مرحله ی اول بیست و سومین المپیاد ریاضی ایران

۹ بهمن ۱۳۸۳

۱) پس از بسط دادن (1+2x+3x²+…+9x⁸+10⁹)²، چند تا از ضرایب فرد است؟

الف) ۱              ب) ۵                 ج) ۷                 د) ۹                  ﻫ) 10

۲) در برکه ای ۷ قطعه سنگ وجود دارد که از چپ به راست با اعداد ۱ تا ۷ شماره گذاری شده اند. قورباغه ای روی سنگ شماره ی یک نشسته است. فاصله ی سنگ ها به گونه ای است که اگر قورباغه روی سنگ i ام باشد می تواند حداکثر تا i سنگ جلو بپرد. به چند طریق ممکن است قورباغه، بدون برگشت به سمت چپ، به سنگ شماره ی ۷ برود؟

الف)10             ب) ۱۱              ج) ۱۲               د) ۱۳                ﻫ) ۱۴

۳) به چند طریق می توان سه زیرمجموعه دو عضوی از مجموعه ی {1,2,…,6}انتخاب کرد به طوری که هر دو تا از آن ها دقیقا یک عضو مشترک داشته باشند؟

الف)20             ب)40                ج)50                د)60                 ﻫ) 80

الف) یک           ب) دو                ج) سه               د) بی نهایت        ﻫ) چنین عددی وجود ندارد.

۵) چهارضلعی ABCD در بین چهارضلعی هایی که داخل نیم دایره ای به شعاع واحد قرار دارند، بیش ترین مساحت را دارد. مساحت ABCD چه قدر است؟

۸) ۱۸ خط در صفحه طوری رسم شده است که هر کدام افقی، عمودی یا موازی نیمساز ربع اول و سوم (یعنی خطy=x ) است. در این وضعیت، صفحه حداکثر به چند قسمت (کران دار یا بی کران) تقسیم شده است؟

الف) ۶۳            ب) ۸۱               ج) ۱۲۱             د) ۱۲۷              ﻫ) ۲۱۶

اگر A و B پاره خط و دایره نشان داده شده در شکل مقابل باشند،

۱۵) کاغذی مستطیل شکل را چندین بار تا کرده ایم. در هر مرحله تا بر روی خطی موازی دو ضلع و در وسط آن ها زده شده است تا به مستطیلی با مساحت نصف مستطیل قبل برسیم. واضح است که در هر مرحله این کار به دو روش (افقی و عمودی) امکانپذیر است. در نهایت، همه تا ها را باز کرده ایم و دیده ایم در مجموع ۳۱۸ خط تا ی افقی و عمودی تولید شده است. کاغذ چند بار تا شده است؟

الف) ۱۳            ب) ۱۴               ج) ۱۵۹             د) ۳۱۷              ﻫ) ۳۱۸

۱۶) مربع تو پری به ضلع واحد در فضا در نظر بگیرید. حجم مجموعه ی نقاطی که فاصله ی آن ها دست کم از یکی از نقاط مربع کوچک تر یا مساوی ۱ باشد، چه قدر است؟

۱۷) فرض کنید S(n) مجموع ارقام عدد n باشد. چند عدد هفت رقمی n وجود دارد که ارقام ۱ تا ۹ دقیقا یک بار در بین رقم های n و S(n) ظاهر شده باشد؟

الف)0               ب) ۱                 ج) ۲                 د)5040             ﻫ) 10080

۱۸) فرض کنید عدد طبیعی a داده شده است. در هر گام، به جای عددی که در اختیار داریم یکی از عدد های 2a+1، 3a+2، 4a+3 و یا 5a+4 را در نظر مس گیریم و کار را با آن ادامه می دهیم. با شروع از کدام یک از اعداد زیر، می توان بعد از تعدادی گام به عدد 30¹³⁸³-1 رسید؟

الف)10             ب) ۱۱              ج) ۱۲               د) ۱۳                ﻫ) هیچ کدام        

20) در ظرفی به شکل رو به رو با نرخ ثابت در هر دقیقه یک لیتر آب می ریزیم.

کدام یک از نمودار های زیر می تواند نشان دهنده ی ارتفاع آب بر حسب زمان باشد؟

۲۱) در دایره ای به شعاع واحد، AB کمانی 60^o و XY قطر متغیری از دایره است. خطوط XA و XB یکدیگر را در نقطه ی P قطع می کنند. مکان هندسی محل برخورد ارتفاع های مثلث PXY چیست؟

ﻫ) دایره ای به شعاع ۱

۲۲) یک عدد طبیعی را یکنوا می گوییم هر گاه رقم صفر نداشته باشد و به علاوه ارقام آن به صورت اکیدا صعودی یا اکیدا نزولی مرتب شده باشند. مثلا اعداد ۱۳۵۶ و ۷۲ یکنوا هستند اما اعداد ۲۲،2034 و ۱۳۸۳ یکنوا نیستند. مجموع همه ی اعداد یکنوا ی چهار رقمی چند است؟

الف) 1399860  ب)9999980      ج) 7955420     د)1260000       ﻫ) 4949550

۲۳) بیماری کشنده ی ABC توسط باکتری ای به همین نام تولید می شود. این باکتری در واقع دارای سه نوع A، B و C است که شبق این قوانین به هم تبدیل می شوند: پس از گذشت هر20دقیقه هر باکتری A به یک B و یک C، هر باکتری B به دو A و هر باکتری C به یک A تبدیل می شود. به علاوه هر بار که C به A تبدیل می شود یک گلبول قرمز را نیز می خورد!

 اگر در آغاز تنها یک باکتری از نوع B وارد بدن شده باشد، پس از گذشت 10 ساعت چند گلبول قرمز خورده شده است؟

الف) بین100تا 500هزار               ب) بین 500هزار تا ۱ میلیون          ج) بین ۱ تا ۵ میلیون

د) بین ۵ تا 10 میلیون                    ﻫ) بیش از10میلیون

۲۴) دستگاه معادلات رو به رو را در نظر بگیرید که در آن A و B ماتریس هایی 2×2، I ماتریس همانی 2×2 و O ماتریس 2×2 با درایه های صفر است.

2A⁶+2A²+A+B=O

A²-A+I=O

داریم

الف) 3A+B=O             ب) A+B=I                                ج) A+3B=O

د) A²+B²=O                 ﻫ) این دستگاه جواب ندارد.

۲۵) می خواهیم اعداد طبیعی را طوری رنگ آمیزی کنیم که اولا هر دو عدد متوالی ناهمرنگ باشند و ثانیا برای هر دو عدد ناهمرنگ a و b، یا باقیمانده ی a و b بر ۱۱ متفاوت باشد، یا باقیمانده a و b بر۱۷. کم ترین تعداد رنگ های لازم چند تاست؟

الف) ۲              ب) ۳                ج) ۷                 د) ۲۱                ﻫ)  ۱۴۷

الف) جواب ندارد. ب) یکی                         ج) دو تا

د) سه تا                         ﻫ) پنج تا

۲۷) در شکل مقابل مثلث  ABC قائم الزاویه است (B=90^o) و AB=10-π و BC=6. نیم استوانه ای با شعاع واحد و محور عمود بر AB، بین نقاط A وC مانع شده است.

مورچه بنا به دلایلی (!) باید هر چه سریع تر از نقطه ی A به لانه اش در نقطه ی C برود. طول کوتاه ترین مسیر ممکن برابر است با  

د) 7+π                          ﻫ) 11

۲۸) مهره ای در مبدا مختصات قرار داده ایم. در هر مرحله مهره را توسط یکی از چهار بردار (m,n)، (-m,-n)، (n+1,m+1) یا (-n-1,-m-1) به نقطه ی دیگری منتقل می کنیم و این کار را تکرار می کنیم. به ازای کدام یک از (m,n) های زیر می توان مهره را به هر نقطه صفحه با مختصات صحیح رساند؟

الف) n=3 و m=1           ب) n=3 و m=2              ج) n=5 و m=3

د) n=7 و m=4               ﻫ) به ازای هیچ m و n ای نمی توان این کار را انجام داد.

۲۹) فرض کنید f(x)=x⁵+x⁴+x³+x²+x+1. باقی مانده تقسیم f(x¹²) بر f(x) کدام است؟

الف) x³+x²+x+1            ب) x²-x+6                    ج) x+6

د) 6                              ﻫ) 6-x

30) یک چراغ راهنمای عجیب سه کلید دارد که هر کلید آن می تواند در یکی از وضعیت های ۱، ۲ یا ۳ قرار گیرد.

می دانیم که اگر وضعیت هر سه کلید را همزمان تغییر دهیم، رنگ چراغ تغییر می کند. ابتدا هر سه کلید در وضعیت ۱ هستند و چراغ قرمز است. افسر پلیس با تغییر وضعیت کلید اول از ۱ به ۲ چراغ را سبز می کند. حال اگر کلید دوم را هم در وضعیت ۲ قرار دهد، چراغ چه رنگی می شود؟

الف) قرمز                                 ب) قرمز                                    ج) سبز

د) فقط می توان گفت سبز نیست.       ﻫ) هر رنگی مکن است باشد.

مرحله ی اول بیستمین  دوره ی المپیاد ریاضی ایران

بهمن ماه 1380

1) به ازای چند عدد طبیعی n، 3⁷+3¹¹+3ⁿ مربع کامل است؟

الف) صفر          ب) 1                 ج) 3                 د) 6                  ﻫ) بی نهایت

2) به ازای چند عدد طبیعی n معادله ی n^a+n^b+n^c=n^d در اعداد طبیعی جواب دارد؟

الف) صفر          ب) 1                 ج) 2                 د) 3                  ﻫ) بی نهایت

3) در چهارضلعی محاطی ABCD، E و F به ترتیب محل برخورد AB با CD و AD با BC می باشند. دایره ای دلخواه از A و B می گذرانیم تا AF و BF را به ترتیب در M و N قطع کند اگر  o و o، آن گاه برابر است با:

الف) 90^o           ب) 120^o           ج)135^o             د) 105^o             ﻫ) 150^o

4) مطابق شکل مقابل، یک دونده در نقطه ی A قرار دارد و می خواهد در کم ترین زمان ممکن خود را به B برساند.

در مسیر حرکت او یک جاده ی گِلی وجود دارد که باعث می شود سرعت حرکتش حین گذر از آن به نصف کاهش یابد. سرعت حرکت دونده روی آسفالت 10 متر بر ثانیه است. کم ترین زمان ممکن را پیدا کنید.

5) با رقم های 1 و 2 حداکثر چند عدد پنج رقمی می توان نوشت، طوری که هر دو عدد حداقل در دو رقم اختلاف داشته باشند؟

الف) 16            ب) 17               ج) 18               د) 19                ﻫ) 20

7) یک « تبدیل پیوسته » تبدیلی است که نقاطی که قبل از تبدیل نزدیک به هم هستند، بعد از تبدیل نیز نزدیک به هم بمانند. تبدیل f بین دو تکه خمیر را این طور در نظر می گیریم که لبه های دو تکه خمیر را به هم می چسباند و لذا تبدیل وارون آن، یعنی f^-1، تکه خمیر بزرگ تر را به دو تکه خمیر جدا از هم تقسیم می کند.

در این صورت:

الف) f و f^-1 هر دو پیوسته اند.

ب) f و f^-1 هیچ کدام پیوسته نیستند.

ج) f پیوسته است ولی f^-1 پیوسته نیست.

د) f پیوسته نیست ولی f^-1 پیوسته است.

ﻫ) هیچ کدام از نتیجه گیری های فوق، درست نیست.

8) اگر شکل A با تبدیلی پیوسته که وارون آن هم پیوسته است (در سؤال قبل تعریف شده است) قابل تبدیل به شکل B باشد، می گوییم این دو شکل « هم ریخت » هستند، اجسام زیر را در نظر بگیرید.

(فرض کنید A و B از سیم نرم ساخته شده اند و C و D نیز از خمیر ساخته شده اند).

کدام گزینه درست است؟

الف) A و B هم ریخت اند ولی C و D هم ریخت نیستند.

ب) A و B هم ریخت اند و C و D نیز هم ریختند.

ج) A و B هم ریخت نیستند ولی C و D هم ریختند.

د) A و B هم ریخت نیستند و C و D نیز هم ریخت نیستند.

ﻫ) هیچ کدام از نتیجه گیری های فوق درست نیست.

9) یک ساعت عقربه ای جادویی در اختیار داریم. این ساعت دارای یک خط طلایی است که شماره ی 3 را به 9 وصل کرده است. این ساعت ویژگی جالبی دارد و آن این است که هر گاه خط طلایی نیم ساز داخلی دو عقربه ی ساعت شمار و دقیقه شمار شود، ساعت زنگ می زند. در حال حاضر ساعت 1:12 ظهر می باشد، تا ساعت 1:12 شب ساعت چند بار زنگ می زند؟

الف) 6              ب) 9                 ج) 11               د) 12                ﻫ) 13

10) در دبیرستان پسرانه ی ابن سینا تعدادی دانش آموز تحصیل می کنند. اگر دو دانش آموز از این مدرسه دوست باشند، پدر های این دو دانش آموز نیز با هم دوست هستند (دوستی یک رابطه ی دو طرفه است و هیچ کس با خودش دوست نیست!). کدام گزینه قطعا درست است؟

الف) اگر حامد ( یکی از دانش آموزان مدرسه) k دوست در دبیرستان داشته باشد، آن گاه ابو حامد (پدر حامد) حداقل k دوست در میان پدر های دانش آموزان دبیرستان دارد.

ب) اگر حامد k دوست در دبیرستان داشته باشد، آن گاه ابو حامد حداکثر k دوست در میان پدر های دانش آموزان دبیرستان دارد.

ج) اگر k دانش آموز از دبیرستان موجود باشند که هیچ دو تایی از آن ها دوست نباشند، آن گاه در میان پدر های دانش آموزان دبیرستان k نفر وجود دارند که هیچ دو تایی دوست نیستند.

د) اگر در میان پدر های دانش آموزان دبیرستان k نفر موجود باشند که هیچ دو تایی دوست نباشند، آن گاه k دانش آموز وجود دارند که هیچ دو تایی دوست نیستند.

ﻫ) اگر حسام برادر کوچک تر حامد باشد، آن گاه حسام و حامد با هم دوست هستند ( حسام و حامد هر دو در دبیرستان ابن سینا تحصیل می کنند).

11) یک متحرک در نقطه ی A از شکل زیر قرار دارد. این متحرک می خواهد خود را به نقطه ی B برساند. متحرک می تواند روی خطوط شبکه حرکت کند و از هیچ نقطه ای نباید دو بار عبور کند. این متحرک به چند طریق می تواند خود را به B برساند؟

الف) 24            ب) 28               ج) 32               د) 36                ﻫ) 40

12) سه دایره ی C₁، C₂ و C₃ به شعاع 5 و به مراکز O₁، O₂ و O₃ طوری در صفحه قرار گرفته اند که O₁O₂=6، O₁O₃=8 و O₁O₂ بر O₁O₃ عمود است. مساحت ناحیه ای از C₁ که با C₂ و C₃ تداخل ندارد، چقدر است؟

الف) 10π          ب) 12π             ج) 24               د) 48                ﻫ) 54

13) یک صفحه ی بی نهایت در بی نهایت داریم که خانه های آن را به صورت شطرنجی، سیاه و سفید رنگ کرده ایم. شعاع دایره ای که همه ی نقاط محیط آن شطرنجی 1 واحد است.)

الف) در بسط اعشاری هر عدد جالب نامتناهی بار 1380 ظاهر می شود.

ب) هر عدد جالب گنگ است.

د) اگر x جالب باشد، عدد y هم که از حذف ارقام x به صورت یکی در میان به دست می آید، جالب است.

ﻫ) اگر x جالب باشد، 1-x هم جالب است.

الف) در صفحه می توان مثلث متساوی الاضلاعی به ضلع 5 با رؤوس شبکه ای رسم کرد.

ب) یک مربع 3×3 را می توان به 20 مثلث با رؤوس شبکه ای افراز کرد.

ج) نقطه ای شبکه ای درون متوازی الاضلاعی با مختصات رؤوس (0,0)، (1,1)، (1001,1000) و (1002,1001) وجود دارد.

د) مساحت هر متوازی الاضلاع با رؤوس شبکه ای صحیح است.

ﻫ) یک مستطیل 4×7 را می توان به 20 متوازی الاضلاع و 20 مثلث با رؤوس شبکه ای افراز کرد.

17) آرش و علی روی شکل زیر با یک مهره مشغول بازی هستند، هر کس در نوبت خود می تواند یکی از دو کار زیر را انجام دهد.

- مهره را روی یال ها در جهت ساعت گرد هر تعداد خانه که بخواهد حرکت دهد.

- مهره را روی یال متصل به رأس مجاور که در لایه ی درونی است ( در صورت وجود چنین رأسی) حرکت دهد (رؤوس هم لایه شبیه هم هستند).

هر کس مهره را به خانه ی مرکزی (O) برساند، برنده ی بازی است. فرض کنید آرش بازی را شروع کند و هیچ کس دچار اشتباه نشود. با آغاز از کدام خانه آرش برنده بازی خواهد بود؟

الف) A و B       ب) C و D         ج) A و D          د) C و A           ﻫ) B و D

18) در یک پیست دو میدانی دایره وار پنج دونده ی A، B، C، D، و E به فاصله های مساوی روی پیست قرار گرفته اند (ماند شکل) و چوبی در دست دونده ی A قرار دارد. بعد از شروع مسابقه، دونده ی A با سرعت 4 دور بر ساعت (یعنی در هر ساعت چهار بار دور پیست را طی میکند) در جهت خلاف عقربه های ساعت و دونده هایB، C، D و E با سرعت 1 دور در ساعت در جهت عقربه های ساعت شروع به حرکت می کنند. در ضمن در هر زمان که دو دونده از کنار هم عبور می کنند و چوب در دست یکی از آن ها باشد، آن را به دیگری می دهد. بعد از گذشت 1 ساعت چوب در دست کدام دونده است؟

الف) A             ب) B                ج) C                د) D                 ﻫ) E

19) اتومبیلی از شهر A به سمت شهر B در حرکت است و فاصله ی دو شهر 100 کیلومتر است. حرکت اتومبیل این گونه است که وقتی در x کیلومتری شهر B قرار دارد با سرعت x کیلومتر بر ساعت در حرکت است. کدام گزینه درست است؟

الف) اتومبیل قبل از نیم ساعت 50 کیلومتر اول را طی می کند.

ب) زمانی که اتومبیل 50 کیلومتر آخر را طی می کند کم تر از 2 ساعت است.

ج) زمانی که اتومبیل 25 کیلومتر آخر را طی می کند کم تر از 1 ساعت است.

د) زمان طی کردن 25 کیلومتر سوم بیش تر از 1 ساعت است.

ﻫ) اتومبیل هیچ گاه به مقصد نمی رسد!

الف) دایره ی واحد، D={(x,y)|x²+y²<1} ساختار مثلثی دارد.

ب) نیم صفحه ی H={(x,y)|y>0} ساختار دایره ای دارد.

ج) هر مجموعه ای که ساختار دایره ای داشته باشد، ساختار مثلثی دارد.

د) هر مجموعه ای که ساختار مثلثی داشته باشد، ساختار دایره ای دارد.

ﻫ) می توان صفحه را به دو زیرمجموعه ی ناتهی طوری تقسیم کرد که یکی ساختار دایره ای و دیگری ساختار مثلثی داشته باشد.

21) در مثلث ΔABC نقاط P و Q درون مثلث، دارای این خاصیت اند که

الف) 1              ب) 2                 ج) 3                 د) 4                  ﻫ) 5

22) حداکثر چند عدد از مجموعه ی {1,2,…,30} می توان انتخاب کرد که هیچ کدام از آن ها حاصل ضرب بقیه شان را عاد نکند؟

الف) 8              ب) 9                 ج) 10               د) 11                ﻫ) 12

توجه:

بارم سؤال های 23 الی 30 دو برابر بارم بقیه ی سؤال ها ست.

(در نظر داشته باشید که نمره ی منفی این سؤال ها طبق همین قاعده محاسبه می شود).

23) کدام یک از عبارت های زیر درست است؟

1- از هر دو نقطه متمایز دقیقا یک خط می گذرد.

2- اگر x نقطه ای خارج از خط A باشد، دقیقا یک خط وجود دارد که از x می گذرد و موازی A است.

3- اگر A موازی B و B موازی C باشد، آن گاه A موازی C است.

4- مجموعه ی نقاطی که از دو نقطه ی متمایز به یک فاصله اند، یک خط است.

الف) 1، 2 و 3    ب) 1                 ج) 2، 3 و 4       د) 3 و 4            ﻫ) همه ی عبارات

24) کدام یک از مقادیر زیر می توانند تعداد نقاط یک دایره باشند؟

الف) 7              ب) 10               ج) 12               د) بی نهایت        ﻫ) ب و ج

25) با توجه به تعریف های بالا کدام گزینه درست است؟

الف) از هر نقطه خارج یک دایره دقیقا دو مماس بر دایره می توان رسم کرد.

ب) از هر نقطه روی دایره بی نهایت مماس بر دایره می توان رسم کرد.

ج) دو دایره متمایز حداکثر 4 مماس مشترک دارد.

د) از هر سه نقطه غیر واقع بر یک خط یک دایره می گذرد.

ﻫ) با زیاد شدن شعاع، تعداد نقاط روی دایره افزایش می یابد.

26) 17000 سال قبل از میلاد مسیح، بزرگ ترین گردهمایی نقاشان برجسته در شهر بلاف بلوف افتتاح شده. صد ها نفر از همه ی نقاط راه شیری جمع شده بودند. برای مراسم افتتاحیه، سرگرمی ای تدارک دیده شده بود که به این صورت اجرا می شد:

ابتدا یک نفر، یک « شکل » دلخواه روی تابلو می کشید. منظور از « شکل » همه ی نقاط درون و روی یک منحنی بسته است ( که خودش را قطع نکند). سپس نفر دوم باید شکلی روی همان تابلو بکشد که حتما شامل تعدادی نقطه ی جدید بشود (این شکل ممکن است با شکل های قبلی اشتراک داشته باشد یا نداشته باشد). به همین ترتیب هر کس به نوبت باید شکلی بکشد که شامل تعدادی نقطه ی جدید (نقاطی که در هیچ یک از شکل های قبلی نیامده باشد) بشود. زیر تابلو، شکل های شکیده شده در آن- بدون این که ترتیب کشیده شدن ِ آن ها ذکر شود- نام برده می شود.

ممکن است کسی از روی خط های شکل های قبلی دوباره بکشد. ولی هیچگاه دو شکل بر هم منطبق نداریم. مثلا تابلوی روبرو توسط چهار نقاش بزرگ کشیده شد و در پایان مراسم به قیمت 100000 بلوفی (واحد پول بلاف بلوف) به فروش رفت. در ابتدا، امین مثلث ΔDEF را کشید، بعد سیامک چهارضلعی BEFC را کشید، پس از آن احسان مثلث ΔABC را کشید و در نهایت ایمان منحنی G را رسم کرد.

 توجه کنید که ترتیب نقاشی مهم است. مثلا امکان نداشت اول احسان مثلث ΔABC را بکشد و بعد سیامک بخواهد چهارضلعی BEFC را بکشد. چون در آن صورت شکل سیامک نقطه ی جدیدی نسبت به نقاط قبلی نداشت. بعد ها در تاریخ هر n شکل  که امکان داشته باشد در این مراسم کشیده شده باشند، یک مَنگول نامیده شد! حمید ادعا می کد تابلو های زیر را در پایان همان مراسم خریداری کرده است. کدام تابلو ها قطعا تقلّبی اند؟ ( به عبارت دیگر کدام ها مَنگول نیستند؟)

الف) 2 و 1        ب) 3 و 1           ج) 4 و 1           د) 3 و 2            ﻫ) 4 و 2

27) مردی راست گو از فرامفیا آمده است و اصوات نامفهومی از دهانش خارج می شود. مترجم او می گوید:

« من درست نمی فهمم چه می گوید، ولی مطمئنم منظور او یکی از این جملات است:

1) تابلو ی من شامل تعدادی شکل است که همگی با انتقال از روی یکدیگر به دست می آیند.

2) تابلوی من شامل تعدادی شکل هم نهشت است (شکل های قابل انطباق با هم).

3) تابلوی من شامل تعدادی دایره است.

4) در تابلوی من شکلی هست که زیرمجموعه ی اجتماع بقیه ی شکل ها نیست. »

اگر کدام جمله را گفته باشد می توان مطمئن بود که این تابلو مَنگول است؟

الف) 2 و 1        ب) 3 و 1           ج) 4 و 1           د) 3 و 2            ﻫ) 4 و 2

28) دو نفر از برگزار کنندگان مراسم تصمیم می گیرند با یکی از مهمان خارجی- و نا آشنا به قوانین- شوخی کنند. به همین دلیل وقتی نحوه ی کشیده شدن تابلو ها را توضیح می دادند، ترتیب کشیده شدن را معکوس می گفتند (مثلا اگر به ترتیب شکل های F_n,…,F₂,F₁ کشیده شده بود، به او می گفتند: ابتدا شکل F_n رسم شده، بعد شکل F_n-1، ...، و در نهایت شکل F₁). برای این که همه ی تابلو ها را به این شکل توضیح بدهند و قضیه لو نرود، آن ها باید قانون ِ سرگرمی را به چه صورت برای مهمانان خارجی بیان کنند؟

الف) هر کس باید شکلی بکشد که شامل تعدادی نقطه ی جدید بشود (نقاطی که در شکل های قبل نیامده)

ب) هر کس باید شکلی بکشد که شامل کل نقاط یکی از شکل های قبلی نشود.

ج) هر کس باید شکلی بکشد که زیرمجموعه ی اجتماع شکل های قبلی باشد.

د) هر کس باید شکلی بکشد که از اجتماع آن با k تا از شکل های قبل، اجتماع k+1 تا از شکل های قبلی پوشانده نشود.

ﻫ) هیچ کدام

29) دو تابلو ی تقلّبی که در هر کدام 10000 شکل رسم شده است. داریم هر کس نظری می دهد:

بهزاد تابلوی 1 را ندیده و می گوید: در این تابلو می توان 10 شکل انتخاب کرد که مَنگول باشند.

امید تابلوی 2 را دیده و می گوید: در این تابلو می توان 20 شکل انتخاب کرد که مَنگول باشند.

کسری تابلوی 2 را دیده و می گوید: در این تابلو هیچ 21 شکلی تشکیل یک مَنگول نمی دهند.

کدام گزاره بهترین نتیجه گیری است؟

الف) بهزاد حتما راست می گوید.

ب) ممکن است امید وکسری هر دو راست بگویند.

ج) ممکن است امید و کسری هر دو دروغ بگویند.

د) الف و ب

ﻫ) الف و ج

30) یاسر و مرتضی که در همه ی جنبه های زندگی- حتّی نفس کشیدن- سعی می کنند با هم رقابت کنند، با دیدن مراسم بین خودشان یک مسابفه ترتیب می دهند. به این ترتیب که ابتدا یکی از ان دو شکلی را می کشد. سپس نفر دیگر شکل دیگری را می کشد. به همین ترتیب هر کس در نوبت خود یک شکل می کشد. اولین کسی که بتواند شکلی بکشد که باعث شود همه ی شکل ها غیر مَنگول شوند، برنده است. فرض کنید تابلوشان از هر طرف تا بی نهایت ادامه دارد.

الف) نفر اول می تواند همیشه برنده شود.

ب) نفر دوم می تواند همیشه برنده شود.

ج) اگر هر دو خوب بازی کنند، تا آخر کسی برنده نمی شود.

د) بعد از 28 حرکت بازی تمام می شود.

ﻫ) یاسر می تواند همیشه برنده شود.

مرحله ی دوم بیست و سومین المپیاد ریاضی ایران

نوبت اول: 6 اردیبهشت ماه 1384

ساعت 14 تا 18:30

1) n عددی طبیعی بزرگ تر از یک و p عددی اول است که n|p-1 و p|n³-1. نشان دهید 4p-3 مربع کامل است.

توضیح. a|b یعنی b بر a بخش پذیر است، به عبارت دیگر a مقسوم علیه b است. مثلا ً 2|6.

2) در مثلث ABC، A=60^o. نقطه ی متغیر D روی پاره خط BC را در نظر بگیرید. فرض کنید O₁ مرکز دایره ی محیطی مثلث ABD و O₂ مرکز دایره ی محیطی مثلث ACD باشد. محل تقاطع BO₁ و CO₂ را M و مرکز دایره ی محیطی مثلث DO₁O₂ را N می نامیم. ثابت کنید خط MN، از نقطه ی ثابتی می گذرد.

3) کهکشان راه دوغی (!) بیش از یک میلیون ستاره دارد. نشان دهید، هر لحظه، فاصله های دو به دو ی این ستاره ها شامل دست کم 79 عدد متمایز است (هر ستاره را یک نقطه فرض کنید).

نوبت دوم: 7 اردیبهشت ماه 1384

ساعت 9 تا 13:30

4) در برخی از خانه های جدولی 2×n تعدادی مهره قرار دارد.

اگر در خانه ای بیش از یک مهره وجود داشته باشد می توانیم دو مهره از آن خانه خارج کنیم و در عوض یک مهره در خانه ی سمت راستش و یا یک مهره در خانه ی بالایی اش قرار دهیم.

فرض کنید در ابتدا دست کم 2ⁿ مهره در جدول وجود داشته باشد. ثابت کنید می توان مهره ها را طوری جا به جا کرد که یک مهره به خانه ی انتهایی، که در شکل با ستاره مشخص شده است، برسد.

(x+y)f(f(x)y)=x²f(f(x)+f(y))

منظور از R⁺ مجموعه ی اعداد حقیقی مثبت است (توجه کنید صفر عددی مثبت نیست!).

مرحله ی دوم بیستمین المپیاد ریاضی دانش آموزان ایران

اردیبهشت ماه 1381

نوبت اول

1) a_n,…,a₂,a₁ را یک "جایگشت " از اعداد n,…,2,1 می نامیم هر گاه {a₁,a₂,…a_n}={1,2,…,n} (یعنی a₁ تا a_n همان اعداد 1 تا n هستند که احتمالا ترتیب آن ها تغییر نکرده است). تمام جایگشت ها ی 1 تا n مانند a_n,…,a₂,a₁ را بیابید که برای هر 1≤i≤n، 2(a₁+a₂+…+a_i) بر i+1 بخش پذیر باشد.

برای مثال a₁=3، a₂=1، a₃=4 و a₄=2 یک جایگشت از اعداد 1، 2، 3، و 4 است.

2) یک مستطیل را به وسیله ی تعدادی مستطیل (کوچک تر) پوشانده ایم به طوری که مستطیل ها به جز احتمالا در رئوس و اضلاع با هم اشتراکی ندارند. در ضمن اضلاع مستطیل های پوشاننده موازی اضلاع مستطیلی اصلی هستند، همچنین هیچ قسمتی از این مستطیل ها بیرون از مستطیل اصلی قرار نمی گیرد. برای مثال، شکل زیر یکی از این حالت ها را نشان می دهد:

بنابراین هر طور که مستطیل را به وسیله ی مستطیل های کوچک تر با توجه به شرایط فوق بپوشانیم در شکل حاصل تعدادی خط (پاره خط) افقی و عمودی و تعدادی نقاط برخورد پاره خط ها دیده می شود، یک نقطه ی برخورد را یک "چهار راه " می گوئیم هر گاه محل تقاطع دو پاره خط باشد، مثلا در شکل بالا نقاط A و B چهارراه هستند ولی نقاط C، D و K چهارراه نیستند، همچنین در این شکل 5 خط افقی (KL, DJ , CG , EF , HI ) و 6 خط عمودی دیده می شود، در ضمن شکل به وسیله ی 10 مستطیل پوشانده شده است.

نشان دهید در هر صورت اگر تعداد خط های افقی، عمودی و تعداد چهار راه ها را در نظر بگیریم و این سه عدد را با هم جمع کنیم، حاصل برابر است با تعداد مستطیل های پوشاننده به اضافه ی عدد سه.

3) در چهارضلعی محدّب ABCD داریم o. ضمنا M و N به ترتیب نقاطی روی (امتداد) AD و AB می باشند به طوری که o، همچنین K محل برخورد دوم دایره های محیطی دو مثلث ABD و AMN می باشد. ثابت کنید AK بر KC عمود است.

نوبت دوم

4) A و B دو نقطه ی ثابت در صفحه می باشند. چهارضلعی محدّب ABCD به گونه ای ساخته می شود که

 AB = BC و AD = DC  و زاویه ی o. ثابت کنید نقطه ای ثابت وجود دارد به طوری که هر چهارضلعی ABCD را در یک طرف AB بسازیم خط گذرنده از DC همواره از این نقطه می گذرد.

قرارداد میکنیم که a+bδ=a'+b'δ اگر و تنها اگر a=a' و b=b'. δ موجودی بسیار کوچک است به طوری که هر چند صفر نیست ولی δ²=0!

روی این فضا جمع و ضرب به شکل زیر تعریف می شود:

(a+bδ)+(a'+b'δ)=(a+a')+(b+b')δ

(a+bδ)(a'+b'δ)=aa'+ab'δ+ba'δ+bb'δ²=aa'+(ab'+ba')δ

فرض کنید P(x) یک چندجمله ای با ضرایب حقیقی باشد، نشان دهید این چندجمله ای در R ریشه ای مضاعف دارد اگر و تنها اگر در R[δ] ریشه ای غیر حقیقی داشته باشد.

(ریشه ی غیر حقیقی یعنی ریشه ای به شکل a+bδ که b≠0).

توضیح: می گوییم a ریشه ی مضاعف چندجمله ای P(x) است اگر P(x) بر (x-a)² بخش پذیر باشد.

6) در یک کلاس 20 نفره در سال گذشته 100 مسابقه ی تنیس روی میز بین بچه های کلاس برگزار شده است، هیچ دو نفری بیش از یک بار با هم مسابقه نداده اند. بچه های کلاس می خواهند از بین خود دو تیم دو نفره ( دو تیم عضو مشترک ندارند) برای شرکت در مسابقات مدرسه انتخاب کنند با این شرط که دو عضو یک تیم در سال گذشته با هم بازی نکرده باشند، می دانیم که این کار به 4050 طریق مختلف امکان پذیر است. ثابت کنید همه ی بچه های کلاس در سال گذشته به تعداد مساوی بازی کرده اند.