تبليغاتX

JavaScript Codes ریاضی زیباست = زندگی زیباست

یکشنبه 14 بهمن1386

بهبود کیفیت آموزش ریاضی

مشکلات روش های تدریس ریاضی

و

 راهکارهایی برای بهبود کیفیت آموزش ریاضی

                                                      

 

چكيده :

در اين مقاله سعي شده مشكلات و معضلات روش هاي آموزش رياضي با توجه به تنوع اين روش ها و پيشرفت روز افزون تكنولوژي آموزشي  بيان شود ، به نظر نگارنده آموزش رياضي يك هنر است كه معلم مي تواند با آراستن آن به فنون مختلف ساعاتي لذت بخش را براي خود و دانش آموزان به ارمغان آورد ،همچنين راهكارهاي عملي براي آموزش  هرچه بهتررياضي و درنتيجه ايجاد انگيزه و علاقه نسبت به درس پرداخته شده ، ودر پايان نيزپيشنهادهايي براي هرچه بهتر شدن آموزش رياضي در استان ارائه مي شود. اميد است  كه همكاران بتوانند با استفاده از پيشرفت هاي سريع علوم روش هاي نوعي در آموزش رياضي ابداع نمايند و دانش آموزان را از روش هاي سنتي و كسالت آور گذشته نجات دهند.

 

سرآغاز:

به نام او که عالم را بر اساس « حساب » و « هندسه » آفريد . آری به نام او که همه چيز دنيا را بر اساس حساب استوار کرد و بر پايه هندسه نظم بخشيد .

جريان انديشه های زلال ، سرزمين فکر ما را آبياری و سر سبز می کند ، پس چه نيک است سر گذرگاه جريان انديشه های خويش بنشينيم و از زاويه بالا آن را تماشا کنيم اگر دو ضلع زندگی« اميد » و« عمل » باشد زاويه زندگی به لطف خدا همواره « منفرجه » است .

بدان که« اميد » را بايد به منزله مرکزی دانست که کليه امور بشری مانند دايره پيرامون آن می چرخد و« عمل » همان تلاش های مثبت اوست که او را به مقصد می رساند .

اگر« حساب عمرمان » را داشته باشيم « آدم حسابی » می شويم . بنابراين از حساب امور زند گی خود غافل نشويم چرا که ذات حق دائم به کار حساب مشغول است .

اگر چه منطق ضامن سلامت کار يک رياضيدان است ولی منبع تغذيه او نيست نان روزانه او را مسائل مهمتر ، که موجب پيشرفت او می شوند تامين می کند .

چه زيباست دررفتار با ديگران خوبی ها را جمع کنيم ، بدی ها را تفريق نماييم ، شادی ها را ضرب نماييم ، غم ها را تقسيم نموده ، از نفرت ها جذر بگيريم و محبت ها را به توان برسانيم .

هندسه شخصيت خود را با خطوطی منظم و راست ترسيم کنيم و فراموش نکنيم که يک انسان مسئول بايد زندگی فردی اش را بر دو اصل منفی استوار کند تا زندگی اجتماعی و اقتصادی اش همواره براساس اصل مثبتی پايدار بماند : اول آنکه بيش از نياز نخواسته باشد تا برای کسب آن خود را به خفت بيندازد دوم آنکه بيش از نياز نداشته باشد تا برای حفظ آن در هراس بيافتد .

در زندگی خودآزادگی پيشه کن و فراموش نکن ؛آنانکه دل به « عرض » يک صندلی بسته اند در« طول » زندگی اسير بوده اند .

در انتخاب دوستان و همنشينانت دقت کن و هميشه آنان را از ميان دانايان و خردمندان برگزين زيرا خردمند با خردمند سازگار است اما نادان نه با دانا سازگار است نه با نادان ديگر چونانکه خط راست بر خط راست ديگر منطبق می شود اما خط ناراست نه بر ناراست ديگر منطبق می شود نه بر راست .

با معادله زيبای زندگی سعی بر آن داشته باش که جدولی مصفا و رسمی دل آرا در حل مختصاتx وy ها شيبی به سوی کمال بی نهايت کشيده گردد تا به مراد خود برسی .

چون هرم بلند همت و چون مخروط عالی نهمت باشيد .

نور حق و شعاع پرتو جمال محمد «ص» در کانون قلبتان همراس باد

 

مقدمه:

 پيشرفتهاي سريع و همه جانبه علوم و تكنولوژي و تحولات عظيم اقتصادي و گسترش بي‌سابقه ارتباطات ديگر دانشهاي بشري در قرن بيستم و به ويژه در نيمه دوم آن، مسائل جديدي را مطرح ساخته است.

در واقع آشنايي جدي با علوم كاربردي- فني و گاه نظري (محض) امروزي بدون داشتن درك صحيح از مباحث رياضيات امري دشوار و در واقع محال است. دراين صورت چگونه مي‌توان از خلاقيتها و رشد و باروري استعدادهاي دانش‌آموزان حمايتي همه جانبه داشت چرا كه بارها در سطح مدارس ديده شده است كه بعضي از دانش‌آموزان به ايده‌ها و مسائل جديدي دست مي‌يابند يا در زمينه يك مسئله علمي، نظري جديد دارند اما به اين نظرات توجه خاصي نمي‌شود.

هر معلمي كه عهده‌دار تدريس رياضي است يكي از ضروريات كار او واقف بودن به آسيب‌هاي آموزشي رياضي مي‌باشد تا بتواند اهداف آموزشي و مفاهيم پيچيده رياضي را روشن‌تر و ملموس‌تر به دانش‌آموزان انتقال دهد و آنان را فعال‌تر وارد شبكه بازي با موجودات رياضي نمايد.

معلم پس از تغيير محتواي آموزشي و درك موقعيت زمان و مكان و ويژگي‌هاي يادگيرنده با اعتماد به نفس و اطمينان بيشتري در امر آموزشي مي‌تواند بر چالشهاي موجود فائق آيد.

در اين صورت يادگيرنده هم ضمنِ پرورش خلاقيت‌هايش با آسودگي خيال و اطمينان خاطر به فراگيري مي‌پردازد و اگر كار گروهي باشد در گروه، شركت فعال خود را نشان خواهد داد پس رسالت خطير متخصصان تدريس رياضي در واقع شناخت يادگيرنده، چگونگي شكل‌دهي مفاهيم رياضي، دوباره‌سازي مفاهيم رياضي و سرانجام از بين بردن معضلات موجود است.

 

- آموزش درست رياضي را چه از نظر ايجاد تفكر رياضي به منزله «تحول فرهنگي» و چه به لحاظ تفكر منطقي به منزله «تحول سياسي و عدم وابستگي» و چه به لحاظ بهره‌وري مناسب به منزله «تحول اقتصادي» كه نتايج آن در واقع تبديل نيروي انساني به سرمايه‌هاي انساني «بهره‌‌وري بهينه» خود نيازمند دو عامل مهم آموزش و انگيزش در راستاي اهداف بهينه اجتماعي مي‌باشد البته آموزش به حد كافي به جامعه در زمنيه‌هاي مختلف داده شده اما چون ايجاد انگيزه وجود نداشته آموزش نتوانسته كاربرد داشته باشد.

 

- براي ايجاد انگيزش در زمينه رياضيات نياز به رقابت و رقابت‌پذير دانش‌آموزان مي‌باشد كه اين رقاب شكل ناسالم به خود گرفته و آموزش از مسير درست خود منحرف شده در اين راستا براي رسيدن به اهداف صحيح مي‌توان ابتدا فرهنگ‌سازي مناسب نمود تا جلوي اتلاف سرمايه‌هاي خانوادگي را گرفت و با دادن اطلاعات درست به دانش‌آموزان و خانواده‌ها و يك اطلاع‌رساني درست و متحول شدن نظام آموزشي نه در حد يك حرف بلكه تحولي مبنايي و پايه‌اي به راهكارهاي درست‌تر و معقول‌تري دست يابيم.

 

جمع ما بر اين مسئله واقفيم كه رياضيات حاصل تلاش ژرف‌انديشاني است كه به تبيين پديده‌هاي طبيعي و غيرطبيعي جهان هستي مي‌پردازند و پرسشهاي مجرد و عملي پيشروي بشريت به صورتهاي نظري يا الگوريتمي پاسخ مي‌دهند و وقوع حوادث را عالمانه پيشگويي مي‌كنند.

با توجه به پژوهشهاي مختلف در زمينه بعضي از مسائل از قبيل چگونگي آموزش رياضي و درك عميق مطلب از طرف يادگيرنده و راههاي كاهش اضطراب در زمينه فراگيري و فرآيند ياددهي رياضي و كند و كاو در بعضي از چالشهاي مهم به اين نتيجه رسيده‌ايم كه برخي بر اين باورند كه حجم كتابهاي درسي كاهش يابد و يا اينكه در امر آموزش از كتابهاي كمك درسي به عنوان كاتاليزور استفاده شود يا كلاسهاي تقويتي و خصوصي تست‌زني و ... يا معتقد به تغيير مطالب درسي در مسائل گوناگون مي‌باشد اما با توجه به ماهيت دانش رياضي و ساختار منطقي و پيوسته آن هرگونه تغيير و تحول در كتابهاي درسي نيازمند كار كارشناسي دقيق است و بايد با درايت وجهان بيني خاص انجام‌پذير و خود مي‌دانيم كه هرگونه تغيير در متون كتابهاي درسي رياضي و برنامه‌هاي دبيرستاني بايد مبتني بر يافته‌هاي جهاني پژوهشي آموزش رياضي، چالشهاي بومي و پيشنهادهاي صاحبنظران باشد.

هرگونه تغيير سريع در كتب آموزشي رياضي خود نوعي آسيب و معضلي افزون بر معضلات ديگر خواهد بود.

با توجه به اينكه حدوداً 18 سال است كه به تدريس رياضيات در كليه پايه‌هاي تحصيلي مشغول بوده‌ام خود بر اين باورم كه مي‌بايد براي رفع خيلي از آسيبها از درون همان فضاي كوچك كلاس يا اتاق 4×3 و بيشتر ... شروع كرد و سخت معتقدم كه رياضيات را دانش‌آموزان مي‌بايد در همان كلاس درس ياد بگيرند و مفاهيم را بشناسند و بفهمند و سپس مجرد و ذهني نمايند چرا كه پا از اين فضا بيرون گذاشتند هرگز رياضي را نخواهند فهميد كه اين امـر شايد به اغـراق نگفته باشم 90% بر مي‌گردد به خود معلم كه چگونه بگويد! چگون وارد شود! و چگونه موضوع را بپرورد! و چگونه اهداف رياضي را تحقق بخشد! در اينجا اين سؤال بس مهم است آيا خود معلم واقف بر مطلب و موضوع درسي است يا خير؟!

در ابتدا ورود به تدريس عوامل جانبي و اضطراب و نگراني را در چهره تك تك فراگيران مي‌توان ديد و احساس كرد كه اين خود مسائل فراتر از كلاس درس است كه بيشتر آن از اجتماع و خانواده‌ها نشأت گرفته و در جان و ضمير فراگيرنده ريشه دوانده است و رياضيات شيرين و لذت‌بخش را به غولي وحشتناك و هيولايي خطرناك در ذهنشان تصوير كرده كه هرگز ياد نخواهند گرفت و بي‌فايده است....

چرا كه با توجه به تورم نرخ رشد جمعيت پشت كنكور خود را در محيطي مي‌بيند «البته در مقطع متوسطه» كه ورود به كنكور برايش گذشتن از گذرگاهي بسيار باريك و پرزحمت خواهد بود و حتي غيرقابل تصور! يا به هر حال پس از آن سر نوشت چه خواهد بود.

 

- اينجا معلم مي‌تواند نقش‌آفريني مثبت خود را ايفا نمايد بطوري كه با داشتن اعتماد به نفس كامل به او اعتماد به نفس دهد و با تدريس با لذت به دنياي او لذت و شيريني بخشد و خيلي ساده و راحت با تعاملي دو طرفه امر تدريس را مهيا و عملي سازد و چه شيرين است گاه او معلم باشد گاه دانش‌آموز....

 

- جو كلاس را با يك سويه اداره كردن خراب و خشن و خشك نسازد! چرا كه فراگيران ما گاه خود معلمين بزرگي هستند كه تجارت همين معلمين عزير را تكامل مي‌بخشد اگر چنين عمل شود هم او با دست خالي از كلاس بيرون آمده هم يادگيرنده و توجه به اين نكته لازم است كه در اين جا نمره بهره‌وري او نمره صفر است و اتلاف خيلي از ....

 

يك معلم رياضي مي‌تواند هم دوست فراگيرنده باشد هم طرف اعتماد و مشورت او و هم الگوي واقعي او، ذكاوت معلم در بكارگيري روشهاي نوين آموزشي از جمله روشهاي اكتشافي و ارزشي مي‌تواند فراگيرنده را متحول سازد و علاوه بر احساس شخصيت و ارزش به اعتماد به نفس فائق سازد.

و او را تشنه دريافت بيشتر مفاهيم گرداند كه به دنبال درس باشد نه معلم در پي او ....

 

- استفاده از تشويق و تنبيه به موقع وي به آگاهي و بيداري و هوشياري و سعي و تلاش او كمك شاياني خواهد كرد اشاره به تنبيه شد نه «تنبيه بدني يا محروم ساختن» بلكه مثلاً براي تنبيه، دانش‌آموز موظف شود كه فلان مبحث را مثل او تدريس كند كه البته اين مورد خود نوعي تشويق هم هست و يا تمرينات كلاسي را شبيه‌سازي كند.

 

- براي از ميان بردن فاصله بين خود و دانش‌آموز مي‌تواند يك ايستگاه رياضي در سالن مدرسه ايجاد كند و در فاصله زماني كلاسها ده دقيقه توقف نمايد و به سؤالات دانش‌آموزان كل مدرسه پاسخ دهند يا روي بُرد آموزشگاه، سؤالاتي را به مسابقه بگذارد و ....

 

- انتشار يك نشريه يك برگي به صورت ماهانه به نام پيام رياضي يا خبر و ... كه مي‌تواند تحت هر نامي باشد فقط تازه‌هاي دنياي رياضيات را در اختيار عموم دانش‌آموزان علاقه‌مند قرار دهد.

 

 در ارتباط با اطلاع‌رساني سيستم it و بهره‌وري بهينه از رايانه:

 

- با توجه به اهميت رايانه در زندگي روزمره، دولت نيز براي اين مهم اعتبارت قابل توجهي به استان اختصاص داده و قرارداهايي نيز با شركتهاي مهم داده‌پرداز و الكترونيكي منعقد شده و سازمانها و ادارات كل و نهادهاي موجود در استان موظف به فراگيري اين مهم و ايجاد شبكه هاي اينترنتي و رايانه‌اي مورد نياز شده‌اند. سازمان آموزش و پرورش لرستان يا هر استان ديگر نيز مي‌توانند با استفاده از فرصت پيش آمده و استفاده بهينه از تجربيات دبيران مجرب رياضي يا ايجاد يك سايت الكترونيكي بصورت ويدئو كلوپ در دبيرستانها، بهترين و مفيدترين استفاده در امر تدريس را داشته باشد. چرا كه از نظر ارتباط با تمام دنيا (پيش‌بيني مي‌شود تا 10 سال ديگر در كشورهاي پيشرفته مردم همان قدر كه به نيروي برق وابسته هستند به شبكه اينترنت وابسته خواهند شد يعني همان‌طور كه اگر امروز برق برود هيچ كاري را نمي‌توان كرد اگر در 10 سال ديگر اينترنت قطع شود تمامي كارها متوقف خواهند شد).

نتايج يك پژوهش در هند اين بوده كه: آموزش رايانه‌اي رياضي ارزانتر از كلاس درس است و هزينه‌اي 32% كمتر از كلاس درس مي‌برد.

 

براي رفع آسيبها و چالشهاي روند رشد فكر رياضي مي‌توان به دو نكته اساسي  توجه همگان را معطوف داشت:

 

1) عمومي كردن رياضيات

2) تربيت نخبگان

 

عمومي كردن رياضيات ضرورتي عام پيدا كرده. لكن تربيت نخبگان هم كاملاً ضروري و در واقع يكي از هدفهاي ارزشمند جوامع مدني است كه مي توان به كمك ابزارهاي جديدي براي شناسايي و پرورش استعداهاي بالقوة جامعه و به جنبش درآوردن انرژي پتانسيل بسيار قوي و راكد و بكارگيري آن در غالب هدفهاي نهايي و آتي آموزشهاي مدرن و پيشرفته در سير صعودي جامعه با فعال و پويا و زنده كردن جامعه مرده و راكد در راه نيل به مقصود با اشتياق و علاقه گام برداشت.

انرژيهاي نهفته در نسل جوان امروز كه نيازمند به كمك و ياري و مساعدت جهت قرار گرفتن در مسيرهاي درست انديشه‌سازي و حاكميت منطق و استدلال صحيح بر ذهنيات جوان و هدفمند كردن آنان و توان بخشيدن جهت حل مسئله و فهم و درك صحيح مساله با ارزش و تفكيك ارزشها ... و جايگاه صحيح بخشيدن به آنها مي‌توان با برنامه‌ريزي دقيق و منظم به شگوفايي استعداهاي خلاق و عملكرد صحيح و ريشه‌دار كردن تفكر رياضي در فرهنگ عام و خاص اقدام و حاصل ساعتها تلاش فكري صحيح و بجا را سودمند نمود. لازم به ذكر است كه زمان در گذر است و هرچه سريعتر گام برداشتن به نفع آنان و جامعة فردايمان خواهد بود.

 

 به عنوان راهكارهايي كه به روند رشد و توسعه تفكر رياضي و عاميت بخشيدن به رياضيات چه محض چه كاربردي مي‌توان كمك كند مي توان به مسائل زير تأكيد داشت:

 

فرضاً براي آموزش هندسه ابتدا توجه به شكلها:

اگر دانش‌آموز هنگام مطالعه كتاب شخصاً شكلها را رسم كند و براي هر گزاره شكل جداگانه‌اي در نظر بگيرد بهرة فراواني خواهد برد. گاهاً يك طرح خام براي درك صحيح كفايت مي‌كند. وقتي كه شكل پيچيده‌تري مورد نياز باشد اين شكل در كتاب به عنوان راهنمايي براي ايجاد نظم در بين اجزاء و عناصر مسئله مد نظر قرار مي‌گيرد و گزاره‌ها را در ذهن خواننده تثبيت مي‌كند.

 

تمرينها:

معمولاً تمرينات كتب درسي در رياضيات دو هدف را دنبال مي‌كنند خواننده با انجام تمرينها ميزان تسلط خود را بر مطالبي كه مطالعه كرده است محك مي‌زند و نيز اين فرصت را مي‌يابد كه با اعمال روشهاي عرضه شده در كتاب مربوطه توانايي خود را در به كارگيري اين مطالب بسنجد. دانش‌آموز بايد بداند مسئله‌اي را كه مي‌خواهد حل كند چيست اگر صورت مسئله قابل فهم نباشد يا نفهمد قادر به حل مسئله نخواهد شد.

ما توصيه مي‌كنيم حل مسئله را با گزاره‌هاي ساده‌اي آغاز كنند كه در درك محتواي مسئله بتوانند شرايط را بطور قابل ملاحظه تغيير دهند و فوراً حس فهم مسئله در آنان ايجاد شود.

همه مي‌دانيم تسلط پيدا كردن بر معني مسئله بخش اساسي و اغلب دشوارترين بخش حل مسئله خواهد بود. اگر دانش‌آموز براي حصول اطمينان خود بتواند براي درك مسئله صورت مسئله را بدون استفاده از كتاب تكرار كند يا دوباره‌نويسي كند حتي مشابه‌نويسي در اينصورت مي‌تواند رسم كند قاعده براي حل بيان كند به اطلاعات گذشته مراجعه كند با بدست آوردن ابرازهاي كافي به كمك عناصر مفروض و عناصر مطلوب شكل مناسبي پيش رو داشته باشد و سپس به حل مسئله بپردازد.

او نبايد انتظار داشته باشد با ديدن صورت مسئله قادر به حل و درك و فهم آن باشد او بايد قادر و توانمند به مسئله روي آورد. و سپس به حل آن بپردازد و راه حل يابد. بيش از هر چيز صبر و حوصله و دقت و استفاده بهينه از زمانِ در كف، باشد. لذا كساني موفق به حل مسائل چه رياضي چه غيره خواند بود كه صبر و حوصله به خرج دهند، دلسرد نشوند، با اراده و پشتكار و استفاده از الگوهاي موفق به حل بپردازند و اميد به آينده و راه ندادن يأس و نوميدي در افكار و هنگام روبرو شدن با موانع عزم و اراده بيشتري در از ميان برداشتن آنها از خود نشان دهد.

اگر انسان اميدوارانه و با ديد مثبت (توانگري) به حل مسئله بپردازد نهايتاً نتيجه مسرت‌بخش و احساس لذت از پيروزي و موفقيت نصيب فرد خواهد شد.

استفاده از كتب كمكي تا حدودي جنبة آموزشي دارد و مسائل مطرح در آن قطعاً هدفمند و در روشهاي حل بسياري دانش‌آموزان خواهد آمد.

عموماً طرح يك عنوان عام رياضي و ارائه قضاياها و مثالهاي گوناگون براي تفهيم هر چه بيشتر آن، استفاده از روشهاي نو و كارساز در حال مسائل خواننده را در جايگاهي مي‌نشاند كه احساس مي‌كند به ابزارهاي توانمند در حل مسائل دست يافته است و مي‌تواند يا قادر خواهد بود در عرصه‌هاي ديگر هم آنها را به كار برد.

كسي كه رياضيات مي‌خواند و علاقه‌مند است عموماً تئوري اعداد يا تئوري مقدماتي اعداد بايد يكي از مهمترين موضوعها براي تعليم اوليه رياضيات باشد. چندان اطلاع قبلي نمي‌خواهد موضوعش بسيار ملموس و مأنوس است، طريقه‌ها را استدلال كه به كار مي‌گيرد ساده كلي و تعدادشان كم است و از لحاظ تحريك كنجكاوي طبيعي آدمي در علوم رياضي مانند ندارد. يك ما تعليم فهيمانه رياضي  پايه و تئوري نظري اعداد يا مقدماتي اعداد بسيار آموزنده‌تر و مفيدتر از آموزش رياضيات و علوم ديگر در رياضي خواهد بود.

 

   هنر آموزش رياضيات

انواع هنر همچون ابزار قدرتمندي هستند كه مي توانند به رويارو شدن با دشواري هاي رياضي به بهترين شكل ممكن كمك كنند. دشواريهايي كه هدف از تسهيل آنها بهبود ياددهي و يادگيري مي باشد. نقش آموزشي هنر نه تنها در بهبود كيفيت فهم مساله بسيار حياتي و اساسي است بلكه براي متحول كردن طرز تفكر به شيوه هاي گوناگون داراي قدرت و ظرافتي است كه در ساير موضوعات آموزشي چنين قدرتي را سراغ نداريم. مطالعات و بررسي ها نشان داده اند كه انواع هنر مهارتهاي تفكر انتقادي مربوط به طرح و حل مساله - تجزيه و تحليل - تركيب - ارزشيابي و تصميم گيري در مورد پارامترهاي مساله را تحريك و تقويت مي كنند. تربيت هنري موجب پرورش توانايي تعبير و فهم نمادهاي پيچيده مي شود كه نمونه بارز آن آشنايي با نمادهاي رياضي مي باشد. همچنين در پرورش خلاقيت نقش محوري را ايفا مي كند و موجب پرورش مهارت به تصوير كشيدن ذهني مساله مي شود و آموزنده را توانمند مي كند تا روشهاي حل غير متعارف و غير سنتي را به ذهن بياورد. لازم به يادآوري است كه مطالعه و توليد اثر هنري به خودي خود داراي اعتبار است . ازاين جهت شكل گيري آموزش رياضيات به صورت هنري هويت فرهنگي را در چارچوب هدفمندي حفظ و نگهداري مي كند و بالعكس به كارگيري هنر به بهترين شكل در فهم و ادراك مطالب كمك شاياني مي كند.

با ذكر اين مطالب و روشن شدن ارزش آموزش رياضي مبتني بر هنر تنها اشاره به اين نكته كافيست كه آموزش هنري رياضيات امري بنيادي به خصوص در مقاطع اوليه تحصيلي ميباشد و بكارگيري آن نبايد امري تجملي تلقي گردد.

 

پيشنهاد ات:

با توجه به تحقيقات به عمل آمده به نظر مي رسد :

1- بهتر است با برگزاري همايش و سمينارها، معلمان رياضي با مهارتهاي حرفه اي و فنون كلاسداري بيشتر آشنا شوند.

 

2-  بهتر است معلمين رياضي در تدريس خود از شيوه هاي تمرين و تكرار و پرسش و پاسخ بيشتر استفاده نمايند تا بدين ترتيب موضوعات تمركز و حواس و تفكر زيادتر دانش آموزان و رسيدن به سطوح بالاتر يادگيري را فراهم  نمايند و با استفاده از تمرين و تكرار جايگزيني مطالب را در ذهن دانش آموزان آسانتر سازند.

 

3-  برگزاري دوره هاي ضمن خدمت و نمايشگاهها، به منظور آشنايي معلمان رياضي با وسايل كمك آموزشي رياضي و چگونگي ساخت آنها.

نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 3:2 بعد از ظهر |  لینک ثابت   • 

شنبه 13 بهمن1386

گوسفند و چراگاه

مسئله ی گوسفند و چراگاه

چراگاهی است به شکل دایره و به شعاع ده متر. کمندی به گردن گوسفندی بسته و سر دیگر آنرا در مرز چراگاه به زمین میخ کرده ایم. طول کمند چند متر باید باشد( X ) تا گوسفند بتواند فقط نصف چراگاه را بچرد؟

                                                     

توضیح : در حل این مسئله به ماشین حساب ترسیمی(graphing calculator )احتیاج دارید.

 (جواب :  برو به ادامه مطلب


ادامه مطلب
نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 11:21 بعد از ظهر |  لینک ثابت   • 

شنبه 13 بهمن1386

دلار گمشده

مسئله ی دلار گمشده

 

سه دوست با خودروی شخصی خود با هم مسافرت میکردند. شب دیر وقت به شهری میرسند. مستقیما" به مهمانسرایی میروند تا شب را در آنجا بخوابند. دفتر دار شب، یک اتاق با سه تخت خواب به آنها میدهد بمبلغ سی دلار. آنها هم هر کدام ده دلار میپردازند و به اتاق میروند که بخوابند.

 

 صبح بعد، دفتر دار روز، متوجه میشود که کرایه ی آن اتاق شبی  25  دلار بوده و همکارش اشتباها" سی دلار با آنها حساب کرده است. پس پنج دلار به مستخدم اتاق میدهد( به شکل پنج سکه یک دلاری )که به آنها برگرداند و از بابت اشتباهی که شده پوزش بخاهد.

 

مسافرین ضمن تشکر، هر کدام یک دلار بر میدارند و دو دلار باقیمانده را به عنوان انعام به مستخدم میدهند و بدنبال آن، مهمانسرا را ترک میکنند.

 

حالا نگاهی به حساب این سه نفر بیندازیم، مثل اینکه مختصرکی اشکال در آن دیده میشود : این آقایان شبی که رسیدند هر کدام ده دلار پرداخت کردند( که در جمع میشود سی دلار )، صبح روز بعد هر کدام یک دلار پس گرفتند. بنابراین مثل اینستکه هر کدام نه دلار بابت اتاق داده اند. سه تا نه دلار میشود  27  دلار باضافه دو دلار هم در جیب مستخدم، جمعا" میشود  29  دلار. یک دلار دیگر کجا رفته است؟

 

 

عجله نکنید....

برای پاسخ روی ادامه مطلب کلیک کنید


ادامه مطلب
نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 11:11 بعد از ظهر |  لینک ثابت   • 

شنبه 13 بهمن1386

ریاضیات حقیقت را بهتر از ما می بیند و کشف می کند

 

 

 چیزی که همیشه به موازات زیبایی ها و شگفتی های ریاضیات برای من جذابیت داشته و به نظر من این یک جذابیت ابدی است، قدرت شگرف و خارق العاده ریاضیات است در تشخیص و کشف حقیقت، بخصوص جایی که فکر و ذهن و حواس عمومی انسان از تشخیص آن عاجز است و به بیراهه می رود.

 

گفته شده است که ریاضیات زاده نبوغ بشر است. این گفته کاملا" درست است. اگر بشر خلقت نمی یافت ریاضیات هم بوجود نمی آمد. قبل از بشر هستی بود، طبیعت بود، فیزیک بود، شیمی بود، تاریخ و جغرافیا بود، زمین بود، حیات بود، در واقع همه چیز بود اما شمارش نبود، عدد نبود. بشر آمد، عدد آورد، شمارش آورد، دستگاه دهدهی خلق کرد( شاید بخاطر آنکه ده انگشت داشت )و کم کم جمع و تفریق و ضرب و تقسیم و جبر و هندسه و مثلثات آورد و اخیرا" هم کلکولس و ریاضیات جدید را خلق کرد و بدان افزود و هنوز هم در حال گسترش آنست. پس تردیدی نیست که  "کودک ریاضیات"  از  "مادر مغز"  بشر زاده شده است. اما جالب اینجاست که این کودک در تشخیص حقیقت بسی از مادر هوشمند تر است. آنگاه که فکر ما از درک حقیقتی عاجز میشود و به بیراهه میرود، اگر آنجا قلمرو ریاضیات باشد، این ریاضیات است که راه را نشان میدهد، حقیقت را کشف میکند و جواب را بدست میاورد.

 

به چند مسئله ی زیر که برای اثبات مدعای فوق مثالهای بسیار خوبی هستند توجه فرمایید و ببینید برای حل کردن این مسائل و صد ها مسئله مشابه دیگر ذهن آدمی چگونه بطور طبیعی و غریزی به بیراهه میرود و از جواب بدور میافتد.

 

مثال یک. مزرعه ای است به شکل زیر که مساحتش 5000 متر مربع است(نیم هکتار). میخواهیم با کشیدن دیوار مستقیمی در داخل مزرعه، آنرا به دو بخش تقسیم کنیم بطوریکه مساحت های هر دو بخش با هم برابر باشند (هر یک برابر  2500  متر مربع  باشد). طول کوتاه ترین دیوار ممکن چند متر است و کجا باید کشیده شود؟

                                                                 

                          (قبل از اینکه ادامه مطلب را بخوانید، لطفا" چند دقیقه به مسئله فکر کنید)

 

راه حلی که فورا" و بطور غریزی به ذهن خطور میکند در شکل (1) نشان داده شده است.در این شکل، دیوار، مزرعه را به دو مثلث دیگر تقسیم میکند که مساحت هر کدامشان  2500  متر مربع است.طول دیوار هم به سادگی قابل محاسبه است( تا دو رقم اعشار برابر است با m 70.71 ). دو راه حل دیگر هم برای مسئله بنظر میرسد که در شکلهای (2) و (3) نشان داده شده اند. در این دو شکل هر دیوار، مزرعه را به یک ذوذنقه و یک مثلث تقسیم میکند که مساحتهایشان با هم برابر است. محاسبه ی طول دیوارها هم کار مشکلی نیست و در شکلها نشان داده شده است.

                          

این سه راه حل چیزی است که به نظر بیشتر افراد میرسد. احتمالا" شما هم به یکی از این راه حلها فکر کرده اید. دیوار شکل (3) البته مردود است زیرا طول آن صد متر است و این بلند تر از دیوارهای دو شکل دیگر است. دیوارهای شکلهای (1)و (2) اگر چه کوتاه ترند اما آنها نیز جواب نهایی مسئله نیستند. حقیقت امر این است که دیوار کوتاه تری وجود دارد که مزرعه را به دو بخش با مساحتهای مساوی تقسیم میکند. اما این دیوار کجا باید کشیده شود و طول آن چقدر است؟ ایا دیوار میتواند بصورت شکلهای (4) یا (5) باشد؟

                                             

بدیهی است که دیوار شکل (4) از دیوار شکل (1) طولانی تر میباشد، مضافا" اینکه مساحتها نیز نابرابرند. پس این راه حل نیز مردود است. دیوار شکل (5) میتواند کوتاه تر از دیوار شکل (1) باشد اما بنظر نمیرسد که مساحتهای دو قطعه زمین با هم برابر باشند، اگر اینچنین باشد این راه حل هم مورد تردید است.  پس این دیوار مرموز کجاست و طول آن چقدر است؟ اینجا جز آنکه ریاضیات پا در میان نهد و جواب را پیدا کند راه دیگری نیست. من عجالتا" جواب مسئله را به شما میگویم : طول کوتاه ترین دیوار ممکن m 64.36 است، اما پیدا کردن این جواب و اینکه دیوار کجا باید کشیده شود را فعلا" به عهده خودتان میگذارم تا بعدا" در قسمت مسائل هفتگی دوباره آنرا بررسی کنیم.(نگاه کنید به مسئله ی 9 )

           

                                 

                                                     *********************

 

مثال دو. در یک مجلس جشن تعداد زیادی از دوستان شما شرکت کرده اند و شما میخواهید در پایان جشن جوایزی را مشترکا" به کسانی بدهید که روز تولدشان یکی است، مثلا" همه در دوم مهر ماه بدنیا آمده اند( ولی الزامن همسن نیستند). حد اقل چند نفر باید در جشن حضور داشته باشند تا به احتمال صددرصد، دست کم دو نفرشان روز تولد مشترکی داشته باشند؟

 

البته این سوال مشکلی نیست. در مبحث تئوری اعداد و احتمالات، اصلی است بنام "اصل لانه کبوتری" یا Pigeonhole Principle  که میگوید اگر مثلا" شش کبوتر داشته باشیم و تنها پنج لانه، وقتی همه کبوتر ها به لانه ها برگردند دست کم یکی از لانه ها بیش از یک کبوتر دارد. اصلی است ساده مثل سایر اصول و درک انهم اسان است. بر اساس این اصل و اگر سال را  365  روز فرض کنیم باید دست کم  366 نفر در جشن حضور داشته باشند تا حد اقل دو نفرشان دارای یک روز تولد باشند.

 

حالا مسئله را کمی مشکل تر کنیم. بگویید حد اقل چند نفر در جشن باید حضور داشته باشند تا به احتمال قریب به یقین( مثلا" 97 در صد)دست کم دو نفرشان ذارای یک روز تولد باشند. ظاهرا" مسئله تغییر زیادی نکرده است پس جواب آنهم نباید تغییر زیادی بکند. من وقتیکه این مسئله را در سر کلاسهای درسم مطرح میکنم، تقریبا" تمام شاگردانم _قبل از آنکه بیاموزند چگونه بصورت سیستماتیک مسئله را حل کنند_ بطور غریزی  3  در صد از جمعیت را کم میکنند و جواب میدهند که دست کم باید  354  نفر حضور داشته باشند تا به احتمال  97  در صد روز تولد اقلا" دو نفرشان مثل هم باشد. شاید شما هم همین فکر را کرده و همین جواب یا جوابی در همین حدود را داده باشید.  این جواب اگر چه بنظر خوب میاید اما اشتباه است. حقیقت در این مورد نیز چون مثال قبل چیز دیگری است که فقط با کمک ریاضیات قابل دسترسی است و حدس و گمان نمیتواند آنرا معلوم کند.

 

 جواب این مسئله  50  نفر است اما تردیدی ندارم که این جواب باعث تعجب شما شده است زیرا باور کردنش منحصرا" بر اساس "حواس عمومی" مشکل است.  اگر قرار است  366  نفر حضور داشته باشند تا با احتمال صد در صد، دست کم دو نفرشان یک روز تولد داشته باشند، چطور ممکن است برای همینکه این احتمال  97  در صد باشد باید فقط  50  نفر در جشن حضور داشته باشند؟ آنچه پذیرفتنش برای ذهن آدمی آسان تر است در واقع عکس این مطلب است یعنی احتمالش بسیار ضعیف است که از میان  50  نفر آدم حتی دو نفرشان یک روز تولد داشته باشند. در اینجا نیز "استدلال ریاضی" پا در میان مینهد و جواب را تایید میکند و به هر گونه ابهامی پایان میدهد. این مسئله را نیز در بخش مسائل هفتگی دو باره پیش خواهیم کشید.

 

                                                           ***************

 

مثال سه. یک جعبه بشکل مکعب مستطیل به ابعاد  cm 24  در  cm  36 و بلندی  cm   13  روی میز قرار گرفته و به سطح میز چسبانده شده است. مورچه ای در نقطه A  و حبه قندی در نقطه C  قرار دارد. کوتاه ترین راهی که مورچه میتواند به قند برسد کدام است و طول آن چند سانتیمتر میباشد؟ به شکل زیر نگاه کنید و قبل از آنکه دنباله ی مطلب را بخوانید، چند لحظه فکر کنید. بنظر شما کوتاه ترین راه کدامست؟

 

                                    

هیچ حقه ای در کار نیست. مسئله بسیار آسان است و آنرا بی جهت سخت نکنید. کوتاه ترین راه مسیرABC است که طول آن دقیقا"  cm 60 میباشد( توجه داشته باشید که از زیر جعبه راهی برای عبور نیست چون جعبه به میز چسبانده شده است)

 

 

                         

بنظر نمیرسد که یک مورچه عاقل برای رفتن از A به C  مسیری مثل  ADC  را انتخاب کند (شکل بالا :  D  نقطه ایست روی یال  BM  )چرا که مسیر ADC  از مسیر ABC  طولانی تر است( این بسیار بدیهی است ). بنظر نیز نمیرسد که این مورچه عاقل مسیری مثل   AEC  را برگزیند(E  نقطه ایست روی میز که از آنجا میتوان نقاط A و C را دید) زیرا واضح است که هر دو مثلث  ABE  و  CBE در زاویه B  منفرجه اند و بنابراین  AB <  AE و  CB < CE است. در نتیجه مجموع   EC + AE  از   cm 60    بیشتر میشود.

 

حالا بیایید جعبه دیگری را انتخاب کنیم که قاعده آن cm  23 در  cm 15 سانتیمتر و بلندی آن cm 7  باشد و مورچه را باز در نقطه A وقند را در نقطه C قرار دهیم. حال چه فکر میکنید؟ کوتاه ترین راهی که مورچه میتواند به قند برسد چند سانتیمتر است؟

                             

با آنکه صورت مسئله در اساس تغییری نکرده است و فقط جعبه دیگری انتخاب شده است که قدری کوچکتر است (میتوانست بزرگتر باشد) معهذا دیگر مسیر  ABC  که برابر cm  38  است کوتاه ترین راه نیست بلکه راهی کوتاه تر وجود دارد. این قدری عجیب بنظر میرسد و باور کردنش در بدو امر مشکل است ولی حقیقت دارد، حقیقتی که فقط بکمک ریاضیات قابل دسترسی است. آیا شما میتوانید مسیری کوتاه تر از cm  38   برای مورچه پیدا کنید؟ این مسئله را نیز در بخش مسائل هفتگی مورد بررسی مجدد قرار خواهیم داد( نگاه کنید به مسئله ی شماره ی 60  از مسائل هفتگی)

 

                                                      *******************

 

مثال چهار. چند سال پیش برای خرید شیرینی شب عید بهمراه همسرم به یکی از شیرینی فروشی های  ونکوور رفته بودیم. در میان سه چهار نوع شیرینی ای که انتخاب کردیم یکنوع شکلات هم بود که در ظرفهایی کره ای و از جنس پلاسیک روشن که میشد داخلشان را دید عرضه میشدند. اندازه های آنها با هم فرق میکرد. کوچکترینشان به اندازه یک توپ تنیس بود( به قطر تقریبی 8 سانتیمتر  و قیمت  3  دلار)و بزرگترین آنها در اندازه خانوادگی بود که از نظر قطر تقریبا" چهار برابر بزرگتر از نوع کوچک بود اما برچسب آن افتاده بود و معلوم نبود که قیمت آن چقدر است.

 

                                                                       

 

ما تصمیم گرفتیم که اندازه بزرگ را بخریم. من از همسرم پرسیدم که خوب است قیمت آن چقدر باشد. ایشان نگاهی به هر دو اندازه کردند و بعد از من پرسیدند بنظر شما چند برابر بزرگتر است؟ من قطر ها را "با نظر" اندازه گیری تقریبی کردم و گفتم که فکر میکنم چهار برابر بزرگتر باشد. آنگاه ایشان گفتند اگر  11  دلار باشد من حاضرم آنرا بخرم. برای من جالب بود بدانم که ایشان بر طبق چه محاسبه ای به مبلغ  11 دلار رسیده بود و وقتی کنجکاوی خودم را نشان دادم ایشان بسادگی گفتند چهار برابر  3  ذلار میشود  12  ذلار، یک دلار آنرا هم کم کردم شد  11 دلار و بعد اضافه کردند هر چیزی که در حجم بزرگ عرضه شود مقرون به صرفه تر خواهد بود تا اینکه همان حجم بصورت مجموعه ای از حجم های کوچک تر خریداری شود و البته حرفشان هم از این نظر درست بود.  مثلا" یک لیتر شیر تقریبا" یک دلار است اما وقتیکه ظرف چهار لیتری آنرا میخرید قیمتش سه دلار میشود. این در بازار غرب معمول است و دلائلی هم البته دارد که از بحث ما خارج است.

 

من از آن سال ببعد هر زمان که در کلاسهایم هندسه درس میدهم و به مبحث حجمها میرسم معمولا" این داستان را برای دانش آموزانم میگویم و از انها میخواهم که بدون استفاده از ماشین حساب نظر خودشان را بگویند و تقریبا" همه آنها جوابها یی در همین حدود میدهند. دانش آموزی گفت من حاضرم  30 دلار بپردازم و وقتی از او پرسیدم چطور به این عدد رسیدی گفت بکمک "حواسم". آنگاه دو کف دستش را بصورت دو نیمکره در آورد و بهم چسباند و گفت این توپ تنیس، گفتم بسیار خوب، بعد دستهایش را از هم دور کرد و از انحنای آنها کاست و بشکل کره ای بزرگتر نشان داد و گفت اینهم توپ بسکتبال. گفتم این نیز درست. گفت آخر این خیلی بزرگتر از آن دیگری است و من چنین احساس میکنم که اگر برای کره بزرگتر ده برابر هم بپردازم احتمالا" معامله بدی نکرده ام. حقیقت اینستکه این دانش آموز به جواب درست نزدیکتر بود تا دیگران.

 

راستی شما چقدر حاضرید برای انداره بزرگ بپردازید؟ اگر پاسخ شما هم رقمی است در همین حدود که دیگران گفته اند و فرض کنیم که شما بجای من میبودید و اندازه بزرگ را انتخاب میکردید که بخرید، وقتی آنرا روی میز صندوقدار میگذاشتید، اگر ایشان بشما میگفت که مثلا" قیمت آن  150  دلار یا  170  دلار یا  190  دلار یا حتا بیشتر است آیا از تعجب دهانتان باز نمیماند و فکر نمیکردید که صندوقدار بطور قطع اشتباه میکند؟ تصور میکنم همین طور میشد و این به آن دلیل است که قضاوت در باره جواب یک مسئله ریاضی را به "  حواس" خود سپردید و حواس انسان خطا پذیر است.

 

البته این مسئله، مسئله مشکلی نیست و اگر شما یک ماشین حساب داشته باشید و فرمول حجم کره را هم بدانید بسادگی میتوانید حجم هر دو کره را بدست آورید و بر هم تقسیم کنید و ببینید کره بزرگتر چند برابر کره کوچکتر است( یعنی چند برابر شکلات دارد )و آنوقت این نسبت را در سه دلار ضرب کنید تا قیمت کره بزرگتر بدست آید. لیکن اگر قضیه ای از هندسه را که اشاره اش به اشکال و اجسام مشابه است بدانید دیگر حتا به ماشین حساب و فرمول کره هم احتیاجی نخواهید داشت تا مسئله را حل کنید. این قضیه میگوید : "اگر اندازه ابعاد جسمی  n   برابر اندازه ابعاد جسم مشابهی باشد و هر دو از یک جنس باشند، آنگاه حجم (یا وزن)  جسم اول،  n3  برابر حجم( یا وزن )جسم دوم و مساحت آن   n2  برابر خواهد بود." چون قطر کره بزرگتر چهار برابر قطر کره کوچکتر است پس حجمش  43    (یا  64 ) برابر کره کوچکتر است و چون شکلاتها دارای یک وزن مخصوص اند پس  64  ضربدر سه  دلار میشود  192  ذلار و قیمت دقیق کره بزرگتر بدست میاید.

 

آنروز به هنگام خرید وقتیکه من جواب  11  دلار را از همسرم شنیدم، محاسبه ساده فوق را در ذهنم انجام دادم و پرسیدم آیا حاضر هستند  100  ذلار بابت آن بپردازند؟ ایشان گفتند هرگز! من پس از گفتگوی کوتاهی با صاحب مغازه آنرا به  120  دلار خریدم و از این معامله هم بسیار راضی بودم اما تا در خانه با ماشین حساب و فرمول و عدد و رقم به ایشان ثابت نکردم که معامله بنفع ما بوده است، ایشان دست از سر من بر نداشتند!

 

                                                         ****************

 

مثال پنجم. یک عدد یک رقمی انتخاب کنید : مثلن  5  را.

 

 حالا اعداد صحیح یک تا ده را در نظر بگیرید.  جمعا" ده عدد هستند که فقط یکی از آنها  5  است.  پس میتوانیم بگوییم که در مجموعه ی اعداد صجبح یک تا ده، ده در صدشان  5  دارند و نود در صدشان  5 ندارند.  

 

اینک اعداد صحیح یک تا صد را در نظر بگیرید. آیا میتوانید حساب کنید که چند تا از این صد عدد دارای (اقلا" یک) رقم  5  هستند و چند تای آنها اصلا" رقم  5  ندارند؟ کار مشکلی نیست. من در زیر اعدادی را که دارای (اقلا" یک) رقم  5  هستند به ترتیب نوشته ام :

 

 95  ,85  ,75  ,65  ,59  ,58  ,57  ,56  ,55  ,54  ,53  ,52  ,51  ,50  ,45  ,35  ,25  ,15  ,5                                      

 

آنها را بشمارید. جمعا"  19  تا میشوند. بنابراین  81  عدد هم وجود دارند که اصلن رقم  5  ندارند. پس میتوانیم بگوییم که در مجموعه ی اعداد صحیح یک تا صد،  19 درصدشان  5  دارند و  81 درصدشان اصلا"  5  ندارند.

 

اینک اعداد صحیح یک تا هزار را در نظر بگیرید. ایا میتوانید بگویید که از میان این هزار عدد چند تای آنها دارای (اقلا" یک) رقم  5  هستند و چند تا اصلا"  5  ندارند؟ این یکی قدری زحمت دارد ولی بهر حال این نیز کار مشکلی نیست. من آنرا برای شما حساب کرده ام ولی بد نیست شما خودتان هم آنرا حساب کنید : در مجموعه ی اعداد یک تا هزار، دقیقا"  271 عدد هستند که  5  دارند و  729  عدد هم هستند که اصلا"  5  ندارند.

 

با اندکی زحمت بیشتر، میتوانیم معلوم سازیم که از مجموعه ی اعداد صحیح یک تا ده هزار، چند تا دارای  5  هستند و چند تا اصلا"  5  ندارند و اینکار را میتوانیم به مجموعه های بزرگتری از اعداد مثلا" یک تا صد هزار، یک تا یک میلیون و غیره نیز گسترش دهیم.

 

همانطوری که تا کنون ملاحظه کرده اید، صرفنظر از اینکه چه مجموعه ای از اعداد را انتخاب کنید، یک تا ده، یک تا صد، یک تا هزار و غیره، آنچه مسلم است اینستکه در هر مجموعه، تعداد اعدادی که رقم  5  ندارند بمراتب بیشتر است از تعداد اعدادی که دارای رقم  5  هستند. حالا با این دستگرمی میخواهم سوال اصلی ام را از شما بپرسم : اگر همه اعداد صحیح و مثبت را در نظر بگیرید، از یک تا بینهایت را، ایا میتوانید حساب کنید که چند در صدشان  5  دارند؟

 

جواب این سوال دیگر خیلی ساده نیست زیرا واقعا" عملی نیست که بنشینیم و از میان بینهایت عدد، آنهایی را که دارای  5  هستند بشماریم. پس باید راهی هوشمندانه برای حل این مسئله وجود داشته باشد که من عجالتا" پیدا کردن آن راه حل را بعهده شما میگذارم و در اینجا فقط به جواب مسئله بسنده میکنم و اثبات آنرا به بخش مسائل هفتگی موکول مینمایم.

 

جواب این مسئله  "صد در صد" است! بله،درست خواندید، صد در صد! در مجموعه اعداد صحیح یک تا بینهایت، صد در صدشان دارای  5  هستند. یقین دارم که این جواب شما را شگفت زده و شاید هم کمی گیج کرده باشد و بعید میدانم که آنرا باور کرده باشید. چه بسا دارید پیش خود فکر میکنید که مگر ایشان همین یکدقیقه پیش خودشان نگفتند که از اعداد یک تا ده، 9 تای آنها و از اعداد یک تا صد،  81  تای آنها و از اعداد یک تا هزار،  729  تای آنها اصلا"  5  ندارند، و هر چه جلو تر برویم، و هر مجموعه ای از اعداد صحیح را که انتخاب کنیم، تعداد اعدادی که رقم  5  ندارند بمراتب بیشتر است از تعداد اعدادی که رقم  5  دارند. آیا اینها کافی نیستند تا به جواب فوق شک کنیم؟ آخر این جواب که با عقل جور در نمیاید. چطور ممکن است از مجموعه ی اعداد یک تا بینهایت، صد در صدشان دارای  5  باشند در حالیکه ما اعداد فراوانی را میشناسیم که رقم  5  اصلا" در آنها یافت نمیشود.

 

 ولی حقیقت امر همان است که گفته شد.

 

علت پیچیدگی موضوع به مقدار زیادی بستگی دارد به مفهوم کلمه " بینهایت". بینهایت در ریاضیات چیز مرموزی است و رفتارش با بقیه ی اعداد فرق میکند. اصلا" بینهایت عدد نیست، یک "مفهوم" است که باید مطلقا" درک گردد و راه کار کردن با آن آموخته شود.

 

نکته ی مورد نظر من هم از انتخاب و بیان مثالهای فوق دقیقا" همین است که بگویم مسائلی که در ابتدا با اندیشه ی ما جور در نمی آیند و بواسطه ی پیچیدگی صورت یا غامض بودن جواب براحتی قابل فهم نیستند، با برهان و استدلال ریاضی شکل دیگری پیدا میکنند : روشن میشوند و قابل درک میگردند. استدلال ریاضی اگر چه زاییده مغز بشر است ولی قدرتش در تشخیص و کشف حقیقت از مغز بیشتر است. وقتیکه مثال فوق را در بخش مسائل هفتگی و با استفاده از مدل و استدلال ریاضی حل کنیم خواهید دید که جواب "صد در صد" چطور شما را قانع میکند. اما حتی پس از قانع شدن، وقتیکه دو باره به موضوع فکر میکنید که چطور ممکن است صد در صد اعداد، دارای  5  باشند دچار سر گیجه میشوید. این سر گیجه همانطور که گفته شد ناشی از مفهوم بینهایت است. "بینهایت" بینهایت سر گیجه آور است! (نگاه کنید به مسئله ی  16 )

 

مثالهای فوق و مثالهای بسیار دیگری که در مطالعه ریاضیات و یا در زندگی روز مره به آن برخورد خواهید کرد، موید این نظر است که قضاوت ما در باره ی جواب یک مسئله_ اگر در حل مسئله مددی از ریاضیات نگرفته باشیم _ ممکن است دارای خطا باشد. برای از بین بردن خطا چاره ای نداریم جز آنکه مسئله را با یک مدل دقیق ریاضی حل کنیم. پایان

نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 10:59 بعد از ظهر |  لینک ثابت   • 

شنبه 13 بهمن1386

بازی و ریاضی

آموزش ریاضی نوجوانان 

(کسرها)
نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 10:53 بعد از ظهر |  لینک ثابت   • 

شنبه 13 بهمن1386

بازی و ریاضی

آموزش 

ریاضی نوجوان

        

 

ضرب و تقسيم

 

 

 

 

 

 

 

  
 
نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 10:46 بعد از ظهر |  لینک ثابت   • 

شنبه 13 بهمن1386

بازی و ریاضی

آموزش ریاضی

نوجوان

 

 

 

 

 

 

 

جمع وضرب

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 10:42 بعد از ظهر |  لینک ثابت   • 

جمعه 12 بهمن1386

بازی و ریاضی

این برنامه  به صورت بازی و مسابقه بین دانش آموزان رده راهنمای به آنها کمک می کنه که  آسان تر مسائل  ریاضی را حل کنند. و مفاهیم را یاد بگیرند .

ومهارت آنها در شناخت اعداد اول،  مجذور ، مکعب ، و فرد و زوج بودن ، و غیرو ... بالا می برد.

امیدوارم که از دانلود این برنامه لذت ببرید.

نمایی از این برنامه :
 
 
لینک های دانلود برنامه :
 
لینک شماره یک : Download
 
لینک کرک برنامه : Doanload
 
آدرس سایت سازنده نرم افزار : http://www.sheppardsoftware.com/index.html

سریال نامبر برنامه جهت استفاده کامل : s/n: ptm8398

شما می تونید به صورت آنلاین نیز در این سایت این بازی را انجام دهید .
نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 9:46 بعد از ظهر |  لینک ثابت   • 

جمعه 12 بهمن1386

دهمین کنفرانس آموزش ریاضی ایران

 آدرس سایت

دهمین کنفرانس آموزش ریاضی ایران

که در یزد و در روزهای ۲۲-۲۵ مرداد ماه سال۸۷برگزار خواهد شد :

http://imec۱۰yazd.com

نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 9:28 بعد از ظهر |  لینک ثابت   • 

جمعه 12 بهمن1386

نمونه سوالات ریاضی راهنمایی نوبت اول

 

کلاس اول : دانلود

کلاس دوم : دانلود

کلاس سوم : دانلود

کلاس اول

کلاس دوم

کلاس سوم


 

نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 9:16 بعد از ظهر |  لینک ثابت   • 

جمعه 12 بهمن1386

متن کامل کتاب‌های درسی آموزش و پرورش ایران

 

کتاب‌های درسی دوره متوسطه (دبیرستان) - شاخه فنی حرفه‌ای

صنعت چاپ...................   رياضي

نقشه کشی عمومی ........... رياضي

صنایع فلزی ......................... رياضي

الکتروتکنیک............................. رياضي

مکانیک خودرو.......................... رياضي

تأسيسات................................. رياضي

ساخت و تولید.........................  رياضي

 

نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 5:17 بعد از ظهر |  لینک ثابت   • 

جمعه 12 بهمن1386

متن کامل کتاب‌های درسی آموزش و پرورش ایران

پیش دانشگاهی :

 ریاضی :  ریاضیات گسسته   و  هندسه تحلیلی و جبر خطی

تجربی : ریاضی عمومی (۱)و(۲)

انسانی: ریاضی پایه 

 

نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 5:14 بعد از ظهر |  لینک ثابت   • 

جمعه 12 بهمن1386

متن کامل کتاب‌های درسی آموزش و پرورش ایران

نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 5:12 بعد از ظهر |  لینک ثابت   • 

جمعه 12 بهمن1386

متن کامل کتاب‌های درسی آموزش و پرورش ایران

نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 5:6 بعد از ظهر |  لینک ثابت   • 

جمعه 12 بهمن1386

متن کامل کتاب‌های درسی آموزش و پرورش ایران

متن کامل کتاب‌های درسی ریاضی

 

 دوره دبستان

ریاضی اول

ریاضی اول

ریاضی دوم

ریاضی سوم

ریاضی چهارم

ریاضی پنجم

نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 4:58 بعد از ظهر |  لینک ثابت   • 

جمعه 12 بهمن1386

بازم می گم ریاضی زیباست

آیا ریاضیات زیباست؟

هر انسانی از تماشای چشم انداز یک دامنه سرسبز آرامش می‌یابد و در عین حال به فکر فرو می‌رود.شاعر احساس ناشی از مشاهده خود را با شعر و نقاش با قلم و بوم بیان می‌کند. گیاه‌شناس در پی گیاه مورد نظر خود است و زبان شناس در پی یافتن ریشه نامگذاری آن و داروشناس در جستجوی ویژگی‌های درمانی آن است و ریاضیدان نحوه قرار گرفتن برگ و گلبرگ‌ها یا اندازه و شکل‌ آنها را مورد مطالعه قرار می‌دهد. ولی هم گیاه عضوی یگانه است و هم انسان پس علت این گوناگونی در رابطه بین گیاه و انسان، وجود جنبه‌های گوناگون و گسترده انسان و تجلی آنها در شرایط مختلف است. با مطالعه نقل قول‌های ریاضیات ریاضیدانان، در می‌یابیم بسیاری از آنها از ریاضیات لذت می‌برند و از آن به عنوان یک هنر زیبا و خلاق تعبیر می‌کنند:

« من مفتون ریاضیات هستم، زیرا به عنوان علم، دقت و قدرت آن، و به عنوان هنر زیبایی آن در حد کمال است، بعلاوه فواید و موارد استعمالش از شمار بیرون است. » (دکتر غلام حسین مصاحب)

« من به ریاضیات فقط به عنوان یک هنر خلاق علاقه دارم. » (جی. اچ. هاردی[1])

گاه نیز آن را با موسیقی و شعر یا حتی نقاشی مقایسه می‌کنند:

«موسیقی لذتی است که ذهن انسان از شمردن تجربه می‌کند، بدون اینکه بداند آن شمارش است. » (لایب نیتز)

« ریاضیدان بودن ولی شاعر نبودن غیرممکن است. » (سوفیا کوالیفسکای[2])

« یک ریاضیدان مانند یک نقاش یا شاعر، سازنده الگوها است. اگر الگوهای او از آنها ماندگارترند، به این دلیل است که با اندیشه‌ها ساخته می‌شوند. » (جی.اچ. هاردی) برتراند راسل[3]، ریاضیدان و فیلسوف انگلیسی، زیبایی ریاضیات را به این صورت توصیف می‌کند:

« ریاضیات، همان طور كه به درستي نمايش داده مي‌شود، نه فقط از صداقت بلكه از زيبايي بسيار برخوردار است. يك زيبايي سرد و سخت همانند مجسمه سازي، بدون  هيچ شباهتي به دنياي طبيعي ما، بدون زرق و برق‌‌هاي فريبنده نقاشي و موسيقي، در عین حال در حد اعلاء مجرد و داراي كمال بسيار همانند آنچه يك هنر باشکوه مي‌تواند نشان دهد. روح كامل لذت، سرافرازي، حس فراتر از انسان بودن كه محك برتری است، در ریاضیات همانند شعر یافت می‌شود. »

پل اِردُ[4] از ریاضیدانان نامدار، نظر خود را نسبت به غیرقابل وصف بودن زیبایی ریاضیات چنین بیان می‌کند:

« چرا اعداد زیبا هستند؟ این مانند این است که بپرسیم چرا سمفونی نهم بتون زیبا است. اگر شما نمی‌فهمید "چرا؟" ، کسی نمی‌تواند به شما بگوید. من می‌دانم اعداد زیبا هستند. اگر آنها زیبا نباشند هیچ چیز دیگر هم نیست. »

پل هالموس[5] ریاضیات را چنین توصیف می‌کند:

« ریاضیات قطعیت، صدق، زیبایی، بصیرت و یک معماری باشکوه است. من ریاضیات را به عنوان بخشی از دانش بشری، چیز عظیم و مجللی می‌بینم. »

همچنین او بهترین جنبه یک ریاضیدان بودن را چنین توصیف می‌کند:

« من مردی مذهبی نیستم اما وقتی درباره ریاضیات فکر می‌کنم احساس می‌‌کنم که در تماس با خداوند هستم. »

اما به راستی چگونه است که ریاضیدانان ریاضیات را حتی بالاتر از هر هنری دیگری زیبا و جذاب می‌بینند؟ آیا تا به حال سعی در کشف این زیبایی‌ها کرده‌اید؟ شاید اولین ابزار برای درک این زیبایی‌ها داشتن علاقه قلبی به ریاضیات باشد. کسی واقعاً می‌تواند زیبایی‌های موجود در ریاضیات را عمیقاً درک کند که به آن دلبسته و وابسته باشد. در اینجا سعی می‌کنیم برخی از جنبه‌های زیبای ریاضیات را به شما دلبستگان ریاضیات معرفی کنیم.

زیبایی در روش‌ها

یکی از جنبه‌های زیبای ریاضیات، روند منطقی و روشهای زیبایی است که در برهان‌ها و استدلال‌های ریاضی دیده می‌شود. بسته به مفهوم این زیبایی تعابیر گوناگونی دارد:

·  برهانی که در آن از حداقل فرضها و نتایج قبلی استفاده می‌شود.

·  برهانی که به طور غیر معمول کوتاه است.

·  برهانی که نتیجه را به گونه‌ای شگفت‌آور بدست می‌آورد.(به عنوان مثال استنتاج قضیه‌ای از قضیه یا قضایای به ظاهر مستقل از هم)

·  برهانی که براساس زیرکی و روشهای جدید طراحی می‌شود.

·  یک روش برهان که  به آسانی قابل تعمیم برای حل یک دسته از مسائل مشابه است.

در جستجوی یک برهان زیبا، ریاضیدانان برای اثبات نتایج گاهی به جستجوی راه‌های مختلف می‌پردازند. اولین برهانی که بدست می‌آید ممکن است بهترین نباشد. قضیه‌ای که بیشترین تعداد برهان را به خود اختصاص داده است قضیه معروف فیثاغورس است که تاکنون بیش از سیصد برهان مختلف برای آن ارائه شده است. قضیه دیگر که با روش‌های مختلف به اثبات رسیده است  قانون زیبای تقابل مربعی گاوس است. کارل فردریش گاوس، خود به تنهایی هشت برهان مختلف را برای آن منتشر کرده است.

در نقطه مقابل نتایجی که از لحاظ منطقی درست هستند اما اثبات آنها محاسبات خسته کننده و روش‌های بیش از حد طولانی نیاز دارند، یا از تعداد بیش از حدی از اصول موضوع و نتایج قبلی استفاده می‌کنند معمولاً نازیبا تلقی می‌شوند. نمونه‌ای از تاریخی‌ترین و جالب‌ترین آنها برهان قضیه آخر فرما است که توسط ریاضیدان انگلیسی، اندرو وایلز برای نخستین بار ارائه شد. او پس از یافتن برهان در یک کنفرانس ریاضی به تشریح آن پرداخت و با تعداد بیش از حد و اندازه قضایا و نتایجی که در برهان خود به کار برده بود همه حاضرین را حیرت زده کرد. اثبات او بالغ بر دویست صفحه است.

 زیبایی در نتایج

برخی ریاضیدانان زیبایی را در نتایجی می‌بینند که که بین بخش‌هایی از ریاضیات که در درجه اول مجزا و مستقل از هم به نظر می‌رسند. رابطه ایجاد می‌کنند. این نتایج معمولاً نتایج عمیق خوانده می‌شوند. با وجود اینکه رسیدن به یک توافق کلی که چه نتایجی عمیق هستند، دشوار است اما برخی نمونه‌های آن مورد توافق همگان است.

همه شما با اعداد مختلط و فرمول اویلر آشنایی دارید که بیان می‌کند
. حال در این فرمول قرار دهید ، به این ترتیب رابطه عجیب، شگفت انگیز و زیبای زیر را بدست می آورید که حکم تابلوی مونالیزا را در ریاضیات دارد:

این فرمول را زیباترین فرمول ریاضیات می‌خوانند و می‌گویند یک ریاضیدان واقعی هیچگاه از دیدن آن خسته نمی‌شود. حتماً تابه حال متوجه زیبایی نهفته در آن شده‌اید. اگر نه با دیگر با دقت به اجزای آن نگاه کنید. چه می‌بینید؟ ، اینها همگی از مهمترین و اساسی ترین اعداد ثابتی هستند که در ریاضیات وجود دارند و هر یک تاریخچه خواندنی برای خود دارند، و با نگاه کردن به این فرمول تاریخچه‌ای از این اعداد یکجا در ذهن تداعی می‌شود.

همچنین این فرمول بین سه شاخه مهم ریاضیات ارتباط برقرار می‌کند گویی هریک نماینده‌ای از خود در این فرمول دارند، حساب با عدد بیان می‌شود، جبر با نمایان می‌شود،  هندسه با، و آنالیز با عدد متعالی  رخ می‌نماید، و فرمول اویلر بین این اعداد رابطه‌ عجیبی را بوجود آورده است. بنیامین بیرس، استاد دانشگاه هاروارد در مورد این فرمول می‌گوید:

«این مطمئناً درست است؛ این قطعاً منتاقض‌نما است؛ ما نمی‌توانیم آن را بفهمیم، و نمی‌دانیم چه معنی می‌دهد، اما ما آن را ثابت کرده‌ایم، و بنابراین می‌دانیم که باید درست باشد.»

 نمونه‌های تازه‌ای از این فرمول‌ها و نتایج زیبا در ریاضیات را می‌توان در نظریه هنگی(پیمانه‌ای) یافت که بین خم‌های بیضوی و فرم‌های هنگی، رابطه مهمی بوجود می‌آورد که اندرو وایلز و همکارش تیلر به خاطر آن جایزه ولف[6] را برنده شدند.

نمونه آشنای دیگری از نتایج زیبا را می‌توان در هندسه یافت. هندسه، به مفهوم عام آن، زمینه‌ای است سر شار از زیبایی. می‌گویند افلاطون ، تقارن را مظهر و معیار زیبایی می‌دانست و چون، گمان می‌کرد تنها هندسه است که می‌تواند رازهای هندسه را بر ملا کند و از ویژگی‌های آن برای ما سخن بگوید ، به هندسه عشق می‌ورزید و بر سر در آکادمی خود نوشته بود:

« هر کس هندسه نمی داند وارد نشود »

 و هنوز هم ، با آن که هنر کوبیسم بسیاری از سنت‌ها را درهم شکسته است و زیبایی‌های خیره کننده‌ی نا متقارنی را آفریده، باز هم از قدر و قیمت تقارن چیزی کاسته نشده است ، و چه مردم عادی و چه صاحب نظران ، همچنان اوج زیبایی را در تقارن و تکرار می‌بینند. شاید بتوان گفت که کوبیسم ، مفهوم زیبایی ناشی از تقارن را، گسترش داده و تکامل بخشیده است.

در هندسه وقتی پاره خطی را طوری به دو بخش تقسیم کنیم که مجذور بخش بزرگتر برابر با
حاصل ضرب تمام پاره خط در بخش کوچکتر باشد، می‌گویند که پاره خط را به نسبت طلایی[7][7] تقسیم کردیم. تقسیم پاره خط به نسبت طلایی از دوران یونان باستان شناخته شده بوده است و ریاضیدانان یونان باستان مستطیلی را که روی این دو بخش پاره خط ساخته شود زیباترین مستطیل می‌دانسته‌اند و آزمایش فوق توانست درستی نظر ریاضیدانان باستانی را تایید کند.درباره‌ی نسبت طلایی باید یاد‌آوری کرد که از همان دوران باستان ، از این نسبت در مجسمه سازی و معماری به فراوانی استفاده می‌کرده‌اند. همچنین پیشرفت هندسه‌های جدید مانند هندسه فراکتال‌ها موجب پیدایش اشکال جدید و زیبا شده‌اند.

 درک زیبایی و لذت موجود در کار با اعداد و نمادها هنگامی حاصل می‌شود که شما عملاً با ریاضیات درگیر باشید. هنگامی می‌توان زیبایی ریاضیات را در حد اعلای آن درک کرد که با آن در تماس و تعامل بود. لذت بردن از ریاضیات در حالت انفعالی لذت و یا شاید امکان ناپذیر است.

در مقابل نتایج و برهان‌های عمیق، نتایج سطحی و بی‌مایه وجود دارند. یک قضیه بی‌مایه قضیه‌ای است که به طریقی آشکار و بی‌پرده بتواند از نتایج شناخته شه بدست آید، یا فقط اشیای خاصی را در نظر بگیرد.

 زیبایی و فلسفه

بسیاری از ریاضیدانان معتقداند کار ریاضیدانان بیش از آنکه کشف کردن باشد، اختراع کردن است. این ریاضیدانان معتقداند نتایج دقیق و مفصل ریاضیات مستقل از دنیای بیرونی است که ما در آن زندگی می‌کنیم. به عنوان مثال، آنها ممکن است ادعا کنند نظریه اعداد طبیعی بدون هیچ نیازی به مفهوم و تعابر آن، اساساً معتبر است. برخی ریاضیدانان این عقیده را دارند که زیبایی ریاضیات حقیقت نهفته در آن است.

 در فلسفه افلاطون، دو جهان وجود دارد. جهان فیزیکی که ما در ان زندگی می کنیم و جهان مجرد که حقیقت‌های تغییر ناپذیر از جمله ریاضیان را در بردارد. او معتقد بود جهان فیزیکی انعکاسی است از دنیای مجرد. گویا این سخن از گالیله است که:

«ریاضیات زبانی است که خداوند بوسیله آن جهان را نوشته است.»

ریاضیدان مجاری، پل اِردُس اگر چه چندان به خدا معتقد نبود ولی همواره از کتابی خیالی سخن می‌گفت که خداوند زیباترین برهان‌های ریاضی را در آن نوشته است. وقتی اردس می‌خواست از یک برهان تعریف کند، از روی تعجب فریاد می‌زد « این یکی از آن کتاب است »

این دیدگاه این ایده را بیان می‌کند که ریاضیات به عنوان قوانین درستی که جهان برپایه آن بنا شده است از سوی خدا است. آلاین بادو[8][8]، فیلسوف فرانسوی قرن بیستم معتقد است، ریاضیات همان هستی شناسی[9][9] است. او همچنین به رابطه عمیق بین ریاضیات، شعر و فلسفه معتقد است.

ریاضیات، به عنوان یک هنر زیبا

 اشر، نقاش معروف هلندی در سال 1971 میلادی در سن 72 سالگی و یک سال پیش از مرگ خود نوشت :

« وقتی که هوشمندانه با رمز و رازهای دور و بر خود برخورد کردم و وقتی به تجزیه و تحلیل مشاهده‌های خود پرداختم، به ریاضیات رسیدم. من آموزش جدی در دانش ندیده‌ام ولی گمان می‌کنم بیش‌تر با یک ریاضی‌دان وجه مشترک داشته باشم تا با یک هنرمند. »

و رودن(1840- 1917 ) مجسمه ساز مشهور فرانسوی می‌گوید:

« من یک رویا پرداز نیستم، بلکه یک ریاضیدان‌ هستم. مجسمه‌های من تنها به خاطر این خوب‌اند که ساخته و پرداخته‌ی اندیشه‌ی ریاضی‌اند.»

از آن طرف ج. اچ. هاردی معتقد است:

« معیار یک ریاضیدان مانند معیار نقاس یا شاعر، زیبایی است. اندیشه‌ها همانند رنگ‌ها یا واژه‌ها باید در هماهنگی کامل و سازگار با یکدیگر باشند . زیبایی نخستین معیار سنجش است. »

 اگر این را بپذیریم که، تصور و خیال، یکی از سرچشمه‌های اصلی آفرینش‌های هنری است، آن وقت ناچاریم قبول کنیم که در ریاضیات هم دست کم عنصرهای زیبایی و هنر وجود دارد چرا که مایه‌ی اصلی کشف‌های ریاضی ، همان تصور و خیال است. به قول ولادیمیر ایلیچ نویسنده‌ی کتاب دفاتر فلسفی، « تصور و خیال حتی در ریاضیات هم لازم است، حتی کشف حساب دیفرانسیل و انتگرال هم بدون تصوروخیال ممکن نبود. »

با هیچ نیرنگی، نمی‌توان از کشش انسان‌ها به سمت زیبایی‌ جلوگیری کرد و آنچه زشت و نازیبا است را جانشین زیبایی کرد. آدمی، از همان روزهایی که می‌شنود، می‌بیند و درک می‌کند ، از موسیقی و تقاشی و شعر لذت می‌برد و چه به صورت لالایی مادر باشد یا آهنگ گوش نواز چایکووسکی، چه بیتی عامیانه و کوچه باغی باشد یا سرودی از لسان الغیب ، چه قالی‌های دست باف باشد و چه ظرافت‌ها و رنگ‌های چشم نواز بهزاد و کمال الملک ، همه‌ جا انسان را به سوی خود می‌کشاند و غرق در آرامش و لذت می‌کند . ولی همه‌ی این‌ها، یک شرط اساسی دارد و آن، این است که با آفریده‌ای از یک استاد هنرمند سروکار داشته باشید و گرنه، حرکت ناشیانه‌ی آرشه بر ویلون روح شما را می‌آزارد و ردیف بی‌ربط واژه‌های شعر سخن ناشناس، شما را بیزار و کسل می‌کند. در واقع تمامی عرصه‌ی ریاضیات سرشار از زیبایی و هنر است. زیبایی ریاضیات را می‌توان، در شیوه‌ی بیان موضوع، در طرز نوشتن و ارائه‌ی آن، در استدلال‌های منطقی آن، در رابطه‌ی آن با زندگی و واقعیت، در سر گذشت پیدایش و تکامل آن و در خود موضوع ریاضیات مشاهده کرد .

 هندسه، همچون دیگر شاخه‌های ریاضیات، زاده‌ی نیازهای آدمی است، ولی در این هم نمی‌توان تردید کرد که ، در کنار سایر عامل‌ها یکی از علت‌های جدا شدن هندسه از عمل و زندگی و شکل گیری آن به عنوان یک دانش انتزاعی، کشش طبیعی آدمی به سمت زیبایی و نظم بوده است. و هرچه هندسه تکامل بیشتری پیدا کرده و عرصه‌های تازه‌ای را گشوده، نظم و زیبایی خیره کننده‌ی آن، افزون تر شده است.

 از همین جا است که، یکی از راه‌های شناخت زیبایی ریاضیات و به خصوص هندسه، آگاهی بر نحوه‌ی پیشرفت و تکامل آن است. مفهوم نقطه و خط راست ، از کجا آغاز شد و چگونه از فراز و نشیب‌ها گذشت، تا به ظرافت و شکنندگی امروز رسید. ما در طبیعت اطراف خود ، نه تنها نقطه و خط راست هندسی ، بلکه دایره مستطیل و کره و متوازی السطوح هم به معنای انتزاعی خود نمی‌بینیم. این ذهن زیبا جو و در عین

حال آفریننده‌ی انسان بوده است که چنین شکل‌ها و جسم های به غایت ظریف و زیبا را ابداع کرده است و سپس کاربرد‌های عملی زیباتری هم برای آن ها یافته است.

 و در همین جا است که می‌توان جنبه‌ی دیگری از زیبایی ریاضیات را جست و جو کرد‌. ریاضیات با همه‌ی انتزاعی بودن خود، بر همه‌ی دانش‌ها حکومت می‌کند و جزء جزء قانون‌های آن ، همچون ابزاری نیرومند دانش های طبیعی و اجتماعی را صیقل می‌دهد و به پیش می‌برد ، تفسیر می‌کند و در خدمت انسان قرار می‌دهد.

[1] G. H. Hardy

[2] Sofia Kovalevskaya

[3] Bertrand Russell

 [4] Paul Erdös

[5] Paul. R.  Halmos

 [6] Wolf prize

[7] Golden ratio

 [8] Alain Badiou

[9] Ontology

نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 11:8 قبل از ظهر |  لینک ثابت   • 

جمعه 12 بهمن1386

گویا کردن کسر

گویا کردن مخرج یک کسر

 

 

مخرج کسر زیر را گویا کنید : 

                                                                           

یعنی کسری بنویسید به ساده ترین شکل که دقیقا" معادل کسر بالا بوده ولی مخرجش فقط یک عدد صحیح باشد.

 

 

این مسئله را حد اقل از دو راه مختلف میتوان حل کرد: راه اول با استفاده از اتحاد "مجموع سه مکعب" و راه دوم با استفاده از اتحاد های "مجموع و تفاضل دو مکعب" است. راه دوم فکر را خیلی بیشتر به چالش میکشد. توصیه میکنم که خوانندگان محترم هر دو راه را امتحان کنند.

 

حل در ادامه مطلب


ادامه مطلب
نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 10:43 قبل از ظهر |  لینک ثابت   • 

جمعه 12 بهمن1386

معمای چراغ و کلید

 معمای سه چراغ و سه کلید

  

دو اتاق در مجاورت هم اند و بوسیله ی دیواری ضخیم و کاملا" تیره از یکدیگر جدا شده اند. اتاقها هر کدام یک در دارند ولی هیچکدام پنجره ندارند. درهایشان که بسته باشد درون اتاقها مطلقا" تاریک است. در یک اتاق سه چراغ برق به توانهای   ۱۰۰، ۱۱۰ و ۱۲۰  وات و در اتاق دیگر سه کلید برق کاملا" شبیه بهم موجود است( لطفا" به شکل زیر نگاه کنید ). ما نمیدانیم کدام کلید کدام چراغ را روشن میکند( مثلا" نمیدانیم آیا کلید وسطی مربوط است به چراغ وسطی یا به چراغهای دیگر اما بطور قطع میدانیم که هر کدام از کلید ها یکی از چراغها را روشن میکند. همچنین ترتیب چراغها را هم نمیدانیم ). زحمتی که برای شما داریم اینستکه برای ما معلوم کنید که کدام کلید مربوط به کدام چراغ است.

                                                             

در شروع، شما باید در اتاق کلیدها باشید و کارتان را از آنجا آغاز کنید. شما میتوانید هر چند مرتبه که بخواهید کلیدها را روشن و خاموش کنید. شما تنها هستید و نمیتوانید از کسی کمک بگیرید و هیچگونه وسیله ای هم خواه برقی خواه غیر برقی بهمراه ندارید و مهمتر از همه شما حق ندارید بیش از یکبار وارد اتاق چراغها شوید و وقتیکه وارد شدید و بیرون آمدید، دیگر نمیتوانید مجددا" وارد آن اتاق بشوید. از لای در هم نمیتوانید به داخل اتاق چراغها سرک بکشید. در حقیقت سرک کشیدن مثل داخل شدن است.

 

خب، مثل اینکه همه راه ها را بر شما بسته ام و زحمتی نشدنی بر دوش تان گذاشته ام. اینطور فکر میکنید؟ اگر اینطور فکر میکنید در اشتباهید. هنوز یک راه باز است. آیا میتوانید آنرا پیدا کنید؟

حل را در ادامه مطلب مطالعه کنید( روی ادامه مطلب فقط وقتی کلیک کنید که واقعا" به اندازه ی کافی به معما فکر کرده اید! )


ادامه مطلب
نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 10:29 قبل از ظهر |  لینک ثابت   • 

پنجشنبه 11 بهمن1386

اعداد صحیح

 

موضوع:اعداد صحیح

یک اشاره - یک تدریس

در این مطلب سعی شده که مفاهیم ریاضی به زبان ساده که زبان خود دانش آموزان نیز است معرفی شود.

 


ادامه مطلب
نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 9:22 بعد از ظهر |  لینک ثابت   • 

پنجشنبه 11 بهمن1386

ریاضی زیباست؟!

 

ریاضی زیبا و شگفت انگیز است

 

از زیبایی ها و شگفتی های ریاضی سخن گفتن آسان است اما درک آن متاسفانه برای همه کس آسان نیست. زیبایی های صوری را همه می بینند و همه هم تقریبا" بیک اندازه از آنها لذت می برند. اگر منظره ای یا صورتی یا تابلویی در نظر شما زیبا باشد، همان منظره، صورت یا تابلو در نظر دیگران هم کم و بیش به همان اندازه زیبا خواهد بود و دیگران هم از آنها تقریبا" به همان اندازه که شما لذت میبرید، لذت خواهند برد. اما زیباییهای ذهنی و لذت بردن از آنها مستلزم داشتن زمینه ی ذهنی مناسب است. بعنوان مثال، عرفان و فلسفه عرصه هایی از اندیشه بشری هستند که کاملا" ذهنی اند. اگر کسی بخواهد این رشته ها را درک کند و آنچه که فلاسفه و عرفا و رهروان این طرق زیبایی نامیده اند را ببیند و احساس کند راهی ندارد جز آنکه الفباء این عرصه های تفکر را بیاموزد و از  "هفت شهر" آنها بگذرد و مراحل و مراتب آنها را طی کند تا زمینه های لازم را برای ذهن خود بمنظور درک آن زیبایی ها فراهم نماید و از این راه به شناخت و لذت برسد.

 

ریاضییات نیز که محصول مستقیم نبوغ بشر است عرصه ای است ذهنی و از قاعده فوق مستثنا نیست. برای آنکه بتوان زیبایی های آنرا دید و شگفتی ها و عظمت قدرت آنرا در تشخیص و کشف حقیقت و حل مسائل درک کرد باید الفباء آنرا آموخت، اصول آنرا فرا گرفت و با تمرین و ممارست، روزگاری با آنها مانوس بود تا از این راه به درجاتی از شناخت رسید و لذت همنشینی با آنرا احساس کرد. ریاضیات البته عرصه های عملی هم فراوان دارد که مشاهده آثار آنها رضایت مندی و لذتی از نوع دیگر را در انسان ایجاد میکند.  

 

در ریاضیات شش عدد وجود دارند که از بقیه ی اعداد متمایزند زیرا آنها ویژگی هایی دارند که سایر اعداد ندارند. این اعداد عبارتند از : صفر، یک، پی(نسبت محیط دایره به قطر آن)، e  (عدد اویلر)،i   (مبنای اعداد مختلط) و فای(نسبت طلایی). اویلر ریاضیدان سویسی قرن هجدهم رابطه ای بین پنج تا از این اعداد را بصورت این معادله کشف کرد:                     

                                                   

 اگر این معادله را در یک قاب عکس قرار داده و روی دیوار و در کنار تابلوی مونالیزا نصب کنید، در چشم یک ریاضیدان نه تنها هیچ از مونالیزا کم ندارد بلکه میتواند بسیار شگفت انگیز تر هم باشد. مونالیزا را تقریبا" هر کسی به اندازه فهمی که از هنر نقاشی دارد درک میکند و بدیهی است هر چه این فهم عمیق تر و فنی تر باشد، درک هم عمیق تر خواهد بود. اما زیبایی و شگفتی این معادله را تنها کسی میفهمد که با اعداد الفت دراز داشته و بویژه این پنج عدد را شناخته و چگونگی خلقت آنها را فهمیده باشد و بداند که هر چند آنها به ظاهر نزدیک هم اند اما ماهیت آنها به اندازه کهکشانها از یکدیگر دور است ولی وقتی استادانه در کنار هم قرار میگیرند چنان با شوق با یکدیگر می جوشند که تعادلی متقارن و بس زیبا و بدیع بوجود می اورند. تازه این معادله خود حالت خاصی از یک معادله کلی تر، زیبا تر و شگفت انگیز تری است که پای دو نسبت مثلثاتی اصلی را هم به میان میکشد :

 

                              

                                    

                                                        ***************              

                                                                                                                       

 

از این  "تابلو ها" که هر کدام حاصل نبوغ یک ریاضیدان است در دنیای بزرگ ریاضیات فراوان یافت میشود. تقریبا" دو هزار سال پیش  "هارون"  ریاضیدان ، مهندس و مساح رمین های زراعتی در مصر باستان فرمولی کشف کرد که مساحت مثلث را از روی طولهای سه ضلع آن به دست میدهد. اگر طول اضلاع مثلثی را به  a   و  b  و  c  و نصف محیط آنرا به  p   نشان دهیم، آنگاه مساحت مثلث،  A ، از روی فرمول هارون محاسبه میشود :

 

                                                

                               

تقریبا" ششصد سال پس از هارون مصری، براهماگوپتای هندی فرمول مشابهی برای چهار ضلعی محاطی کشف کرد. اگر طول اضلاع یک چهار ضلعی محاطی را به  a   ،   b   ،  c   و  d    و نصف محیط آنرا به p     نشان دهیم، آنگاه مساحت چهار ضلعی،   A   ، از روی فرمول براهماگوپتا محاسبه میشود:

                                       

                                                                                   

     

آیا این فرمولها را با اینهمه سادگی شکل و تقارن جز زیبا چیز دیگری میتوان نامید؟  

               

 

                                                       *************                  

                  

عدد   پی   بدون تردید یکی از مهمترین و اسرار آمیز ترین اعداد ریاضی است. محققین بسیاری در گوشه و کنار جهان از زمان باستان تا به امروز (و بویژه در سالهای اخیر پس از پیدایش کامپیوتر) میلیونها ساعت از وقت خود را صرف مطالعه این عدد اسرارآمیز کرده اند و هر چه بیشتر در باره اش تحقیق میکنند و بیشتر میفهمند، به پیچیدگی و اسرارامیز بودن آن بیشتر افزوده میشود. بیش از 200 بیلیون از ارقام بعد از ممیز آنرا کشف کرده اند اما هرگز انظباطی در ترتیب آنها مشاهده نشده است. چرا ریاضیات که سراسر انظباط است گاهی این چنین بی انظباط میشود که در بیش از 200 بیلیون رقم هم هیچ ترتیبی مشاهده نمیشود؟ تازگی ها محققینی که در باره عدد پی  تحقیق میکنند، به فکر افتاده اند که ممکن است بتوانند گروههایی از ارقام پی را پیدا کنند که به همان صورت گروهی و به شکلی منظم و با قاعده تکرار شوند. آنها این را "نظمی در بی نظمی" نامیده اند اما هنوز نتیجه قطعی حاصل نشده است. با اینهمه آیا این شگفت انگیز و اسرار آمیز نیست که در میان اینهمه بی نظمی ارقام پی، رقمهای 358 ام، 359 ام و 360 ام بعد از ممیز این رشته بی انتها بترتیب اعداد 3 و 6 و 0 هستند که عدد (360) را تشکیل میدهند که درجات موجود در دایره است؟! آیا این یک تصادف است یا یک راز؟  در زیر، عدد پی را تا 360  رقم بعداز ممیز در شش ردیف شصت تایی مشاهده میکنید. بخصوص به سه رقم آخر آن توجه فرمایید :  

 

 

 

حالا شما اگر آرک تانژانت یک، دو و سه را با هم جمع کنید همین عدد اسرار آمیز بسادگی پیدا میشود:

 

                                         

              

نه تنها این معادله به خودی خود زیباست بلکه برهان آن نیز بسیار زیباست خصوصن که به "برهان بی کلام"شهرت یافته است یعنی بوسیله یک "شکل" و در کمال ایجاز این فرمول ثابت میشود                                                                                                                                     

 

یکی از شاگردان من که هزار رقم بعد از ممیز عدد پی را فقط بخاطر تفنن و اینکه قدرت حافظه اش را نشان بدهداز حفظ کرده بود میگفت که برای از حفظ کردن آنها یک "ریتمی" را پیدا کرده است و وقتیکه 45 دقیقه وقت خواست تا در حضور عده ای منجمله روزنامه نگاران آن هزار رقم را روی تخته بنویسد، گروه گروه ارقام را مینوشت و بین این گروهها جاهایی را خالی میگذاشت و بعد بر میگشت و آن جاهای خالی را با ارقام دیگری پر میکرد تا هزار رقم کامل شد. قابل توجه است که بدانید رکورد حفظ کردن ارقام بعد از ممیز عدد پی متعلق به یک ژاپنی بنام Hiroyuki Goto  است که در سال 1995 توانست 42195 رقم را حفظ کند.

                                                                                                             

                                                             ***************          

 

       در حدود 2300 سال پیش، اقلیدس ثابت کرد که اعداد اول پایان ناپذیرند. برهان او تا به امروز یکی از زیبا ترین برهان های علم ریاضی و از شاهکار های ریاضیات استدلالی است که بواسطه سادگی و ایجاز، بسیار قابل تحسین است. البته برهان های دیگری هم هستند که در مقام خود زیبا و ستودنی میباشند ولی برهان اقلیدس چیز دیگری است. او چنین استدلال کرد: اعداد اول بی پایانند اما اگر کسی ادعا کند که پایانی بر اعداد اول وجود دارد، اجازه دهید آن "بزرگترین" عدد اول را   PL   بنامیم( مخفف The Last Prime )، پس سلسله اعداد اول از ابتدا تا انتها خاهد شد :

 

                             

                                                            

     

حالا همه این اعداد را در هم ضرب کرده و به حاصلضرب آنها یکواحد اضافه میکنیم و نام این عدد جدید را Q میگذاریم :

                         

  Q عدد جالبی است. اگر آنرا بر هر یک از اعداد اول موجود (از  2  گرفته تا  PL ) تقسیم کنیم، باقیمانده هر تقسیم برابر یک خواهد شد. پس  Q  خود "اول" است و بدیهی است که از  PL  هم بزرگتر است( چون برابر است با حاصلضرب    PL در تمام اعداد اول موجود قبل از آن، به اضافه یک ). پس PL  بزرگترین عدد اول نیست و Q  از آن بزرگتر است. این روش استدلال ریاضی را در فارسی، برهان خلف ، در انگلیسی Proof by Contradiction و در لاتین Reductio ad Absurdum میگویند.

 

شگفتیهای ریاضیات چون سلسله اعداد بی پایانند. تردید دارم که در سایر رشته هایی که از نبوغ بشر سرچشمه گرفته و زاده شده اند، اینهمه رمز و راز و شگفتی پیدا شود که در ریاضیات هست. باید ریاضیات را مطاله کرد تا به این زیبایی ها و شگفتی ها پی برد.

 

"نسبت طلایی" که به حرف یونانی فای نشان داده میشود و امیدوارم در فرصت مناسبی بتوانم مقاله ای جداگانه در باره آن خدمتتان تقدیم کنم، یکی از شگفتیهای بزرگ اعداد است. فای از دوران باستان شناخته شده و در زمینه های هنر و معماری بسیار به کار برده شده است لیکن تحقیقاتی که اخیرا" روی آن شده نقش حیرت انگیز و باور نکردنی آنرا در طبیعت بیشتر آشکار ساخته است. نسبت طلایی یا عدد طلایی عددی است تقریبا" برابر  1.618  و تحقیقا" برابر

                                                                     

که ظاهرا" هیچ فرقی با اعداد گنگ دیگر ندارد جز آنکه مقدار عددیش متفاوت است. اما در حقیقت عددی است بسیار مخصوص و اسرار آمیز. این عدد چطور بوجود میاید؟

 

مربع ABCD  را در نظر بگیرید با طول ضلع یکواحد( شکل زیر ). نقطه ی O  وسط ضلع CB  است. به مرکز این نقطه و به شعاع  OA کمانی بکشید تا امتداد CB را در نقطه ی Q قطع کند. مربع مستطیلPQCD  یک  "مستطیل طلایی" است و نسبت طول به عرض آن برابر  1.618  میباشد.

                                          

 گفته شده است که چنین مستطیلی به چشم انسان زیباتر از سایر مستطیل ها است. بهمین دلیل از دوران باستان تا به امروز در معماری بسیار به کار رفته است و امروز هم وقتی میخواهند چیزی را مستطیل شکل بسازند که چشم نواز هم باشد آنرا به شکل مستطیل طلایی میسازند یعنی اگر طولش را بر عزضش تقسیم کنیم عددی نزدیک به  1.6  بدست میاید. به عنوان مثال کارتهای اعتباری، گواهینامه رانندگی و کارتهای تلفن همگی به مستطیل طلایی نزدیک اند. نسبت طلایی در ساختمان بسیاری از قسمتهای بدن انسان منجمله دست، صورت، ضربان قلب، اندازه  DNA و غیره، همچنین در ساختمان بدن گیاهان و جانوران مشاهده شده است. مثلا" نسبت طول ساعد انسان (از آرنج تا مچ دست) را بر طول کف دست برای تعداد زیادی از انسانها محاسبه کرده و معدل گرفته اند : عددی نزدیک به    1.6 بدست آمده است. (در مورد من این نسبت  27 cm  به  19 cm  است که برابر  1.42 میباشد)

 

                    

 و نیز وقتیکه مولکول DNA   را در یک مستطیل محاط کنید بطوریکه اضلاع مستطیل مماس بر آخرین اتمهای مولکول از چهار جهت باشند، مستطیل طلایی بدست خواهد آمد.

                                     

 حتی در انجیل نیز اشاره ای به نسبت طلایی شده است، بهمین دلیل این نسبت را از قدیم  "نسبت الهی" هم گفته اند و گروهی را عقیده بر این است که در خلقت جهان هستی و کاینات این نسبت نقش ویژه ای دارد.

 

رشته ی فیبوناچی که توسط کشیشی مسیحی به همین نام(Leonardo Fibonacci, 1170-1240 ) ساخته شد رشته ایست که هر ترم آن از جمع کردن دو ترم قبلی اش بوجود میاید. اگر این رشته را با صفر شروع کنیم، بیست ترم اول آن خواهد شد

 

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181                        

 

اگر هر ترم این رشته را بر ترم قبلی اش تقسیم کنیم، نسبت طلایی بدست میاید و هر چه که دو ترم انتخاب شده بزرگتر باشند خارج قسمت آنها به مقدار تحقیقی نسبت طلایی نزدیکتر میشود. البته  اجباری نداریم رشته فوق را با صفر شروع کنیم، میتوانیم آنرا با هر عدد مثبت دلخواهی( بعنوان ترم یکم )شروع کنیم وآنرا با عدد قبلی اش جمع نماییم تا ترم دوم بدست آید و این ترم را نیز با ترم قبلی اش جمع کنیم تا ترم سوم حاصل شود و همینطور... این رشته البته دیگر رشته فیبوناچی نیست و ما میتوانیم مثلا" نام خودمان را روی آن بگذاریم! بعنوان مثال اگر ترم اول را  81  انتخاب کنیم، آنگاه خواهیم داشت :

 

81, 161, 242, 403, 645, 1048, …                                                                                           

 

در اینجا نیز اگر هر ترم را بر ترم قبلی اش تقسیم کنیم، خارج قسمت، "نسبت طلایی" خواهد شد و هر چه جلوتر برویم این نسبت دقیقتر میشود.

 

حالا یک عدد مثبت انتخاب کنید و آنرا وارد یک ماشین حساب نمایید. جذر آنرا بگیرید و به آن یکواحد اضافه کنید. باز جذر عدد حاصل را بگیرید و به آن یکواحد اضافه کنید و اینکار را چندین مرتبه تکرار نمایید. با کمال  تعجب خواهید دید که حاصل محاسبات پس از نوسانهای زیاد به نسبت طلایی نزدیک میشود و هر چه چرخه فوق را بیشتر تکرار کنید به مقدار تحقیقی آن نزدیکتر خواهید شد. اگر عدد انتخابی شما یک باشد، آنگاه نسبت طلایی برابر خواهد شد با :

 

                                                 

 

این مرتبه عدد مثبت دلخواه دیگری بگیرید، آنرا معکوس کنید و به آن یکواحد اضافه نمایید. حاصل را باز معکوس کنید و به آن یکواحد اضافه نمایید و اینکار را چندین مرتبه دیگر هم تکرار کنید. باز پس از نوسانهای زیاد، به نسبت طلایی میرسید. اگر این مرتبه نیز عدد انتخابی شما یک باشد، آنگاه نسبت طلایی برابر خواهد شد با :

 

                                                        

آنچه قابل ملاحظه است اینستکه محاسباتی که در سه چهار آزمایش فوق انجام گرفت، الگوریتمی کاملا" متفاوت با هم دارند :

 "جمع کردن با ترم قبلی" و "جذر گرفتن و اضافه نمودن یک" و "معکوس نمودن و اضافه کردن یک" ماهیتی کاملا" متفاوت دارند ولی با کمال تعجب حاصل همگی یک چیز است : نسبت طلایی.

 

آیا میتوان این پدیده ها را جز "زیبا و شگفت انگیز" چیز دیگری نامید؟

 

                                                       ********************

 

از چند هزار سال پیش به اینطرف که بشر هندسه اقلیدسی را آموخت و با مفاهیم، اصول و قضایای آن آشنا گشت، همواره این اصل بدیهی راپذیرفته بود که هر شکل مسطحی، خواه کوچک باشد خواه بزرگ، هم مساحتش معین است و هم محیطش. مثلا" اگر قطعه زمینی دارای مساحتی برابر با  1000  متر مربع باشد،بسته به اینکه چه شکلی داشته باشد، دارای محیط مشخصی خواهد بود : مثلا" اگر به شکل دایره باشد محیطش  112  متر است و اگر به شکل یک مثلث متساوی الاضلاع باشد، محیطش  144  متر خواهد شد. سرزمین ایران دارای مساحتی تقریبا" برابر    1, 648, 000کیلومتر مربع است. اگر ایران به شکل یک دایره بود پیرامونی برابر  4551  کیلومتر میداشت. اگر این مسافت را با خودرویی که سرعتش صد کیلومتر در ساعت است طی کنیم، تقریبا"  46  ساعت طول میکشد تا این مسافت را بپیماییم. اگر ایران به شکل یک مربع بود، پیرامونش  5135  کیلومتر میشد که با همان خودرو ظرف تقریبن  51  ساعت میتوانستیم یک دور کامل بدور آن بزنیم.

 

در حدود صد سال پیش یک ریاضیدان سوئدی بنام کخ(Niels Fabian Helge von Koch, 1870-1924 ) وقتیکه مشغول مطالعه اشکال هندسی بود و مساحت ها و محیط های آنها را بررسی میکرد، متوجه یک خاصیت غیر عادی و تا حدودی پارادوکسیکال در برخی از آنها شد. او کشف کرد که میتوان شکلهایی ترسیم نمود که اندازه مساحتشان معین، اما اندازه محیطشان بینهایت باشد و جالب اینجاست که الزامی هم ندارد که این چنین شکلهایی بسیار بسیار بزرگ باشند تا محیطشان بینهایت شود، برعکس میتوانند به بزرگی یک کف دست باشند و در عین حال محیطشان بینهایت باشد. برای اینکه این موضوع بهتر درک شود به مثال زیر توجه فرمایید :

 

 فرض کنید که یک مثلث متساوی الاضلاع دارید که هر ضلع آن  81  سانتیمتر است. هر ضلع را به سه قسمت مساوی تقسیم کنید( هر یک 27 سانتیمتر )و قسمت میانی را بردارید و بجای آن یک مثلث متساوی الاضلاع که طول هر ضلع آن  27  سانتیمتر باشد( بدون قاعده، مطابق شکل زیر )قرار دهید تا ستاره شش پر درست شود. محیط این ستاره متشکل از  12  قطعه خط است هر یک به طول  27  سانتیمتر. هر یک از این قطعه خط ها را به سه قسمت مساوی تقسیم کنید( هر یک 9 سانتیمتر )و مثل دفعه قبل، قسمت میانی آنرا بردارید و بجایش یک مثلث متساوی الاضلاع با ابعاد  9  سانتیمتر( باز بدون قاعده )قرار دهید تا ستاره  18  پر درست شود.

 

                       

 اگر اینکار را بینهایت مرتبه انجام دهید، شکلی حاصل میشود که شبیه دانه های کریستال برف در زیر میکروسکوپ است و بهمین دلیل هم آنها را شکلهای دانه برفی( Snowflake Curves )میگویند.

                     

با استفاده از فرمولهای تصاعد هندسی میتوان ثابت کرد که مساحت چنین شکلهایی بسوی مقدار معینی میل میکند در حالیکه پیرامونشان بسوی بینهایت میرود( نگاه کنید به مسئله شماره   )

 

اگر به شکلهای فوق با دقت نگاه کنید، خواهید دید که همه آنها در یک مربع معین محاط شده اند.  صرفنظر از اینکه چند مرتبه اضلاع مثلث ها را کوچک وکوچکتر کنید، اشکال جدید حاصل، هر گز از مربع محیطی خود خارج نمیشوند و بهمین دلیل هم مساحت آنها همواره کمتر از مساحت مربع است ولی جالب اینجاست که در همین مربع محدود، محیط این دانه های برفی با افزایش تعداد مثلثهای بدون قاعده افزایش یافته و بسوی بینهایت میل میکند.

 

اگر تکه ای کوچک از یک منحنی برفی را در زیر ذره بین بزرگ کنیم، شکلی دقیقا" شبیه دانه بزرگتر آن بدست میاید. اشکالی که چنین خاصیتی را دارا هستند، اشکال شکسته( Fractals )نامیده میشوند و ان بخش از هندسه که در باره این اشکال گفتگو میکند، هندسه اشکال شکسته(Fractal Geometry )نام دارد.

 

در آزمایش فوق اگر بجای مثلث متساوی الاضلاع، مثلن با یک مربع شروع میکردید، و در وسط هر ضلع آن، مربع کوچکتری( با اضلاع مثلا" 4/1 )میگذاشتید و اینکار را بینهایت مرتبه تکرار میکردید باز شکلی دانه برفی منتها با مساحت دیگری بدست میامد ولی محیطش بهر حال بسوی بینهایت میرفت.

 

                                                 ***********************

 

در سال  1949  یک ریاضیدان هندی به نام کاپرکار( Kaprekar, 1905-1988 )ویژگی جالبی را در اعداد کشف کرد و در مقاله ای در همان سال منتشر نمود. او کشف خود را اینطور توضیح داد : یک عدد چند رقمی انتخاب کنید( مثلن 8952 ). ارقام آنرا یکبار بصورت نزولی مرتب کنید( 9852 )و یکبار هم بصورت صعودی( 2589 )تا "بزرگترین" و "کوچگترین" عدد با همان ارقام حاصل آید. تفاضل این دو عدد را بدست آورید( 7263 )و با این عدد نیز همان کاری را بکنید که با عدد انتخابی خود کردید : یعنی ارقام آنرا بصورت نزولی و بعد بصورت صعودی مرتب کنید( 7632 و 2367 )و تفاضل آنها را بدست آورید و اینکار را چند مرتبه دیگر هم تکرار کنید. با کمال تعجب خاهید دید که همیشه به یک عدد ثابت خواهید رسید. اگر عدد انتخابی شما چهار رقمی بوده باشد عدد ثابتی که همواره در عاقبت به آن میرسید  6174  خواهد بود. این عدد را "ثابت کاپرکار برای چهار رقمی ها" میگویند. این آزمایش را با یک عدد سه رقمی یا پنج رقمی هم انجام دهید. خواهید دید که برای هر عدد  n- رقمی یک " ثابت کاپرکار" مخصوصی وجود دارد که تغییر ناپذیر است.

 

 از آن تاریخ تا کنون و بخصوص در سالهای اخیر و با استفاده از کامپیوتر تحقیقات زیادی روی این اکتشاف شده و نتایج جالبی هم بدست آمده است. مثلا" معلوم شده که دقیقا"  63  عدد سه رقمی هستند ( مثل  212 و 787 و غیره )که این خاصیت را ندارند و در نهایت به صفر منتهی میشوند در حالیکه سایر اعداد سه رقمی ظرف حد اکثر شش چرخه به عدد  495  ( ثابت کاپرکار برای سه رقمی ها )میرسند.  همچنین معلوم شده است که دقیقا"  77  عدد چهار رقمی هستند( مثل  4544 و 5556 وغیره )که این خاصیت را ندارند و باز به صفر منتهی میشوند در حالیکه بقیه ی اعداد چهار رقمی ظرف حد اکثر هشت چرخه به عدد  6174  ( ثابت کاپرکار برای چهار رقمی ها )میرسند.

 

براستی چرا این اتفاقات میافتند و چگونه میتوان اینهمه نظم و آنهمه بی نظمی را توضیح داد؟ آیا در همه آن بی نظمی ها خود نظمی نهفته نیست که هنوز بر ما پوشیده است؟

 

همانگونه که قبلا" گفته شد شگفتی ها و زیبایی های ریاضییات پایانی ندارند. تحقیقات ریاضیدانان و جستجوگران دایمن پرده از روی آنها برمیدارد و جلوه دیگری از رازهای درون آنها را آشکار میکند، رازهایی که همواره در طی قرون برای بشر جذاب و تحسین بر انگیز بوده اند. آنچه در این مقاله در مورد زیبایی ها و شگفتی های ریاضییات گفته شد چون قطره ای بود از دریا. امیدوارم در طول مطالعه ی خود از ریاضییات، با چشم زیبا بین، و با تعمق در جزئیات هر مطلبی که مطالعه میکنید و بخصوص با توجه عمیق به الگوهای ریاضی که سر شار از نظم( و گاهی بی نظمی )هستند بتوانید زیبایی ها و شگفتی های بیشتری ببینید و شاید خود روزی در میان آنهمه بی نظمی، نظمی کشف کنید و یک شگفتی جدید خلق نمایید. پایان

 

نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 5:32 بعد از ظهر |  لینک ثابت   • 

پنجشنبه 11 بهمن1386

چرا ریاضی؟

چرا باید ریاضیات خواند؟

 

 

رفاه مادی و آسایشی که بشر امروز از آن برخوردار است در پرتو دانش و فن آوری مدرن و مهندسی و سایر علوم بویژه فیزیک، شیمی، بیولوژی و رشته های مربوط به آنها بدست آمده است. در مطالعه این رشته ها و تقریبا" هر رشته دیگر دانشگاهی، دانشجو بدانستن سطح معینی از ریاضیات نیازمند است. بیشترین معلومات ریاضی برای مطالعه در رشته های مهندسی، فیزیک و شیمی مورد نیاز است. سایر رشته ها مانند پزشکی، روانشناسی، جامعه شناسی، بیولوژی، کشاورزی، بازرگانی، تجارت، بانکداری و ده ها رشته دیگر اگر چه ظاهرا" ارتباط زیادی با ریاضیات ندارند – و در حقیقت تا صد سال قبل هم این رشته ها تکیه زیادی بر ریاضیات نداشتند – اما در شکلهای مدرن و امروزی خود، این رشته ها دارای تئوری هایی هستند که درک آنها و کار بردشان شدیدا" بستگی به آمار و تکنیک های ریاضی دارد. تهیه آمار از طریق جمع آوری اطلاعات و تجزیه و تحلیل آنها که تنها به روشهای ریاضی و یا با استفاده از کامپیوتر امکان پذیر است، امروزه یکی از راه های مهم حل مسائل علوم تجربی و مسائل موجود در جوامع بشری است. حتی رشته های مختلف علوم کامپیوتری هم بدون ریاضیات بخوبی به پیش نمیروند.

 

ریاضیات تنها زبانی است که پدیده های طبیعی جهان هستی را بخوبی توضیح میدهد. ریاضیات حتی پدیده های اجتماعی _خواه اجتماعات بشری، خواه اجتماعات حیوانی_ را نیز میتواند بخوبی تشریح کند و با ترسیم مدلی برای آنها تغییرات آتی آنها را پیش بینی نماید. لوباچفسکی (1) میگوید : "هیچ شاخه ای از علم ریاضی _هر اندازه هم که انتزاعی و مجرد باشد_ وجود ندارد که یک روز کاربردی برای آن در توضیح پدیده های دنیای واقعی پیدا نشود." از کهکشان ها و حرکت سیارات عظیم به دور خورشید ها گرفته تا حرکت ابر ها، بادها، گردبادهاو از پرواز فضا پیما های غول پیکر و هوا پیماهای عظیم الجثه و حرکت قطارها، کشتی ها و اتومبیل ها گرفته تا افتادن سیبی از درخت و سقوط قطرات باران و حدوث رنگین کمان و حرکت بی امان و خستگی ناپذیر الکترون ها به دور هسته اتم ها و فعل و انفعالات شیمیایی که میلیون ها از آن هر لحظه در طبیعت رخ میدهد و هر گونه  "تغییر" در هر چیز و هر زمان، همه و همه با کمک مدلها و معادلات ریاضی قابل بر رسی هستند. قسمت عمده فیزیک با زبان ریاضی قابل تشریح و فهم است. تئوری کوانتوم و تئوری نسبیت با زبان ریاضی است که کوشش دارند قوانین کائنات را تشریح کرده و توضیح دهند.

 

گالیله میگوید : " جهان هستی همواره در برابر دیدگان حیرت زده انسان گسترده خواهد ماند و انسان هرگز نمیتواند آنرا درک کند مگر اینکه زبانی را که این جهان با آن نوشته و توضیح داده شده است یاد بگیرد و حروف آنرا بشناسد. این زبان چیزی جز ریاضیات نیست و این حروف جز مثلث، دایره و سایر اشکال هندسی چیز دیگری نیستند. بدون این زبان انسان حتی یک کلمه از جهان هستی را نخواهد فهمید و همواره گمشده ای را ماند که در کوچه های پر پیچ و خم سرگردان است."

 

ریاضیات روش " منطقی فکر کردن" و  "واقع بین بودن" را میاموزد. ریاضیات خالی از حدس و گمان و بدور از آن است. اثبات هر قضیه یا شکل دادن هر تئوری و استخراج هر فرمول بر اساس منطق و استدلال ریاضی است و وقتیکه یکی از این قضایا یا فرمول ها ثابت شد دیگر مرور زمان روی آن اثری نخواهد گذاشت. قضیه فیساغورس در هندسه اقلیدسی بیش از 2500 سال عمر دارد و با بیش از 250 روش مختلف ثابت شده است. همه این روشها یک حقیقت واحد را ثابت کرده اند، حقیقتی که تا به امروز تغییر نکرده و در آینده نیز تغییر نخواهد کرد. سایر قضایای ثابت شده ریاضی نیز همین طورند و دیگر تغییر نمیکنند و گذشت زمان روی آنها اثری ندارد، در حالیکه برخی از نظریه هایی که در سایر رشته های علوم_ بویژه علوم تجربی _مطرح میشوند بمرور زمان کهنه شده و عوض میشوند. دیگران میایند و با تجربه ها و مشاهدات جدید خود نظریه ها را عوض میکنند یا آنها را بهبود می بخشند و به روز میکنند.

 

بسیاری از مردم فکر میکنند که فارغ التحصیل رشته ریاضی فقط کار آیی و کفایت در تدریس ریاضیات را دارد و بس در حالیکه امروزه در غرب، بسیاری از کار فرما ها منجمله دولت ها برای استخدام در بخش های مختلف سازمان ها و نهاد های خود علاقمندند متخصصینی را که استخدام میکنند، دارای پشتوانه خوبی از ریاضیات نیز باشند و بویژه قادر به تجزیه و تحلیل مسائل موجود در آن کار و مطابقت دادن آنها با مدلهای ریاضی و بالاخره حل مسئله باشند.

 

اینها برخی از دلائلی بودند که آموختن ریاضیات را در عصر امروز ضروری میکنند. اما آموختن ریاضیات یک دلیل دیگر هم دارد و آن اینستکه برای بسیاری از انسانها ریاضیات از جذابیت خاصی برخوردار است و آن پی بردن به شگفتی ها و اسرار و زیبایی هایی است که این دانش در ذات خود نهفته دارد.

نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 5:27 بعد از ظهر |  لینک ثابت   • 

پنجشنبه 11 بهمن1386

کوه و جاده

مسئله کوه و جاده

 

 

فیروزه و فرشته نقشه برداران وزارت راه و ترابری هستند. در یک روز آفتابی که برای انجام ماموریتی در حال مسافرت بودند در سمت چپ بزرگراه مستقیمی که روی آن رانندگی میکردند و در دور دستها کوه بلند و زیبایی را مشاهده کردند با قله ای پوشیده از برف. کنجکاو شدند بفهمند بلندی کوه چقدر است و فاصله ی آن تا جاده چه اندازه است.

 

در یکی از توقفگاههای کنار جاده ترمز کردند( نقطه A ) و دوربین نقشه برداری خود را روی سه پایه گذاشته و به قله ی کوه نشانه رفتند و زاویه ی دید قله را اندازه گیری کردند : شد 6 درجه. سوار اتومبیل خود شده و بیست کیلومتر دیگر رانندگی کردند و در یک توقفگاه دیگر( نقطه B  ) زاویه ی دید قله را دوباره اندازه گیری کردند : این بار شد 7 درجه. باز سوار بر اتومبیل خود شده و پانزده کیلومتر دیگر رفتند و در توقفگاه سوم( نقطه C ) زاویه ی دید قله را اندازه گرفتند : شد 4 درجه.

 

                                         

 

آنگاه برای رفع خستگی نشستند تا یک فنجان چای بنوشند. در همین حال قلم و کاغذ و یک ماشین حساب بیرون آوردند و ظرف کمتر از یکساعت، هم بلندی کوه را محاسبه کردند و هم فاصله ی آنرا تا جاده  بدست آوردند. شما میدانید آنها چطور این مجهولات را پیدا کردند؟ خب، شما هم آستین هایتان را بالا بزنید، قلم و کاغذ و یک ماشین حساب بردارید و دست به کار حل مسئله شوید!

 

جواب :  بلندی کوه (h= 1832.6 m ) و فاصله ی آن تا جاده (d= 12.62 km ) است. 

 

حل در ادامه مطلب......


ادامه مطلب
نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 5:24 بعد از ظهر |  لینک ثابت   • 

پنجشنبه 11 بهمن1386

شتر و حمل گندم

مسئله ی شتر و حمل گندم

 

 

میخواهیم شما زحمت بکشید و برای ما ده تن گندم را از شیراز به کرج که فاصله شان از یکدیگر هزار کیلومتر است( اینطور فرض کنید )منتقل نمایید. تنها وسیله ی نقلیه ای هم که در اختیارتان خواهیم گذاشت یک شتر است. بله، درست شنیدید، یک شتر. باور بفرمایید خیلی گشتیم تا در شهر گل و بلبل برای شما شتر پیدا کردیم! اما زیاد نگران نباشید، این شتردر اصل اهل شگفت آباد است و یک جورهایی عجیب و غریب است. مثلا"میتواند تا یک تن گندم بر پشت خود حمل کند و هفته ها و ماه ها، شب و روز بدون لحظه ای توقف یا خواب و بدون آنکه خسته شود راه برود. بیچاره برای اینهمه کار طاقت فرسا، خیلی هم کم توقع است و برای هر کیلومتر که راه میرود، فقط یک کیلو گرم از گندمی را که بر پشت خود دارد میخورد. شما برای ما حساب کنید ببینید با چنین شتری حد اکثر چند تن گندم را میتوانید در کرج تحویل ما بدهید.

                               

                                                        

                                                            ***************

 توضیح: روشن است که شما در شروع کار در شیراز وقتی یک تن گندم را بر شتر میگذارید او را یکراست به کرج نخواهید برد زیرا نه تنها همه هزار کیلوگرم گندم در طول هزار کیلومتر راه خورده خواهد شد و  دیگر چیزی باقی نمیماند که شما در کرج تخلیه کنید بلکه در آنجا با این مشکل نیز روبرو خواهید بود که دیگر گندمی ندارید که شتر بتواند بخورد تا باز به شیراز برگردد. شما حتی او را تا نیمه راه( بگویید تا اصفهان )هم نخواهید برد زیرا باز تمام هزار کیلوگرم گندم در رفت و برگشت خورده خواهد شد و چیزی در اصفهان تخلیه نخواهد گردید.

 

نتیجه میگیریم که شما باید ایستگاهی بین شیراز و اصفهان انتخاب کنید و گندم ها را به آن ایستگاه منتقل نمایید. اینکه از ده تن گندم چه مقدار آنرا در این ایستگاه تخلیه خواهید کرد البته بستگی دارد به فاصله ایستگاه تا شیراز. بعد باید ایستگاه دیگری که فاصله اش از ایستگاه اول بیش از پانصد کیلومتر نباشد انتخاب نمایید و گندمها را از ایستگاه اول بدانجا منتقل کنید و همینطور ایستگاه به ایستگاه گندمها را جلو ببرید تا بالاخره به کرج برسید. اینکه در عاقبت چند تن گندم را به کرج خواهید رساند بستگی تمام دارد به تعداد ایستگاههایی که انتخاب میکنید و فاصله ی آنها از یکدیگر.

 

زیبایی و جذابیت مسئله هم درست در همین جا است. چون از نظر ریاضی میتوان به بینهایت طریق این ایستگاهها را انتخاب نمود و گندمها را منتقل کرد اما فقط یکی از این طرق از بقیه بهتر است که اجازه میدهد بیشترین مقدار گندم را به کرج رساند و این راهی است که شما باید پیدا کنید!

 

این مسئله اگر چه در نظر اول بسیار ساده مینماید ولی بدون اغراق یکی از مشکل ترین و در عین حال یکی از جذاب ترین مسائل جبر است که من در طول بیش از سه دهه تدریس ریاضیات با آن برخورد کرده ام. یقین دارم که دست کم یکی دو ساعت از وقت بیشتر علاقمندان را خواهد گرفت تا حل شود _ اگر حل شود!

 

نظر من بیشتر به راه حل تحلیلی مسئله است( به روش جبر یا به روش کلکولس ) اما راه حل کامپیوتری نیز به همان اندازه ارزش دارد. در پایان، برای آنکه اعتماد بنفس شما را در حل مسئله افزایش دهم باید بگویم که من یک راه حل منحصر به فرد و زیبا برای این مسئله پیدا کرده ام که در آن تنها از معادله ی درجه اول ساده( در حد کلاس نهم دبیرستان )استفاده میشود. اگر شما جبر را در این حد میدانید حیف است که دست از سر مسئله بردارید! موفق باشید.

 (جواب : حد اکثر  ۱۴۰۰ کیلوگرم، دقیقتر بگویم : ۱۳۹۹ کیلو و ۷۶۷ گرم )      

 

برای دیدن راه حل ادامه مطلب را کلیک کنید

                                                  


ادامه مطلب
نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 2:18 بعد از ظهر |  لینک ثابت   • 

پنجشنبه 11 بهمن1386

هندسه

 

هندسه نا اقلیدسی

علومي كه از يونان باستان توسط انديشمندان اسلامي محافظت و تكميل شد، از قرون يازدهم ميلادي به بعد به اروپا منتقل شد، بيشتر شامل رياضي و فلسفه ي طبيعي بود. فلسفه ي طبيعي توسط كوپرنيك، برونو، كپلر و گاليله به چالش كشيده شد و از آن ميان فيزيك نيوتني بيرون آمد. چون كليسا خود را مدافع فلسفه طبيعي يونان مي دانست و كنكاش در آن با خطرات زيادي همراه بود، انديشمندان كنجكاو بيشتر به رياضيات مي پرداختند، زيرا كليسا نسبت به آن حساسيت نشان نمي داد. بنابراين رياضيات نسبت به فيزيك از پيشرفت بيشتري برخوردار بود. يكي از شاخه هاي مهم رياضيات هندسه بود كه آن هم در هندسه ي اقليدسي خلاصه مي شد.

در هندسه ي اقليدسي يكسري مفاهيم اوليه نظير خط و نقطه تعريف شده بود و پنچ اصل را به عنوان بديهيات پذيرفته بودند و ساير قضايا را با استفاده از اين اصول استنتاج مي كردند. اما اصل پنجم چندان بديهي به نظر نمي رسيد. بنابر اصل پنجم اقليدس از يك نقطه خارج از يك خط، يك خط و تنها يك خط مي توان موازي با خط مفروض رسم كرد. برخي از رياضيدانان مدعي بودند كه اين اصل را مي توان به عنوان يك قضيه ثابت كرد. در اين راه بسياري از رياضيدانان تلاش زيادي كردند و نتيجه نگرفتند. خيام ضمن جستجوي راهي براي اثبات "اصل توازي" مبتكر مفهوم عميقي در هندسه شد. در تلاش براي اثبات اين اصل، خيام گزاره هايي را بيان كرد كه كاملا مطابق گزاره هايي بود كه چند قرن بعد توسط واليس و ساكري رياضيدانان اروپايي بيان شد و راه را براي ظهور هندسه هاي نااقليدسي در قرن نوزدهم هموار كرد. سرانجام و پس از دو هزار سال اصولي متفاوت با آن بيان كردند و هندسه هاي نااقليدسي شكل گرفت. بدين ترتيب علاوه بر فلسفه ي طبيعي رياضيات نيز از انحصار يوناني خارج و در مسيري جديد قرار گرفت و آزاد انديشي در رياضيات آغاز گرديد.

1-5 اصطلاحات بنيادي رياضيات

طي قرنهاي متمادي رياضيدانان اشياء و موضوع هاي مورد مطلعه ي خود از قبيل نقطه و خط و عدد را همچون كميت هايي در نظر مي گرفتند كه در نفس خويش وجود دارند. اين موجودات همواره همه ي كوششهاي را كه براي تعريف و توصيف شايسته ي آنان انجام مي شد را با شكست مواجه مي ساختند. بتدريج اين نكته بر رياضيدانان قرن نوزدهم آشكار گرديد كه تعيين مفهوم اين موجودات نمي تواند در داخل رياضيات معنايي داشته باشد. حتي اگر اصولاً داراي معنايي باشند.

بنابراين، اينكه اعداد، نقطه و خط در واقع چه هستند در علوم رياضي نه قابل بحث است و نه احتياجي به اين بحث هست. يك وقت براتراند راسل گفته بود كه رياضيات موضوعي است كه در آن نه مي دانيم از چه سخن مي گوييم و نه مي دانيم آنچه كه مي گوييم درست است.

دليل آن اين است كه برخي از اصطلاحات اوليه نظير نقطه، خط و صفحه تعريف نشده اند و ممكن است به جاي آنها اصطلاحات ديگري بگذاريم بي آنكه در درستي نتايج تاثيري داشته باشد. مثلاً مي توانيم به جاي آنكه بگوييم دو نقطه فقط يك خط را مشخص مي كند، مي توانيم بگوييم دو آلفا يك بتا را مشخص مي كند. با وجود تغييري كه در اصطلاحات داديم، باز هم اثبات همه ي قضاياي ما معتبر خواهد ماند، زيرا كه دليل هاي درست به شكل نمودار بسته نيستند، بلكه فقط به اصول موضوع كه وضع شده اند و قواعد منطق بستگي دارند.

بنابراين، رياضيات تمريني است كاملاً صوري براي استخراج برخي نتايج از بعضي مقدمات صوري. رياضيات احكامي مي سازند به صورت هرگاه چنين باشد، آنگاه چنان خواهد شد و اساساً در آن صحبتي از معني فرضها يا راست بودن آنها نيست. اين ديدگاه (صوريگرايي) با عقيده ي كهن تري كه رياضيات را حقيقت محض مي پنداشت و كشف هندسه هاي نااقليدسي بناي آن را درهم ريخت، جدايي اساسي دارد. اين كشف اثر آزادي بخشي بر رياضيدانان داشت.

2-5 اشكالات وارد بر هندسه اقليدسي

هندسه ي اقليدسي بر اساس پنچ اصل موضوع زير شكل گرفت:


ادامه مطلب
نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 2:5 بعد از ظهر |  لینک ثابت   • 

پنجشنبه 11 بهمن1386

مساله

یک مساله ریاضی

           

احتمالا با قضیه‌ی آخر فرما آشنایی دارید. پیر فرما ، ریاضی دان بزرگ فرانسوی ، در حدود 350 سال

پیش مساله‌ای را در نظریه اعداد مطرح كرد كه تا 11 سال پیش كسی موفق به حل آن نشد.

در طول این سالها ریاضی دانان بزرگی وقت زیادی را صرف حل این مساله نمودند ولی هیچ یك نتوانستند مساله را حل كنند.

البته بسیاری از ریاضی دانان مانند گاوس ، اویلر ‌، لژاندر ،‌ سوفی ژرمن ،‌ هاردی ،‌ فالتینگنز ،‌ موردل و ...

و خیلی های دیگر ، هر یك پیشرفتی در حل مساله به وجود آوردند و در نهایت در سال 1994 اندرو وایلز آمریكایی با یك راه حل طولانی و با استفاده از مدرن‌ترین تكنیك های جبری ، توپولوژی و هندسه‌ی جبری

موفق به كامل كردن این پیشرفت ها شد و اثبات این قضیه به نام وی ثبت گردید.

صورت این قضیه این چنین است :

اگر n عددی طبیعی و بزرگتر از 2 باشد ( ) آنگاه معادله‌یدارای

 هیچ جوابی در اعداد صحیح نیست.

و اما سوال مسابقه :

  با استفاده از قضیه آخر فرما ثابت كنید اگر n >2 آنگاه عددی گنگ است.

 

                              

نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 1:45 بعد از ظهر |  لینک ثابت   • 

چهارشنبه 10 بهمن1386

اطلاعیه

برگزاری کلاس ضمن خدمت ریاضی

 راهنمایی شهرستان های

 

کاشمر- خلیل آباد - کوهسرخ

 

 روزهای زوج :آقایان+ خانم های شهرستانهای خلیل آبادوکوهسرخ

 

روزهای فرد: خانم ها

 

مکان: هنرستان محمودیه( واقع در مسیر جاده سیدمرتضی)

 

عنوان دوره : بررسی- تحلیل و روش تدریس ریاضی پایه اول راهنمایی و بازآموزی مبانی علمی

کد دوره: ۹۱۱۰۱۳۰۱

شروع دوره : شنبه ۱۳/۱۱/۸۶

 

ساعت:۵بعدازظهر

 

مدرسین:

 

 آقایان حسن خدادادی - نبی اله ابراهیمی وحسین افشاری

نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 5:56 بعد از ظهر |  لینک ثابت   • 

چهارشنبه 10 بهمن1386

شناخت اعداد صحیح و مفهوم قرینه

 

یک اشاره - یک تدریس

 

در این مطلب سعی شده که مفاهیم ریاضی به زبان ساده که زبان خود دانش آموزان نیز است معرفی شود. 

 


ادامه مطلب
نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 4:34 بعد از ظهر |  لینک ثابت   • 

چهارشنبه 10 بهمن1386

موضوع : جمع و تفریق اعداد گویا.

 

یک اشاره - یک تدریس 

 

در این مطلب سعی شده که مفاهیم ریاضی به زبان ساده که زبان خود دانش آموزان نیز است معرفی شود.


ادامه مطلب
نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 4:32 بعد از ظهر |  لینک ثابت   • 

چهارشنبه 10 بهمن1386

مختصر نویسی عبارت های جبری و جملات متشابه

 

 

یک اشاره -یک تدریس

 

 

 

در این مطلب سعی شده که مفاهیم ریاضی به زبان ساده که زبان خود دانش آموزان نیز است معرفی شود.


ادامه مطلب
نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 4:23 بعد از ظهر |  لینک ثابت   • 

سه شنبه 9 بهمن1386

تدریس

نوشته شده توسط ( نبی اله ابراهيمي) در 5:9 بعد از ظهر |  لینک ثابت   • 
مطالب قدیمی‌تر