اشكال مرموز كشتزارهاي گندم و هندسه دوجيني





دواير مرموز :







حدودا بيست سال است كه هر چند يك بار در يكي از كشورهاي اروپايي واقعه عجيبي اتفاق مي‌افتد . داستان هم اين است كه شب مي‌خوابند و صبح كه بيدار ميشوند مي‌بينند كه در مزارع گندم دايره‌هاي بزرگي ايجاد شده است . اين اتفاق نمي‌تواند عادي و يا شوخي و جعلي باشد . گذشته از اين يك شبه نمي‌شود چنين اشكالي را با آن دقت در مزارع ايجاد كرد . در اين بين بحران دايره‌هاي گندمزاري متوقف نشده است ، بلكه توسعه نيز يافته و جالب است كه اشكال هندسي ، سال به سال هندسي‌تر ، پيچيده‌تر و پركارتر شده‌اند .

ژاپني‌ها موضوع را آنقدر جدي تلقي كرده‌اند كه هيات‌هايي را براي بازديد از اين دايره‌ها به اروپا و آمريكا فرستادند . نظر نهايي اينست كه اين اشكال ثمره هنرنمايي موجودات فضايي باهوشي است كه سوار بر بشقاب پرنده به زمين مي‌آيند و بوسيله اشكال مرموز براي ما پيغام مي‌گذارند و دوباره به سياره خود بر مي‌گردند .

آزمايشها و بررسي‌هاي شبانه با كمك دوربينهاي مادون قرمز و ميكروفن‌ها ثابت كرده‌اند كه اين اشكال عجيب و غريب و شايد در باطن پر معني ، شب هنگام و در كوتاه‌ترين زمان و بدون ايجاد كمترين سر و صدايي يا تظاهرات عيني و گويي كه بطور صد در صد نامريي بوجود آمده‌اند .

اين اشكال در طول ۲۰ سال گذشته هندسي‌تر ، هنري‌تر ، پيچيده‌تر و پر طرح‌تر شده‌اند . مثلا دايره‌ها بزرگتر شده‌اند . گاهي دايره‌ها مانند حلقه‌هاي سمبل المپيك تو در تو هستند و در يك مورد هم يك مثلث نيز به آنها اضافه شده است . اشكالي هم شبيه حشرات و ماهي‌ها عينا مانند آثار نقاشي ماقبل تاريخ كه در غارها كشف شده‌ ديده شده‌اند . در كل كسي كه اين اشكال را ايجاد كرده است در نوعي خط تصويري نظير خط هيروگليف مهارت داشته و خواسته است كه با زبان بي زباني به ما چيزهايي بگويد .

برخي از محققيني كه ماجرا را مورد بررسي قرار داده‌اند ، مي‌گويند كه اين اشكال از فضا و با كمك نوعي اشعه شبيه اشعه ليزر دايره‌وار سوزانده مي‌شوند و بعيد نيست كه در حين عمل ، صداي خش و خش مانندي نيز بلند شده باشد . ولي در كل از روي شكل‌هاي اين مزارع بايد نتيجه گرفت كه فاعل هر كسي كه باشد ، روحيه اعتدالي دارد و از هندسه و هنر چيزهايي سرش مي‌شود و در ضمن با طبيعت هم سر و كار دارد . بطور كلي مي‌توان گفت كه آنها موجودات بي آزار و صلح جويي هستند و مي‌خواهند ، خود را به نحوي از انحا با طبيعت زمين تطبيق دهند و به ما حالي كنند كه ما هم هستيم .

نيرويي كه بتواند ساقه‌هاي گندم را خم كند ، الزاما بايد ويژگيهاي خاصي نيز داشته باشد . چون در بعضي از گندمزارها ساقه‌هاي گندم در اين اشكال بريده و يا سوزانده نشده‌اند ، بلكه خيلي تميز و پاكيزه با زاويه ۹۰ درجه خم و خوابانده شده‌اند . يعني به بوته گندم امكان داده شده است كه به رشد خود ادامه دهد ولي نه بصورت قائم ، بلكه بصورت افقي .











مسئله كشف و تشخيص آثار راديواكتيو در اين اشكال ، موضوع را پيچيده تر كرده است . در تمام اشكال ، آثار تشعشعات راديو اكتيو بتا و گاما ( البته با شدت ضعفهاي متفاوت ) تشخيص داده شده است و آزمايشگاه‌ها نظر داده‌اند كه در بعضي از مزارع ، مقدار اشعه بتا و گاما زياد و در برخي كم است .

تشكيلات موسوم به حلقه‌هاي كشتزار ، اغلب در مزارع غلات پديد مي‌آيند و طي فرآيندي كه به پيدايش آنها مي‌انجامد ، گياهان به نحوي اسرار آميز بر روي زمين مي‌خوابند . بدين صورت الگو‌هايي پديد مي‌آيد كه يك باره و بي آنكه در روشنايي روز پيش از آن ، كسي آنها را ديده باشد ، توجه مردم را به خود جلب مي‌كنند .







شواهد موجود نشان مي‌دهند كه وقوع اين پديده‌ها ، از اوايل قرن بيستم به بعد ، سال به سال افزايش يافته است ، به طوري كه در دهه ۱۹۶۰ به رويدادي آشنا تبديل شده و از دهه ۱۹۷۰ به بعد توجه اذهان عمومي را به خود جلب نموده است . از سال ۱۹۷۲به بعد ( يعني سال مشاهده عيني صحنه وقوع توسط باند و شاتل وود ) تاكنون در حدود ده هزار گزارش از پيدايش مستند حلقه‌هاي كشتزار با اشكال گوناگون ، در نقاط مختلف جهان ارائه شده است . قطر بعضي از اين حلقه‌ها به يك كيلومتر مي‌رسد و برخي ديگر از آنها مساحتي بالغ بر ۱۹ هزار متر مربع را مي پوشانند .







در اين تصوير ، صورت يك موجود نقش بسته است !



نكته جالب و شگفت انگيز ديگري كه در اين باره وجود دارد ، مسئله تحول و تكامل تدريجي اين طرح‌ها ميباشد . امروزه شاهد پديدار شدن نگاره‌هاي هندسي بغرنجي هستيم كه از روابط رياضي پيچيده‌اي پيروي مي‌كنند و جالب آنكه در برخي موارد ، اين نگاره‌ها ، نمايانگر نقوش و طرح‌هاي مقدس اقوام و ملل مختلفي از سراسر جهان هستند .







نكته قابل ذكر ديگر ، نحوه خميده شدن ساقه‌ها و ارتباط آن با ساختمان آنهاست . ساقه گياهان علفي ، بندها يا گره‌هايي دارند كه از وظايف آنها ، ايجاد استحكام در گياه است . اين بندها ، مجهز به روزنه‌هايي براي ايجاد امكان خروج بخار آب هستند . تجمع آب در محل بندها و فشار آن ، موجب راست ايستادن ساقه و در نتيجه ، موجب سر پا ماندن گياه مي‌شود . در صورتي كه دما افزايش يابد ، آب به بخار تبديل مي‌شود و منافذ موجود در بندها ، راه را براي خروج بخار مي‌گشايند . اين ساز و كار ، راهي براي تنظيم دما و خنك نگه داشتن گياه است ، كه البته به از دست رفتن عامل استحكام و خميده شدن ساقه گياه مي‌انجامد .










بررسي‌هاي ميكروسكوپي نشان داده است كه به هنگام پيدايش حلقه‌هاي كشتزار ، دقيقا همين عامل است كه به خوابيدن رستني‌ها بر روي زمين مي‌انجامد . در واقع ، چنين به نظر مي‌رسد كه نوعي عامل خارجي باعث مي‌شود در ناحيه بندها ، دما افزايش يابد . البته اين خوابيدن براي رستني‌هاي خشك شده و آماده درو نيز گزارش شده است .

نكته شگفت انگيز ديگر اينكه اثر اين عامل خارجي ، انتخابي است . يعني بندهايي كه تحت تاثير قرار مي‌گيرند و جهت و ميزان خميدگي آنها ، بسته به طرحي كه پياده مي‌شوند ، در بخش‌هاي مختلف تغيير مي‌كند . مثلا ممكن است در يك سمت الگو ، نخستين بندهاي بالاتر از سطح زمين ، آب از دست بدهند و در سمت ديگر ، دومين بندها . به اين ترتيب ، به راحتي مي‌توان آثار تقلبي را از نمونه‌هاي اصلي تشخيص داد . خم كردن ساقه‌ها با دست يا هر وسيله مكانيكي ديگري ، علاوه بر ايجاد آسيب در گياه ، منجر به بروز خميدگي‌هايي مي‌شود كه عمدتا در ميان فواصل بندها و نه در خود آنها به وجود مي‌آيند .

ساز و كار فوق نشان مي‌دهد كه احتمالا تابش امواجي نظير مايكروويو كه به صورت منفرد بر برخي از بندها اثر مي‌كند ، عامل پيدايش الگوي خميدگي هاست . با توجه به پيچيدگي هندسي طرح‌ها ، چنين مي‌نمايد كه نوعي وسيله هدايت كننده اصلي ( نظير يك رايانه ) فرمان‌هاي مقدماتي را به يك دستگاه عمل كننده نهايي ( نظير دستگاه مولد پرتوها ) مي‌فرستد و اين دستگاه دوم ، اثر قابل مشاهده را بر بندهاي ساقه اعمال مي‌كند .

بررسي خاك مزارع در بخش داخلي طرح‌هاي مربوط به حلقه‌هاي كشتزار ، توسط دانشمندي به نام كالين اندروز ، نشان داده است كه ميزان تشعشع الكترومغناطيسي آن ، تا ۱۰۰ ٪ بيشتر از حد عادي است و گزارش‌هاي ارائه شده ، مشخص كرده‌اند كه در سالهاي متعاقب اين رويداد ، منطقه تحت تاثير ، تا ۴۰ ٪ با افزايش محصول رو به رو شده است .

همچنين ، اندازه‌گيري‌هاي مربوط به گسيل انرژي ، آشكار ساخته‌اند كه تا چندين روز پس از پيدايش حلقه‌ها ، نوعي انرژي در محدوده فركانس ۵ كيلو هرتز ، از منطقه ساطع مي‌شود كه برخي از افراد حساس ، آن را در قالب صدايي لرزان مي‌شنوند .

بسياري از كساني كه از اين حلقه‌ها بازديد مي‌كنند ، دچار واكنش‌هاي جسمي خاصي مي‌شوند كه از آن جمله مي‌توان به حالت تهوع ، سردرد ، گيجي ، احساس قلقلك و دردهاي گوناگون اشاره كرد . نظير اين نشانگان را مي توان در ناخوشي‌هاي حاصل از تاثير پرتو راديو اكتيو نيز مشاهده كرد .

گفته مي‌شود كه ساعت‌ها ، تلفن‌هاي همراه ، دوربين‌هاي عكاسي و به ويژه دستگاههاي الكترونيكي كه براي بررسي وارد منطقه مي‌شوند ، دچار اختلال مي‌شوند و نيز ادعا مي‌شود كه قطب نماي هواپيماها ، در بالاي اين مناطق ، به صورت ديوانه وار به چرخش در‌مي‌آيد .

اشخاصي كه شاهد پيدايش حلقه‌هاي كشتزار بوده‌اند ، متوجه تابش سرخ رنگي بر سطح زمين شده‌اند . خميده شدن گياهان در ۵ دقيقه اتفاق مي‌افتد و در اين مدت ، هيچ كس ، شخص يا وسيله‌اي را كه بتوان اين رويداد را به آن نسبت داد ، نديده است .

در برخي موارد ، پيدايش اشكال پيچيده اين حلقه‌ها با برخي حوادث عجيب همراه بوده است . مثلا ديده شده است كه سگ‌هاي مجاور يك منطقه در فاصله ساعت ۲ تا ۴ بامداد پارس كرده‌اند و صبح روز بعد ، پيدايش حلقه‌اي در آن منطقه گزارش شده است ، و يا ديده‌اند كه احشام ، پس از ورود به محوطه حلقه‌ها بيمار شده‌اند . در دامنه تپه‌ها ، متوجه وزش بادهاي عجيب شده‌اند و همچنين مشاهده گوي‌هاي نارنجي نوراني ، شنيدن صداهاي خش خش مانند عجيب و ظهور مكرر اشياء پرنده ناشناس ، از ديگر وقايع پس از ظهور حلقه‌ها بوده‌اند .







اين تصوير عينا بر روي پلاك همسر توت ان خامون فرعون مصر نقش بسته بود و موجب تعجب دانشمندان گرديده است ! اين تصوير عينا در اهرام مصر باستان وجود دارد ! اين تصاوير و اشكال هندسي دليلي بر اثبات وجود رابطه‌اي مابين فراعنه مصر و سرنشينان يوفو ميباشد .


مشهورترين تصوير قديمي مستندي كه وقوع پديده حلقه‌هاي كشتزار را نشان ميدهد ، يك گراور يا حكاكي چوبي ، متعلق به سال ۱۶۷۸ ميلادي در انگلستان است . در اين اثر ، موجودي شيطاني به تصوير در آمده است كه با داسي بلند ، مشغول دروي مزرعه غلات در قالب الگويي عجيب و خاص است .








اين تصوير در سال ۱۹۹۲ ايجاد شده است . اگر دقت كنيد عين همين تصوير در آثار باستاني اينكاها در امريكا ديده مي‌شود . واقعا باور نكردني است ! طول اين تصوير ۱۳۰متر و عرض آن ۴۰ متر است ! مكان در گراسدورف آلمان ميباشد . اين تصاوير و اشكال هندسي دليلي بر اثبات وجود رابطه‌اي مابين سرخ پوستان امريكا و سرنشينان يوفو ميباشد .





توجيه اشكال هندسي در گندم‌زارها :



همانطور كه در مورد رياضيات مختص فيزيك توضيح داده شد ، مقوله رياضيات براي انسان ، از شمارش موجودات هستي شروع شده و سيستم شمارش اعداد به تعداد انگشتان دو دست بوده است ( يعني مبناي دهدهي ) ، در واقع راهبرد انسان در رياضيات مقايسه تعداد اشيا با تعداد انگشتان دو دست است . يعني يك حرفه دستي كه امروزه مكانيزه و ماشيني شده است . در طول تاريخ ثبت شده كه پيشرفت جامعه‌هاي متمدن با توسعه سيستم شمارش اعداد و نوشتار متن گفتار ( كتابت و كتاب نويسي ) همراه بوده كه چنين به‌نظر ميرسد كه همگي ريشه در وحي كتب آسماني و تاريخ اديان داشته است . نشانه‌هايي از سيستم‌هايي از اعداد بر پايه سه ، چهار ، پنج ، شش ، هشت و بيست در ميان سرخ پوستان آمريكاي شمالي پيدا شده است . بعضي شواهد از سيستم اعداد بر پايه دوازده را ميتوان در مثال اينكه هر فوت دوازده اينچ است يا هر شيلينگ انگليسي دوازده پنس و يا اينكه هر سال دوازده ماه است و يا شبانه روز دو تا 12 ساعت است و ... ، ملاحظه كرد . اما در جوامع امروزي به‌نظر می‌رسد كه سيستم اعداد بر پايه ده برنده شده است . البته نه به‌علت وجود مزاياي ذاتي ، بلكه به نظر می‌رسد كه به سبب وجود ده انگشت دو دست می‌باشد . اما با تحقيق و مطالعه متوجه اين موضوع ميشويم كه سيستم شمارش اعداد بر مبناي 12 بر عالم حاكم شده است و اين مسئله مربوط به خلقت خداوند ميشود كه دليل آن در دو مبحث نظريه حبابهاي سطحي و شالوده هندسه دوجيني ، نظريه ذرات حجمي و ترديد در تئوري نيروي هسته‌اي قوي توضيح داده شد . سيستم دوجيني از بعضي جهات راحت‌تر از سيستم دهدهي است . راحتي فوق اصولا از اين حقيقت ناشي ميشود كه تعداد مقسوم عليه‌هاي دوازده از تعداد مقسوم عليه‌هاي ده بيشتر ميباشد . دوازده بر يك ، دو ، سه ، چهار ، شش و دوازده بخش‌پذير است . بنابراين بسياري از محاسبات دستي در سيستم دوجيني تا حدودي ساده‌تر از سيستم دهدهي هستند ، بعضي از كسرهاي معمولي كه در مبناي دهدهي به صورت عددهاي كسري متناوب در می‌آيند در مبناي دوجيني چنين نيستند . براي نمونه كسر 3/1 كه همان 12/4 ميباشد در مبناي دوجيني به صورت 0.4 است و ..... كه در صورت علاقمندي مراجعه نماييد به مبحث رياضيات مختص فيزيك چيست ؟

چنين به‌نظر ميرسد ، موجودات هوشمند منجمله انسان و UFO و USO كه توانايي انجام دادن عمليات و محاسبات رياضي را دارند به‌طور ذاتي از سيستم‌هاي شمارش بر مبناي ده‌تايي و دوازده‌تايي بهره ميجويند . به عكسهاي زير توجه نماييد .










دو عكس فوق مربوط به دو موجود دريايي است كه در ميان گذشتگان ما به پري دريايي شهرت يافته است اما نه به آن زيبايي كه در داستانهاي كودكانه ما آمده است . همانطور كه مشخص است تعداد انگشتان آنها در دو دست ، همانند انسان ده عدد ميباشد .







عكس فوق مربوط به جنازه يك سرنشين بشقاب پرنده است ( يوفو ) . همانطور كه مشخص است تعداد انگشتان او در دو دست ، همانند انسان 10 عدد ميباشد .






عكس فوق مربوط به ساخته دست يوفوها است ( اشياء بدست آمده از سقوط بشقاب پرنده در واقعه روزول ) . همانطور كه مشخص ميباشد تعداد انگشتان سازنده آن 12 تا بوده است كه بعضي از انسانها نيز به‌طور مادرزادي 12 انگشتي به دنيا مي‌آيند . لازم به توضيح است كه شواهد بسياري دال بر وجود رابطه نزديك مابين يوفوها و سرخ پوستان آمريكاي شمالي ، حتي فراعنه مصر در دست است و با توجه به اينكه انسانها تاكنون از سيستم‌هاي شمارش متعددي غير از ده استفاده نموده‌اند ، پيش بيني ميشود كه موجودات باشعوري با تعداد انگشتان متفاوتي نيز وجود داشته باشند ، منجمله عكس زير .






عكسهاي زير مربوط به ترسيم‌هايي ميشود كه در قاره آمريكا روي زمين آنهم در ابعاد بزرگ كشف شده است و حاكي از مبناهاي متعدد اعداد رايج در ميان سرخ پوستان بوده است .





به هر حال تعداد انگشتان يك موجود هوشمند تاثير زيادي در اندوخته‌هاي فكري و دانش او از عالم پيرامون دارد و چنين به‌نظر ميرسد كه موجودات 12 انگشتي باشعورترين ، موفق‌ترين و تكامل يافته‌ترين موجودات در عرصه علم و دانش منجمله رياضيات و فيزيك باشند . و مسلما موجودات باهوش‌تري هم يافت ميشوند كه اين سيستم شمارش اعداد را علي‌رغم مغايرت با تعداد انگشتان خود ، برگزيده‌اند چرا كه نشانه‌هايي از آن سيستم در ميان ما انسانها يافت ميشود كه دال بر وجود يك نوع رابطه علمي آنها با گذشتگان ما در روي سياره زمين بوده است و شايد آنها با گذشتگان ما نوعي همزيستي داشته‌اند .







عكس فوق مربوط به جنازه يك موجود 12 انگشتي است كه در كنار بشقاب پرنده سقوط كرده در نيومكزيكو ( واقعه روزول ) يافت شده است . اينك به رابطه اين اشكال با سيستم شمارش دوجيني يا هندسه دوجيني ميپردازيم و به چند نمونه از اين اشكال گندم‌زار اشاره ميكنيم .
















اشكال شش ضلعي برگرفته از ستاره داوود يعني نماي ايزومتريك مكعب كاملا مشهود است . اين اشكال ثابت مي‌كند كه سيستم شمارش اعداد و هندسه طراحان آن بر مبناي دوجيني است ، يعني به تعداد انگشتان دو دستشان .


آلبوم تصاوير

منبع:محمدرضا طباطبايي 

هندسه دوجيني و موسيقي

نُت يا نوت :

در موسيقي به دو معني بكار مي‌رود :

1- به معني واحد صدايي با فركانس ثابت كه نامي بر آن گذاشته شده كه در متون كهن فارسي به آن نغمه مي‌گويند .

2- به معني نمايش يا نشانه نوشتاري هر يك از اين صداهاست .

در معني اول نت‌ها هفت نام براي نوشتن اصوات موسيقي هستند . در ايران به پيروي از فرانسه و ايتاليا نت‌ها به اين صورت نام گذاري مي‌شوند : دو - ر - مي - فا -سُل - لا - سي ( do , re , mi , fa , sol , la , si ) . در روش نام‌گذاري الفبايي كه در كشورهاي انگليسي و آلماني زبان رايج بوده است ، نت‌ها به ترتيب "A , B , C , D , E , F , G" نام مي‌گيرند ، كه نت A در اين روش برابر با نت « لا » ( la ) در روش قبلي است .

در معني دوم ، براي مكتوب كردن اصوات موسيقي ، اين صداها را طبق قواعد خاصي بين يا روي پنج خط افقي مي‌نويسند كه به نام خطوط حامل شناخته مي‌شوند . خطوط حامل از پايين به بالا شمرده مي‌شوند ، به اين معني كه نتي كه روي خط پايين‌تر نوشته شود ، صدايي بم‌تر از نتي دارد كه بر روي خط بالاتر نوشته شده است . به اين ترتيب نام نوت از روي جايي كه روي خط‌هاي حامل قراردارد مشخص مي‌شود . ديگر مشخصات نوت مانند طول آن ( مدت زمان امتداد يافتن آن صدا ) و غيره را نيز با شكل‌هاي قراردادي كه براي نوت طرح شده نمايش مي‌دهند . نت‌هاي متوالي را از چپ به راست مي‌نويسند . دانشي كه به قواعد نوشتن نت‌هاي موسيقي و مقولات مرتبط با آن مي‌پردازد ، تئوري موسيقي نام دارد .
اُكتاو :
( به انگليسي Octave ، گاه به اختصار به صورت 8ve و P8 نيز نوشته مي‌شود ) در زبان لاتين يعني عدد هشت . اكتاو در موسيقي نشان دهنده ۷ نت پايه‌اي موسيقي : Do , Re , Mi , Fa , Sol , La , Si و نت هشتم كه تكرار نت Do اول با فاصله ۷ نت است مي‌باشد . هر ساز داراي دامنه خاصي از لحاظ تكرار اين نت‌ها مي‌باشد و دامنه سازها را اغلب با شمارش مجموع اين هشت نت كه برابر با يك اكتاو مي‌باشد مي‌سنجند . بديهي است كه سازهاي مختلف داراي تعداد اكتاوهاي مختلف مي‌باشند .

در واقع بازه اصوات موسيقي به زير بازه‌هايي به نام اكتاو بخش مي‌شود . يك اكتاو بازه فركانسي را شامل مي‌شود كه فركانس انتهاي آن دو برابر فركانس ابتداي آن است . پس فركانس هر نت دو برابر فركانس نت همنام خود در اكتاو قبلي است ( براي نمونه لا در اكتاو ۳ فركانس ۴۳۷ هرتز ، و لاي اكتاو ۴ فركانسي برابر ۸۷۴ هرتز دارد ) . فركانس نت‌هايي كه با فاصله يكسان از نظر موسيقي به ترتيب دنبال هم قرار مي‌گيرند ، تشكيل تصاعد هندسي مي‌دهند .

در سيستم كلاسيك يك اكتاو را به دوازده فاصله برابر تقسيم مي‌كنيم . كه به هر يك از اين فواصل يك نيم پرده مي‌گوييم . به طبع دو برابر نيم پرده ، يك پرده ‌است .

اگر بخواهيم اين اصطلاح را دقيق‌تر تعريف كنيم ، بايد به اين نكته توجه داشته باشيم كه در تقسيم بندي سيستم كلاسيك موسيقي ، فركانس نت‌هاي موسيقي رشته‌اي با تصاعد هندسي است . در اين صورت پرده واحدي براي معرفي فاصله دو صدا يا به بيان صحيح‌تر نسبت فركانس آن دو است . در اين سيستم هر اكتاو معادل شش پرده ( دوازده نيم پرده ) است . از آنجا كه فركانس هر نت دو برابر فركانس نت معادل آن در اكتاو پايين‌تر مي‌باشد ، مي‌توان قدر نسبت اين تصاعد هندسي ( نسبت فركانس هر نت نسبت به نت نيم پرده پايين تر ) را به دست آورد :(q = 2(1 / 12
نكته مهم اين است كه مغز در تشخيص موسيقي اصوات اين بازه از راه شناختن نسبت هندسي بين بسامد نت‌ها اقدام مي‌كند . در تنظيم نوت‌هاي موسيقي فركانس صوت اصلي يعني do را 440 هرتز در نظر مي‌گيرند . گام موسيقي ، مجموعه‌اي از چند نوت است كه فاصله آنها براي گوش خوشايند است . گام‌هاي متفاوتي در موسيقي وجود دارد . اكنون به توصيف گام طبيعي ( زارلن ) مي‌پردازيم .

گام طبيعي از هشت نوت : دو 1 ، ر ، مي ، فا ، سل ، لا ، سي ، دو 2 تشكيل شده است كه فاصله آنها از يك نوت مبنا دو 1 ( 440 هرتز ) كه كمترين بسامد را دارد ، به صورت زير است .






موزيك و دنباله فيبوناچي :
چنين به نظر ميرسد كه فركانس نت‌ها در اكتاوها بر پايه تناسبات ( تقسيمات ) اعداد فيبوناچي استوار شده است .




كيبورد ( صفحه كليد ) پيانو شامل دو گروه كليد ( كلاويه ) سفيد و مشكي ميشود . در هر اكتاو 8 كليد سفيد و 5 كليد مشكي وجود دارد كه كليدهاي مشكي به دو گروه دوتايي و سه تايي تقسيم ميشوند .


http://goldennumber.net/music.htm

جدول فوق توسط وب سايت http://goldennumber.net ارايه شده كه تناسبات ( تقسيمات ) اعداد فيبوناچي و رابطه آنها با فركانس نتهاي موسيقي مشخص و معرفي شده است .

گام يا فواصل خوش‌آيند صدا در موسيقي ، براي موجودات مختلف ، بسيار گوناگون و متنوع است ، براي اينكه موجودات در ساختار ژنتيكي ، حس و توان شنوايي ( محدوده اصوات ) و همچنين سيستم عصبي تنوع دارند . با توجه به سابقه طولاني موسيقي در ميان انسانها ، چنين به نظر ميرسد كه موسيقي حاصل كشف يا سازماندهي انسانها نباشد ، بلكه توسط موجودات هوشمندتري به انسانها آموخته و منتقل شده است . و دليل آن اينكه ساختار دوجيني در آن كاملا مشخص است و مربوط ميشود به سيستم شمارش بر پايه دوازده كه مورد استفاده انسان قرار نمي‌گيرد و مربوط ميشود به موجودات 12 انگشتي و يا موجوداتي كه اين سيستم را ترجيح داده‌اند .

گام موسيقي در ستاره داوود توسعه يافته :
همانطور كه در مبحث فاصله از مركز مدارها در شكل توسعه يافته ستاره داوود توضيح داده شد ، شعاع مدارها با استفاده از روابط مثلثاتي چنين بدست مي‌آيد :




نكته قابل توجه اينكه شعاع مدار هشتم درست دو برابر شعاع مدار اول است . پس ميتوان به وسيله مقدار عددي بدست آمده در محاسبات 8 فركانس ( يك اكتاو ) به منزله 8 نت موسيقي را مشخص نمود كه از قرار زير هستند :



با توجه به اختلاف جزيي در نت‌هاي 5 و 6 ميتوان اين دو نت را در هم ادغام و به شش نت اصلي رسيد .

عكس فوق مربوط به ساخته دست سرنشينان يوفو است ( اشياء  ميتواند مربوط به يك ابزار چند كاره ( چند منظوره ) باشد ، منجمله نوعي ساز دستي يا ابزار هدايت و ناوبري خود سامانه پرواز ( بشقاب پرنده ) بدست آمده از سقوط بشقاب پرنده در واقعه روزول ) . اشياء فوقو ...........
كيبورد مجازي پيانو :

http://www.bgfl.org/bgfl/custom/resources_ftp/client_ftp/ks2/music/piano/index.htm

http://www.primaryresources.co.uk/music/piano.html

http://www.poissonrouge.com/piano/index.htm

http://www.apronus.com/music/flashpiano.htm

منبع:http://ki2100.com/mat/music.htm

انسان اولیه نسبت به اعداد بیگانه بود و شمارش اشیاء اطراف خود را به حسب غریزه یعنی همانطور كه مثلاً مرغ خانگی تعداد جوجه هایش را می داند انجام می داد اما به زودی مجبور شد وسیله شمارش دقیق تری بوجود آورد لذا به كمك انگشتان دست دستگاه شماری پدید آورد كه مبنای آن ۶۰ بود.
این دستگاه شمار كه بسیار پیچیده می باشد قدیمی ترین دستگاه شماری است كه آثاری از آن در كهن ترین مدارك موجود یعنی نوشته های سومری مشاهده می شود. سومریها كه تمدنشان مربوط به حدود هزار سال قبل از میلاد مسیح است در جنوب بین النهرین یعنی ناحیه بین دو رود دجله و فرات ساكن بودند. آنها در حدود ۲۵۰۰ سال قبل از میلاد با امپراطوری سامی عكاد متحد شدند و امپراطوری و تمدن آشوری را پدید آوردند.
نخستین دانشمند معروف یونانی طالس ملطلی (۶۳۹- ۵۴۸ ق. م.) است كه در پیدایش علوم نقش مهمی به عهده داشت و می توان وی را موجد علوم فیزیك، نجوم و هندسه دانست. در اوایل قرن ششم ق. م. فیثاغورث (۵۷۲-۵۰۰ ق. م.) از اهالی ساموس یونان كم كم ریاضیات را بر پایه و اساسی قرار داد و به ایجاد مكتب فلسفی خویش همت گماشت. پس از فیثاغورث باید از زنون فیلسوف و ریاضیدان یونانی كه در ۴۹۰ ق. م. در ایلیا متولد شده است نام ببریم. در اوایل نیمه دوم قرن پنجم بقراط از اهالی كیوس قضایای متفرق آن زمان را گردآوری كرد و در حقیقت همین قضایا است كه مبانی هندسه جدید ما را تشكیل می دهند.
در قرن چهارم قبل از میلاد افلاطون در باغ آكادموس در آتن مكتبی ایجاد كرد كه نه قرن بعد از او نیز همچنان برپا ماند. این فیلسوف بزرگ به تكمیل منطق كه ركن اساسی ریاضیات است همت گماشت و چندی بعد منجم و ریاضی دان معاصر وی ادوكس با ایجاد تئوری نسبتها نشان داد كه كمیات اندازه نگرفتنی كه تا آن زمان در مسیر علوم ریاضی گودالی حفر كرده بود هیچ چیز غیرعادی ندارد و می توان مانند سایر اعداد قواعد حساب را در مورد آنها به كار برد.
در قرن دوم ق. م. نام تنها ریاضی دانی كه بیش از همه تجلی داشت ابرخس یا هیپارك بود. این ریاضیدان و منجم بزرگ گامهای بلند و استادانه ای در علم نجوم برداشت و مثلثات را نیز اختراع كرد. بطلمیوس كه به احتمال قوی با امپراطوران بطالسه هیچگونه ارتباطی ندارد در تعقیب افكار هیپارك بسیار كوشید. در سال ۶۲۲ م. كه حضرت محمد (ص) از مكه هجرت نمود در واقع آغاز شكفتگی تمدن اسلام بود.
در زمان مأمون خلیفه عباسی تمدن اسلام به حد اعتلای خود رسید به طوری كه از اواسط قرن هشتم تا اواخر قرن یازدهم زبان عربی زبان علمی بین المللی شد. از ریاضیدانان بزرگ اسلامی این دوره یكی خوارزمی می باشد كه در سال ۸۲۰ به هنگام خلافت مأمون در بغداد كتاب مشهور الجبر و المقابله را نوشت.
دیگر ابوالوفا (۹۹۸-۹۳۸) است كه جداول مثلثاتی ذیقیمتی پدید آورد و بالاخره محمد بن هیثم (۱۰۳۹-۹۶۵) معروف به الحسن را باید نام برد كه صاحب تألیفات بسیاری در ریاضیات و نجوم است. قرون وسطی از قرن پنجم تا قرن دوازدهم یكی از دردناكترین ادوار تاریخی اروپاست. عامه مردم در منتهای فلاكت و بدبختی به سر می بردند. برجسته ترین نامهایی كه در این دوره ملاحظه می نماییم در مرحله اول لئونارد بوناكسی (۱۲۲۰-۱۱۷۰) ریاضیدان ایتالیایی است. دیگر نیكلاارسم فرانسوی می باشد كه باید او را پیش قدم هندسه تحلیلی دانست.
در قرون پانزدهم و شانزدهم دانشمندان ایتالیایی و شاگردان آلمانی آنها در حساب عددی جبر و مكانیك ترقیات شایان نمودند. در اواخر قرن شانزدهم در فرانسه شخصی به نام فرانسوا ویت (۱۶۰۳-۱۵۴۰م) به پیشرفت علوم ریاضی خدمات ارزنده‌ای نمود. وی یكی از واضعین بزرگ علم جبر و مقابله جدید و در عین حال هندسه دان قابلی بود.
▪ كوپرنیك (۱۵۴۳-۱۴۷۳) منجم بزرگ لهستانی در اواسط قرن شانزدهم دركتاب مشهور خود به نام درباره دوران اجسام آسمانی منظومه شمسی را این چنین ارائه داد:
۱) مركز منظومه شمسی خورشید است نه زمین.
۲) در حالیكه ماه به گرد زمین می چرخد سیارات دیگر همراه با خود زمین به گرد خورشید می چرخند.
۳) زمین در هر ۲۴ ساعت یكبار حول محور خود می چرخد، نه كره ستاره های ثابت.
پس از مرگ كوپرنیك مردی به نام تیكوبراهه در كشور دانمارك متولد شد. وی نشان داد كه حركت سیارات كاملاً با نمایش و تصویر دایره های هم مركز وفق نمی دهد. تجزیه و تحلیل نتایج نظریه تیكوبراهه به یوهان كپلر كه در سال آخر زندگی براهه دستیار وی بود محول گشت. پس از سالها كار وی به نخستین كشف مهم خود رسید و چنین یافت كه سیارات در حركت خود به گرد خورشید یك مدار كاملاً دایره شكل را نمی پیمایند بلكه همه آنها بر روی مدار بیضی شكل حركت می كنند كه خورشید نیز در یكی از دو كانون آنها قرار دارد. قرن هفدهم در تاریخ ریاضیات قرنی عجیب و معجزه آساست.
از فعالترین دانشمندان این قرن كشیشی پاریسی به نام مارن مرسن كه می توان وی را گرانبها ترین قاصد علمی جهان دانست. در سال ۱۶۰۹ گالیله ریاضیات و نجوم را در دانشگاه پادوا در ایتالیا تدریس می كرد. وی یكی از واضعین مكتب تجربی است. وی قانون سقوط اجسام را به دست آورد و مفهوم شتاب را تعریف كرد. در همان اوقات كه گالیله نخستین دوربین نجومی خود را به سوی آسمان متوجه كرد در ۳۱ مارس ۱۵۹۶ در تورن فرانسه رنه دكارت به دنیا آمد. نام ریاضیدان بزرگ سوئیسی «پوب گولدن» را نیز باید با نهایت افتخار ذكر كرد.

[بزرگ‌نمایی تصویر]
شهرت وی بواسطه قضایای مربوط به اجسام دوار است كه نام او را دارا می باشد و در كتابی به نام مركزثقل ذكر شده. دیگر از دانشمندان برجسته قرن هفدهم پی یر دوفرما ریاضیدان بزرگ فرانسوی است كه یكی از برجسته ترین آثار او تئوری اعداد است كه وی كاملاً بوجود آورنده آن می باشد. ریاضیدان بزرگ دیگری كه در این قرن به خوبی درخشید ژیرارد زارك فرانسوی است كه بیشتر به واسطه كارهای درخشانش در هنر معماری شهرت یافت و بالاخره ریاضی دان دیگر فرانسوی یعنی روبروال كه بواسطه ترازوی مشهوری كه نام او را همراه دارد همه جا معروف است.
در اواسط قرن هفدهم كم كم مقدمات اولیه آنالیز عناصر بی نهایت كوچك در تاریكی و ابهام به وجود آمد و رفته رفته سر و صدای آن به گوش مردم رسید. بدون شك پاسكال همراه با دكارت و فرما یكی از سه ریاضیدان بزرگ نیمه اول قرن هفدهم بود و نیز می توان ارزش او را در علم فیزیك برابر گالیله دانست.
در نیمه دوم قرن هفدهم ریاضی بطور دقیق دنبال شد. سه نابغه فنا ناپذیر این دوره یعنی نیوتن انگلیسی، لایب نیتس آلمانی و هویگنس هلندی جهان علم را روشن كرده بودند. لایب نیتس در سال ۱۶۸۴ با انتشار مقاله ای درباره حساب عناصر بی نهایت كوچك انقلابی برپا كرد. هوگنس نیز در تكمیل دینامیك و مكانیك استدلالی با نیوتن همكاری كرد و عملیات مختلف آنها باعث شد كه ارزش واقعی حساب انتگرال در توسعه علوم دقیقه روشن شود.
در قرن هجدهم دیگر تمام طوفانهای قرن هفدهم فرو نشست و تحولات این قرن عجیب به یك دوره آرامش مبدل گردید. دالامبر فرانسوی آنالیز ریاضی را در مكانیك به كار برد و از روشهای آن استفاده كرد. كلرو رقیب او در ۱۸ سالگی كتابی به نام تفحصات درباره منحنی های دو انحنایی انتشار داد و در مدت شانزده سال رساله ای تهیه و به آكادمی علوم تقدیم نمود كه شامل مطالب قابل توجهی مخصوصاً در مورد مكانیك آسمانی و هندسه بی نهایت كوچكها بود. دیگر لئونارد اویلر ریاضیدان بزرگ سوئیسی است كه در ۱۵ آوریل ۱۷۰۷ م. در شهر بال متولد شد و در ۱۷ سپتامبر ۱۷۸۳ م. در روسیه درگذشت.
لاگرانژ از جمله بزرگترین ریاضیدانان تمام ادوار تاریخ بشر است. مكانیك تحلیلی او كه در سال ۱۷۸۸ . عمومیت یافت بزرگترین شاهكار وی به شمار می رود. لاپلاس كه در تدریس ریاضی دانشسرای عالی پاریس معاون لاگرانژ بود كتابی تحت عنوان مكانیك آسمانی در پنج جلد انتشار داد. گاسپار مونژ این نابغه دانشمند وقتی كه هنوز بیست سال نداشت شاخه جدید علم هندسه به نام هندسه ترسیمی را بوجود آورد.
ژان باتیست فوریه در مسأله انتشار حرارت روش بدیع و جالبی اختراع كرد كه یكی از مهمترین مباحث آنالیز ریاضی گردید. از دیگر دانشمندان بزرگ این قرن سیمون دنی پوآسون (۱۸۴۰-۱۷۸۱) فرانسوی و شاگرد لاپلاس می باشد كه اكتشافات مهمی در ریاضیات نمود گائوس ریاضیدان شهیر آلمانی تئوری كامل مغناطیس را بوجود آورد. مطالعات او درباره انحناء و ترسیم نقشه ها و نمایش سطوح بر صفحات اصلی و اساسی می باشد.
كوشی فرانسوی كه در سراسر نیمه اول قرن پانزدهم بر دیگر هموطنان برتری داشت با منطق دقیق خود تئوری های زیادی از حساب انتگرال را توسعه داد. آبل در سال ۱۸۲۴ ثابت نمود كه صرفنظر از معادلات درجه اول تا درجه چهارم هیچ دستور جبری كه بتواند معادله درجه پنجم را به نتیجه برساند وجود ندارد. گالوا كه در ۲۶ اكتبر ۱۸۱۱ م. در پاریس متولد شد تئوری گروهها را كه قبلاً بوسیله كوشی و لاگرانژ مطالعه شده بود در معادلات جبری به كار برد و گروه جانشینی هر معادله را مشخص كرد.
دیگر از دانشمندان بزرگ این قرن ژنرال پونسله فرانسوی می باشد كه آثاری همچون «موارد استعمال آنالیز در ریاضی» و «خواص تصویری اشكال» دارد همچنین لازار كانو فرانسوی كه اكتشافات هندسی او دارای اهمیت فوق العاده می باشد. میشل شال هندسه مطلق را با بالاترین درجه استادی به بالاترین حد ممكن ترقی داد. در نیمه اول قرن نوزدهم ریاضیدان روسی نیكلاس ایوانویچ لوباچوشكی نخستین كشف خود را درباره هندسه غیراقلیدسی به جامعه ریاضیات و فیزیك قازان تقدیم كرد.
ادوارد كومرنیز در نتیجه اختراع نوعی از اعداد به نام اعداد ایده آل جایزه ریاضیات آكادمی علوم پاریس را از آن خود كرد. در اینجا ذكر نام دانشمندانی نظیر شارل وایرشتراس و شارل هرمیت كه در مورد توابع بیضوی كشفیات مهمی نمودند ضروری است. ژرژ كانتور ریاضیدان آلمانی مكه در روسیه تولد یافته بود در ربع آخر قرن نوزدهم با وضع فرضیه مجموعه ها اساس هندسه اقلیدسی را در هم كوفت.
▪ كانتور مجموعه را به دو صورت زیر تعریف كرد:
۱) اجتماع اشیایی كه دارای صفت ممیزه مشترك باشند هر یك از آن اشیاء را عنصر مجموعه می گویند.
۲) اجتماع اشیایی مشخص و متمایز
ولی ابتكاری و تصوری هنری پوانكاره یا غول فكر ریاضی آخرین دانشمند جهانی است كه به همه علوم واقف بود. وی در بیست و هفت سالگی بزرگترین اكتشاف خود یعنی توابع فوشین را به دنیای دانش تقدیم نمود. بعد از پوانكاره ریاضیدان سوئدی متیاگ لفلر كارهای او را ادامه داد و سپس ریاضیدان نامی فرانسوی امیل پیكارد در این راه قدم نهاد. در اواخر قرن نوزدهم علم فیزیك ریاضی به منتها درجه تكامل خود رسید و دانش نجوم مكانیك آسمانی تكمیل گردید. امروزه ریاضیات بیش از پیش در حریم سایر علوم نفوذ كرده و نه فقط علوم نجوم و فیزیك و شیمی تحت انضباط آن درآمده اند بلكه اصولاً ریاضیات دانش مطلق و روح علم شده است.

منبع:

سازمان آموزش و پرورش استان خراسان

تابع
مفهوم تابع یا پردازه، در سراسر ریاضیات نوین و دیگر دانش‌ها و در همهٔ سطوح از ارزش بسزایی برخوردار است. این مفهوم در ابتدا در حساب دیفرانسیل و انتگرال که بیش‌تر به مطالعه توابع حقیقی و بررسی حد و مشتق و انتگرال آنها می‌پردازد شکوفا شد. شاید آنچه را که واژهٔ تابع در ابتدا در پندار خوانندهٔ کم و بیش آشنا با این مفهوم ایجاد کند، گزاره ای چون f(x)=x2+sinx و سایر گزاره‌های جبری باشد(به شرط تابع بودن) که بیش‌تر اعداد حقیقی و یا مختلط برای این مورد به‌کار برده می‌شود. ولی این مفهوم بسیار گسترده تر از این است و این تنها بخش کوچکی از مفهوم تابع است. در آغاز مفهوم تابع چندان فراگیر نبود ولی در ادامهٔ تلاش‌ها برای پیش‌نهادن(ارائه) تعریف و مفهومی کلی از تابع و گسترش نظریه مجموعه‌ها، پنداره‌ای(مفهومی) ساده و فراگیر از تابع ارائه شد. این کلیت به قدری است که مثلاً برای مطالعه حساب دیفرانسیل و انتگرال باید شرایطی اضافی را بر تابع(مانند پیوستگی و مشتق پذیری) اعمال کرد تا رده خاصی از توابع مورد نظر برای مطالعه حاصل شود. در بیشتر زمینه‌های ریاضی، اصطلاحات تبدیل و نگاشت نیز بیش‌تر با تابع هم معنی پنداشته می‌شوند. به هر روی شاید که در برخی زمینه‌ها ویژگی‌های دیگری داشته باشند. برای نمونه در هندسه، یک نگاشت گاهی یک تابع پیوسته تعریف می‌شود.
آشنایی با مفهوم
دو گزاره(عبارت) (y2=x (1 و (2) y=x2 را در نظر بگیرید که در آن x متغیری از اعداد حقیقی است.
در گزاره (1) اگر متغیر x را در گزاره بگذاریم دو اندازه(مقدار) برای y بدست می‌آید که عبارت اند از ، اما در گزارهٔ دوم با گذاشتن مقدار x مقداری یگانه برای y یعنی x2 بدست می‌آید. برای نمونه در گزاره (1) اگر x=2 آنگاه ولی اگر در گزاره (2) بگذاریم x=2 تنها یک جواب y=4 را بدست می‌آوریم. اگر متغییر x را ورودی و y که مقدار بدست‌آمده از گذاشتن متغیر x در گزاره است را خروجی بنامیم و هر یک از گزاره‌ها را به عنوان هنجاری(قاعده‌ای) بگیریم که هر ورودی x را طبق قانونی ویژه به خروجی y تبدیل می‌کند، می‌توان تفاوت بین دو گزاره را اینگونه گفت که در گزاره (1) برای هر ورودی x، هنجار مربوطه دو خروجی y را می‌دهد، در صورتی که در (2) برای هر ورودی x هنجار مربوط به آن دقیقاً یک خروجی y می‌دهد. در هر مورد هنجار را می‌توان یک روش ویژه برای تناظر هر ورودی x به خروجی خودش دانست. رده ویژه‌ای از هنجارهای(قواعد) تناظر وجود دارند که به هر وروی خود یک و فقط یک خروجی نسبت می‌دهند. این گونه هنجارها از اهمیت ویژه‌ای برخوردارند چرا که برای هر ورودی، خروجی آنها یکتا و صریحاً قابل محاسبه و بازگو(بیان) است. چنین هنجاری(قاعده‌ای) را در اصطلاح تابع می‌گوییم. پس بنابر آنچه تا اینجا بازگو شد یک تابع هنجاری(قاعده‌ای) است که هر متغیر دریافتی خود را فقط به یک خروجی نسبت می‌دهد.

شکل(1) نمونه‌ای از یک تناظر که تابع نیست

شکل(2) نمونه‌ای از یک تابع
برای نمونه تناظر شکل(1) نمایش دهنده یک تابع نمی‌باشد چراکه عضو 3 به دو عضو متناظر شده است. اما شکل(2) نشان دهنده یک تابع است هر چند که دو عضو گوناگون به یک عضو نسبت داده شده‌اند. حال تلاش می‌کنیم تعریفی ریزبینانه و قابل پذیرش از دیدگاه ریاضی برای این مفهوم پیدا کنیم. در این راه درآغاز نمادگذاری ویژه‌ای را می‌شناسانیم.
برای نمایش بهتر، تابع که خود یک هنجار(قاعده) برای تناظر است را با f نشان می‌دهیم و ورودی یا شناسه این تابع (هنجار) را با x نشان می‌دهیم که ممکن است عدد هم نباشد. یگانه مقدار خروجی که هنجار f به ورودی x نسبت می‌دهد را بجای y این‌بار با (f(x نشان می‌دهیم و آن را مقدار تابع f در x یا تصویر x تحت تابع f می‌گوییم. همچنین از این پس به هنجاری(قاعده‌ای) که هر x را به (y=f(x نسبت می‌دهد ضابطه تابع می‌گوییم. برای نمونه گزاره f(x) = x۲ نشان دهنده ضابطه یک تابع است، که در آن f شناسه x را دریافت می‌کند و آن را به x۲ نسبت می‌دهد. در این صورت برای ورودی ۳ مقدار f(3)=9 به دست می‌آید. نکته قابل توجه این است که نباید تابع را با ضابطه آن اشتباه کرد. به عنوان مثال در مثال فوق f معرف خود تابع و گزاره (f(x معرف ضابطه تابع است. همانطور که در ابتدا بیان شد، در یک تابع لزومی ندارد که حتماً بر روی اعداد علمیاتی انجام گیرد. به عنوان مثال تناظری که بین هر فرد و شماره شناسنامه آن وجود دارد نیز نمونه‌ای از توابع است. در ادامه نمونه های بیشتری را از این نوع توابع در ریاضیات خواهید دید. تا کنون مفهومی جالب توجه به نام تابع پیدا کردیم و به توصیف اجمالی آن پرداختیم. حال با در دست داشتن این مفهوم باید سعی در تعریف دقیق و قابل قبول آن از نظر ریاضی بکنیم. تابع را به عنوان یک هنجار تناظر تعریف کردیم که به هر عضو ورودی خود یک عضو یگانه را متناظر می‌کند. حال می‌توان همه عناصری را که به عنوان ورودی تابع قرار می‌گیرند در یک مجموعه قرار داد. در اختیار داشتن چنین مجموعه‌ای مفید است و باعث می‌شود متغیرهایی که به عنوان ورودی تابع در نظر گرفته می‌شوند را تعیین کنیم و عناصر اضافه را حذف کنیم. چنین مجموعه‌ای را دامنه تابع می‌گوییم. دامنه تابع f را با domf نشان می‌دهیم. به همین صورت می‌توان مجموعه همه خروجی‌های تابع که تصویر عناصر دامنه هستند را هم در نظر گرفت که به آن برد تابع گفته می‌شود و آن را با ranf یا Imf نشان می‌دهیم. (در خصوص این مفاهیم در ادامه دقیق‌تر بحث خواهد شد.) حال تابع را می‌توان به عنوان هنجاری خاص برای تناظر بین اعضای دو مجموعه دامنه و برد تعریف کرد. به بیان دقیق تر، اگر A و B دو مجموعه باشند، یک تابع از مجموعه A به مجموعه B را می‌توان هنجاری تعریف کرد که به هر عضو مجموعه A چون a یک و فقط یک عضو از مجموعه B را چون (f(a نسبت می‌‌دهد. تابع f از مجموعه A به مجموعه B را با نشان می‌دهیم. اگر f تابعی از مجموعه A به مجموعه B باشد، A را دامنه f می‌گوییم. اما مجموعه B می‌تواند مجموعه ای بیش از برد تابع باشد. f به هر عضو A یک عضو یکتا از B را نسبت می‌دهد اما تضمینی وجود ندارد که هر عضو مجموعه B الزاماً تصویر یک عضو از A تحت f باشد. پس در حالت کلی برد تابع f زیرمجموعه‌ای از مجموعه B است. مجموعه B را که برد تابع زیرمجموعه‌ای از آن است را همدامنه تابع f می‌گوییم و آن را با codomf نشان می‌دهیم. طبق آنچه بیان شد، برد تابع زیرمجموعه‌ای از همدانه‌اش است. می‌توان دید که برد یک تابع یکتا است ولی همدامنه آن چنین نیست. به عنوان مثال تابع را با ضابطه f(x)=x2 در نظر بگیرید. دامنه این تابع مجموعه اعداد حقیقی است اما آیا برد آن نیز همان مجموعه اعداد حقیقی R است؟ پاسخ آشکارا منفی است چون اعداد حقیقی منفی، چون 1- تصویر هیچ عدد حقیقی تحت f نمی‌باشند. برد این تابع مجموعه اعداد حقیقی نامنفی است که زیرمجموعه‌ای از اعداد حقیقی است. به نظر می‌رسد بیشتر قسمت‌های تعریف اولیه‌ای که از تابع ارائه دادیم را دقیق نمودیم و آنها را بر پایه مجموعه ها تعریف کردیم. اما نکته‌ای که هنوز در تعریف فعلی ما از یک تابع از مجموعه A به مجموعه B، به عنوان: «هنجاری که به هر عضو مجموعه A یک و فقط یک عضو از مجموعه B را تناظر دهد.» آزار دهنده و نادقیق است عباراتی چون «هنجار» یا «تناظر» است که از نظر ریاضی نادقیق هستند. چگونه می‌توان این هنجار و بعد از آن تناظری که این هنجار معرف آن است را به طور دقیق فرمول بندی کرد.
فرض کنید f:A→B یک تابع باشد. در این صورت تابع f با انتخاب یک عضو a€A آن را طبق ضابطه خود به عضو یکتای f(a)€B متناظر می‌کند. می‌توان هر عضو a را به‌وسیله زوج مرتب ((a,f(a) به (f(a نسبت دهیم. به این ترتیب، ممکن است معنی دقیق تناظر را ندانیم ولی به نظر طبیعی می‌‌رسد که تناظری که تابع f بین اعضای A و B ایجاد می‌کند را به‌وسیله زوج های مرتب ((a,f(a) برای هر a€A تعریف کنیم. حال تابع f به عنوان هنجار این تناظر، چیزی بجر توصیف نحوه تناظر اعضای A به B نیست که به طور کامل به‌وسیله همه زوج‌های مرتب ((a,f(a) برای هر a€A مشخص می‌شود پس تابع f را می‌توان به عنوان مجموعه همه این زوجهای مرتب، یعنی مجموعه همه زوج‌های مرتبی که مولفه اول آنها عضو A بوده و مولفه دوم آنها تصویر مولفه اول تحت تابع f است، تعریف کرد. شرط تابع بودن تضمین می‌کند که هیچ دو زوج متمایزی در تابع f دارای مولفه اول یکسان نخواهند بود.همچنین از اینجا بنا به تعریف حاصل ضرب کارتی دو مجموعه A و B چون a€A و f(a)€B می‌توان نوشت a,f(a))€A×B).
پس تابع f را می‌توان به عنوان زیرمجموعه‌ای از ضرب دکارتی دو مجموعه A و B در نظر گرفت. به عبارت دقیق تر تابع f را می‌توان به عنوان رابطه‌ای دو تایی از A به مجموعه B در نظر گرفت. در این صورت در تابع f:A→B برای هر a€A گزاره a,b)€f) را به صورت (b=f(a نشان می‌دهیم. حال همه چیز برای ارائه تعریفی دقیق از تابع آماده است.
تعریف دقیق تابع
تعریف
یک تابع از مجموعه X به مجموعه Y رابطه‌ای چون f از مجموعه X به مجموعه Y است که دارای شرایط زیر باشد:
1. دامنه f مجموعه X باشد، یعنی domf=X.
2. برای هر x∈X عنصر یگانه y∈Y موجود باشد که x,y)∈f) یا به عبارتی هیچ دو زوج مرتب متمایزی متعلق به f دارای مولفه اول یکسان نباشند. شرط یگانگی را به طور صریح می‌توان یه این صورت فرمول بندی کرد که اگر x,y)∈f) و x,z)∈f) آنگاه y=z.
رابطه‌ای را که دارای چنین شرایطی باشد، تابع خوش تعریف می‌گوییم.
برای هر x∈X یگانه عضو y در Y که به ازای آن x,y)∈f) را با (f(x نشان می‌دهیم. در مورد تابع این علامت گذاری، سایر علامت گذاری‌هایی را که در مورد روابط کلی تر استفاده می‌شوند چون x,y)∈f) یا xfy را متروک ساخته است. از این پس اگر f یک تابع باشد، بجای x,y)∈f) یا xfy می‌نویسیم (y=f(x. عضو y را مقدار تابع به ازای متغیر یا شناسه x، یا تصویر x تحت f می‌گوییم و نیز x را پیش نگاره y می‌گوییم. کلمات نگاشت، تبدیل، تناظر و یا عملگر نیز برخی از انبوه کلماتی هستند که ممکن است در منابع مختلف بجای تابع بکار بروند اما این عبارات عموماً در برخی حوزه‌ها، بر حالت‌های خاصی از توابع دلالت دارند. اگر f تابعی از مجموعه X به(در یا به توی) مجموعه Y باشد، این مطلب را به صورت سه تایی (f,X,Y) یا به طور معمول تر برای توابع با f:X→Y نشان می‌دهیم.
مشخص کردن تابع
برای مشخص کردن یک تابع باید دامنه و ضابطه آن را بشناسیم. منظور از ضابطه یک تابع f:X→Y، فرمول و یا دستوری است که برطبق آن برای هر x∈X، مقدار تابع f در x یعنی (f(x تعیین می‌شود. ضابطه تابع را می‌توان به صورت یک گزاره جبری، مجموعه‌ای از زوج‌های مرتب یا یک رابطه بازگشتی مشخص کرد.به این ترتیب برای مشخص کردن یک تابع از مجموعه X به مجموعه Y می‌نویسیم f:X→Y و سپس ضابطه آن را ذکر می‌کنیم. البته گاهی در مواقعی که بیم ابهام نرود دامنه تابع را ذکر نمی‌کنند و به ذکر ضابطه تابع بسنده می‌کنند. مثلاً عرف بر این است که در حساب دیفرانسیل و انتگرال دامنه توابع در صورت ذکر نشدن اعداد حقیقی یا بازه‌ای از اعداد حقیقی باشد.
دامنه و برد تابع
یک تابع f از مجموعه X به توی مجموعه Y را به عنوان نوعی رابطه از مجموعه X به Y تعریف کردیم. مفاهیم دامنه و برد همانگونه که برای روابط در حالت کلی قابل تعریف‌اند، به طریق اولی برای تابع f نیز قابل تعریف خواهند بود. بنا به تعریف دامنه تابع f که با domf نموده می‌شود، همان مجموعه X است. برد تابع f نیز مجموعه همه عناصری از Y است که تصویر عضوی از X تحت f باشند. برد تابع f را با ranf یا Imf نشان می‌دهیم. بنابه تعریف داریم:

اما همانطور که در گذشته نیز اشاره شد و از تعریف فوق نیز قابل برداشت است، برد f در حالت کلی لزوماً برابر مجموعه Y نمی‌باشد بلکه زیرمجموعه‌ای از آن است. برای تمایز بین مجموعه Y و برد تابع f به مجموعه Y همدامنه تابع f می‌گویند و آن را با codomf نشان می‌دهیم و بنا بر آنچه گفته شد، برد تابع زیرمجموعه‌ای از همدامنه‌اش هست.به عنوان مثال فرض کنید {X={1,2,3 و {Y={a,b,c,d و تابع f:X→Y به صورت {(f={(1,a),(2,b),(3,c تعریف شده باشد. وضوحاً دامنه این تابع مجموعه X است(می‌توان برای تعیین آن مجموعه همه مولفه‌های اول زوج‌های مرتب f را در نظر گرفت) ولی برد آن بنابه تعریف مجموعه {a,b,c} است که آشکارا زیرمجموعه حقیقی Y است.(یعنی زیرمجموعه آن است ولی با آن برابر نمی‌باشد) در حقیقت برد تابع f مجموعه همه مولفه‌های دوم زوج مرتب‌های f است. مجموعه همه عناصری از Y که به ازای یکx∈X داشته باشیم (y=f(x.
تساوی دو تابع
فرض کنید f:X→Y و g:Z→W دو تابع باشند. در این صورت تساوی دو تابع f و g را چگونه می‌توان تعریف کرد؟ وضوحاً تساوی f=g، تساوی بین دو مجموعه است و لذا f=g اگر و فقط اگر اعضای f و g یکسان باشند. این مطلب بسیار موجز است و می‌توان تفسیر زیبایی برای آن انجام داد. این مطلب در درجه اول ایجاب می‌کند که دامنه دو تابع f و g برابر باشند یعنی X=Z. چرا که برای هر x∈X ،x اگر و فقط اگر x,f(x))∈f) و چون f=g اگر و فقط اگر x,f(x))∈g) و این اگر و فقط اگر x∈Z پس X=Z. پس اولین شرط لازم برای تساوی دو تابع تساوی دامنه آنها است. حال دو تابع f:X→Y و g:X→Z باهم برابرند، یعنی f=g اگر و فقط اگر برای هر x∈X داشته باشیم(f(x)=g(x. به عبارت دیگر اگر f=g در این صورت برای هر x∈X دلخواه و از این پس ثابت، داریم x,f(x))∈f) و چون f=g پس x,f(x))∈g) و این یعنی (f(x)=g(x. بلعکس فرض می‌کنیم برای هر x∈X داشته باشیم(f(x)=g(x در این صورت، برای هر (x,y)∈f ،(x,y) اگر وفقط اگر (y=f(x و این اگر و فقط اگر (y=g(x پس x,y)∈g) و این یعنی f=g. بنابر آنچه گفته شد دو تابع f,g باهم برابرند اگر وفقط اگر دامنه‌شان با هم برابر باشد و برای هر x از دامنه مشترکشان، (f(x)=g(x. به عنوان مثال دو تابع و g(x) = | x | با دامنه اعداد حقیقی باهم برابرند. چرا که اولاً دامنه هر دو آنها اعداد حقیقی R است و برای هر x∈R داریم:
تحدید و توسیع
فرض کنید f:X→Y یک تابع و A زیرمجموعه‌ای از X باشد. در این صورت یک روش برای ساختن تابعی چون g از مجموعه A به مجموعه Y این است که برای هر g(x)،x∈A را مساوی (f(x تعریف کنیم. یعنی تابع g:A→Y با ضابطه (g(x)=f(x. بر خواننده است که خوش تعریفی این تابع را تحقیق کند. ممکن است راه دیگری نیز برای بیان این مطلب بیابیم و آن این است که دامنه تابع f را به زیرمجموعه A از X تقلیل دهیم. در این صورت تابعی خواهیم داشت که این بار نه بر روی همه اعضای X بلکه فقط بر روی عناصر زیرمجموعه خاصی از X یعنی A اثر می‌کند و لذا دامنه آن از X به A تغییر می‌یابد. چنین تابعی را که همان g است تحدید تابع f به مجموعه A می‌گوییم و آن را با f|A یا f|A نشان می‌دهیم. با این نمادگذاری داریم g=f|A. همچنین تابع f را توسیع تابع g به مجموعه X می‌گوییم. بنابراین مفاهیم تحدید و توسیع دو مفهوم متقابل به هم می‌باشند. تحدید یک تابع به زیرمجموعه‌ای از دامنه خود همواره یک تابع است اما توسیع دامنه یک تابع به یک مجموعه جدید که دامنه تابع قبل زیرمجموعه‌ای از آن است همواره تابع نمی‌باشد ولذا در مورد توسیع توابع احتیاط بیشتری لازم است. به طور کلی اگر f:A→Y یک تابع باشد توسیع تابع f به مجموعه X تابعی چون g با دامنه X است، به طوری که تحدید g به مجموعه A برابر تابع f باشد یعنی g|A=f. هچنین می‌توان همدامنه یک تابع را نیز تحدید کرد البته در این کار احتیاط لازم است، چراکه نباید اعضایی را که متعلق به برد تابع است را حذف نمود. اما اگر f:X→Y یک تابع باشد، با تحدید Y به (f(X که همان برد تابع f است می‌توان تابع (f:X→f(X را تشکیل داد که خواهید دید پوشا نیز هست.
تصویر و تصویر معکوس
اگر f:X→Y یک تابع و A زیرمجموعه‌ای از X باشد، ممکن است بخواهیم مجوعه‌ای را در نظر بگیریم که عناصر آن تصویر عناصر A تحت f می‌باشند. یعنی مجموعه‌ای که از تأثیر تابع f روی هر عضو مجموعه A حاصل می‌شود. چنین مجموعه‌ای را تصویر یا نگاره A تحت تابع f می‌گوییم و آن را با (f(A نشان می‌دهیم و به این صورت تعریف می‌کنیم:

بنابر این (y∈f(A اگر وفقط اگر به ازای y= f(x)،x∈A یا به بیان نمادین:

به عنوان مثال اگر {X={1,2,3,4,5 و {Y={a,b,c,d,e و f:X→Y به صورت:
{(f={(1,a),(2,b),(3,c),(4,d),(5,d
تعریف شود و زیرمجموعه A از X به صورت {A={1,3,4 در نظر گرفته شود در این صورت:
{f(A)={f(1),f(3),f(4)}={a,c,d
حال چون X نیز یک زیرمجموعه‌ای از خودش است می‌توان (f(X را نیز تشکیل داد، که در این صورت بنا به تعریف داریم:

که عبارت است از مجموعه همه عناصری از Y است که تصویر عضوی از X تحت f باشند که بنابه تعریف همان برد تابع f یعنی ranf است. به این ترتیب برد f را می‌توان تصویر X تحت تابع f تعریف کرد.
قضیه
اگر f:X→Y یک تابع باشد آنگاه:
1.
2.
3. اگر آنگاه
قضایای فوق به سادگی از تعاریف قابل اثبات می‌باشند. همچنین فرض کنید خانواده‌ای از زیرمجوعه‌های X باشد. در این صورت:
1.
2.
حال فرض کنید f:X→Y یک تابع باشد و B زیرمجموعه‌ای از مجموعه Y باشد. ممکن است بخواهیم مجموعه همه اعضایی از X را تعیین کنیم که تصویر آنها تحت f عضوی از B باشد.(به شباهت این مطلب با تصویرها توجه کنید) چنین مجموعه ای را با (B) نشان می‌دهیم و آن را تصویر معکوس یا پیشنگاره B تحت تابع f می‌گوییم. و بنابه تعریف داریم:

پس:

به عنوان مثال اگر {X={1,2,3,4,5 و {Y={a,b,c,d,e و f:X→Y به صورت:
{(f={(1,a),(2,b),(3,c),(4,d),(5,d
تعریف شود و زیرمجموعه B از Y به صورت {A={a,c,e در نظر گرفته شود در این صورت:
= {1,3} (B) مشاهده می‌کنید که برای عضو e از B عضوی از X وجود ندارد که تصویر آن تحت f برابر e باشد. در حقیقت می‌توان دید که تصویر معکوس B همواره ناتهی نیست، و تنها زمانی ناتهی است که اشتراک B با برد تابع f یعنی (f(X ناتهی باشد.همچنین وضوحاً Y نیز زیرمجموعه‌ای از خودش است، اگر (y) را بیابیم خواهیم داشت:

که وضوحاً از تعریف تابع این مجموعه برابر X است. پس همواره= x (y) .
قضیه
اگر f:X→Y یک تابع باشد آنگاه:
1.
2. اگر آنگاه
3. اگر B,C زیرمجموعه‌هایی از Y باشند آنگاه:
f − 1(C − B) = f − 1(C) − f − 1(B)
همچنین فرض کنید خانواده ای زیرمجوعه‌های Y باشند. در این صورت:
1.
2.

اجتماع توابع-توابع چند ضابطه‌ای
بسیار اتفاق می‌افتند که مقدار یک تابع در سراسر دامنه‌اش با یک ضابطه مشخص نمی‌شود مثلاً ممکن است دامنه تابع f که آن را X می‌نامیم را به n مجموعه X1,X2,X3,...,Xn افراز کنیم و تابع f با دامنه X را برای هر x∈Xi به صورت (f(x)=fi(x تعریف کنیم که در آن fi تابعی با دامنه Xi است. همچنین در این صورت می‌توان تابع f را برای هر x از دامنه به صورت زیر نوشت:

در این صورت f را تابعی با n ضابطه می‌گوییم.n در مثالی دیگر فرض کنید f:X→Y و g:Z→W دو تابع باشند که برای هر x متعلق به اشتراک X و Y (اشتراک دامنه f,g) داشته باشیم (f(x)=g(x. در این صورت تابع اجتماع دو تابع f,g را به صورت زیر تعریف می کنیم:


برخواننده است که خوش تعریفی این تابع را تحقیق کند. این مفهوم را می‌توان گسترش داد یعنی اگر خانواده‌ای از مجموعه‌های دو به دو جدا از هم باشد و برای هر fi,i∈I تابعی با دامنه Ai باشد، می‌توان تابع f، اجتماع توابع fi برای هر i∈I را با دامنه را به صورت برای هر x از دامنه به صورت (x) f(x)=fi اگر x∈Ai تعریف کرد. در ادامه نمونه‌هایی از توابع چند ضابطه‌ای را خواهید دید.
نمودار تابع
منظور از نمودار یک تابع f:X→Y به تصویر کشیدن تناظری است که f بین دو مجوعه X و Y ایجاد می‌کند. برای این کار برای همه وابط و بلاخص توابع عموماً از نمودار پیکانی استفاده می‌شود. برای رسم نمودار پیکانی تابع f:X→Y، دو منحنی بسته، نظیر آنچه در نمودار ون استفاده می‌شود را برای نمایش مجموعه X و Y انتخاب می‌کنیم و عناصر هر یک را به‌وسیله نقاطی در آنها مشخص می‌کنیم. سپس بین هر عضو x∈X و (f(x یک پیکان از x به (f(x به نشانه تناظر بین آن دو رسم می‌کنیم. به عنوان مثال اگر {X={1,2,3,4,5 و {Y={a,b,c,d,e و f:X→Y به صورت {(f={(1,a),(2,b),(3,c),(4,d),(5,d تعریف شده باشد نمودار پیکانی آن به صورت مقابل است.

شکل(3) نمودار پیکانی یک تابع

شکل (4) نمونه‌ای از نمودار یک تابع حقیقی در دستگاه مختصات دکارتی
این روش گرچه مناسب است ولی برای نمایش همه توابع بویژه توابعی با دامنه اعداد حقیقی(و به طور کلی توابعی که عددی هستند) چندان کاربرد ندارد. اگر f تابعی با دامنه اعداد حقیقی R باشد آن را تابع حقیقی می‌گوییم و برای نمایش نمودار آن از دستگاه مختصات دکارتی استفاده می‌کنیم و روش کار به این صورت است که برای هر x € R زوج مرتب ((x,f(x) که نماینده نقطه‌ای در صفحه دکارتی است را رسم می‌کنیم و به این ترتیب نمودار تابع f حاصل می‌شود. رسم نمودار تابع، باعث می‌شود دیدی کلی نسبت به آن تابع پیدا کنیم و همچنین بسیاری از خواص مربوط به توابع بویژه توابع حقیقی مانند پیوستگی، مشتق پذیری، نقاط بحرانی و عطف، صعودی یا نزولی بودن و... از روی نمودار آنها قابل تعیین است. به عنوان مثال با بررسی شکل(4) می‌توان گفت این تابع در چه بازه‌هایی صعودی و در چه بازه‌هایی نزولی است، این تابع در سراسر دامنه خود پیوسته و مشتق پذیر است، دارای دو نقطه بحرانی و یک نقطه عطف است و ... .

شکل(6)
همچنین از روی نمودار یک رابطه می‌توان تابع بودن آن را بررسی کرد. به عنوان مثال نمودار شکل(1) معرف یک تابع نمی‌باشد چون عضو 3 به دو مقدار متناظر شده است. همچنین در نمودار رسم شده در دستگاه دکارتی در شکل مقابل، وضوحاً برای هر عدد حقیقی مثبت x تابع دارای دو مقدار است. به طور کلی یک نمودار در دستگاه مختصات دکارتی یک تابع است اگر هر خط عمودی مرسوم بر محور x ها نمودار را حداکثر در یک نقطه قطع کند.
تابع یک به یک و پوشا
فرض کنید f:X→Y یک تابع باشد. در اینصورت برای تناظری که بین اعضای X و Y به‌وسیله تابع f برقرار می‌شود حالات مختلفی را می‌توان تصور کرد.

شکل(7)
اولین حالت اینکه ممکن است به ازای هر y متعلق به برد تابع f، تنها یک x در دامنه موجود باشد که (y=f(x. این شرط را می‌توان چنین فرمول بندی کرد که اگر به ازایX x1,x2€داشته باشیم f(x2) =( f(x1آنگاه 2x =1x یا:


چنین تابعی را با این ویژگی یک تابع یک به یک(تک گزین) یا انژکتیو می‌گوییم. یک به یک بودن تابع f را گاهی برای اختصار با نماد 1-1 نشان می‌دهند. در چنین حالتی ضمن اینکه بدلیل تابع بودن f هیچ دو زوج مرتبی از f دارای مولفه اول یکسان نمی‌باشند، به دلیل یک به یک بودن هیچ دو زوج مرتبی از f دارای مولفه دوم یکسان نیز نمی‌باشند. به عنوان مثال R→ f: Rبه ضابطه 2f(x)=x یک به یک نمی‌باشد چرا که اگر f(x2)=( f(x1در این صورت اما الزاماً این نتیجه نمی‌دهد 2x =1x پس تابع یک به یک نمی‌باشد.
یک به یک بودن یک تابع از روی نمودار تابع نیز قابل بررسی است. در نمودار پیکانی تابع یک به یک f، وضوحاً به هر عضو از همدامنه f انتهای حداکثر یک پیکان وارد شده است. به این ترتیب نمودار پیکانی شکل(2) نمایش گر یک تابع غیر یک به یک است. همچنین نمودار یک تابع حقیقی یک به یک به گونه‌ای است که هر خط موازی محور x ها، نمودار آن را حداکثر در یک نقطه قطع می‌کند. به این ترتیب نمودار شکل(4) مربوط به تابعی غیر یک به یک است.
همانطور که در گذشته نیز اشاره شد در تابع f:X→Y برد f ممکن است دقیقاً برابر مجموعه Y نباشد، ولی همواره زیرمجموعه‌ای از Y است.حال اگر برد تابع f برابر مجموعه Y باشد یعنیran f=y در ایټbr>

تلاش بی پایان ذهن انسان های كنجكاو برای كشف ناشناخته ها و حل مسائل جالب یكی از جنبه های زیبای زندگی است. تاریخ علم نشان می دهد كه دانشمندان و ریاضیدانان متعددی عمر طولانی خود را وقف حل معماهای مختلف و شناسایی اسرارطبیعت و جامعه كرده و با حل هر مسأله نام خود را جاودانی كرده اند.
تكنولوژی كامپیوتر با توجه به پیشرفت جهشی خود در ۶۰ سال اخیر، هم به عنوان یك ابزار حل مسأله، هم به عنوان منبعی از كاربردهای متنوع آن، روز به روز جذاب تر شده و در این رابطه، الگوریتم به عنوان روش و مراحل حل مسأله، نقش كلیدی را در این فناوری ایفا می كند. یك مثال ساده برای الگوریتم، دستورالعمل های لازم برای روی هم قرار دادن قطعات مدل هواپیماست. این مونتاژ از قطعه خاصی شروع شده و سپس قطعات دیگر به ترتیب تا كامل شدن مدل، روی هم قرار می گیرند. یك برنامه كامپیوتری كه برای پیاده سازی و اجرای الگوریتم ها روی رایانه به كار می رود، مجموعه متناهی از دستوراتی است كه به ترتیب معینی از نخستین دستور به ترتیب تا انتها باید اجرا شوند.
این نوشته انواع الگوریتم ها را به صورت مختصر با عنوان مثال هایی برای هر كدام بررسی و مطالعه می كند. منظور از انواع الگوریتم ها، ارائه یك راه حل جامع و كارآمد برای مسائل مختلف است. الگوریتم ها هسته مركزی راه حل مسائل متعددی در بخش های علوم پایه، مسائل تجاری، رشته های مهندسی مانند طراحی پل ها، سدها، خودروها، هواپیماها، پیش بینی وضع جوی و نقشه های مربوطه، تجزیه و تحلیل ساختار مولكول ها و DNA، كشف ذخایر گاز و نفت و طراحی و بهینه سازی سیستم های كامپیوتری است.
از لحاظ تاریخی كلمه الگوریتم برگرفته از نام ریاضیدان معروف قرن نهم هجری، الخوارزمی است كه برای نخستین بار در كتاب معروف جبر و مقابله برای بعضی از مسائل ریاضی مانند معادلات خطی و معادلات درجه دوم، راه حل نوینی مطرح كرد كه تا آن مقطع زمانی ارائه نشده بود. الگوریتم به عنوان مراحل حل یك مسأله یا انجام یك كار، مجموعه ای متناهی از دستورالعمل هایی است كه برای رسیدن به خروجی های مطلوب با شروع از یك حالت اولیه به كار می رود.
در تعریف ریاضی الگوریتم به دستورالعمل ها یا رویه های خوش تعریف اطلاق می شود كه به وسیله ماشین تورینگ كه یك مدل انتزاعی از كامپیوترهای دیجیتال است، شبیه سازی و اجرا گردد.
روش های زیادی برای گروه بندی الگوریتم ها با توجه به قابلیت و توانایی های هر دسته وجود دارد. از یك دیدگاه كلی می توان الگوریتم ها را به دو گروه عمده الگوریتم های ترتیبی و الگوریتم های موازی تقسیم كرد.
● الگوریتم های ترتیبی
در این گروه از الگوریتم ها، رایانه فقط از یك پردازنده برای اجرای دستورالعمل ها به صورت ترتیبی (سریال) استفاده می كند. در این نوع رایانه ها كه به نام معماری فون نیومن معروف است، برنامه و داده ها در حافظه ذخیره می شوند. ریزپردازنده هر بار یكی از دستورات برنامه را بازیابی كرده، پس از تفسیر آن را اجرا می كند. چنین رایانه هایی را SLSD (جریان تك دستوری، جریان تك داده ای) می گویند. در اینجا به ۲ روش از الگوریتم های ترتیبی اشاره می شود.
▪ روش تقسیم و حل
در این روش، با استفاده از رویه های بازگشتی، مسأله اصلی را به زیرمسأله های كوچكتری تا جایی تقسیم می كنند كه امكان تقسیم مجدد آن وجود نداشته باشد. سپس با حل ساده ترین زیرمسأله ها و تركیب آنها با یكدیگر می توان به حل مسأله اصلی نائل شد. رویه بازگشتی، الگوریتمی است كه با استفاده از فراخوانی خودرویه، دستورات تشكیل دهنده آن را تا رسیدن به شرایط اولیه و خروج از آن، مكرر اجرا كند.
روش تقسیم و حل، یك روش طراحی بالا به پائین است، یعنی الگوریتم یك مسأله از سطح بالا به زیرمسأله ها تقسیم بندی می شود. به عنوان مثال می توان الگوریتم های جست وجوی دورویی در یك بردار (آرایه یك بعدی) یا در یك جدول (آرایه دوبعدی) ، مرتب سازی تركیب و مرتب سازی سریع ، مسأله برج های هانوی ، ضرب «ماتریس به روش استراسن»، عملیات محاسباتی مانند ضرب و جمع اعداد صحیح بسیار بزرگ و جدول مسابقات تیم ها در یك جام حذفی را با استفاده از روش تقسیم و حل انجام داد.
▪ الگوریتم برنامه نویسی پویا
در برنامه نویسی پویا به عنوان یك روش طراحی الگوریتم، چون راه حل مسأله از طریق تقسیم آن به زیرمسأله ها به دست می آید، مشابه روش تقسیم وحل است ولی برعكس آن، یك روش پائین به بالا یا یك روش جز به كل است، یعنی حل مسأله را از ساده ترین زیرمسأله شروع كرده و با قراردادن نتایج در یك آرایه، آنها را در محاسبات بعدی استفاده می كنند. در صورتی كه روش تقسیم و حل فاقد حافظه است. این روش طراحی الگوریتم، دارای شرایط بهینه سازی است وزیرمسأله ها هم بهینه هستند. به عنوان مثال، اگر برنامه نویسی پویا، برای مسأله كوتاه ترین مسیر كه با یك گراف مدل سازی می شود به كار می رود، هر زیرگرافی هم باید دارای ویژگی كوتاه ترین مسیر بین رأس های متشكله آن باشد. اگر اصل بهینه سازی برای یك مسأله مفروض، صدق كند می توان یك رابطه بازگشتی برای حل مسأله و زیرمسأله ها ارائه داد.
الگوریتم فلوید برای تعیین كوتاه ترین مسیر، ضرب زنجیری ماتریس ها، درخت های جست وجوی دورویی بهینه حاصل جمع بهینه لیستی از n عدد حقیقی، تعیین طولانی ترین زیر مشترك در دو رشته دلخواه و مسأله فروشنده دوره گرد (TSP) با استفاده از روش برنامه نویسی پویا قابل انجام هستند.
▪ الگوریتم های حریصانه
الگوریتم های حریصانه مشابه برنامه نویسی پویا، بیشتر برای حل مسائل بهینه سازی به كار می روند. با این اختلاف كه در برنامه سازی پویا از یك رابطه بازگشتی برای حل زیرمسأله ها استفاده می كنند. در روش حریصانه، تقسیم مسأله ها به زیر مسأله ها انجام نمی گیرد و روش تكرارشونده را به كار می برند.
در روش حریصانه در هر لحظه، با توجه به عناصر داده ای مفروض، عنصری را كه دارای ویژگی بهترین یا بهینه است (مانند كوتاه ترین مسیر، بالاترین ارزش، كمترین سرمایه گذاری، بیشترین سود و ...) انتخاب می كنند بدون این كه انتخاب های قبلی ما بعدی را در نظر بگیرد ولی انتخاب های بهینه محلی همواره منجر به راه حل بهینه سراسری نمی شود. این روش انتخاب، منجر به ارائه یك الگوریتم ساده و كارآمد می شود.
تعیین درخت های پوشالی مینیمم با استفاده از الگوریتم های پرایم، كروسكال محاسبه كوتاه ترین مسیر تك منبع با كاربرد الگوریتم دایجسترا ، مسأله زمان بندی مانند بهینه سازی زمان انتظار و سرویس به كاربران برای دسترسی به دیسك گردان ها در یك شبكه رایانه ای، تعیین حداكثر بهره برای مشتریان در یك زمان معین و مسأله كوله پشتی (كسری، صفرو یك) با استفاده از روش حریصانه قابل اجرا هستند.
الگوریتم عقبگرد
▪ الگوریتم عقبگرد، برای یافتن جواب مسأله ای با فضای جست وجو به طور گسترده ای به كار می رود و از آن به عنوان حالت اصلاح شده جست وجوی عمقی یك درخت نام می برند. در این روش، منظور از عقبگرد، پیدا كردن راه حل مسأله از طریق جست وجوی عمقی در درخت فضای حالت برای یافتن گره های امید بخش است. در صورتی كه موقع پیمایش درخت به یك گروه غیرامیدبخش برخورد كند كه منجر یه یافتن جواب مسأله نمی شود، باید به سمت ریشه درخت برگشته و عمل جست وجو را در دیگر شاخه ها ادامه داد. این فرآیند را هرس كردن درخت فضای حالت می نامند.
به عنوان مثال، مسأله n وزیر، استفاده از الگوریتم مونت كارلو برای نخستین كارآیی یك الگوریتم عقبگرد، مسأله حاصل جمع زیرمجموعه ها، مسأله رنگ آمیز گراف، مسأله مدارهای هامیلتونی، مسأله كوله پشتی صفر و یك با استفاده از راهبرد عقبگرد، قابل حل هستند.
▪ الگوریتم شاخه وقید
روش شاخه و قید با ایجاد درختی از زیرمسأله ها با توجه به مسأله اولیه و پیمایش درخت بدون قاعده خاصی، دنبال جواب های مسأله می گردد. این روش شكل بهبود یافته ای از الگوریتم عقبگرد است كه در آن شیوه خاصی را برای ملاقات گره ها اعمال نمی كند و در هر گره برای امیدبخش بودن آن گره، قید یا عددی را محاسبه می كند و فقط برای مسائل بهینه سازی استفاده می شود. به عنوان مثال مسأله كوله پشتی صفر و یك، بهترین جست وجو با هرس كردن، ایجاد یك تور بهینه و محاسبه طول آن، مسأله فروشنده دوره گرد و استنباط با عكس العمل استفاده از روش شاخه و قید اجرا می شود.
ا▪ لگوریتم جست وجو و پیمایش
این روش روی دو گروه از مسائل قابل اعمال هستند:
۱) روش های پیمایش
در روش های پیمایش، باید تك تك گره های یك درخت دودویی برای بررسی مقادیر عددی آنها ملاقات و بررسی جست وجو شوند.
۲) روش های جست وجو
روش های جست وجو كه حالت عمومی تری نسبت به روش های پیمایش هستند، می توانند روی رئوس یك گراف اعمال شوند.
جست وجو و پیمایش در درخت های دودویی و جست وجو و پیمایش گراف ها به صورت عرضی یا عمقی به وسیله این الگوریتم ها قابل حل هستند.
▪ الگوریتم ژنتیك
اخیراً دانشمندان رشته رایانه از نظریه تاریخی داروین برای حل مسائل علمی پیچیده استفاده می كنند تا بتوانند عملیات هوشمندانه را پیش ببرند. ۳ عامل اصلی نظریه داروین عبارتند از:
۱) تنوع: مشخصات والدین متفاوت با یكدیگر تركیب شده تا بتوانند موجودی را با خصوصیات برتر به وجود آورند.
۲) تصادف: عاملی است كه تغییراتی را در موجود فرزند ایجاد می كند.
۳) انتخاب: محیط، موجوداتی را گزینش می كند كه دارای شایستگی بالاتری از لحاظ ادامه حیات و تولید مثل باشند.
مدلسازی در الگوریتم ژنتیك بر پایه فرایند طبیعی تكامل و اصل بقای برتر است و مشابه طبیعت، عمل را با حفظ و تقویت جنس برتر و از بین رفتن جنس ضعیف انجام می دهد. در نتیجه منجر به ایجاد قدرتمندترین ساختار یا بهینه ترین آن برای بقا در محیط می شود. روش انتخاب ژنتیكی در طول میلیون ها سال، طبیعتی را پدید آورده كه براساس اصل بقای برتر و جهش سازنده قادر به حل پیچیده ترین مسائل از جمله ساختارهای پروتئینی برپایه بهترین جانشین آمینواسیدها عمل می كند.

منبع:

مناف ـ شریف زاده
روزنامه ایران

عيد فطر پيشاپيش مبارك

پیدایش رسمی احتمال از قرن هفدهم به عنوان متدی برای محاسبه شانس در بازیهای قمار بوده است. اگر چه ایده های احتمال شانس و تصادفی بودن از تاریخ باستان در رابطه با افسونگری و بخت آزمایی و بازیهای شانسی و حتی در تقسیم کار بین راهبان در مراسم مذهبی وجود داشته است و به علاوه شواهدی از بکارگیری این ایده ها در مسایل حقوق٫ بیمه٫ پزشکی و نجوم نیز یافت میشود٫ اما بسیار عجیب است که حتی یونانیان اثری از خود در رابطه با استفاده از تقارنی که در هندسه بکار می برده اند در زمینه احتمال یا اصولی که حاکم بر مسایل شانس باشد بجا نگذاشته اند.
● ارسطو پیشامدها را به سه دسته تقسیم می نمود:
۱) پیشامدهای قطعی که لزومآ اتفاق می افتادند.
۲) پیشامدهای احتمالی که در بیشتر موارد اتفاق می افتادند.
۳) پیشامدهای غیر قابل پیش بینی و غیر قابل شناسایی که فقط با شانس محض رخ میدهند.
اما ارسطو به تعبیرهای مختلف احتمال اعتقاد نداشته و فقط احتمال شخصی که مربوط به درجه اعتقاد افراد نسبت به وقوع پیشامدهاست را معتبر می دانسته است.
پاسکال و فرما اولی کسانی هستند که در اوایل قرن هفدهم مسایل مربوط به بازیهای شانسی را مورد مطالعه قرار دادند و این دو نفر به عنوان بنیانگزاران تیوری ریاضی احتمال لقب گرفته اند. دانشمندانی از قبیل هی گنز کارهای آنها را ادامه داده و ویت و هلی این مسایل را در آمارهای اجتماعی بکار گرفتند. این علم جدید نخستین نقطه اوج خود را در اثر مشهوری از ژاکوب برنولی بدست آورد. در این اثر علاوه بر تعریف کلاسیک احتمال ریاضی٫ اساس خاصی از قانون اعداد بزرگ و کاربردهای احتمال در آمارهای اجتماعی نیز مطرح شده است.
در قرن هجدهم متفکران بزرگی چون دی مور٫ دانیل برنولی٫ آلمبرت٫ اویلر٫ لاگرانژ٫ بیز٫ لاپلاس و گاوس قسمتی از وقت خود را به این علم جدید اختصاص دادند. بیز در سال ۱۷۶۳ قانون معروف بیز را ارایه می دهد و لاپلاس در نوشته ای تمام موضوع علم احتمال را جمع آوری می کند. مهمترین قضایای حدی که در محاسبات احتمالی بکار می رفته و تاثیر احتمال در ریاضی٫ فیزیک٫ علوم طبیعی٫ آمار٫ فلسفه و جامعه شناسی در این اثر جمع آوری شده است.
با مرگ لاپلاس در سال ۱۸۷۲ اوج پیشرفت این علم به اتمام رسید و علی رغم برخی تلاشهای فردی که ماحصل آنها کشف قضایایی چون قضیه اعداد بزرگ پواسون و یا نظریه خطاهای گاوس بود٫ بطور کلی احتمال کلاسیک ارتباط خود را با مسایل تجربی و علمی از دست میدهد. اما جریانهای متقابل ظاهر می شوند. به موازات پیشرفت نظریه ریاضی یک نظریه آمار به عنوان کاربردهایی از احتمال بوجود می آید. این نظریه در رابطه با مسایل مهم اجتماعی از قبیل اداره داده های آماری٫ مطالعه جمعیت و مسایل بیمه بکار می رفته است. اساس کار توسط افرادی چون کوتلت و لکسیز ریخته شده و توسط دانشمندانی چون فشنر(روانشناس)٫ تیله و برانز(منجمان)٫ گالتون و پیرسون(زیست شناسان) پیشرفت نموده است. این کارها در اواخر قرن نوزدهم در جریان بوده و در انگلستان و برخی دیگر از کشورها حرفه حسابگری٫ به مفهوم آماردانی که از اقتصاد و ریاضی هم اطلاعاتی دارد و در جمعیت شناسی و بیمه خبره می شود٫ رونق می یابد. از طرف دیگر فرمولهای کلاسیک ایده های احتمال میز مسیر پیشرفت و کاربردی خود را ادامه میدادند. در این قرن در تلاش برای روشن سازی پایه منطقی کاربردهای احتمال٫ وان میزز یک فرمولبندی جدید برای محاسبات احتمالی ارایه میدهد که نه تنها از نظر منطقی سازگار بوده بلکه نظریه ریاضی و تجربی پدیده های آماری در علوم فیزیکی و اجتماعی را پایه گذاری می نماید.
مدل کلاسیک احتمال توسط برنولی و لاپلاس معرفی شد. این مدل به دلیل فرض همطرازی و عدم امکان تکرار در شرایط یکسان و دلایل دیگر با اشکالاتی روبروست که بسیاری از پدیده های طبیعی بر آن منطبق نیست.
ایده های اساسی نظریه تجربی احتمال که قرار دادن فراوانی نسبی بجای احتمال است در سال ۱۸۷۳ توسط پواسون ارایه گردید.
بسیاری از مسایل احتمال حتی قبل از بیان اصول آن توسط کلموگرف در سال ٫۱۹۳۳ با ابزارهای تجربی و حتی نظری توسط دانشمندان مطرح شده است. ولی کلموگرف با بیان اصول احتمال پایه این علم و ارتباط دقیق آنرا با مباحث ریاضی مستحکم می نماید.
در این زمان احتمال به عنوان یکی از شاخه های ریاضی٫ نه تنها کلیه ابزارهای ریاضی را جهت پیشرفت خود بکار می گیرد٫ بلکه توانسته کاربردهایی را در حل برخی از مسایل ریاضی داشته باشد. نظریه احتمالی اعداد٫ نظریه احتمالی ترکیبیاتی و کاربردهای شاخص احتمال در برخی از مسایل آنالیز٫ بعضی از کاربردهای احتمال در ریاضی هستند.
از طرف دیگر احتمال به عنوان زیربنای ساختاری و اصول ریاضی علم آمار٫ در جهت پیشرفت این علم و قوام بخشی به دستورات آن نقشی اساسی دارد.
مسایل جالب احتمال هندسی و نظریه احتمالی اعداد٫ شمه ای از زیبایی های احتمال است که همه اینها با هم زیبایی٫ کارآیی و توان علم احتمال را نشان می دهند.
● خوان اول از کنفرانس ابرساختارهای جبری:
ابرساختارها چیزی نیستند جز تعمیم ایده های کلاسیک به سطحی بالاتر. به عنوان مثال تعریف عملگر از مجموعه ای به پاورست آن مجموعه (پاورست همان مجموعه تمام زیر مجموعه های یک مجموعه است.).منبع:دانشجویان

ریاضیات یک علم مطلق است برعکس علم فیزیک که بیشتر بر آنچه ما در می یابیم استوار می باشد . همان طور که همه ما می دانیم در علم ریاضیات از هر فاصله کوتاهی ، فاصله کوتاه تری نیز وجود دارد .
مثلا اگر نقطه ای به صورت مداوم در جهت خلاف محور X ها حرکت کند ، با گذشت زمان مقداری را که نقطه بر روی محور X ها نشان میدهد کمتر و کمتر خواهد شد . درست مانند قضایای حد و پیوستگی که نقطه X به سمت صفر میل داده می شود .
حال یک سوال باقی مانده چگونه با وجود اینکه از هر فاصله کوچکی ، فاصله کوتاه تری هم هست ، اجسام موجود به یکدیگر می رسند و یا بهتر بگویم شما با حرکت به طرف یک جسم به آن می رسید . و یا وقتی سنگی به طرف شیشه پرتاب می شود ، منجر به شکستن شیشه می شود . مگر نباید همواره فاصله اندکی میان این دو باقی بماند . این مسئله بسیار ساده به نظر میرسد و در نگاه اول همگی عنوان می کنند که مفهومی ندارد .
یکبار دیگر بررسی کنیم در راستای رسیدن به هم دو جسم در حال حرکتند و فاصله مابین آنها لحظه به لحظه کاهش می یابد . با وجود اینکه می دانیم از هر فاصله کوچکی فاصله کوچکتری هم هست باز انتظار داریم که این دو جسم به یکدیگر برسند . بیایید خارجی ترین نقطه دو جسم که به یکدیگر نزدیک ترند را در نظر بگیریم . حرکت آغاز شده و فاصله هر لحظه کاهش می یابد به قدری فاصله کم شده که خارجی ترین اتم اجسام در نظر گرفته شده ولی باز این دو هم نباید به هم برسند .
● یک تضاد کامل میان مشاهده و علم .
صراحتا باید اعلام کرد که در هستی رسیدن مطلق وجود ندارد . به عبارت دیگر اجسام هرگز به هم نمی رسند . اطراف تمام جرم های هستی هاله ای وجود دارد که می توان از آن به نیروی حریم یاد کرد این حاله دارای مرز نمی باشد بلکه به مثال مه که از روی دریاچه به طرف ساحل غلظت آن کم می شود ، خواهد بود .
اجسام در نزدیک شدن به یکدیگر با در هم رفتن این نیروی حریم و افزایش دافعه ، برای ما رسیدن دو جسم را توجیه می کنند . در مثال هایی که باعث شکست مولکولی می شود مانند شکستن شیشه توسط سنگ ، به دلیل نفوذ نیروی دافعه حریم سنگ به دافعه حریم شیشه ، عمل شکستن شیشه به وقوع می پیوندد .
مهمترین قسمت این جاست که ما باید بدانیم این نیرو دارای برد کوچکتری از نیروهای چسبندگی سطحی می باشند . همانطور که می دانیم این نیرو ها باعث چسبندگی اجسام در موارد خاص به هم می شوند .
کسی قادر به درک این مقاله بوده که اکنون بپرسد اگر برای رسیدن دو جسم به هم یک میزان نفوذ دو نیروی حریم در یکدیگر نیاز باشد ، همین مقدار نفوذ هم خودش دارای مرزی می باشد که قضیه فاصله در اینجا هم با ید صدق کند و ما هرگز به مرز نفوذ کافی نخواهیم رسید ؟
مسئله بسیار مهمتر از این مقاله آن است که هر وقت دو حد داشته باشیم ،
که یکی مرتبا کاهش یابد ( فاصله میان دو جسم از بی نهایت به طرف صفر نزول میکند )
و یکی دیگر مرتبا افزایش یابد ( مقدار دافعه نیروی حریم از صفر به سمت بی نهایت ،که همان شکستن است صعود کند )
در این لحظه باشکوه است که عددی وجود دارد که دو حد در آن عدد به هم میرسند .
و این نقطه عطف ریاضیات با فیزیک خواهد بود . ولی باز هرگز نباید گفت دو جسم به هم رسیده اند .

مسايل ماكزيمم سازي كسري خطي ، پژوهش و علاقه قابل ملاحظه اي را به خود اختصاص داده اند ، زيرا آنها در برنامه ريزي توليد ، برنامه ريزي مشاركتي ومالي ، برنامه ريزي بيمارستاني و مراقبت از سلامت مفيد مي با شند.
چند روش براي حل اين مسأله در سال 1962 پيشنهاد شد.
چارنز و كوپر روششان را كه تبديل اين
به يك برنامه خطي معادل بستگي داشت ، پيشنهاد دادند.
روش ديگري كه روش تابع هدف -- ناميده مي شود توسط بيت ران و نوواييز در سال 1973 كشف شد ، كه در آن حل اين مسأله كسري خطي بوسيله حل يك دنباله از برنامه هاي خطي فقط با محاسبه مجدد جدول محلي تابع هدف صورت مي پذيرد.
همچنين بعضي از جنبه هاي ارتباط دوگان و تحليل حساسيت در مسأله كسري خطي توسط بيت ران و مگنانت در سال 1976 به بحث گذاشته شد.
ساي نيز در سال 1981 در مقاله اش يك مطاله مفيد در مورد شرط بهينگي در برنامه ريزي كسري ارايه كرد.




2. تعاريف و نكات :

مسأله مربوط زماني بوجود مي آيد كه يك تابع كسري خطي بايد روي يك چند وجهي-ماكزيمم شود.
اين مسأله مي تواند به شكل رياضي به صورت زير فرمولبندي شود و با
نشان داده مي شود: (LFP)

: كه
C,d , b
اسكالر هستند.

متذكر مي شويم كه شرايط نامنفي در مجموعه محدوديت ها قرار مي گيرند.
:امين سطر ماتريس j
فرض مي شود كه مجموعه جواب شدني – يك مجموعه فشرده است يعني بسته و
كراندار مي باشد. علاوه بر اين
هرجا در --
اين مسأله مي تواند به شكل زير فرمولبندي شود:

دراينجا
امين سطر ماتريس – است كه در تباهيدگي بايد مورد توجه قرار گيرد. i
يك نقطه رأسي ازناحيه شدني – در بعضي از مجموعه هاي مستقل – خطي – قرار
مي گيرد .در(2.2) ما فرض خواهيم كرد كه


(*)


پس يك شكل معادل براي (2.2) مي تواند به صورت زير فرمولبندي شود:


(2.3)


اگر ما تعريف كنيم:

سپس (2.3 ) مي تواندبفرم زير نوشته شود:

كه:

در تعريف بالاي – مي توانيم به
برسيم.
با ضرب مجموعه محدوديت هاي اين مسأله دوگان بوسيله –كه



ما داريم:


در اين مورد موقعي كه
ماتريس – از درايه ها ي نا منفي تعريف مي شود بطوريكه
.اين ماتريس يك نقش مهم براي يافتن مقدار بهينه مسأله ماكزيمم
مقدار – روي بازه اعداد حقيقي كه بوسيله
تعريف مي شود
بطور ساده نمايش بالا مي تواند به شكل
نوشته شود.
همچنين يك زير ماتريس – از ماتريس داده شده – كه در
صدق مي كند براي تعيين مقدار دوگان مورد نياز براي حل
برنامه ريزي كسري (2.1) مهم خواهد بود.
اين مقادير دوگان براي يك نقطه – كه يك جواب بهينه مسأله بالا (2.5) است
به خوبي در شرايط 2و3 كان-تاكر صدق مي كنند. ما بايد داشته باشيم :

يا به طور ساده:

در اينجا – يك زير ماتريس ، ماتريس داده شده – فقط شامل ضرايب مجموعه محدوديت ها ي فعال در نقطه كنوني – است. همچنين از قضيه مكمل زايد داريم :
برا ي هر مجموعه بالااز محدوديت هاي فعال مقادير دوگان متناظر بايد مثبت باشند.ازاين رو يك زير ماتريس – از ماتريس – داده شده كه در
صدق مي كند براي يافتن مقادير دوگان مورد نياز براي تعيين
مجموعه محدوديت هاي فعال متناظر با مقادير دوگان مثبت بخاطر قضيه
مكمل زايد براي مجموعه بالا از محدوديت هاي فعال اهميت خواهد داشت.

روشمان را براي حل مسايل ( )بصورت زير خلاصه مي كنيم:
را محاسبه مي كنيم.
2- ماتريس – از درايه هاي نامنفي را كه – است پيدا مي كنيم.
3- يك زير ماتريس – از ماتريس داده شده – كه در –صادق باشد ر ا پيدا مي كنيم.
4-در سطر هاي – براي هر درايه مثبت محدوديت فعال متناظر در ماتريس- را تعيين مي كنيم.
5-يك دستگاه – از معادلات خطي را براي رسيدن به جواب بهينه – حل مي كنيم.بنابراين با استفاده از (2.6) به جواب بهينه مسأله () كه بوسيله (2.1)
تعريف مي شود مي رسيم.

3.نكته ها:
نكته(3.1):
ماتريس – از درايه هاي نامنفي كه – رابه عنوان ماتريس قطبي ، ماتريس – در نظر مي گيريم.
نكته(3.2):
با – در () مسأله بالا به يك مسأله برنامه ريزي خطي () تقليل مي يابد و از اين رو روشمان ميتواند براي حل – به عنوان حالت خاصي از – به استفاده از بحثي مشابه مورد استفاده قرار بگيرد.

4.به مثال زير توجه كنيد:





مسأله دوگان فعالند. محدوديت هاي 1 و 3



نتيجه گيري:

يك روش جديد براي حل توابع كسري خطي كه محدوديت هاي آن به شكل نامساوي هاي خطي اند ، داده شده است. هدف روش به طور اصلي حل جبري با استفاده از مفهوم دوگان مي باشد.
چون روش هاي پيشين كه بر پايه اطلاعات – هستند ممكن است در ضمن اينكه مسأله اندازه افزايش مي يابد مشكلاتي را داشته باشند ، بنظر مي رسد كه روش ما حساسيت كمتري نسبت به مسأله اندازه داشته باشد.

منبع:
برنامه ريزي خطي با يك هدف كسري :1973 – NOVAES . BITRAN
دوگان و تحليل حساسيت با تابع هدف كسري:1976- MAGNANTY . BITRAN
برنامه ريزي با توابع كسري خطي:1962-COOPER . CHANERS
شرط بهينگي در برنامه ريزي گويا. ( ژورنال قضيه بهينه سازي و كاربردها) :SING

جهت ديدن سايز بزرگ تصاوير بر روي تصوير مورد نظر كليك نماييد
تصوير فراخوان
روي فراخوان	پشت فراخوان

بزرگان، پيوسته ماه شعبان را مقدمه ورود به ?ضيافة ‏الله‏? در ماه رمضان دانسته ‏اند. از اين‏رو، كسب آمادگيهاى فكرى و روحى براى درك هر چه بيشتر فيض معنوى ‏از اين ?مهمانى

خدا?، لازم است .?شعبان? هم، ماه دعا و ذكر و ياد و توجه و عبادت و استغفار است. بنده خاضع هر شبانه روز پنج نوبت، چراغ دل قامت به نورى مى‏افرازد، تا فارغ از حجابها، جلوه ‏هاى آشكار يار را در وسعت آفرينش به تماشا برخيزد و سفر معنويت و عرفان را، ره توشه ‏اى بايسته فراهم آورد. از روشنايى تا روشنايى، پنج نوبت بلور نازك دل در خود مى‏شكند تا در سايه عطوفت بى ‏مرز محبوب، پيوند گيرد و آينه تجلى نور خدا شود.

مناجات شعبانيه، سهمى از اين ره توشه دارد كه امامان معصوم عليهم السلام بر خواندن آن استمرار داشته ‏اند. خوان رحمت الهى در ماه شعبان گسترده‏ تر است، و ?مناجات?، وسيله حضور در كنار اين مائده معنوى است. نمازگزاران و متهجدان و نيايشگران، در محرابى مى ‏ايستند كه همه عارفان و سالكان و پيامبران و امامان، مقيم و معتكف آن بوده ‏اند. اهل دعا، پيمانه از بحر بيكران رحمت خدا مى ‏كشند و مستانِ سر خوشِ باده ‏هاى سحرگاهى و شبهاى پر ستاره و روشن از تهجد و سجودند.

آنكه به ?نماز? مى‏ايستد و به ?دعا? مى‏نشيند، بر سفره رزق روح نشسته است و روزى رحمت و استجابت در محراب عبوديت او نازل مى‏شود.

?مناجات شعبانيه?، درخواست ?روشنايى دل? از خدايى است كه هم ?نور? است، هم فروغ آفرين. شعبانيه، گامى در زدودن ?حجاب? از چهره ?جان? است، تا جلوه ربوبى، در اين آينه بهتر انعكاس يابد و نجواى او در ضميرهاى روشن به گوش دل رسد. در مناجات شعبانيه، با امامان معصوم همنوا مى‏شويم تا همه ايام عمر را در سايه نيايش مبارك گردانيم.

?بركت?، خير و نيكى ماندگار و پايدار در يك چيز است. ?مبارك? بودن يك روز يا يك ماه يا يك مكان و ساعت و لحظه، به سرشارى آن از اينگونه نيكى‏هاى جاودانه است و شعبان و رمضان از همين رو ?مبارك? است. آنان كه در اين ماه‏ها، دست نيكى به سوى ديگران دراز مى ‏كنند و گام يارى به سوى منزل محرومان بر مى ‏دارند و زبان خيرخواهى به نفع مستمندان مى‏گشايند، در همين دنيا بار سفر آخرت خويش را مى‏بندند و براى آن ?روز نياز?، ذخيره سازى مى‏كنند.

به قول صائب تبريزى:

          اى رهروى كه خير به مردم رسانده‏ اى

                                     آسوده رو، كه بار تو بر دوش مردم است

بارى، ايام ما با عبادت و عمل صالح ما ?مبارك? مى‏شود و اگر به غفلت و سستى بگذرد، ?بى‏بركت? خواهد شد. شب ‏زنده دارى ‏هاى عابدان، اشكهاى شب بيداران، استغفارهاى متهجدان، ?يا رب، يا رب? سحر خيزان، نجواى خالصانه دعا خوانان، همه و همه جلوه هايى از ?بركت? است كه در ساعات و لحظات اين ماه ?مبارك? نهفته است.

اعياد خجسته شعبانيه

سوم شعبان ? ميلاد مبارک سومين امام معصوم، حسين بن علی حضرت اباعبدالله (ع)، سرور آزادگان جهان، دومين ثمره پيوند فرخنده على (ع) و حضرت فاطمه، دختر پيامبر اسلام (ص) در خانه وحى و ولايت؛ روز پاسدار.

چهارم شعبان- ميلاد با سعادت حضرت ابوالفضل العباس (ع)، سمبل مقاومت و وفاداری در راه آرمان مقدس جهاد فی سبيل الله و پرچم گذشت و فداكارى و جانبازى در صحراى كربلا؛ روز جانباز.

پنجم شعبان - ميلاد مسعود زينت عبادت كنندگان و سرور نيايشگران، معصوم چهارم حضرت امام على بن الحسين زين العابدين صلوات الله و سلامه عليه.

نيمه شعبان - فرخنده‌ ميلاد دوازدهمين پيشواى معصوم، حضرت حجة بن الحسن المهدى، امام عصر و زمان - عجل الله تعالى فرجه - گلشن‌‏‎ گل‏‎ فروز‏‎ مهر گيتي‏‎ آل ‌محمد (ص)، مصلح الهى و طلايه دار رهايى بشر.

در فضيلت و اعمال ماه شعبان است بدانيم كه شعبان ماه بسيار شريفى است و منسوب است به حضرت سيد انبياء صَلَّى اللَّه عَليه وَ اله و آن حضرت اين ماه را روزه مى داشت و وصل مى كرد به ماه رمضان و مى فرمود شعبان ماه من است هر كه يك روز از ماه مرا روزه بدارد بهشت او را واجب شود.

از حضرت صادق (ع) روايت است كه چون ماه شعبان داخل مى شد حضرت امام زين العابدين (ع) اصحاب خود را جمع مى نمود و مى فرمود:

اى گروه اصحاب من مى دانيد اين چه ماهى است اين ماه شعبان است و حضرت رسول (ص) مى فرمود شعبان ماه من است، پس روزه بداريد در اين ماه براى محبّت پيغمبر خود و براى تقرّب به سوى پروردگار خود بحقّ آن خدايى كه جان علىّ بن الحسين به دست قدرت اوست سوگند ياد مى كنم كه از پدرم حسين بن على (ع) شنيدم كه فرمود شنيدم از اميرالمؤ منين (ع) كه هر كه روزه دارد شعبان را براى محبّت پيغمبر خدا و تقرّب بسوى خدا دوست دارد خدا او را و نزديك گرداند او را به كرامت خود در روز قيامت و بهشت را براى او واجب گرداند.

بدرستى  كه رسول خدا (ص) هرگاه مى ديد هلال شعبان را امر مى فرمود مُنادى را كه ندا مى كرد در مدينه:

اى اهل مدينه من رسولم از جانب رسول خدا صَلَّى اللَّهِ عَلِيهِ وَاله بسوى شما.

مى فرمايد آگاه باشيد بدرستى كه شعبان ماه من است پس خدا رحمت كند كسى را كه يارى كند مرا بر ماه من يعنى روزه بدارد آن را. پس گفت: حضرت صادق (ع) كه اميرالمؤ منين (ع) مى فرمود كه فوت نشد از من روزه شعبان از زمانى كه شنيدم منادى رسول خداصَلَّى اللَّهِ عَلِيهِ وَاله ندا كرد در شعبان و فوت نخواهد شد از من تا مدتى كه حيات دارم ان شاء الله تعالى. پس مى فرمود كه روزه دو ماه كه شعبان و رمضان باشد توبه و مغفرت است از خدا.

از حضرت صادق (ع) منقول است كه از آن جناب سؤ ال كردند از فضيلت روزه رجب فرمود چرا غافليد از روزه شعبان راوى عرض كرد: يابن رَسول الله چه ثواب دارد كسى كه يك روز از شعبان را روزه بدارد؟ فرمود: به خدا قسم بهشت ثواب اوست. عرض كرد: يابن رسول الله بهترين اعمال در اين ماه چيست فرمود تصدّق و استغفار هر كه تصدّق كند در ماه شعبان حق تعالى آن را تربيت كند.

كاش كاهش چشمگير خطاها و تخلفات و شكايت ها و نزاعها كه در اين ماه‏ها جلوه ‏گر است، تا ماههاى ديگر هم دامن بگستراند و همه ايام، در ?طهارت? و ?آرامش?، مانند شعبان و رمضان گردد.

زيانكار، كسى است كه رمضان بگذرد و او در ?كوره روزه? نگدازد و پاك نشود. خسران زده كسى است كه ماه مغفرت بر او بگذرد و غفران الهى شامل حالش نشود و حالش تحول نيابد. مگر ما چه قدر فرصت ?تجديد ديدار? با ?فطرت? داريم؟ مگر در طول سال، چند ?شب قدر? داريم؟ ماهىِ جان در درياى ?ياد خدا? ست كه حيات مى‏يابد. و گرنه دلهاى جدا از خدا، مشتى گوشت است، سخت‏ تر از سنگ!...

كاش چراغ ?ذكر? و شمع ?ياد? در شبستان همه دلها روشن شود و ظلمت گناه و غفلت، از زاويه همه قلوب، زدوده گردد. ان شاء ا...

وقتیکه قطار مسافربری در ایستگاه ترمز کرد پیرمرد که چند دقیقه ای میشد منتظر رسیدن قطار بود خود را در مقابل آخرین واگن قطار دید. قطار مرکب از دو لوکوموتیو بود، یکی در جلو و دیگری در عقب که در بین آنها پنجاه واگن قرار داشت. طول هر واگن هم 15 متر بود.

 پیرمرد از در عقب آخرین واگن سوار شد و به دنبال صندلی خالی گشت که بنشیند ولی با کمال نومیدی دید که همه ی صندلی ها از ایستگاه های قبلی پر شده اند. تصمیم گرفت به واگن بعدی برود و ببیند آنجا وضع چطور است. چمدانش را زمین گذاشت و به راه افتاد. قطار هم همانموقع حرکت کرد و پیرمرد از پنجره ی واگن دید که قطار دارد از مقابل اداره ی پست شهر عبور میکند.

 پیرمرد در واگن بعدی هم صندلی خالی پیدا نکرد و همین طور واگن به واگن جلو رفت تا بیست دقیقه بعد به آخرین آنها رسید. در حالیکه از نیافتن حتی یک صندلی خالی سخت پکر شده بود تصمیم به بازگشت گرفت. تعدادی از مسافرین که ظاهرا" از بسیار نشسته بودن خسته شده بودند به راهرو های قطار آمده  تا بایستند و کمی رفع خستگی کنند. به همین دلیل بازگشت پیرمرد کمی بیشتر طول کشید و نیمساعت شد.

 وقتیکه به چمدانش رسید چاره ای ندید جز آنکه از چمدان به عنوان صندلی استفاده کند و همانجا روی آن بنشیند تا به مقصد برسد. وقتیکه داشت مینشست از پنجره نگاهی به بیرون انداخت و دید که قطار دارد از روبروی ساختمان شهرداری میگذرد. او میدانست که فاصله ی اداره ی پست تا ساختمان شهرداری دقیقا" 12 کیلومتر است. پیش خود فکر کرد ای بابا به درد سرش نمیارزید، مثل اینکه اگر پیاده رفته بودم زود تر میرسیدم!

 پیرمرد وقتیکه روی چمدانش نشست سرش را به دیوار قطار تکیه داد و به خواب شد. یک ساعت بعد حس کرد که کسی دارد او را صدا میزند و میگوید که رسیده ایم، بلند شو ! پیرمرد از خواب بیدار شد و چمدانش را برداشت و از قطار بیرون رفت.

 فاصله ی مبدا تا مقصد برای مسافر پیر ما چند کیلومتر بوده است؟

یک عدد صحیح مثبت  را در نظر بگیرید. یک دنباله‌ی  تعریف می‌کنیم به‌طوری که  جمع مربعات ارقام  است.

در این صورت  یک «عدد خوشحال» (Happy Number) است اگر و فقط اگر ای وجود داشته باشد به‌طوری که رابطه‌ي ذيل برقرار باشد:

به‌طور مثال 7 یک «عدد خوشحال» (Happy Number) است زیرا:

«اعداد خوشحال» (Happy Numbers) کوچک‌تر از 50 عبارت‌اند از:

آیا می‌توانید چند «عدد خوشحال» (Happy Number) دیگر بگویید؟!

توجه کنید که اگر یک عدد، «خوشحال» (Happy) باشد تمام اعداد ظاهرشده در دنباله‌ی آن نیز «خوشحال»ا‌ند و هم‌چنین اگر ارقام آن را جابه‌جا کنیم عدد حاصل باز «عدد خوشحال» (Happy Number) است.