یهودیان قدیم نیز برای عدد هفت معنای ویژه ای قایل بودند. در کتاب اول عهد عتیق (تورات) آمده است که خداوند جهان را در شش روز خلق کرد، در روز هفتم خالق به استراحت پرداخت. موسی در ده فرمان خود از پیروانش می خواهد که این روز آرامش را مقدس بدارند(روز شنبه و روز تعطیل یهودیان). علاوه بر این در آن کتاب مقدس هفت با عنوان عدد تام و کامل نیز استعمال شده است. از آن زمان عدد هفت نزد یهودیان و بعد ها نیز نزد مسیحیان که عهد عتیق را قبول کردند، به عنوان عددی مقدس محسوب می شد.
به این ترتیب بود که از دوران باستان هفتگانه های بیشماری تشکیل شدند: یونانیان باستان همه ساله هفت تن از بهترین هنرپیشگان نقش های سنگین و غمناک و نقش های طنز و کمدی را انتخاب میکردند. آن ها مانند رومی های باستان به هفت هنر احترام میگذاشتند. روم بر روی هفت تپه بنا شده بود. در تعلیمات کلیسای کاتولیک هفت گناه کبیره(غرور، آزمندی، بی عفتی، حسد، افراط، خشم و کاهلی) و هفت پیمان مقدس(غسل تعمید، تسلیم و تصدیق، تقدیس و بلوغ، ازدواج، استغفار و توبه، غسل قبل از مرگ با روغن مقدس، در آمدن به لباس روحانیون مسیحی) وجود دارد. برای پیروان محمد(ص) آخرین مکان عروج، آسمان هفتم محسوب می شود. در بیست و هفتم ژوئن هر سال، روز «هفت انسان خوابیده » مسیحیان یاد آن هفت برادری را که در سال ۲۵۱ بعد از میلاد، برای عقیده و ایمان خود، زنده زنده لای دیوار نهاده شده و شهید شدند، گرامی می دارند؛ مردم عامه می گویند که اگر در این روز باران ببارد، به مدت هفت هفته بعد از آن هوا بد خواهد بود، آن گاه انسان باید هفت وسیله ی مورد نیازش را بسته بندی کند و با چکمه های هفت فرسخی خود به آن دورها سفر کند. صور فلکی خوشه ی پروین یا ثریا به عنوان «هفت ستاره» معروف است، در حالی که حتی با چشم های غیر مسلح میتوان در این صورت فلکی تا یازده ستاره را دید.
عرفای بزرگ عشق و وصال را در هفت مرحله و هفت وادی نشان داده اند و فاصله ی بین هستی و تباهی را پنچ مرحله دانسته اند.
در افسانه ها نیز با هفت سحر آمیز برخورد می کنیم: سوار ریش آبی هفت همسر داشت، سفید برفی با هفت کوتوله پشت هفت کوه زندگی می گرد و افسانه ی اژدهای هفت سر…
علاوه بر این می توان به هقت اقلیم، هفت اورنگ، هفت دفتر شاهنامه، هفت پیکر، هفت هیکل، هفت گناه کبیره، هفت خان رستم، هفت الوان، هفت گنج، هفت رکن نماز،هفت تحلیل و هفت طواف (در اعمال حج)، هفت قبله(مکه، مدینه،نجف،کربلا،کاظمین،سامرا،مشهد) و… اشاره کرد و به این ترتیب بود که تعداد بیشماری هفتگانه در دنیا بوجود آمد و به عدد هفت تقدس خاصی بخشید.

منابع:

۱) هفت در قلمرو تمدن و فرهنگ بشری/زهره والی-تهران:اساطیر، ۱۳۷۹.
۲) هفت در قلمرو فرهنگ جهان/موید شریف محلاتی، سال ۱۳۳۷.
۳) سرگذشت ریاضیات/ پرویز شهریاری_تهران: نشر مهاجر، ۱۳۷۹.
۴) دهکده ی ریاضی(گاهنامه)/شماره ی اول_مهرماه ۸۱

بدون تردید تجزیه عبارات جبری درجه دوم که عموما"به شکل ax²+bx+c    نوشته میشوند یکی از مهمترین مهارتهایی است که دانش آموزان دبیرستانی در مقدمات جبر می آموزند و این مهارت کاربرد بسیار وسیعی در قسمتهای مختلف دروس ریاضی دارد.

هر کس به دانش آموزان مقطع پایین دبیرستان تجزیه ی عبارات فوق را درس داده باشد بخوبی میداند که یک دانش آموز در کجای این درس مشکل دارد. مشکل دقیقا" در آنجاست که دانش آموز باید در ذهن خود دو عدد پیدا کند که مجموع و حاصلضرب آنها داده شده است. مثلا" دانش آموز باید دو عدد پیدا کند که مجموع آنها S=7  و حاصلضرب آنها P=12  باشد.(حرف S مخفف Sum  و حرف P مخفف Product است)

بدیهی است در اینجا اعداد مورد نظر 3 و 4 هستند. ولی اگر  S و P  کمی بزرگ باشند، مثلا" دو رقمی و یا حتا سه رقمی و بیشتر باشند، مضافا" آنکه یکی از آنها یا هر دو منفی نیز باشند آنگاه مسئله برای دانش آموز سخت تر میشود و زمان زیادتری لازم است تا او بتواند اعداد مورد نظر را پیدا کند. مثلا" من دانش آموزان زیادی را دیده ام که برای پیدا کردن دو عدد که مجموع آنهـــا S=10 و حاصلضربشان P=-11 باشــــد مدتی بیش از یکدقیقه وقت خواسته اند و در موارد مشکل تر مثل اینکه دو عدد پیدا کنید که مجموع شان S=2  و حاصلضرب شان P=-192 باشد، حتا در زمانی بیش از آن نیز نتوانسته اند جواب را پیدا کنند. در اینگونه موارد دانش آموز ممکن است امیدش را از دست بدهد و مایوس شود. در اینصورت دیگر نمیتوان از او انتظار داشت که به کوشش ادامه دهد. یک آموزگار خوب باید مواظب دانش آموزانش باشد و مطلقا" نگذارد که چنین وضعی برای آنها پیش آید.

اجازه دهید مطلب را با یک مثال ساده دنبال کنم:

مثال یک. عبارت 3x²+7x+4 را تجزیه کنید.

حل. روش کلاسیک حل این مسئله این است که ابتدا دو عدد پیدا کنیم که مجموع شان 7 و حاصلضرب شان 12 باشد. این دو عدد 3 و 4 هستند. مرحله بعد این است که ترم خطی عبارت را بشکنیم بطوریکه عبارت دارای چهار ترم شود و بالاخره با استفاده از روش دسته بندی یا"فاکتور گیری گروهی" عبارت را تجزیه کنیم.

یک روش دیگری هم در اینجا معمول است (که نمیدانم آیا در ایران آنرا تدریس میکنند یا نه) و روش ساده و مناسبی است. در حقیقت باید بگویم که گروه زیادی از دانش آموزانی که از توانایی کمتری در ریاضیات برخوردار هستند، بیشتر تمایل به یاد گرفتن این روش نشان میدهند زیرا یک مرحله کوتاه تر از روش فوق است و در آن نیازی به دسته بندی کردن ترم ها نیست. در این روش عبارت ax²+bx+c  را نخست به صورت یک کسر مینویسیم. مخرج کسر a است و صورت کسر مرکب از یک جفت پرانتز است که ترمهای اول آنها  ax  است. به این شکل:

اینک باید دو عدد پیدا کنیم که مجموع آنها b  و حاصلضرب شان ac باشد. وقتیکه این دو عدد را پیدا کردیم( فرض کنیم باشند m و n ) آنها را در داخل پرانتزها و بعد از  ax ها میگذاریم، به این شکل:

 و در پایان، مخرج کسر را با ضرایب موجود در یک پرانتز(یا اگر لازم باشد با ضرایب موجود در هر دو پرانتز)  ساده میکنیم تا مخرج کسر کاملا" ناپدید شود. مخرج کسر همواره ناپدید میشود.

به مثال فوق برگردیم:

البته یکی دو راه دیگر هم وجود دارد که برای تجزیه ی عبارات جبری درجه دوم به کار برده میشود ولی بنظر میرسد که روشهای فوق برای یاد گیری آسان تر باشند.

صرفنظر از آنکه چه روشی برای تجزیه ی عبارات جبری درجه دوم بکار ببریم، همواره نیازمند این خواهیم بود که اگر مجموع و حاصلضرب دو عدد را داشته باشیم بتوانیم آن دو عدد را پیدا کنیم.

سالها پیش وقتیکه من تازه دبیرستان را تمام کرده بودم و داشتم خود را برای رفتن به دانشگاه آماده میکردم یکی از همسایگان ما پسری داشت که آن سال در درس جبر مردود شده بود و مادرش از من خواهش کرد که اگر بتوانم در خلال تابستان کمی کمک فرزندش بکنم تا بلکه در امتحانات شهریور موفق شود. منهم قبول کردم و وقتیکه به این نقطه رسیدیم که عبارات درجه دوم را تجزیه کنیم دیدم که آن پسر در این باب که اگر مجموع و حاصلضرب دو عدد را داشته باشیم چگونه آن دو عدد را پیدا میکنیم بسیار مشکل دارد. حتا در روی کاغذ هم، روش تجزیه ی حاصلضرب دو عدد به همه ی عوامل آن برایش ساده نبود، گذشته از آن خیلی طول میکشید تا یک عبارت را تجزیه کند. من به این فکر افتادم که یک الگوریتمی پیدا کنم که این محاسبه را برای او آسان کند. بالاخره بعد از چند روز تفکر و تلاش توانستم آنچه را که میخواستم پیدا کنم و آن، الگوریتمی است بسیار ساده در سه مرحله، که هم از حفظ کردنش برای دانش آموزان آسان است و هم بکار بردنش. باز اجازه دهید یک مثال ساده بزنم و به دنبال آن دو مثال مشکل تر و در خلال این مثالها الگوریتم را برای شما روشن کنم.

مثال دو: فرض کنیم که شما میخواهید دو عدد پیدا کنید که مجموع آنها ده باشد ( S=10) و حاصلضرب آنها شانزده (P=16 ). بدیهی است که این دو عدد 8 و 2 هستند.

حالا اینطور عمل کنید:

 امیدوارم قابل استفاده دبیران ریاضی و دانش آموزان عزیز  باشد.