نظریه اشوب

نظریه آشوب، به شاخه‌ای از ریاضیات و فیزیک گفته می‌شود که مرتبط با سيستمهايي است که دینامیک آنها در برابر تغییر مقادیر اولیه، رفتار بسيار حساسی نشان می دهد؛ به طوری که رفتار‌های آینده آنها دیگر قابل پیش‌بینی نمی‌باشد. به این سیستم‌ها، سیستم‌های آشوبی گفته می‌شود که از نوع سیستمهای غیرخطی دینامیک هستند و بهترین مثال برای آنها اثر پروانه‌ای، جریانات هوایی و دوره اقتصادی می‌باشد.

این نظریه، گسترش خود را بیشتر مدیون کارهای هانری پوانکاره، ادوارد لورنتس، بنوا مندلبروت و مایکل فایگن‌باوم می‌باشد. پوانکاره اولین کسی بود که اثبات کرد، مساله سه جرم (به عنوان مثال، خورشید، زمین، ماه) مساله‌ای آشوبی و غیر قابل حل است. شاخه دیگر از نظریه آشوب که در مکانیک کوانتومی به کار می‌رود، آشوب کوانتومی نام دارد. گفته می‌شود که پیر لاپلاس یا عمر خیام قبل از پوانکاره، به این مشکل و پدیده پی برده بودند.طی 20 سال گذشته، در حوزه ریاضیات و فیزیک مدرن، روش علمی و تئوری جدید و بسیار جالبی به نام "آشوب" پا به عرصه ظهور گذاشته است. تئوری آشوب، سیستمهای دینامیکی بسیار پیچیده ای مانند اتمسفر زمین، جمعیت حیوانات، جریان مایعات، تپش قلب انسان، فرآیندهای زمین شناسی و ... را مورد بررسی قرار می دهد. انگاره اصلی و کلیدی تئوری آشوب این است که در هر بی نظمی ، نظمی نهفته است. به این معنا که نباید نظم را تنها در یک مقیاس جستجو کرد؛ پدیده ای که در مقیاس محلی، کاملا تصادفی و غیرقابل پیش بینی به نظر می رسد چه بسا در مقیاس بزرگتر، کاملا پایا (Stationary) و قابل پیش بینی باشد.

نقاط تشابهی بین تئوری آشوب و علم آمار و احتمالات وجود دارد. آمار نیز به دنبال کشف نظم در بی نظمی است. نتیجه پرتاب یک سکه در هر بار ،تصادفی و نامعلوم است، زیرا دامنه محلی دارد. اما پیامدهای مورد انتظار این پدیده ، هنگامی که به تعداد زیادی تکرار شود، پایا و قابل پیش بینی است. وجود چنین نظمی است که باعث زنده ماندن صنعت قمار است، و گرنه هیچ سرمایه گذاری حاضر نبود که در چنین صنعتی سرمایه گذاری کند. در واقع، قمار برای کسی که قمار می کند پدیده ای تصادفی و شانسی است(چون در مقیاس محلی قرار دارد) و برای صاحب قمارخانه، پدیده ای قابل پیش بینی و پایا است (چون در مقیاس بزرگتر (global)، این پدیده دارای نظم است).

همین جا می توان به مصادیقی از این تئوری در حوزه علوم انسانی اشاره کرد. بسیاری از وقایع تاریخی که در مقیاس 20 ساله ممکن است کاملا تصادفی و بی نظم به نظر برسند، ممکن است که در مقیاس 200 ساله، 2000 ساله یا 20000 ساله دارای دوره تناوب مشخص و یا نوعی نظم در علتها باشند(و البته نه لزوما به گونه ای که مارکس معتقد است!!!). در نگرش رفتارگرایی در حوزه روانشناسی، در واقع با نوعی تغییر مقیاس، به نظم رفتاری و قوانین آن دست می یابند و امکان پیش بینی و یا اصلاح اختلالات رفتاری فراهم می گردد، و الا اگر رفتارهای منفرد افراد مد نظر باشد چیزی جز چند رفتار تصادفی و غیرقابل پیش بینی نخواهد بود. روش علمی (متدولوژی) که این تئوری در اختیار ما قرار می دهد، تغییر مقیاس در نگاه به وقایع است به گونه ای که بتوان نظم ساختاری آن را کشف کرد. صد البته، نگاه جدید این منطق به نظم، بسیاری از جدالهای سنتی در مورد برهان نظم و ... در فلسفه را نیز مورد چالش قرار می دهد.

موضوع جالب دیگری که در تئوری آشوب وجود دارد، تاکید آن بر وابستگی (یا حساسیت) به شرایط اولیه است. بدین معنی که تغییرات بسیار جزیی در مقادیر اولیه یک فرآیند می تواند منجر به اختلافات چشمگیری در سرنوشت فرآیند شود. مثال ساده زیر شاید جالب باشد :

اگر مسافری 10 ثانیه دیر به ایستگاه اتوبوس برسد نمی تواند سوار اتوبوسی شود که هر 10 دقیقه یک بار از این ایستگاه می گذرد و به سمت مترویی می رود که از آن هر ساعت یک بار قطاری به سوی فرودگاه حرکت می کند. برای مقصد مورد نظر این مسافر، فقط روزی یک پرواز انجام می شود و لذا تاخیر 10 ثانیه ای این مسافر باعث از دست دادن یک روز کامل می شود. بسیاری از پدیده های طبیعی دارای چنین حساسیتی به شرایط اولیه هستند. قلوه سنگی که در خط الراس یک کوه قرار دارد ممکن است تنها بر اساس اندکی تمایل به سمت چپ یا راست، به دره شمالی یا جنوبی بلغزد، در حالی که چند میلیون سال بعد، که توسط فرآیندهای زمین شناسی و تحت نیروهای باد و آب و ... چند هزار کیلومتر انتقال می یابد، می توان فهمید که آن تمایل اندک به راست و چپ به چه میزان در سرنوشت این قلوه سنگ تاثیرگذار بوده است. مثال بسیار آشنای دیگر، وابستگیهای جسمی و روانی انسانها به شرایط لقاح و مسائل ژنتیکی است.

اگر چه چنین وابستگی آشوبناک (Chaotic) به شرایط اولیه را می توان در بسیاری از وقایع جامعه شناسی (از جمله انقلابها) و روانشناسی و .. پیجویی کرد، لکن به جز یک حوزه(که پایینتر به آن اشاره خواهد شد)، تاکنون توجه خاصی بدین مسئله صورت نگرفته است. به این معنا که اغلب برای تمام طول حیات یک پدیده، وزن یکسانی از نظر تاثیرگذاری عوامل درونی و بیرونی در نظر گرفته می شود، در حالی که تئوری آشوب، نقش کلیدی را در شرایط و المانهای مرزی اولیه می داند. ادوارد لورنز، دانشمند مشهور هواشناسی، سالها پیش جمله مشهور خود را که بعدها به " اثر پروانه" (Butterfly Effect) مشهور شد، چنین عنوان کرده است: " در یک سیستم دینامیکی مانند اتمسفر زمین، آشفتگی بسیار کوچک ناشی از به هم خوردن بالهای یک پروانه می تواند منجر به توفانهایی در مقیاس یک قاره بشود". در بسیاری از وقایع جامعه شناختی و سیاسی نیز می توان به جای پیجویی عوامل بسیار پیچیده و نادیده گرفتن عوامل به ظاهر ساده، با جدی گرفتن عوامل به ظاهر بی ارزش به تحلیل صحیحی نسبت به آن واقعه رسید.

پیشتر اشاره کردم که در این مورد ، در یک حوزه کار وسیعی صورت گرفته است. این حوزه ، روانشناسی است و تئوری عظیم نابغه دنیای روانشناسی، فروید، دارای چنین رویکردی است. فروید ریشه تمامی رفتارهای انسانها در طول زندگی را متاثر از دوران کودکی (شرایط اولیه به زبان تئوری آشوب) می داند و با پیجویی این رفتارها تا دوران کودکی، به تحلیل این رفتارها می پردازد.

علاوه بر مطالبی که ذکر شد ،تئوری آشوب ، با ارائه نظریه فرکتالها (Fractals) و ارائه مفهوم جدیدی از بعد فیزیکی (Dimension) و مفاهیمی مانند "خود تشابهی" و " خود تمایلی" ، دروازه جدیدی در کشف نظم در پدیده ها گشود که در جای خود می تواند به طور جدی ، مورد استفاده علوم انسانی قرار گیرد.

فراکتال و نظریه اشوب

شاید تا کنون بارها نام فراکتالها یا برخالها را شنیده باشید؛ موجوداتی که به عنوان اصلی ترین بازیگران هندسه منتج از نظریه آشوب شناخته می شوند.

این هندسه ویژگی های منحصر به فردی دارد، که می تواند توجیه گر بسیاری از رویدادهای جهان اطراف ما باشد، اما ویژگی اصلی که در تعریف آشوب و بالطبع هندسه آن وجود دارد، باعث می شود ما استفاده ویژه ای از این سیستم ببریم.

این روزها از فراکتالها به عنوان یکی از ابزارهای مهم در گرافیک رایانه ای نام می برند، اما هنگام پیدایش این مفهوم جدید بیشترین نقش را در فشرده سازی فایلهای تصویری بازی کردند.

برای آن که درک بهتری نسبت به فراکتالها داشته باشیم ، بد نیست نگاه مختصری به آشوبی بیندازیم ، که فراکتال ها فضای هندسی آنها را تعریف می کند.

عبارت «اثر پروانه ای» در پی مقاله ای از ادوارد لورنتس بوجود آمد. وی در صد سی و نهمین اجلاس ای‌ای‌ای‌اس در سال ۱۹۷۲ مقاله ای با اين عنوان ارائه داد که «آيا بالزدن پروانه ای در برزيل می تواند باعث ايجاد تندباد در تکزاس شود؟»

لورنتس در حال تحقيق روی مدل رياضی بسيار ساده ای که از آب و هوای زمين، به يک معادله ديفرانسيل غير قابل حل رسيد. وی برای حل اين معادله به روشهای عددی با رایانه متوسل شد. او برای اينکه بتواند اين کار را در روزهای متوالی انجام دهد، نتيجه آخرين خروجی يک روز را به عنوان شرايط اوليه روز بعد وارد می کرد. لورنتس در نهايت مشاهده کرد که نتيجه شبيه سازی های مختلف با شرايط اوليه يکسان با هم کاملا متفاوت است. بررسی خروجی چاپ شده رایانه نشان داده که رویال مک‌بی (Royal McBee)، رایانه‌ای که لورنتس از آن استفاده می کرد، خروجی را تا ۴ رقم اعشار گرد می کند. از آنجايي محاسبات داخل اين رایانه با ۶ رقم اعشار صورت می گرفت، از بين رفتن دورقم آخر باعث چنين تاثيری شده بود. مقدار تغييرات در عمل گرد کردن نزديک به اثر بالزدن يک پروانه است. اين واقعيت غير ممکن بودن پيشبینی آب و هوا در دراز مدت را نشان می دهد.

مشاهدات لورنتس باعث پررنگ شدن مبحث نظریه آشوب شد. عبارت عاميانه «اثر پروانه ای» در زبان تخصصی نظریه آشوب، «وابستگی حساس به شرايط اوليه» ترجمه می شود.

به غير از آب و هوا، در سيستمهای پویای ديگر نيز حساسيت به شرايط اوليه به چشم می خورد. يک مثال ساده، توپی است که در قله کوهی قرار گرفته. اين توپ با ضربه بسيار کمی، بسته به اينکه ضربه از چه جهتی زده شده باشد، می تواند به هرکدام از دره های اطراف سقوط کند.

 اغلب سیستم ها در دنيای واقعی طی تکرار يک عمليات مشخص کار می کنند. در مثال آب و هوای لورنتس فرايند گرم شدن سطح زمين از طرف خورشيد و سرد شدن جو از طريق تابش به فضای بیرون، فرايندی است که مدام تکرار می شود. می توان نشان داد که در چنين سيستمی بازه ای از مقادير اوليه با عث ايجاد رفتار آشوبناک می شود.

شايد شما هم جزو افرادى هستيد كه در دوران تحصيل درس هندسه برايتان هيچ جذابيتى نداشته و احتمالاً از شنيدن نام آن بيزاريد ولى چند لحظه اين موضوع را فراموش كنيد. بعد ساده ترين اشكال هندسى را به خاطر بياوريد؛ مربع، مستطيل، مثلث، دايره و منحنى. سپس خيلى سريع و بدون اينكه زياد به مغزتان فشار بياوريد شكلى را انتخاب كنيد كه بيشتر از همه مى پسنديد. در حقيقت يك تست روانشناسى پيش روى شما قرار دارد كه با توجه به انتخابتان بسرعت نشان مى دهد شما در زندگى چه جور آدمى هستيد و در چه مشاغلی احتمال موفقیتتان بیشتر است!

مربع

افرادى كه شكل مربع را انتخاب مى كنند كسانى هستند كه در يك محيط پايدار بيشترين احساس آرامش را دارند و مسير كارهايشان كاملاً واضح است. چنين اشخاصى محافظه كارند و دوست دارند همه چيز مرتب و منظم باشد. وظيفه شناس هستند و اگر كارى را به آنها محول كنيد آنقدر روى آن وقت مى گذارند تا تمام شود، حتى اگر كارى تكرارى و طاقت فرسا باشد و مجبور شدند به تنهايى آن را انجام دهند.

مستطيل

اصولگرايى مشخصه بارز اين افراد است. آنها نيز نظم و ترتيب را دوست دارند ولى آن را بيشتر از طريق سازماندهى هاى دقيق اجرا مى كنند. اين امر سبب مى شود كه راه هاى مناسبى را انتخاب و همه قواعد و مقررات را بررسى كنند. اگر وظيفه اى را به اين اشخاص محول كنيد ابتدا آن را به خوبى سازماندهى مى كنند تا اطمینان یابند که به طور اصولی اجرا خواهد شد.

مثلث

اشخاصى كه شكل مثلث را انتخاب مى كنند هدف گرا هستند. آنها از برنامه ريزى قبل از انجام كارها لذت مى برند و به طرح موضوعات و برنامه هاى بزرگ و بلند مدت تمايل نشان مى دهند، اما ممكن است جزئيات را فراموش كنند. اگر كارى را بر عهده آنها بگذاريد ابتدا هدفى را براى آن تعيين و سپس با برنامه ريزى کار را آغاز می کنند.

دايره

چنين افرادى اجتماعى و خوش صحبت هستند، هيچ لحن خشنى ندارند و امور را به وسيله صحبت كردن درباره آنها تحت كنترل خود در مى آورند. ارتباطات اولين اولويت آنها در زندگى است. مطمئن باشيد كه اگر وظيفه اى به آنها محول شود آنقدر درباره آن صحبت مى كنند تا هماهنگى لازم ايجاد شود.

منحنى

خلاقيت در اين قبيل افراد موج مى زند و اغلب اوقات كارهاى جديد و متفاويت را ارائه مى دهند. نظم و ترتيب برايشان كسالت آور است و اگر تكليف را براى آنها در نظر بگيريد ايده هاى خوب و مشخصى را براى آنها ابداع می کنند.

به طور كلى افرادى كه سه شكل اول يعنى مربع، مستطيل و مثلث را انتخاب مى كنند در جهت مسير ويژه در حركت هستند و كارها را به طور منطقى و اصولى انجام مى دهند ولى ممكن است خلاقيت كمى داشته باشند.اما گزينش دايره و منحنى نشان دهنده خلاقيت و برون گرايى است. چنين افرادى به موقعيت هاى جديد و سایر افراد دسترسی پیدا می کنند اما چندان اصول گرا و قابل اعتماد نیستند.

 كاربرد تست

اين تست براى ارزيابى افراد نسبت به موقعيت شغلى شان كاربرد دارد و يا به منظور پى بردن به اين نكته كه اشخاص مختلف تا چه حد مى تواند با هم كار كنند. اگر شما بشدت علاقه منديد كه يك كار خاص و اصولى را انجام دهيد يك فرد مربع دوست ميتواند همكار خوبى برايتان باشد. همچنين اينگونه افراد براى كار در دواير حسابرسى هم كاملاً مناسبند. اگر كارها نياز به سازماندهى گروهى داشته باشد مثلث دوستان در پيشبرد فعاليت ها موفق خواهند بود. اين افراد مى توانند مجرى خوبى باشند چون اهداف را مشخص و اطمينان مى يابند كه دستيابى به آنها ممكن است. براى هر نوع ارتباطات حضورى افرادى كه دايره را انتخاب مى كنند، بهترين هستند. آنها مى توانند يك كارمند خوب، مسؤول پذيرش يا فردى باشند كه به مشتريان خود خدمات مناسبى را ارائه مى دهند. بالاخره افرادى كه شكل مورد علاقه شان منحنى است هميشه ايده هاى تازه دارند و به طور مثال براى كار در شركت هاى تبليغاتى مناسبند .

معماحل شود آسان شود!

۱)10۰ جعبه قند داريم كه در هر كدام 100 حبه قند موجود است و وزن هر حبه قند a گرم است.اگر يكي از جعبه هاي قند شامل حبه هايي به وزن a-1 گرم باشد چگونه مي توان با يكبار وزن كردن،جعبه شامل حبه هاي داراي وزن كمتر را يافت؟

۲)ديوفانت از رياضي دانان يونان باستان بوده كه بويژه روي مساله هاي مربوط به عدد صحيح كار ميكرده است.پس از در گذشت ديوفانت شاگردانش نوشته زير را بر روي سنگ گور او حك كردند:

﴿﴿ اينجا ارامگاه ديوفانتوس است.او عمري طولاني داشت يك ششم سالهاي عمرش را در كودكي گذراند , پس از ان يك دوازدهم سالهاي عمرش را در جواني سپري كرد , انگاه  پس از انكه يك هفتم از سالهاي عمرش هم گذشت ازدواج كرد. پنج سال پس از انكه ازدواج كرد, همسرش براي او يك پسر اورد.سرنوشت چنين بود كه اين پسر پيش از او درگذرد در حالي كه تعداد سالهاي عمرش نصف تعداد سالهايي بود كه پدرش زندگي كرد.﴾﴾ديوفانتوس چند سال عمر كرد و مرگ او چند سال پس از در گذشت پسرش روي داد؟

3) كدام واژه ي فارسي بسيار معروف را نه تنها فارسي زبانان بلكه عضوهاي انجمن بين الملي فارسي دوستان نيز بد تلفظ ميكنند؟

4)  شما گرفتار يك قبيله ي ادم خوار شده ايد ميگويند يك جمله بگو اگر دروغ باشد اب پز خواهي شد و اگر راست باشد كباب خواهي شد . چه جمله اي خواهيد گفت؟

5) كدام مثلث قايم الزاويه است كه اندازه هاي ضلعهايش عدد هاي صحيح اند و عدد محيط ان با عدد مساحتش برابر است ؟

6) مجموع سه عدد متوالي ۱و۲و۳ مساوي حاصلصربشان هست . آيا سه تائي متوالي ديگري در ميان اعداد صحيح وجود دارد كه اين خاصيت را داشته باشد ؟

7) پدری از دو پسر تیزهوش خود می خواهد که هر کدام یک عدد انتخاب نمایند و بدون آنکه دیگری متوجه شود، عدد خود را به او بگویند. پدر بعد از شنیدن اعداد میگوید: حاصلضرب دو عددی که آنها انتخاب کرده اند، 8 یا 16 می باشد.

  سپس از پسر بزرگتر سئوال می کند: " آیا میدانی عددی که برادرت انتخاب کرده است چند می باشد؟"

 پسر بزرگ:  " نمی دانم! "

 پدر از پسر کوچکتر همین سئوال را می پرسد.

 پسرکوچک :  " نمی دانم! "

 پدر از پسر بزرگ مجددا همین سئوال را می پرسد.

 پسر بزرگ:  " نمی دانم! "

 پدر از پسر کوچک مجددا همین سئوال را می پرسد.

 پسرکوچک :  " نمی دانم! "

 پدر از پسر بزرگ بازهم همین سئوال را می پرسد.

 پسر بزرگ:  " می دانم! "

 شما مي دانيد عددی که پسر کوچک انتخاب نموده است چند است؟

8) دو مرد يك كوزه هشت ليتري پر از روغن دارند.دو كوزه خالي سه و پنج لتري هم دارند.چگونه ميتوانند با استفاده از اين سه كوزه روغن را بطور مساوي و دقيق بين خود تقسيم كنند؟                                          

9) يك فردي اسير است و بايد نجات پيدا كند و براي او دو مسير فرار وجود دارد.يكي نجات و ديگري نابوديست سر هر كدام از اين راهها يك نفر ايستاده يكي كاملا دروغ گو و ديگري كاملا راستگو اين فرد با يك سوال چگونه مي تواند راه صحيح را پيدا كند ؟

( فقط يك سوال و فقط از يك نفر - راستگو و دروغگو مشخص نيست - راه برگشتي هم نيست )

تفريح ذهن

 1- هوش بازاری

این مساله اصلا مشکل نیست و یه بازاری میتونه در آن واحد حلش کنه؛ اما بعضی از کسايی که ریاضیشون قويه شاید چند دقیقه بهش فکر کنن یا چند تا جواب متفاوت بدن. باور کنین از فوق لیسانسش هم سوال شده و نتونسته درست جواب بده. حالا میدونین دلیلش چیه؟. اونی که ریاضی بلده میخواد با معادله نوشتن حلش کنه ولی بازاری بلده چجوری محاسباتش رو ساده کنه که بتونه ذهنی انجام بده. و اما مسئله :

من یه جنس از شما میخرم 12 تومن، به شما میفروشم 13 تومن، از شما میخرم 14 تومن، و به شما میفروشم 15 تومن؛ من چقدر سود کردم؟

2- قبیله عجیب و غریب

فرضهای مساله:

یه قبیله از آدمای عجیب و غریب توی جنگل ها و دور از تمدن زندگی میکنند.

1- افراد قبیله خیلی باهوشند و قدرت استنتاج فوق العاده ای دارند.

2- افراد قبیله نمیتونند با همدیگه حرف بزنند یعنی قدرت ارتباط با کلام یا با اشاره ندارند.

3- فقط رهبر قبیله میتونه با اونا حرف بزنه و بقیه هم حرفای رهبر قبیله رو میفهمن.

4- دستورات رهبر قبیله رو حتما اجرا میکنند.

یه روز رهبر قبیله میاد میگه من برای یه مدتی میخوام برم یه جای دور. دوست دارم وقتی بر میگردم یه کاری رو به خاطر قبیله انجام داده باشین:

- در میان شما فرد یا افرادی هستند که خال سیاه رنگی روی پیشونیشونه.

- هر کدوم از این افراد خالدار وقتی از این قضیه مطمئن شد، حداکثر تا طلوع آفتاب روز بعد وقت داره خودشو بکشه.

رییس قبیله میره مسافرات و افراد قبیله هم هیچ وسیله ای که عکس خودشون رو توش مشاهده کنن مثل آینه یا آب در اختیار نداشتن. توجه کنین که با همدیگه صحبت یا اشاره هم نمیکنن. فقط قیافه بقیه(و نه خودشون) رو میبینن.

قبل از طلوع آفتاب روز هشتم آخرین فرد خالدار خودش رو میکشه.

حالا مساله اینه که پیدا کنین چند نفر از افراد قبیله خالدار بوده اند.

3- آمارگیر

یه آمار گیر میره در یه خونه ای و راجع به خودش و بچه هاش سوال میکنه.

طرف میگه: "برای سن بچه هام یه معما میگم باید حلش کنی تا سنشون رو پیدا کنی. من سه پسر دارم که حاصل ضرب سن اونا میشه 36 و حاصل جمع سنشون 2 تا از شماره پلاک همسایه سمت راستی کمتره".

آمار گیره یه خورده فکر میکنه و میگه: "با این اطلاعات نمیتونم حلش کنم میشه یه راهنمایی بکنین".

صابخونه میگه: "پسر بزرگترم حلوا شکری عقاب خیلی دوست داره!!!" و آمارگیره مساله رو حل میکنه.

حالا شما میتونین بگین سن بچه ها به ترتیب چند بوده؟

المپیادي هاش حل كنند

۱ـ حاصل ضرب یک عدد ۳ رقمی در ۷ از سمت راست به عدد ۶۳۸ ختم شده است. مطلولست آن عدد.

۲ـ مطلوبست کوچکترین عددی که وقتی در ۷ ضرب شود تمام ارقام حاصل ضرب آن از ۶ تشکیل شود.

۳ـ عددی ۵ رقمی تعیین کنید که هرگاه آن را در ۹ ضرب کنیم مقلوب همین عدد حاصل شود.

4ـ برای نمره گذاری صفحات کتابی ۳۸۹۷ رقم بکار رفته است . تعداد صفحات این کتاب چقدر است؟

5ـ سلسله اعداد طبیعی را از یک تا عدد ۸۵۳۷ ( و خود این عدد ) بدون جدا کردن ارقام در پی یکدیگر نوشته ایم . ۱۸۳۴۷ اُم این سلسله چه رقمی است؟

6ـ سلسله طبیعی اعداد را از یک تا عدد ۴ رقمی n و خود این عدد را بدون جدا کردن ارقام در پی یکدیگر نوشته ایم. تعداد ارقامی که بکار رفته مضربی از عدد n میباشد.مطلوبست محاسبه n .

مسئلتون

۱ـ دو رقم سمت راست حاصلضرب ۲۵(۴k-1) را بیابید.

۲ـ عددي در دستگاه به مبناي ۸ چنين نوشته ميشود (۳۰۳) اين عدد در چه دستگاهي به صورت (۵۲۳) نوشته ميشود.

۳ـ اگر عددي در مبناي ۲ داراي ۸ رقم باشد در مبناي ۱۲ چند رقم دارد؟

 4- جامه داری را در اتاقی بسیار تاریک گذاشته اند. میدانیم که در آن ۱۲ لنگه جوراب سیاه و ۲ لنگه جوراب قهوه ای و ۶ لنگه جوراب سبز و ۶ لنگه جوراب آبی است.چند لنگه جوراب را باید برداریم تا مطمئن شویم که حداقل یک جفت جوراب از یک رنگ داریم؟

5- به طور متوسط ۵ مرد از هر ۱۰۰ مرد و ۲۵ زن از هر ۱۰۰۰۰ زن کوررنگ هستند.در جامعه ای که عده ی مردان و زنان آن برابر فرض شده اند ، یک فرد کوررنگ به تصادف انتخاب میشود. احتمال اینکه این شخص مرد باشد چقدر است؟

 من در گذشته ، وقتی كه در حاصل ضرب دو عدد یك رقمی شك داشتم ، مجبور بودم كه حاصل ضرب آن دو عدد را در گوشه اي از كاغذ حساب كنم ، اما حالا راهی یاد گرفته ام كه كار من را بسیار آسان كرده است . بد نیست كه شما هم این راه را یاد بگیرید .

فرض كنید می خواهیم حاصل ضرب 5×6 را حساب كنیم . انگشت های هر دو دست را باز می كنیم . بعد می گوییم : چون یكی از عددها 5 است ، پس هر پنج انگشت دست چپ را باز نگاه می داریم . چون عدد دیگر 6 است و شش یك واحد از پنج بیش تر است پس یك انگشت دست راست را تا می كنیم . آن وقت حاصل ضرب شماره انگشت هایی را كه تا نكرده ایم به دست می آوریم . دست چپ پنج انگشت باز دارد و دست راست چهار انگشت باز ، پس 20= 5×4 . بعد در برابر هر انگشت تا كرده، ده واحد به این حاصل ضرب اضافه می كنیم . در این مثال، چون یك انگشت تا كرده بودیم ،

 پس 10 را به 20 اضافه می كنیم ، می شود 30 .

حالا فرض كنید می خواهیم حاصل ضرب 7×6 را به دست آوریم . انگشت های هر دو دست را باز می كنیم . چون 6 یك واحد از پنج بیش تر است ، پس یكی از انگشت های دست چپ را تا می كنیم . چون 7 دو واحد بیش تر ا ز پنج است ، پس دو تا از انگشت های دست راست را تا می كنیم . حالا 4 تا از انگشت های دست چپ و 3 تا از انگشت های دست راست باز است . حاصل ضرب 4×3 را به دست می آوریم كه می شود 12 . آن وقت برای هر انگشتی كه تا كرده ایم 10 واحد به این حاصل ضرب اضافه می كنیم . در این مثال چون سه انگشت تا كرده داریم ، 30 واحد به 12 اضافه می كنیم ، حاصل 42 می شود .

 پس : 42 = 30 + 3 × 4=6× 7

حالا یك مثال دیگر می آورم؛ فرض كنید می خواهیم حاصل ضرب 8× 7 را به دست آوریم . انگشت ای هر دو دست را باز می كنیم . چون عدد 8 سه واحد از پنج بیش تر است ، پس 3 تا از انگشت های دست چپ را تا می كنیم . چون عدد 7 دو واحد از پنج بیش تر است ، پس 2 تا از انگشت های دست راست را تا می كنیم . حاصل ضرب انگشت های باز هر دو دست ، یعنی 2× 3 را به دست می آوریم كه مي شود 6 چون روی هم رفته پنج انگشت از هر دو دست را تا كرده ایم ، 50 واحد به این حاصل ضرب اضافه می كنیم . حاصل 56 می شود؛

يعني: 56 = 50 +.3 × 2= 7×8

باز هم خواب ریاضی دیده ام               خواب خطهای موازی دیده ام 

خواب دیدم می خوانم ایگرگ زگوند         خنجر دیفرانسیل هم گشته کند

از سرهر جایگشتی می پرم                 دامن هر اتحادی میدرم  

دست و پای بازه ها را بسته ام              از کمند منحنی ها رسته ام

شیب هر خط را به تندی می دوم          گوش هر ایگرگ وشی رامی جوم

گاه در زندان قدر مطلقم                         گاه اسیر زلف حد و مشتقم 

گاه خط را موازی میکنم                      با توانها نقطه بازی می کنم

لشگری تمریندارم بی شمار             تیمی از فرمول دارم در کنار

ناگهان دیدم توابع مرده اند                پاره خط نقطه ها پژمرده اند 

کاروان جذر ها کوچیده است              استخوان کسر ها پوسیده است

از لگ و بسط و نپر آثار نیست            رد و پایی از خط و بردار نیست

هیچکس رازین مصیبت غم نبود        صفر صفرم هم دگر مبهم نبود

آر ی آری خواب افسون می کند          عقده را از سینه بیرون می کند 

مردم ازاین ایکس و ایگرگ داد داد          روزهای بی ریاضی یاد باد

شايد تاكنون هنگام گذر از خيابان به يك معركه‌ي پهلواني كه جمعيت بسياري دور آن مشتاقانه حلقه زده‌اند، برخورد كرده‌ايد. پهلواني كه ادعا مي‌كند: دو كاميون را همزمان مي‌تواند چنان نگه دارد كه هيچ كدام نتوانند جابه‌جا شوند. در اين لحظه در مورد كار او چه فكر مي‌كنيد؟ شايد در بدو امر فكر كنيد كه اين حقه‌اي بيش نيست و كاميون‌ها اصلاً نيرويي به پهلوان وارد نمي‌كنند، يا به عبارت بهتر حركت شان نمايشي است. شايد هم پيش خودتان فكر كنيد اين مرد حتماً از يك نيروي ماوراءطبيعي برخوردار است، ولي بايد بگوييم كه هر دو حدس تان كاملاً اشتباه‌ است. چون هم حركت ماشين‌ها واقعي است و هم پهلوان ما يك انسان معمولي بيش‌تر نيست.
حالا اجازه دهيد براي تان قصه‌ي اين پهلواني و راز اين مرد پهلوان را بازگو كنيم. دو كاميون M,N (شكل 1) در خلاف جهت هم قرار دارند. كابل AB در نقطه‌ي A به شاسي كاميون M و در نقطه‌ي B به شاسي كاميون N بسته شده، نقطه‌ي وسط اين كابل را در نظر مي‌گيريم و C مي‌ناميم. حالا كابل را بين دو تخته چرم چنان مي‌دوزيم كه C داخل و وسط چرم باشد.

 توپ قرمز پلاستيكي

توپ قرمزي را به رياضي دان ، فيزيك دان و مهندسي مي دهند تا حجم آن را تعيين كنند.
رياضي دان شعاع آن را با خط كش محاسبه مي كند.
فيزيك دان توپ را در يك ظرف مدرج آب مي اندازد و...

مهندس:" تقريبا" 3 است".

 اعداد اول

از يك رياضي دان ، مهندس و فيزيك دان مي خواهند تا بررسي كنند آيا تمام اعداد فرد اولند.
رياضي دان مي گويد:3 اول است ، 5 اول است ،7 اول است ولي 9 اول نيست.پس يك مثال نقض داريم و قضيه درست نيست.
مهندس مي گويد: 3 اول است ، 5 اول است ، 7 اول است ، 9 اول است ، 11 اول است.خوب همه ي اعداد فرد اول هستند.
فيزيك دان مي گويد: 3 اول است،5 اول است،7 اول است،9 خطاي آزمايش است ،11 اول است و خوب با دقتي كه داريم ، مي توانيم بگوييم همه ي اعداد فرد اولند.

 محاسبه ي حد

روزي معلم پاي تابلو حد زير را نوشت و از يكي از دانش آموزان خواست تا آن را محاسبه كند.

 

توجه:
عددهای افقی از چپ به راست وعددهای عمودی از بالا به پایین نوشته می شوند .

افقی :
1- مربعی به ضلع 5 سانتی متر را حول یک ضلع آن دوران می دهیم . حجم استوانه ي حاصل از این دوران چند برابر عدد پی است ؟ - در یک سالن تعدادی نیمکت وجود دارد .اگر تعداد مشخصی دانش آموز روی هر نیمکت به صورت 3 نفری بنشینند برای 21 نفر جا نمی ماند و اگر به صورت 4 نفری بنشینند ، 13 نیمکت اضافه می آید . چندنیمکت درسالن وجود دارد ؟
2- تعداد قطرهای یک هشت ضلعی چند تا است ؟ - مجموعه ي  چند زیرمجموعه دارد ؟
3- اگر به تعدادعضوهای یک مجموعه ، 3 عضو دیگر اضافه شود ، تعداد زیر مجموعه های مجموعه ي جدید چند برابر زیر مجموعه های مجموعه ي اولی است ؟ - حاصل عبارت به ازای =a - حاصل عبارت :  .
4-ك.م.م دو عدد 20 و 719 برابر چند است ؟